Theorem 1hevtxdg1 29491

Description: The vertex degree of vertex 𝐷 in a graph 𝐺 with only one hyperedge 𝐸 (not being a loop) is 1 if 𝐷 is incident with the edge 𝐸. (Contributed by AV, 2-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 17-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1hevtxdg0.i	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
1hevtxdg0.v	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1hevtxdg0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
1hevtxdg0.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
1hevtxdg1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
1hevtxdg1.n	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐸)
1hevtxdg1.l	⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝐸))

Assertion

Ref	Expression
1hevtxdg1	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = 1)

Proof of Theorem 1hevtxdg1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1hevtxdg0.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
2	1	dmeqd 5890	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨𝐴, 𝐸⟩})
3		1hevtxdg1.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
4		dmsnopg 6207	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ 𝒫 𝑉 → dom {⟨𝐴, 𝐸⟩} = {𝐴})
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom {⟨𝐴, 𝐸⟩} = {𝐴})
6	2, 5	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴})
7		1hevtxdg0.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
8		fveq2 6881	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝐸))
9	8	breq2d 5136	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → (2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ 2 ≤ (♯‘𝐸)))
10		1hevtxdg0.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
11	10	pweqd 4597	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝒫 (Vtx‘𝐺) = 𝒫 𝑉)
12	3, 11	eleqtrrd 2838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺))
13		1hevtxdg1.l	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝐸))
14	9, 12, 13	elrabd 3678	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
15	7, 14	fsnd 6866	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
16	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
17	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
18		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴})
19	17, 18	feq12d 6699	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}))
20	16, 19	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
21		1hevtxdg0.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
22	21, 10	eleqtrrd 2838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺))
23	22	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺))
24		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
25		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
26		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ dom (iEdg‘𝐺) = dom (iEdg‘𝐺)
27		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
28	24, 25, 26, 27	vtxdlfgrval 29470	. . . 4 ⊢ (((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}))
29	20, 23, 28	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}))
30		rabeq 3435	. . . . 5 ⊢ (dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴} → {𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} = {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)})
31	30	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → {𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} = {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)})
32	31	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}))
33		fveq2 6881	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = ((iEdg‘𝐺)‘𝐴))
34	33	eleq2d 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴)))
35	34	rabsnif 4704	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} = if(𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴), {𝐴}, ∅)
36		1hevtxdg1.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐸)
37	1	fveq1d 6883	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴))
38		fvsng 7177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉) → ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴) = 𝐸)
39	7, 3, 38	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴) = 𝐸)
40	37, 39	eqtrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝐴) = 𝐸)
41	36, 40	eleqtrrd 2838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴))
42	41	iftrued 4513	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴), {𝐴}, ∅) = {𝐴})
43	35, 42	eqtrid 2783	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} = {𝐴})
44	43	fveq2d 6885	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = (♯‘{𝐴}))
45		hashsng 14392	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (♯‘{𝐴}) = 1)
46	7, 45	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝐴}) = 1)
47	44, 46	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = 1)
48	47	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = 1)
49	29, 32, 48	3eqtrd 2775	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = 1)
50	6, 49	mpdan 687	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3420  ∅c0 4313  ifcif 4505  𝒫 cpw 4580  {csn 4606  ⟨cop 4612   class class class wbr 5124  dom cdm 5659  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  1c1 11135   ≤ cle 11275  2c2 12300  ♯chash 14353  Vtxcvtx 28980  iEdgciedg 28981  VtxDegcvtxdg 29450

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12507  df-xnn0 12580  df-z 12594  df-uz 12858  df-xadd 13134  df-fz 13530  df-hash 14354  df-vtxdg 29451

This theorem is referenced by:  1hegrvtxdg1  29492  p1evtxdp1  29499