MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1hevtxdg1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1hevtxdg1 29030
Description: The vertex degree of vertex 𝐷 in a graph 𝐺 with only one hyperedge 𝐸 (not being a loop) is 1 if 𝐷 is incident with the edge 𝐸. (Contributed by AV, 2-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 17-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
1hevtxdg0.i (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜πΊ) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
1hevtxdg0.v (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜πΊ) = 𝑉)
1hevtxdg0.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
1hevtxdg0.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
1hevtxdg1.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
1hevtxdg1.n (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝐸)
1hevtxdg1.l (πœ‘ β†’ 2 ≀ (β™―β€˜πΈ))
Assertion
Ref Expression
1hevtxdg1 (πœ‘ β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π·) = 1)

Proof of Theorem 1hevtxdg1
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1hevtxdg0.i . . . 4 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜πΊ) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
21dmeqd 5904 . . 3 (πœ‘ β†’ dom (iEdgβ€˜πΊ) = dom {⟨𝐴, 𝐸⟩})
3 1hevtxdg1.e . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
4 dmsnopg 6211 . . . 4 (𝐸 ∈ 𝒫 𝑉 β†’ dom {⟨𝐴, 𝐸⟩} = {𝐴})
53, 4syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ dom {⟨𝐴, 𝐸⟩} = {𝐴})
62, 5eqtrd 2770 . 2 (πœ‘ β†’ dom (iEdgβ€˜πΊ) = {𝐴})
7 1hevtxdg0.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
8 fveq2 6890 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝐸 β†’ (β™―β€˜π‘₯) = (β™―β€˜πΈ))
98breq2d 5159 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝐸 β†’ (2 ≀ (β™―β€˜π‘₯) ↔ 2 ≀ (β™―β€˜πΈ)))
10 1hevtxdg0.v . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜πΊ) = 𝑉)
1110pweqd 4618 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝒫 (Vtxβ€˜πΊ) = 𝒫 𝑉)
123, 11eleqtrrd 2834 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝒫 (Vtxβ€˜πΊ))
13 1hevtxdg1.l . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 2 ≀ (β™―β€˜πΈ))
149, 12, 13elrabd 3684 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 (Vtxβ€˜πΊ) ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)})
157, 14fsnd 6875 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 (Vtxβ€˜πΊ) ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)})
1615adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ dom (iEdgβ€˜πΊ) = {𝐴}) β†’ {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 (Vtxβ€˜πΊ) ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)})
171adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ dom (iEdgβ€˜πΊ) = {𝐴}) β†’ (iEdgβ€˜πΊ) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
18 simpr 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ dom (iEdgβ€˜πΊ) = {𝐴}) β†’ dom (iEdgβ€˜πΊ) = {𝐴})
1917, 18feq12d 6704 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ dom (iEdgβ€˜πΊ) = {𝐴}) β†’ ((iEdgβ€˜πΊ):dom (iEdgβ€˜πΊ)⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 (Vtxβ€˜πΊ) ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} ↔ {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 (Vtxβ€˜πΊ) ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)}))
2016, 19mpbird 256 . . . 4 ((πœ‘ ∧ dom (iEdgβ€˜πΊ) = {𝐴}) β†’ (iEdgβ€˜πΊ):dom (iEdgβ€˜πΊ)⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 (Vtxβ€˜πΊ) ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)})
21 1hevtxdg0.d . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
2221, 10eleqtrrd 2834 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
2322adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ dom (iEdgβ€˜πΊ) = {𝐴}) β†’ 𝐷 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
24 eqid 2730 . . . . 5 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
25 eqid 2730 . . . . 5 (iEdgβ€˜πΊ) = (iEdgβ€˜πΊ)
26 eqid 2730 . . . . 5 dom (iEdgβ€˜πΊ) = dom (iEdgβ€˜πΊ)
27 eqid 2730 . . . . 5 (VtxDegβ€˜πΊ) = (VtxDegβ€˜πΊ)
2824, 25, 26, 27vtxdlfgrval 29009 . . . 4 (((iEdgβ€˜πΊ):dom (iEdgβ€˜πΊ)⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 (Vtxβ€˜πΊ) ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} ∧ 𝐷 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π·) = (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝐷 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}))
2920, 23, 28syl2anc 582 . . 3 ((πœ‘ ∧ dom (iEdgβ€˜πΊ) = {𝐴}) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π·) = (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝐷 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}))
30 rabeq 3444 . . . . 5 (dom (iEdgβ€˜πΊ) = {𝐴} β†’ {π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝐷 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)} = {π‘₯ ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)})
3130adantl 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ dom (iEdgβ€˜πΊ) = {𝐴}) β†’ {π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝐷 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)} = {π‘₯ ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)})
3231fveq2d 6894 . . 3 ((πœ‘ ∧ dom (iEdgβ€˜πΊ) = {𝐴}) β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝐷 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}) = (β™―β€˜{π‘₯ ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}))
33 fveq2 6890 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝐴 β†’ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) = ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π΄))
3433eleq2d 2817 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (𝐷 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ↔ 𝐷 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π΄)))
3534rabsnif 4726 . . . . . . 7 {π‘₯ ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)} = if(𝐷 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π΄), {𝐴}, βˆ…)
36 1hevtxdg1.n . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝐸)
371fveq1d 6892 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π΄) = ({⟨𝐴, 𝐸⟩}β€˜π΄))
38 fvsng 7179 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉) β†’ ({⟨𝐴, 𝐸⟩}β€˜π΄) = 𝐸)
397, 3, 38syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ({⟨𝐴, 𝐸⟩}β€˜π΄) = 𝐸)
4037, 39eqtrd 2770 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π΄) = 𝐸)
4136, 40eleqtrrd 2834 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π΄))
4241iftrued 4535 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ if(𝐷 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π΄), {𝐴}, βˆ…) = {𝐴})
4335, 42eqtrid 2782 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)} = {𝐴})
4443fveq2d 6894 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}) = (β™―β€˜{𝐴}))
45 hashsng 14333 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (β™―β€˜{𝐴}) = 1)
467, 45syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜{𝐴}) = 1)
4744, 46eqtrd 2770 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}) = 1)
4847adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ dom (iEdgβ€˜πΊ) = {𝐴}) β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}) = 1)
4929, 32, 483eqtrd 2774 . 2 ((πœ‘ ∧ dom (iEdgβ€˜πΊ) = {𝐴}) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π·) = 1)
506, 49mpdan 683 1 (πœ‘ β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π·) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  {crab 3430  βˆ…c0 4321  ifcif 4527  π’« cpw 4601  {csn 4627  βŸ¨cop 4633   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  1c1 11113   ≀ cle 11253  2c2 12271  β™―chash 14294  Vtxcvtx 28523  iEdgciedg 28524  VtxDegcvtxdg 28989
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-xadd 13097  df-fz 13489  df-hash 14295  df-vtxdg 28990
This theorem is referenced by:  1hegrvtxdg1  29031  p1evtxdp1  29038
  Copyright terms: Public domain W3C validator