MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1fv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1fv 13646
Description: A function on a singleton. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.) (Proof shortened by AV, 18-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
1fv ((𝑁𝑉𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩}) → (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁))

Proof of Theorem 1fv
StepHypRef Expression
1 0z 12593 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
21a1i 11 . . . . 5 (𝑁𝑉 → 0 ∈ ℤ)
3 id 22 . . . . 5 (𝑁𝑉𝑁𝑉)
42, 3fsnd 6876 . . . 4 (𝑁𝑉 → {⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶𝑉)
5 fvsng 7183 . . . . 5 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑉) → ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁)
61, 5mpan 689 . . . 4 (𝑁𝑉 → ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁)
74, 6jca 511 . . 3 (𝑁𝑉 → ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶𝑉 ∧ ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁))
87adantr 480 . 2 ((𝑁𝑉𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩}) → ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶𝑉 ∧ ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁))
9 id 22 . . . . 5 (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → 𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩})
10 fz0sn 13627 . . . . . 6 (0...0) = {0}
1110a1i 11 . . . . 5 (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → (0...0) = {0})
129, 11feq12d 6704 . . . 4 (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ↔ {⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶𝑉))
13 fveq1 6890 . . . . 5 (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → (𝑃‘0) = ({⟨0, 𝑁⟩}‘0))
1413eqeq1d 2729 . . . 4 (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → ((𝑃‘0) = 𝑁 ↔ ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁))
1512, 14anbi12d 630 . . 3 (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) ↔ ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶𝑉 ∧ ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁)))
1615adantl 481 . 2 ((𝑁𝑉𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩}) → ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) ↔ ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶𝑉 ∧ ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁)))
178, 16mpbird 257 1 ((𝑁𝑉𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩}) → (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  {csn 4624  cop 4630  wf 6538  cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11132  cz 12582  ...cfz 13510
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-addrcl 11193  ax-rnegex 11203  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-neg 11471  df-z 12583  df-uz 12847  df-fz 13511
This theorem is referenced by:  is0wlk  29920  is0trl  29926  0pthon1  29931
  Copyright terms: Public domain W3C validator