MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlkp1 27626
Description: Append one path segment (edge) 𝐸 from vertex (𝑃𝑁) to a vertex 𝐶 to a walk 𝐹, 𝑃 to become a walk 𝐻, 𝑄 of the supergraph 𝑆 obtained by adding the new edge to the graph 𝐺. Formerly proven directly for Eulerian paths (for pseudographs), see eupthp1 28156. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 18-Apr-2021.) (Revised by AV, 8-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
wlkp1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wlkp1.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
wlkp1.f (𝜑 → Fun 𝐼)
wlkp1.a (𝜑𝐼 ∈ Fin)
wlkp1.b (𝜑𝐵𝑊)
wlkp1.c (𝜑𝐶𝑉)
wlkp1.d (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
wlkp1.w (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
wlkp1.n 𝑁 = (♯‘𝐹)
wlkp1.e (𝜑𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
wlkp1.x (𝜑 → {(𝑃𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
wlkp1.u (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
wlkp1.h 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
wlkp1.q 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
wlkp1.s (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
wlkp1.l ((𝜑𝐶 = (𝑃𝑁)) → 𝐸 = {𝐶})
Assertion
Ref Expression
wlkp1 (𝜑𝐻(Walks‘𝑆)𝑄)

Proof of Theorem wlkp1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wlkp1.w . . . . . 6 (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
2 wlkp1.i . . . . . . 7 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
32wlkf 27559 . . . . . 6 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
4 wrdf 13963 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
5 wlkp1.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (♯‘𝐹)
65eqcomi 2748 . . . . . . . . 9 (♯‘𝐹) = 𝑁
76oveq2i 7184 . . . . . . . 8 (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^𝑁)
87feq2i 6497 . . . . . . 7 (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼𝐹:(0..^𝑁)⟶dom 𝐼)
94, 8sylib 221 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝐹:(0..^𝑁)⟶dom 𝐼)
101, 3, 93syl 18 . . . . 5 (𝜑𝐹:(0..^𝑁)⟶dom 𝐼)
115fvexi 6691 . . . . . . 7 𝑁 ∈ V
1211a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ V)
13 wlkp1.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝑊)
14 snidg 4551 . . . . . . . 8 (𝐵𝑊𝐵 ∈ {𝐵})
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ {𝐵})
16 wlkp1.e . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
17 dmsnopg 6046 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) → dom {⟨𝐵, 𝐸⟩} = {𝐵})
1816, 17syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → dom {⟨𝐵, 𝐸⟩} = {𝐵})
1915, 18eleqtrrd 2837 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩})
2012, 19fsnd 6663 . . . . 5 (𝜑 → {⟨𝑁, 𝐵⟩}:{𝑁}⟶dom {⟨𝐵, 𝐸⟩})
21 fzodisjsn 13169 . . . . . 6 ((0..^𝑁) ∩ {𝑁}) = ∅
2221a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ((0..^𝑁) ∩ {𝑁}) = ∅)
23 fun 6541 . . . . 5 (((𝐹:(0..^𝑁)⟶dom 𝐼 ∧ {⟨𝑁, 𝐵⟩}:{𝑁}⟶dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}) ∧ ((0..^𝑁) ∩ {𝑁}) = ∅) → (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}):((0..^𝑁) ∪ {𝑁})⟶(dom 𝐼 ∪ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
2410, 20, 22, 23syl21anc 837 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}):((0..^𝑁) ∪ {𝑁})⟶(dom 𝐼 ∪ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
25 wlkp1.h . . . . . 6 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
2625a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}))
27 wlkp1.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
28 wlkp1.f . . . . . . . 8 (𝜑 → Fun 𝐼)
29 wlkp1.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
30 wlkp1.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶𝑉)
31 wlkp1.d . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
32 wlkp1.x . . . . . . . 8 (𝜑 → {(𝑃𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
33 wlkp1.u . . . . . . . 8 (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
3427, 2, 28, 29, 13, 30, 31, 1, 5, 16, 32, 33, 25wlkp1lem2 27619 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝐻) = (𝑁 + 1))
3534oveq2d 7189 . . . . . 6 (𝜑 → (0..^(♯‘𝐻)) = (0..^(𝑁 + 1)))
36 wlkcl 27560 . . . . . . . 8 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
37 eleq1 2821 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐹) = 𝑁 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
3837eqcoms 2747 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = (♯‘𝐹) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
39 elnn0uz 12368 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘0))
4039biimpi 219 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘0))
4138, 40syl6bi 256 . . . . . . . . 9 (𝑁 = (♯‘𝐹) → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘0)))
425, 41ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘0))
431, 36, 423syl 18 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘0))
44 fzosplitsn 13239 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘0) → (0..^(𝑁 + 1)) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
4543, 44syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (0..^(𝑁 + 1)) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
4635, 45eqtrd 2774 . . . . 5 (𝜑 → (0..^(♯‘𝐻)) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
4733dmeqd 5749 . . . . . 6 (𝜑 → dom (iEdg‘𝑆) = dom (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
48 dmun 5754 . . . . . 6 dom (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}) = (dom 𝐼 ∪ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩})
4947, 48eqtrdi 2790 . . . . 5 (𝜑 → dom (iEdg‘𝑆) = (dom 𝐼 ∪ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
5026, 46, 49feq123d 6494 . . . 4 (𝜑 → (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom (iEdg‘𝑆) ↔ (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}):((0..^𝑁) ∪ {𝑁})⟶(dom 𝐼 ∪ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩})))
5124, 50mpbird 260 . . 3 (𝜑𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom (iEdg‘𝑆))
52 iswrdb 13964 . . 3 (𝐻 ∈ Word dom (iEdg‘𝑆) ↔ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom (iEdg‘𝑆))
5351, 52sylibr 237 . 2 (𝜑𝐻 ∈ Word dom (iEdg‘𝑆))
5427wlkp 27561 . . . . . . 7 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
551, 54syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
565oveq2i 7184 . . . . . . 7 (0...𝑁) = (0...(♯‘𝐹))
5756feq2i 6497 . . . . . 6 (𝑃:(0...𝑁)⟶𝑉𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
5855, 57sylibr 237 . . . . 5 (𝜑𝑃:(0...𝑁)⟶𝑉)
59 ovexd 7208 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ V)
6059, 30fsnd 6663 . . . . 5 (𝜑 → {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}⟶𝑉)
61 fzp1disj 13060 . . . . . 6 ((0...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅
6261a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ((0...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅)
63 fun 6541 . . . . 5 (((𝑃:(0...𝑁)⟶𝑉 ∧ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}⟶𝑉) ∧ ((0...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅) → (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):((0...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)})⟶(𝑉𝑉))
6458, 60, 62, 63syl21anc 837 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):((0...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)})⟶(𝑉𝑉))
65 fzsuc 13048 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘0) → (0...(𝑁 + 1)) = ((0...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
6643, 65syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) = ((0...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
67 unidm 4043 . . . . . . 7 (𝑉𝑉) = 𝑉
6867eqcomi 2748 . . . . . 6 𝑉 = (𝑉𝑉)
6968a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑉 = (𝑉𝑉))
7066, 69feq23d 6500 . . . 4 (𝜑 → ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):(0...(𝑁 + 1))⟶𝑉 ↔ (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):((0...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)})⟶(𝑉𝑉)))
7164, 70mpbird 260 . . 3 (𝜑 → (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):(0...(𝑁 + 1))⟶𝑉)
72 wlkp1.q . . . . 5 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
7372a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}))
7434oveq2d 7189 . . . 4 (𝜑 → (0...(♯‘𝐻)) = (0...(𝑁 + 1)))
75 wlkp1.s . . . 4 (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
7673, 74, 75feq123d 6494 . . 3 (𝜑 → (𝑄:(0...(♯‘𝐻))⟶(Vtx‘𝑆) ↔ (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):(0...(𝑁 + 1))⟶𝑉))
7771, 76mpbird 260 . 2 (𝜑𝑄:(0...(♯‘𝐻))⟶(Vtx‘𝑆))
78 wlkp1.l . . 3 ((𝜑𝐶 = (𝑃𝑁)) → 𝐸 = {𝐶})
7927, 2, 28, 29, 13, 30, 31, 1, 5, 16, 32, 33, 25, 72, 75, 78wlkp1lem8 27625 . 2 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐻))if-((𝑄𝑘) = (𝑄‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝑆)‘(𝐻𝑘)) = {(𝑄𝑘)}, {(𝑄𝑘), (𝑄‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝑆)‘(𝐻𝑘))))
8027, 2, 28, 29, 13, 30, 31, 1, 5, 16, 32, 33, 25, 72, 75wlkp1lem4 27621 . . 3 (𝜑 → (𝑆 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝑄 ∈ V))
81 eqid 2739 . . . 4 (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘𝑆)
82 eqid 2739 . . . 4 (iEdg‘𝑆) = (iEdg‘𝑆)
8381, 82iswlk 27555 . . 3 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝑄 ∈ V) → (𝐻(Walks‘𝑆)𝑄 ↔ (𝐻 ∈ Word dom (iEdg‘𝑆) ∧ 𝑄:(0...(♯‘𝐻))⟶(Vtx‘𝑆) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐻))if-((𝑄𝑘) = (𝑄‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝑆)‘(𝐻𝑘)) = {(𝑄𝑘)}, {(𝑄𝑘), (𝑄‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝑆)‘(𝐻𝑘))))))
8480, 83syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐻(Walks‘𝑆)𝑄 ↔ (𝐻 ∈ Word dom (iEdg‘𝑆) ∧ 𝑄:(0...(♯‘𝐻))⟶(Vtx‘𝑆) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐻))if-((𝑄𝑘) = (𝑄‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝑆)‘(𝐻𝑘)) = {(𝑄𝑘)}, {(𝑄𝑘), (𝑄‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝑆)‘(𝐻𝑘))))))
8553, 77, 79, 84mpbir3and 1343 1 (𝜑𝐻(Walks‘𝑆)𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  if-wif 1062  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wral 3054  Vcvv 3399  cun 3842  cin 3843  wss 3844  c0 4212  {csn 4517  {cpr 4519  cop 4523   class class class wbr 5031  dom cdm 5526  Fun wfun 6334  wf 6336  cfv 6340  (class class class)co 7173  Fincfn 8558  0cc0 10618  1c1 10619   + caddc 10621  0cn0 11979  cuz 12327  ...cfz 12984  ..^cfzo 13127  chash 13785  Word cword 13958  Vtxcvtx 26944  iEdgciedg 26945  Edgcedg 26995  Walkscwlks 27541
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7482  ax-cnex 10674  ax-resscn 10675  ax-1cn 10676  ax-icn 10677  ax-addcl 10678  ax-addrcl 10679  ax-mulcl 10680  ax-mulrcl 10681  ax-mulcom 10682  ax-addass 10683  ax-mulass 10684  ax-distr 10685  ax-i2m1 10686  ax-1ne0 10687  ax-1rid 10688  ax-rnegex 10689  ax-rrecex 10690  ax-cnre 10691  ax-pre-lttri 10692  ax-pre-lttrn 10693  ax-pre-ltadd 10694  ax-pre-mulgt0 10695
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-ifp 1063  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-int 4838  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7130  df-ov 7176  df-oprab 7177  df-mpo 7178  df-om 7603  df-1st 7717  df-2nd 7718  df-wrecs 7979  df-recs 8040  df-rdg 8078  df-1o 8134  df-oadd 8138  df-er 8323  df-map 8442  df-pm 8443  df-en 8559  df-dom 8560  df-sdom 8561  df-fin 8562  df-dju 9406  df-card 9444  df-pnf 10758  df-mnf 10759  df-xr 10760  df-ltxr 10761  df-le 10762  df-sub 10953  df-neg 10954  df-nn 11720  df-n0 11980  df-z 12066  df-uz 12328  df-fz 12985  df-fzo 13128  df-hash 13786  df-word 13959  df-wlks 27544
This theorem is referenced by:  eupthp1  28156
  Copyright terms: Public domain W3C validator