Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1arymaptfo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1arymaptfo 45050
 Description: The mapping of unary (endo)functions is a function onto the set of endofunctions. (Contributed by AV, 18-May-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
1arymaptfv.h 𝐻 = ( ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩})))
Assertion
Ref Expression
1arymaptfo (𝑋𝑉𝐻:(1-aryF 𝑋)–onto→(𝑋m 𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,,𝑋   ,𝑉,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥,)

Proof of Theorem 1arymaptfo
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1arymaptfv.h . . 3 𝐻 = ( ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩})))
211arymaptf 45048 . 2 (𝑋𝑉𝐻:(1-aryF 𝑋)⟶(𝑋m 𝑋))
3 elmapi 8415 . . . . 5 (𝑓 ∈ (𝑋m 𝑋) → 𝑓:𝑋𝑋)
4 eqid 2801 . . . . . 6 (𝑎 ∈ (𝑋m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))) = (𝑎 ∈ (𝑋m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))
541arympt1 45045 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑓:𝑋𝑋) → (𝑎 ∈ (𝑋m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))) ∈ (1-aryF 𝑋))
63, 5sylan2 595 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m 𝑋)) → (𝑎 ∈ (𝑋m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))) ∈ (1-aryF 𝑋))
7 fveq2 6649 . . . . . 6 (𝑔 = (𝑎 ∈ (𝑋m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))) → (𝐻𝑔) = (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))))
87eqeq2d 2812 . . . . 5 (𝑔 = (𝑎 ∈ (𝑋m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))) → (𝑓 = (𝐻𝑔) ↔ 𝑓 = (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))))))
98adantl 485 . . . 4 (((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m 𝑋)) ∧ 𝑔 = (𝑎 ∈ (𝑋m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) → (𝑓 = (𝐻𝑔) ↔ 𝑓 = (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))))))
103adantl 485 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m 𝑋)) → 𝑓:𝑋𝑋)
1110feqmptd 6712 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m 𝑋)) → 𝑓 = (𝑥𝑋 ↦ (𝑓𝑥)))
12 simplr 768 . . . . . . . 8 ((((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m 𝑋)) ∧ = (𝑎 ∈ (𝑋m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) ∧ 𝑥𝑋) → = (𝑎 ∈ (𝑋m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))))
13 fveq1 6648 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩} → (𝑎‘0) = ({⟨0, 𝑥⟩}‘0))
14 c0ex 10628 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
15 vex 3447 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 ∈ V
1614, 15fvsn 6924 . . . . . . . . . . 11 ({⟨0, 𝑥⟩}‘0) = 𝑥
1713, 16eqtrdi 2852 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩} → (𝑎‘0) = 𝑥)
1817fveq2d 6653 . . . . . . . . 9 (𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩} → (𝑓‘(𝑎‘0)) = (𝑓𝑥))
1918adantl 485 . . . . . . . 8 (((((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m 𝑋)) ∧ = (𝑎 ∈ (𝑋m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩}) → (𝑓‘(𝑎‘0)) = (𝑓𝑥))
2014a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑉𝑥𝑋) → 0 ∈ V)
21 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑉𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
2220, 21fsnd 6636 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑉𝑥𝑋) → {⟨0, 𝑥⟩}:{0}⟶𝑋)
23 snex 5300 . . . . . . . . . . . 12 {0} ∈ V
2423a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝑋 → {0} ∈ V)
25 elmapg 8406 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑉 ∧ {0} ∈ V) → ({⟨0, 𝑥⟩} ∈ (𝑋m {0}) ↔ {⟨0, 𝑥⟩}:{0}⟶𝑋))
2624, 25sylan2 595 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑉𝑥𝑋) → ({⟨0, 𝑥⟩} ∈ (𝑋m {0}) ↔ {⟨0, 𝑥⟩}:{0}⟶𝑋))
2722, 26mpbird 260 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉𝑥𝑋) → {⟨0, 𝑥⟩} ∈ (𝑋m {0}))
2827ad4ant14 751 . . . . . . . 8 ((((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m 𝑋)) ∧ = (𝑎 ∈ (𝑋m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) ∧ 𝑥𝑋) → {⟨0, 𝑥⟩} ∈ (𝑋m {0}))
29 fvexd 6664 . . . . . . . 8 ((((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m 𝑋)) ∧ = (𝑎 ∈ (𝑋m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑓𝑥) ∈ V)
30 nfv 1915 . . . . . . . . . 10 𝑎(𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m 𝑋))
31 nfmpt1 5131 . . . . . . . . . . 11 𝑎(𝑎 ∈ (𝑋m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))
3231nfeq2 2975 . . . . . . . . . 10 𝑎 = (𝑎 ∈ (𝑋m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))
3330, 32nfan 1900 . . . . . . . . 9 𝑎((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m 𝑋)) ∧ = (𝑎 ∈ (𝑋m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))))
34 nfv 1915 . . . . . . . . 9 𝑎 𝑥𝑋
3533, 34nfan 1900 . . . . . . . 8 𝑎(((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m 𝑋)) ∧ = (𝑎 ∈ (𝑋m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) ∧ 𝑥𝑋)
36 nfcv 2958 . . . . . . . 8 𝑎{⟨0, 𝑥⟩}
37 nfcv 2958 . . . . . . . 8 𝑎(𝑓𝑥)
3812, 19, 28, 29, 35, 36, 37fvmptdf 6755 . . . . . . 7 ((((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m 𝑋)) ∧ = (𝑎 ∈ (𝑋m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) ∧ 𝑥𝑋) → (‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝑓𝑥))
3938mpteq2dva 5128 . . . . . 6 (((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m 𝑋)) ∧ = (𝑎 ∈ (𝑋m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) → (𝑥𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩})) = (𝑥𝑋 ↦ (𝑓𝑥)))
40 simpl 486 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m 𝑋)) → 𝑋𝑉)
4140mptexd 6968 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m 𝑋)) → (𝑥𝑋 ↦ (𝑓𝑥)) ∈ V)
421, 39, 6, 41fvmptd2 6757 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m 𝑋)) → (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) = (𝑥𝑋 ↦ (𝑓𝑥)))
4311, 42eqtr4d 2839 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m 𝑋)) → 𝑓 = (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))))
446, 9, 43rspcedvd 3577 . . 3 ((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m 𝑋)) → ∃𝑔 ∈ (1-aryF 𝑋)𝑓 = (𝐻𝑔))
4544ralrimiva 3152 . 2 (𝑋𝑉 → ∀𝑓 ∈ (𝑋m 𝑋)∃𝑔 ∈ (1-aryF 𝑋)𝑓 = (𝐻𝑔))
46 dffo3 6849 . 2 (𝐻:(1-aryF 𝑋)–onto→(𝑋m 𝑋) ↔ (𝐻:(1-aryF 𝑋)⟶(𝑋m 𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (𝑋m 𝑋)∃𝑔 ∈ (1-aryF 𝑋)𝑓 = (𝐻𝑔)))
472, 45, 46sylanbrc 586 1 (𝑋𝑉𝐻:(1-aryF 𝑋)–onto→(𝑋m 𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109  ∃wrex 3110  Vcvv 3444  {csn 4528  ⟨cop 4534   ↦ cmpt 5113  ⟶wf 6324  –onto→wfo 6326  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   ↑m cmap 8393  0cc0 10530  1c1 10531  -aryF cnaryf 45033 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-naryf 45034 This theorem is referenced by:  1arymaptf1o  45051
 Copyright terms: Public domain W3C validator