Theorem 1hevtxdg1 29593

Description: The vertex degree of vertex 𝐷 in a graph 𝐺 with only one hyperedge 𝐸 (not being a loop) is 1 if 𝐷 is incident with the edge 𝐸. (Contributed by AV, 2-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 17-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1hevtxdg0.i	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
1hevtxdg0.v	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1hevtxdg0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
1hevtxdg0.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
1hevtxdg1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
1hevtxdg1.n	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐸)
1hevtxdg1.l	⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝐸))

Assertion

Ref	Expression
1hevtxdg1	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = 1)

Proof of Theorem 1hevtxdg1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1hevtxdg0.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
2	1	dmeqd 5855	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨𝐴, 𝐸⟩})
3		1hevtxdg1.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
4		dmsnopg 6172	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ 𝒫 𝑉 → dom {⟨𝐴, 𝐸⟩} = {𝐴})
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom {⟨𝐴, 𝐸⟩} = {𝐴})
6	2, 5	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴})
7		1hevtxdg0.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
8		fveq2 6835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝐸))
9	8	breq2d 5098	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → (2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ 2 ≤ (♯‘𝐸)))
10		1hevtxdg0.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
11	10	pweqd 4559	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝒫 (Vtx‘𝐺) = 𝒫 𝑉)
12	3, 11	eleqtrrd 2840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺))
13		1hevtxdg1.l	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝐸))
14	9, 12, 13	elrabd 3637	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
15	7, 14	fsnd 6819	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
16	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
17	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
18		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴})
19	17, 18	feq12d 6651	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}))
20	16, 19	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
21		1hevtxdg0.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
22	21, 10	eleqtrrd 2840	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺))
23	22	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺))
24		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
25		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
26		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ dom (iEdg‘𝐺) = dom (iEdg‘𝐺)
27		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
28	24, 25, 26, 27	vtxdlfgrval 29572	. . . 4 ⊢ (((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}))
29	20, 23, 28	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}))
30		rabeq 3404	. . . . 5 ⊢ (dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴} → {𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} = {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)})
31	30	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → {𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} = {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)})
32	31	fveq2d 6839	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}))
33		fveq2 6835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = ((iEdg‘𝐺)‘𝐴))
34	33	eleq2d 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴)))
35	34	rabsnif 4668	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} = if(𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴), {𝐴}, ∅)
36		1hevtxdg1.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐸)
37	1	fveq1d 6837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴))
38		fvsng 7129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉) → ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴) = 𝐸)
39	7, 3, 38	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴) = 𝐸)
40	37, 39	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝐴) = 𝐸)
41	36, 40	eleqtrrd 2840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴))
42	41	iftrued 4475	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴), {𝐴}, ∅) = {𝐴})
43	35, 42	eqtrid 2784	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} = {𝐴})
44	43	fveq2d 6839	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = (♯‘{𝐴}))
45		hashsng 14325	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (♯‘{𝐴}) = 1)
46	7, 45	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝐴}) = 1)
47	44, 46	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = 1)
48	47	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = 1)
49	29, 32, 48	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = 1)
50	6, 49	mpdan 688	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3390  ∅c0 4274  ifcif 4467  𝒫 cpw 4542  {csn 4568  ⟨cop 4574   class class class wbr 5086  dom cdm 5625  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  1c1 11033   ≤ cle 11174  2c2 12230  ♯chash 14286  Vtxcvtx 29082  iEdgciedg 29083  VtxDegcvtxdg 29552

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-n0 12432  df-xnn0 12505  df-z 12519  df-uz 12783  df-xadd 13058  df-fz 13456  df-hash 14287  df-vtxdg 29553

This theorem is referenced by:  1hegrvtxdg1  29594  p1evtxdp1  29601