Theorem 1fv 13688

Description: A function on a singleton. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.) (Proof shortened by AV, 18-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
1fv	⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩}) → (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁))

Proof of Theorem 1fv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12613	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 0 ∈ ℤ)
3		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝑁 ∈ 𝑉)
4	2, 3	fsnd 6869	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → {⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶𝑉)
5		fvsng 7182	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁)
6	1, 5	mpan 703	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁)
7	4, 6	jca 521	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶𝑉 ∧ ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁))
8	7	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩}) → ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶𝑉 ∧ ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁))
9		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → 𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩})
10		fz0sn 13668	. . . . . 6 ⊢ (0...0) = {0}
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → (0...0) = {0})
12	9, 11	feq12d 6697	. . . 4 ⊢ (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ↔ {⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶𝑉))
13		fveq1 6884	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → (𝑃‘0) = ({⟨0, 𝑁⟩}‘0))
14	13	eqeq1d 2767	. . . 4 ⊢ (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → ((𝑃‘0) = 𝑁 ↔ ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁))
15	12, 14	anbi12d 644	. . 3 ⊢ (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) ↔ ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶𝑉 ∧ ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁)))
16	15	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩}) → ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) ↔ ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶𝑉 ∧ ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁)))
17	8, 16	mpbird 260	1 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩}) → (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {csn 4591  ⟨cop 4597  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  0cc0 11111  ℤcz 12602  ...cfz 13547

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-addrcl 11172  ax-rnegex 11182  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-neg 11455  df-z 12603  df-uz 12875  df-fz 13548

This theorem is used by:  is0wlk  30511  is0trl  30517  0pthon1  30522