Theorem 1arymaptfo 47417

Description: The mapping of unary (endo)functions is a function onto the set of endofunctions. (Contributed by AV, 18-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
1arymaptfv.h	⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩})))

Assertion

Ref	Expression
1arymaptfo	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐻:(1-aryF 𝑋)–onto→(𝑋 ↑m 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,ℎ,𝑋   ℎ,𝑉,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥,ℎ)

Proof of Theorem 1arymaptfo

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1arymaptfv.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩})))
2	1	1arymaptf 47415	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐻:(1-aryF 𝑋)⟶(𝑋 ↑m 𝑋))
3		elmapi 8847	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋) → 𝑓:𝑋⟶𝑋)
4		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))) = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))
5	4	1arympt1 47412	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑋) → (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))) ∈ (1-aryF 𝑋))
6	3, 5	sylan2 592	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) → (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))) ∈ (1-aryF 𝑋))
7		fveq2 6891	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))) → (𝐻‘𝑔) = (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))))
8	7	eqeq2d 2742	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))) → (𝑓 = (𝐻‘𝑔) ↔ 𝑓 = (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))))))
9	8	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) ∧ 𝑔 = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) → (𝑓 = (𝐻‘𝑔) ↔ 𝑓 = (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))))))
10	3	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) → 𝑓:𝑋⟶𝑋)
11	10	feqmptd 6960	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) → 𝑓 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘𝑥)))
12		simplr 766	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))))
13		fveq1 6890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩} → (𝑎‘0) = ({⟨0, 𝑥⟩}‘0))
14		c0ex 11213	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
15		vex 3477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑥 ∈ V
16	14, 15	fvsn 7181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({⟨0, 𝑥⟩}‘0) = 𝑥
17	13, 16	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩} → (𝑎‘0) = 𝑥)
18	17	fveq2d 6895	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩} → (𝑓‘(𝑎‘0)) = (𝑓‘𝑥))
19	18	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩}) → (𝑓‘(𝑎‘0)) = (𝑓‘𝑥))
20	14	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ∈ V)
21		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
22	20, 21	fsnd 6876	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → {⟨0, 𝑥⟩}:{0}⟶𝑋)
23		snex 5431	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {0} ∈ V
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → {0} ∈ V)
25		elmapg 8837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {0} ∈ V) → ({⟨0, 𝑥⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↔ {⟨0, 𝑥⟩}:{0}⟶𝑋))
26	24, 25	sylan2 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ({⟨0, 𝑥⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↔ {⟨0, 𝑥⟩}:{0}⟶𝑋))
27	22, 26	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → {⟨0, 𝑥⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0}))
28	27	ad4ant14 749	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → {⟨0, 𝑥⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0}))
29		fvexd 6906	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑓‘𝑥) ∈ V)
30		nfv 1916	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑎(𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋))
31		nfmpt1 5256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑎(𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))
32	31	nfeq2 2919	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑎 ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))
33	30, 32	nfan 1901	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑎((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))))
34		nfv 1916	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑎 𝑥 ∈ 𝑋
35	33, 34	nfan 1901	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑎(((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)
36		nfcv 2902	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑎{⟨0, 𝑥⟩}
37		nfcv 2902	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑎(𝑓‘𝑥)
38	12, 19, 28, 29, 35, 36, 37	fvmptdf 7004	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝑓‘𝑥))
39	38	mpteq2dva 5248	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩})) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘𝑥)))
40		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
41	40	mptexd 7228	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘𝑥)) ∈ V)
42	1, 39, 6, 41	fvmptd2 7006	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) → (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘𝑥)))
43	11, 42	eqtr4d 2774	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) → 𝑓 = (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))))
44	6, 9, 43	rspcedvd 3614	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) → ∃𝑔 ∈ (1-aryF 𝑋)𝑓 = (𝐻‘𝑔))
45	44	ralrimiva 3145	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ∀𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)∃𝑔 ∈ (1-aryF 𝑋)𝑓 = (𝐻‘𝑔))
46		dffo3 7103	. 2 ⊢ (𝐻:(1-aryF 𝑋)–onto→(𝑋 ↑m 𝑋) ↔ (𝐻:(1-aryF 𝑋)⟶(𝑋 ↑m 𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)∃𝑔 ∈ (1-aryF 𝑋)𝑓 = (𝐻‘𝑔)))
47	2, 45, 46	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐻:(1-aryF 𝑋)–onto→(𝑋 ↑m 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060  ∃wrex 3069  Vcvv 3473  {csn 4628  ⟨cop 4634   ↦ cmpt 5231  ⟶wf 6539  –onto→wfo 6541  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412   ↑_m cmap 8824  0cc0 11114  1c1 11115  -aryF cnaryf 47400

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-naryf 47401

This theorem is referenced by:  1arymaptf1o  47418