Theorem 1fv 13671

Description: A function on a singleton. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.) (Proof shortened by AV, 18-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
1fv	⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩}) → (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁))

Proof of Theorem 1fv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12598	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 0 ∈ ℤ)
3		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → 𝑁 ∈ 𝑉)
4	2, 3	fsnd 6863	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → {⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶𝑉)
5		fvsng 7176	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁)
6	1, 5	mpan 702	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁)
7	4, 6	jca 520	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶𝑉 ∧ ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁))
8	7	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩}) → ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶𝑉 ∧ ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁))
9		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → 𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩})
10		fz0sn 13651	. . . . . 6 ⊢ (0...0) = {0}
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → (0...0) = {0})
12	9, 11	feq12d 6691	. . . 4 ⊢ (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ↔ {⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶𝑉))
13		fveq1 6878	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → (𝑃‘0) = ({⟨0, 𝑁⟩}‘0))
14	13	eqeq1d 2771	. . . 4 ⊢ (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → ((𝑃‘0) = 𝑁 ↔ ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁))
15	12, 14	anbi12d 643	. . 3 ⊢ (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) ↔ ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶𝑉 ∧ ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁)))
16	15	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩}) → ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) ↔ ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶𝑉 ∧ ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁)))
17	8, 16	mpbird 260	1 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩}) → (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {csn 4591  ⟨cop 4597  ⟶wf 6530  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  0cc0 11096  ℤcz 12587  ...cfz 13531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-addrcl 11157  ax-rnegex 11167  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-neg 11440  df-z 12588  df-uz 12859  df-fz 13532

This theorem is referenced by:  is0wlk  30405  is0trl  30411  0pthon1  30416