Theorem 1arymaptfo 48629

Description: The mapping of unary (endo)functions is a function onto the set of endofunctions. (Contributed by AV, 18-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
1arymaptfv.h	⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩})))

Assertion

Ref	Expression
1arymaptfo	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐻:(1-aryF 𝑋)–onto→(𝑋 ↑m 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,ℎ,𝑋   ℎ,𝑉,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥,ℎ)

Proof of Theorem 1arymaptfo

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1arymaptfv.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩})))
2	1	1arymaptf 48627	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐻:(1-aryF 𝑋)⟶(𝑋 ↑m 𝑋))
3		elmapi 8783	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋) → 𝑓:𝑋⟶𝑋)
4		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))) = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))
5	4	1arympt1 48624	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑋) → (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))) ∈ (1-aryF 𝑋))
6	3, 5	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) → (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))) ∈ (1-aryF 𝑋))
7		fveq2 6826	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))) → (𝐻‘𝑔) = (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))))
8	7	eqeq2d 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))) → (𝑓 = (𝐻‘𝑔) ↔ 𝑓 = (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))))))
9	8	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) ∧ 𝑔 = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) → (𝑓 = (𝐻‘𝑔) ↔ 𝑓 = (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))))))
10	3	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) → 𝑓:𝑋⟶𝑋)
11	10	feqmptd 6895	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) → 𝑓 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘𝑥)))
12		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))))
13		fveq1 6825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩} → (𝑎‘0) = ({⟨0, 𝑥⟩}‘0))
14		c0ex 11128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
15		vex 3442	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑥 ∈ V
16	14, 15	fvsn 7121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({⟨0, 𝑥⟩}‘0) = 𝑥
17	13, 16	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩} → (𝑎‘0) = 𝑥)
18	17	fveq2d 6830	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩} → (𝑓‘(𝑎‘0)) = (𝑓‘𝑥))
19	18	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩}) → (𝑓‘(𝑎‘0)) = (𝑓‘𝑥))
20	14	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ∈ V)
21		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
22	20, 21	fsnd 6811	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → {⟨0, 𝑥⟩}:{0}⟶𝑋)
23		snex 5378	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {0} ∈ V
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → {0} ∈ V)
25		elmapg 8773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {0} ∈ V) → ({⟨0, 𝑥⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↔ {⟨0, 𝑥⟩}:{0}⟶𝑋))
26	24, 25	sylan2 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ({⟨0, 𝑥⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↔ {⟨0, 𝑥⟩}:{0}⟶𝑋))
27	22, 26	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → {⟨0, 𝑥⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0}))
28	27	ad4ant14 752	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → {⟨0, 𝑥⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0}))
29		fvexd 6841	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑓‘𝑥) ∈ V)
30		nfv 1914	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑎(𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋))
31		nfmpt1 5194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑎(𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))
32	31	nfeq2 2909	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑎 ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))
33	30, 32	nfan 1899	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑎((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))))
34		nfv 1914	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑎 𝑥 ∈ 𝑋
35	33, 34	nfan 1899	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑎(((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)
36		nfcv 2891	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑎{⟨0, 𝑥⟩}
37		nfcv 2891	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑎(𝑓‘𝑥)
38	12, 19, 28, 29, 35, 36, 37	fvmptdf 6940	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝑓‘𝑥))
39	38	mpteq2dva 5188	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩})) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘𝑥)))
40		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
41	40	mptexd 7164	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘𝑥)) ∈ V)
42	1, 39, 6, 41	fvmptd2 6942	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) → (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘𝑥)))
43	11, 42	eqtr4d 2767	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) → 𝑓 = (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))))
44	6, 9, 43	rspcedvd 3581	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) → ∃𝑔 ∈ (1-aryF 𝑋)𝑓 = (𝐻‘𝑔))
45	44	ralrimiva 3121	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ∀𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)∃𝑔 ∈ (1-aryF 𝑋)𝑓 = (𝐻‘𝑔))
46		dffo3 7040	. 2 ⊢ (𝐻:(1-aryF 𝑋)–onto→(𝑋 ↑m 𝑋) ↔ (𝐻:(1-aryF 𝑋)⟶(𝑋 ↑m 𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)∃𝑔 ∈ (1-aryF 𝑋)𝑓 = (𝐻‘𝑔)))
47	2, 45, 46	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐻:(1-aryF 𝑋)–onto→(𝑋 ↑m 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3438  {csn 4579  ⟨cop 4585   ↦ cmpt 5176  ⟶wf 6482  –onto→wfo 6484  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ↑_m cmap 8760  0cc0 11028  1c1 11029  -aryF cnaryf 48612

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-naryf 48613

This theorem is referenced by:  1arymaptf1o  48630