Theorem 1arymaptfo 49141

Description: The mapping of unary (endo)functions is a function onto the set of endofunctions. (Contributed by AV, 18-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
1arymaptfv.h	⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩})))

Assertion

Ref	Expression
1arymaptfo	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐻:(1-aryF 𝑋)–onto→(𝑋 ↑m 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,ℎ,𝑋   ℎ,𝑉,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥,ℎ)

Proof of Theorem 1arymaptfo

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1arymaptfv.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩})))
2	1	1arymaptf 49139	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐻:(1-aryF 𝑋)⟶(𝑋 ↑m 𝑋))
3		elmapi 8793	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋) → 𝑓:𝑋⟶𝑋)
4		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))) = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))
5	4	1arympt1 49136	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑋) → (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))) ∈ (1-aryF 𝑋))
6	3, 5	sylan2 599	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) → (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))) ∈ (1-aryF 𝑋))
7		fveq2 6834	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))) → (𝐻‘𝑔) = (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))))
8	7	eqeq2d 2751	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))) → (𝑓 = (𝐻‘𝑔) ↔ 𝑓 = (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))))))
9	8	adantl 482	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) ∧ 𝑔 = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) → (𝑓 = (𝐻‘𝑔) ↔ 𝑓 = (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))))))
10	3	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) → 𝑓:𝑋⟶𝑋)
11	10	feqmptd 6902	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) → 𝑓 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘𝑥)))
12		simplr 774	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))))
13		fveq1 6833	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩} → (𝑎‘0) = ({⟨0, 𝑥⟩}‘0))
14		c0ex 11136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
15		vex 3436	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑥 ∈ V
16	14, 15	fvsn 7132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({⟨0, 𝑥⟩}‘0) = 𝑥
17	13, 16	eqtrdi 2791	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩} → (𝑎‘0) = 𝑥)
18	17	fveq2d 6838	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩} → (𝑓‘(𝑎‘0)) = (𝑓‘𝑥))
19	18	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑎 = {⟨0, 𝑥⟩}) → (𝑓‘(𝑎‘0)) = (𝑓‘𝑥))
20	14	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ∈ V)
21		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
22	20, 21	fsnd 6818	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → {⟨0, 𝑥⟩}:{0}⟶𝑋)
23		snex 5375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {0} ∈ V
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → {0} ∈ V)
25		elmapg 8783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ {0} ∈ V) → ({⟨0, 𝑥⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↔ {⟨0, 𝑥⟩}:{0}⟶𝑋))
26	24, 25	sylan2 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ({⟨0, 𝑥⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↔ {⟨0, 𝑥⟩}:{0}⟶𝑋))
27	22, 26	mpbird 258	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → {⟨0, 𝑥⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0}))
28	27	ad4ant14 758	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → {⟨0, 𝑥⟩} ∈ (𝑋 ↑m {0}))
29		fvexd 6849	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑓‘𝑥) ∈ V)
30		nfv 1921	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑎(𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋))
31		nfmpt1 5178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑎(𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))
32	31	nfeq2 2919	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑎 ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))
33	30, 32	nfan 1906	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑎((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0))))
34		nfv 1921	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑎 𝑥 ∈ 𝑋
35	33, 34	nfan 1906	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑎(((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)
36		nfcv 2902	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑎{⟨0, 𝑥⟩}
37		nfcv 2902	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑎(𝑓‘𝑥)
38	12, 19, 28, 29, 35, 36, 37	fvmptdf 6949	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝑓‘𝑥))
39	38	mpteq2dva 5172	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) ∧ ℎ = (𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩})) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘𝑥)))
40		simpl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
41	40	mptexd 7175	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘𝑥)) ∈ V)
42	1, 39, 6, 41	fvmptd2 6951	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) → (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘𝑥)))
43	11, 42	eqtr4d 2778	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) → 𝑓 = (𝐻‘(𝑎 ∈ (𝑋 ↑m {0}) ↦ (𝑓‘(𝑎‘0)))))
44	6, 9, 43	rspcedvd 3569	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)) → ∃𝑔 ∈ (1-aryF 𝑋)𝑓 = (𝐻‘𝑔))
45	44	ralrimiva 3132	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ∀𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)∃𝑔 ∈ (1-aryF 𝑋)𝑓 = (𝐻‘𝑔))
46		dffo3 7050	. 2 ⊢ (𝐻:(1-aryF 𝑋)–onto→(𝑋 ↑m 𝑋) ↔ (𝐻:(1-aryF 𝑋)⟶(𝑋 ↑m 𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (𝑋 ↑m 𝑋)∃𝑔 ∈ (1-aryF 𝑋)𝑓 = (𝐻‘𝑔)))
47	2, 45, 46	sylanbrc 589	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐻:(1-aryF 𝑋)–onto→(𝑋 ↑m 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3054  ∃wrex 3064  Vcvv 3432  {csn 4562  ⟨cop 4568   ↦ cmpt 5160  ⟶wf 6488  –onto→wfo 6490  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ↑_m cmap 8770  0cc0 11036  1c1 11037  -aryF cnaryf 49124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-naryf 49125

This theorem is referenced by:  1arymaptf1o  49142