Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1fv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1fv 13030
 Description: A function on a singleton. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.) (Proof shortened by AV, 18-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
1fv ((𝑁𝑉𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩}) → (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁))

Proof of Theorem 1fv
StepHypRef Expression
1 0z 11989 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
21a1i 11 . . . . 5 (𝑁𝑉 → 0 ∈ ℤ)
3 id 22 . . . . 5 (𝑁𝑉𝑁𝑉)
42, 3fsnd 6648 . . . 4 (𝑁𝑉 → {⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶𝑉)
5 fvsng 6933 . . . . 5 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑉) → ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁)
61, 5mpan 689 . . . 4 (𝑁𝑉 → ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁)
74, 6jca 515 . . 3 (𝑁𝑉 → ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶𝑉 ∧ ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁))
87adantr 484 . 2 ((𝑁𝑉𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩}) → ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶𝑉 ∧ ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁))
9 id 22 . . . . 5 (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → 𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩})
10 fz0sn 13011 . . . . . 6 (0...0) = {0}
1110a1i 11 . . . . 5 (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → (0...0) = {0})
129, 11feq12d 6491 . . . 4 (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ↔ {⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶𝑉))
13 fveq1 6660 . . . . 5 (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → (𝑃‘0) = ({⟨0, 𝑁⟩}‘0))
1413eqeq1d 2826 . . . 4 (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → ((𝑃‘0) = 𝑁 ↔ ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁))
1512, 14anbi12d 633 . . 3 (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) ↔ ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶𝑉 ∧ ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁)))
1615adantl 485 . 2 ((𝑁𝑉𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩}) → ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) ↔ ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶𝑉 ∧ ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁)))
178, 16mpbird 260 1 ((𝑁𝑉𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩}) → (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  {csn 4550  ⟨cop 4556  ⟶wf 6339  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  0cc0 10535  ℤcz 11978  ...cfz 12894 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-addrcl 10596  ax-rnegex 10606  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-po 5461  df-so 5462  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-neg 10871  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895 This theorem is referenced by:  is0wlk  27908  is0trl  27914  0pthon1  27919
 Copyright terms: Public domain W3C validator