Theorem 1arymaptfo 49699

Description: The mapping of unary (endo)functions is a function onto the set of endofunctions. (Contributed by AV, 18-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
1arymaptfv.h	⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩})))

Assertion

Ref	Expression
1arymaptfo	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐻:(1-aryF 𝑋)–onto→(𝑋 ↑m 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,ℎ,𝑋   ℎ,𝑉,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥, ℎ)

Proof of Theorem 1arymaptfo

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1arymaptfv.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩})))
2	1	1arymaptf 49697	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐻:(1-aryF 𝑋)⟶(𝑋 ↑m 𝑋))
3		elmapi 8853	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋) → 𝑓:𝑋⟶𝑋)
4		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))) = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))
5	4	1arympt1 49694	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑋) → (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))) ∈ (1-aryF 𝑋))
6	3, 5	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) → (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))) ∈ (1-aryF 𝑋))
7		fveq2 6877	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))) → (𝐻‘𝑔) = (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))))
8	7	eqeq2d 2772	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))) → (𝑓 = (𝐻‘𝑔) ↔ 𝑓 = (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))))))
9	8	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) ∧ 𝑔 = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) → (𝑓 = (𝐻‘𝑔) ↔ 𝑓 = (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))))))
10	3	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) → 𝑓:𝑋⟶𝑋)
11	10	feqmptd 6945	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) → 𝑓 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘𝑥)))
12		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))))
13		fveq1 6876	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩} → (𝑎‘0) = ({⟨0, 𝑥⟩}‘0))
14		c0ex 11281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
15		vex 3455	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑥 ∈ V
16	14, 15	fvsn 7178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({⟨0, 𝑥⟩}‘0) = 𝑥
17	13, 16	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩} → (𝑎‘0) = 𝑥)
18	17	fveq2d 6881	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩} → (𝑓‘(𝑎‘0)) = (𝑓‘𝑥))
19	18	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩}) → (𝑓‘(𝑎‘0)) = (𝑓‘𝑥))
20	14	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ∈ V)
21		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
22	20, 21	fsnd 6861	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → {⟨0, 𝑥⟩}:{0}⟶𝑋)
23		snex 5397	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {0} ∈ V
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → {0} ∈ V)
25		elmapg 8843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {0} ∈ V) → ({⟨0, 𝑥⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↔ {⟨0, 𝑥⟩}:{0}⟶𝑋))
26	24, 25	sylan2 605	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ({⟨0, 𝑥⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↔ {⟨0, 𝑥⟩}:{0}⟶𝑋))
27	22, 26	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → {⟨0, 𝑥⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0}))
28	27	ad4ant14 765	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → {⟨0, 𝑥⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0}))
29		fvexd 6892	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑓‘𝑥) ∈ V)
30		nfv 1947	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑎(𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋))
31		nfmpt1 5204	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑎(𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))
32	31	nfeq2 2940	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑎 ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))
33	30, 32	nfan 1932	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑎((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))))
34		nfv 1947	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑎 𝑥 ∈ 𝑋
35	33, 34	nfan 1932	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑎(((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)
36		nfcv 2923	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑎{⟨0, 𝑥⟩}
37		nfcv 2923	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑎(𝑓‘𝑥)
38	12, 19, 28, 29, 35, 36, 37	fvmptdf 6992	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝑓‘𝑥))
39	38	mpteq2dva 5198	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩})) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘𝑥)))
40		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
41	40	mptexd 7222	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘𝑥)) ∈ V)
42	1, 39, 6, 41	fvmptd2 6994	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) → (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘𝑥)))
43	11, 42	eqtr4d 2799	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) → 𝑓 = (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))))
44	6, 9, 43	rspcedvd 3579	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) → ∃𝑔 ∈ (1-aryF 𝑋)𝑓 = (𝐻‘𝑔))
45	44	ralrimiva 3155	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ∀𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)∃𝑔 ∈ (1-aryF 𝑋)𝑓 = (𝐻‘𝑔))
46		dffo3 7094	. 2 ⊢ (𝐻:(1-aryF 𝑋)–onto→(𝑋 ↑m 𝑋) ↔ (𝐻:(1-aryF 𝑋)⟶(𝑋 ↑m 𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)∃𝑔 ∈ (1-aryF 𝑋)𝑓 = (𝐻‘𝑔)))
47	2, 45, 46	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐻:(1-aryF 𝑋)–onto→(𝑋 ↑m 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  Vcvv 3451  {csn 4584  ⟨cop 4590   ↦ cmpt 5186  ⟶wf 6527  –onto→wfo 6529  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   ↑_m cmap 8831  0cc0 11181  1c1 11182  -aryF cnaryf 49682

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-naryf 49683

This theorem is used by:  1arymaptf1o  49700