Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1arymaptfo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1arymaptfo 48493
Description: The mapping of unary (endo)functions is a function onto the set of endofunctions. (Contributed by AV, 18-May-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
1arymaptfv.h 𝐻 = ( ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩})))
Assertion
Ref Expression
1arymaptfo (𝑋𝑉𝐻:(1-aryF 𝑋)–onto→(𝑋m 𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,,𝑋   ,𝑉,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥,)

Proof of Theorem 1arymaptfo
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1arymaptfv.h . . 3 𝐻 = ( ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩})))
211arymaptf 48491 . 2 (𝑋𝑉𝐻:(1-aryF 𝑋)⟶(𝑋m 𝑋))
3 elmapi 8888 . . . . 5 (𝑓 ∈ (𝑋m 𝑋) → 𝑓:𝑋𝑋)
4 eqid 2735 . . . . . 6 (𝑎 ∈ (𝑋m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))) = (𝑎 ∈ (𝑋m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))
541arympt1 48488 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑓:𝑋𝑋) → (𝑎 ∈ (𝑋m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))) ∈ (1-aryF 𝑋))
63, 5sylan2 593 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m 𝑋)) → (𝑎 ∈ (𝑋m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))) ∈ (1-aryF 𝑋))
7 fveq2 6907 . . . . . 6 (𝑔 = (𝑎 ∈ (𝑋m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))) → (𝐻𝑔) = (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))))
87eqeq2d 2746 . . . . 5 (𝑔 = (𝑎 ∈ (𝑋m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))) → (𝑓 = (𝐻𝑔) ↔ 𝑓 = (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))))))
98adantl 481 . . . 4 (((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m 𝑋)) ∧ 𝑔 = (𝑎 ∈ (𝑋m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) → (𝑓 = (𝐻𝑔) ↔ 𝑓 = (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))))))
103adantl 481 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m 𝑋)) → 𝑓:𝑋𝑋)
1110feqmptd 6977 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m 𝑋)) → 𝑓 = (𝑥𝑋 ↦ (𝑓𝑥)))
12 simplr 769 . . . . . . . 8 ((((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m 𝑋)) ∧ = (𝑎 ∈ (𝑋m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) ∧ 𝑥𝑋) → = (𝑎 ∈ (𝑋m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))))
13 fveq1 6906 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩} → (𝑎‘0) = ({⟨0, 𝑥⟩}‘0))
14 c0ex 11253 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
15 vex 3482 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 ∈ V
1614, 15fvsn 7201 . . . . . . . . . . 11 ({⟨0, 𝑥⟩}‘0) = 𝑥
1713, 16eqtrdi 2791 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩} → (𝑎‘0) = 𝑥)
1817fveq2d 6911 . . . . . . . . 9 (𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩} → (𝑓‘(𝑎‘0)) = (𝑓𝑥))
1918adantl 481 . . . . . . . 8 (((((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m 𝑋)) ∧ = (𝑎 ∈ (𝑋m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩}) → (𝑓‘(𝑎‘0)) = (𝑓𝑥))
2014a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑉𝑥𝑋) → 0 ∈ V)
21 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑉𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
2220, 21fsnd 6892 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑉𝑥𝑋) → {⟨0, 𝑥⟩}:{0}⟶𝑋)
23 snex 5442 . . . . . . . . . . . 12 {0} ∈ V
2423a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝑋 → {0} ∈ V)
25 elmapg 8878 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑉 ∧ {0} ∈ V) → ({⟨0, 𝑥⟩} ∈ (𝑋m {0}) ↔ {⟨0, 𝑥⟩}:{0}⟶𝑋))
2624, 25sylan2 593 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑉𝑥𝑋) → ({⟨0, 𝑥⟩} ∈ (𝑋m {0}) ↔ {⟨0, 𝑥⟩}:{0}⟶𝑋))
2722, 26mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉𝑥𝑋) → {⟨0, 𝑥⟩} ∈ (𝑋m {0}))
2827ad4ant14 752 . . . . . . . 8 ((((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m 𝑋)) ∧ = (𝑎 ∈ (𝑋m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) ∧ 𝑥𝑋) → {⟨0, 𝑥⟩} ∈ (𝑋m {0}))
29 fvexd 6922 . . . . . . . 8 ((((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m 𝑋)) ∧ = (𝑎 ∈ (𝑋m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑓𝑥) ∈ V)
30 nfv 1912 . . . . . . . . . 10 𝑎(𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m 𝑋))
31 nfmpt1 5256 . . . . . . . . . . 11 𝑎(𝑎 ∈ (𝑋m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))
3231nfeq2 2921 . . . . . . . . . 10 𝑎 = (𝑎 ∈ (𝑋m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))
3330, 32nfan 1897 . . . . . . . . 9 𝑎((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m 𝑋)) ∧ = (𝑎 ∈ (𝑋m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))))
34 nfv 1912 . . . . . . . . 9 𝑎 𝑥𝑋
3533, 34nfan 1897 . . . . . . . 8 𝑎(((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m 𝑋)) ∧ = (𝑎 ∈ (𝑋m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) ∧ 𝑥𝑋)
36 nfcv 2903 . . . . . . . 8 𝑎{⟨0, 𝑥⟩}
37 nfcv 2903 . . . . . . . 8 𝑎(𝑓𝑥)
3812, 19, 28, 29, 35, 36, 37fvmptdf 7022 . . . . . . 7 ((((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m 𝑋)) ∧ = (𝑎 ∈ (𝑋m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) ∧ 𝑥𝑋) → (‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝑓𝑥))
3938mpteq2dva 5248 . . . . . 6 (((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m 𝑋)) ∧ = (𝑎 ∈ (𝑋m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) → (𝑥𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩})) = (𝑥𝑋 ↦ (𝑓𝑥)))
40 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m 𝑋)) → 𝑋𝑉)
4140mptexd 7244 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m 𝑋)) → (𝑥𝑋 ↦ (𝑓𝑥)) ∈ V)
421, 39, 6, 41fvmptd2 7024 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m 𝑋)) → (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) = (𝑥𝑋 ↦ (𝑓𝑥)))
4311, 42eqtr4d 2778 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m 𝑋)) → 𝑓 = (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))))
446, 9, 43rspcedvd 3624 . . 3 ((𝑋𝑉𝑓 ∈ (𝑋m 𝑋)) → ∃𝑔 ∈ (1-aryF 𝑋)𝑓 = (𝐻𝑔))
4544ralrimiva 3144 . 2 (𝑋𝑉 → ∀𝑓 ∈ (𝑋m 𝑋)∃𝑔 ∈ (1-aryF 𝑋)𝑓 = (𝐻𝑔))
46 dffo3 7122 . 2 (𝐻:(1-aryF 𝑋)–onto→(𝑋m 𝑋) ↔ (𝐻:(1-aryF 𝑋)⟶(𝑋m 𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (𝑋m 𝑋)∃𝑔 ∈ (1-aryF 𝑋)𝑓 = (𝐻𝑔)))
472, 45, 46sylanbrc 583 1 (𝑋𝑉𝐻:(1-aryF 𝑋)–onto→(𝑋m 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  Vcvv 3478  {csn 4631  cop 4637  cmpt 5231  wf 6559  ontowfo 6561  cfv 6563  (class class class)co 7431  m cmap 8865  0cc0 11153  1c1 11154  -aryF cnaryf 48476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-naryf 48477
This theorem is referenced by:  1arymaptf1o  48494
  Copyright terms: Public domain W3C validator