Theorem 1arymaptfo 49229

Description: The mapping of unary (endo)functions is a function onto the set of endofunctions. (Contributed by AV, 18-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
1arymaptfv.h	⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩})))

Assertion

Ref	Expression
1arymaptfo	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐻:(1-aryF 𝑋)–onto→(𝑋 ↑m 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,ℎ,𝑋   ℎ,𝑉,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥,ℎ)

Proof of Theorem 1arymaptfo

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1arymaptfv.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩})))
2	1	1arymaptf 49227	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐻:(1-aryF 𝑋)⟶(𝑋 ↑m 𝑋))
3		elmapi 8826	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋) → 𝑓:𝑋⟶𝑋)
4		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))) = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))
5	4	1arympt1 49224	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑋) → (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))) ∈ (1-aryF 𝑋))
6	3, 5	sylan2 602	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) → (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))) ∈ (1-aryF 𝑋))
7		fveq2 6863	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))) → (𝐻‘𝑔) = (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))))
8	7	eqeq2d 2772	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))) → (𝑓 = (𝐻‘𝑔) ↔ 𝑓 = (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))))))
9	8	adantl 485	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) ∧ 𝑔 = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) → (𝑓 = (𝐻‘𝑔) ↔ 𝑓 = (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))))))
10	3	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) → 𝑓:𝑋⟶𝑋)
11	10	feqmptd 6931	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) → 𝑓 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘𝑥)))
12		simplr 778	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))))
13		fveq1 6862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩} → (𝑎‘0) = ({⟨0, 𝑥⟩}‘0))
14		c0ex 11170	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
15		vex 3457	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑥 ∈ V
16	14, 15	fvsn 7161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({⟨0, 𝑥⟩}‘0) = 𝑥
17	13, 16	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩} → (𝑎‘0) = 𝑥)
18	17	fveq2d 6867	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩} → (𝑓‘(𝑎‘0)) = (𝑓‘𝑥))
19	18	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩}) → (𝑓‘(𝑎‘0)) = (𝑓‘𝑥))
20	14	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ∈ V)
21		simpr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
22	20, 21	fsnd 6847	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → {⟨0, 𝑥⟩}:{0}⟶𝑋)
23		snex 5395	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {0} ∈ V
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → {0} ∈ V)
25		elmapg 8816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {0} ∈ V) → ({⟨0, 𝑥⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↔ {⟨0, 𝑥⟩}:{0}⟶𝑋))
26	24, 25	sylan2 602	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ({⟨0, 𝑥⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↔ {⟨0, 𝑥⟩}:{0}⟶𝑋))
27	22, 26	mpbird 259	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → {⟨0, 𝑥⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0}))
28	27	ad4ant14 762	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → {⟨0, 𝑥⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0}))
29		fvexd 6878	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑓‘𝑥) ∈ V)
30		nfv 1933	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑎(𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋))
31		nfmpt1 5198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑎(𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))
32	31	nfeq2 2940	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑎 ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))
33	30, 32	nfan 1918	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑎((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))))
34		nfv 1933	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑎 𝑥 ∈ 𝑋
35	33, 34	nfan 1918	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑎(((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)
36		nfcv 2923	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑎{⟨0, 𝑥⟩}
37		nfcv 2923	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑎(𝑓‘𝑥)
38	12, 19, 28, 29, 35, 36, 37	fvmptdf 6978	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝑓‘𝑥))
39	38	mpteq2dva 5192	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩})) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘𝑥)))
40		simpl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
41	40	mptexd 7204	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘𝑥)) ∈ V)
42	1, 39, 6, 41	fvmptd2 6980	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) → (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘𝑥)))
43	11, 42	eqtr4d 2799	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) → 𝑓 = (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))))
44	6, 9, 43	rspcedvd 3583	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) → ∃𝑔 ∈ (1-aryF 𝑋)𝑓 = (𝐻‘𝑔))
45	44	ralrimiva 3153	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ∀𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)∃𝑔 ∈ (1-aryF 𝑋)𝑓 = (𝐻‘𝑔))
46		dffo3 7079	. 2 ⊢ (𝐻:(1-aryF 𝑋)–onto→(𝑋 ↑m 𝑋) ↔ (𝐻:(1-aryF 𝑋)⟶(𝑋 ↑m 𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)∃𝑔 ∈ (1-aryF 𝑋)𝑓 = (𝐻‘𝑔)))
47	2, 45, 46	sylanbrc 592	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐻:(1-aryF 𝑋)–onto→(𝑋 ↑m 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  ∃wrex 3085  Vcvv 3453  {csn 4581  ⟨cop 4587   ↦ cmpt 5180  ⟶wf 6513  –onto→wfo 6515  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392   ↑_m cmap 8803  0cc0 11070  1c1 11071  -aryF cnaryf 49212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-map 8805  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-naryf 49213

This theorem is referenced by:  1arymaptf1o  49230