Theorem 1hevtxdg1 29313

Description: The vertex degree of vertex 𝐷 in a graph 𝐺 with only one hyperedge 𝐸 (not being a loop) is 1 if 𝐷 is incident with the edge 𝐸. (Contributed by AV, 2-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 17-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1hevtxdg0.i	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
1hevtxdg0.v	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1hevtxdg0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
1hevtxdg0.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
1hevtxdg1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
1hevtxdg1.n	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐸)
1hevtxdg1.l	⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝐸))

Assertion

Ref	Expression
1hevtxdg1	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = 1)

Proof of Theorem 1hevtxdg1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1hevtxdg0.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
2	1	dmeqd 5902	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨𝐴, 𝐸⟩})
3		1hevtxdg1.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
4		dmsnopg 6211	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ 𝒫 𝑉 → dom {⟨𝐴, 𝐸⟩} = {𝐴})
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom {⟨𝐴, 𝐸⟩} = {𝐴})
6	2, 5	eqtrd 2768	. 2 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴})
7		1hevtxdg0.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
8		fveq2 6891	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝐸))
9	8	breq2d 5154	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → (2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ 2 ≤ (♯‘𝐸)))
10		1hevtxdg0.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
11	10	pweqd 4615	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝒫 (Vtx‘𝐺) = 𝒫 𝑉)
12	3, 11	eleqtrrd 2832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺))
13		1hevtxdg1.l	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝐸))
14	9, 12, 13	elrabd 3683	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
15	7, 14	fsnd 6876	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
16	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
17	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
18		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴})
19	17, 18	feq12d 6704	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}))
20	16, 19	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
21		1hevtxdg0.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
22	21, 10	eleqtrrd 2832	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺))
23	22	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺))
24		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
25		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
26		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ dom (iEdg‘𝐺) = dom (iEdg‘𝐺)
27		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
28	24, 25, 26, 27	vtxdlfgrval 29292	. . . 4 ⊢ (((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}))
29	20, 23, 28	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}))
30		rabeq 3442	. . . . 5 ⊢ (dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴} → {𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} = {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)})
31	30	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → {𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} = {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)})
32	31	fveq2d 6895	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}))
33		fveq2 6891	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = ((iEdg‘𝐺)‘𝐴))
34	33	eleq2d 2815	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴)))
35	34	rabsnif 4723	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} = if(𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴), {𝐴}, ∅)
36		1hevtxdg1.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐸)
37	1	fveq1d 6893	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴))
38		fvsng 7183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉) → ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴) = 𝐸)
39	7, 3, 38	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴) = 𝐸)
40	37, 39	eqtrd 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝐴) = 𝐸)
41	36, 40	eleqtrrd 2832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴))
42	41	iftrued 4532	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴), {𝐴}, ∅) = {𝐴})
43	35, 42	eqtrid 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} = {𝐴})
44	43	fveq2d 6895	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = (♯‘{𝐴}))
45		hashsng 14354	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (♯‘{𝐴}) = 1)
46	7, 45	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝐴}) = 1)
47	44, 46	eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = 1)
48	47	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = 1)
49	29, 32, 48	3eqtrd 2772	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = 1)
50	6, 49	mpdan 686	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3428  ∅c0 4318  ifcif 4524  𝒫 cpw 4598  {csn 4624  ⟨cop 4630   class class class wbr 5142  dom cdm 5672  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  1c1 11133   ≤ cle 11273  2c2 12291  ♯chash 14315  Vtxcvtx 28802  iEdgciedg 28803  VtxDegcvtxdg 29272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-n0 12497  df-xnn0 12569  df-z 12583  df-uz 12847  df-xadd 13119  df-fz 13511  df-hash 14316  df-vtxdg 29273

This theorem is referenced by:  1hegrvtxdg1  29314  p1evtxdp1  29321