MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1hevtxdg1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1hevtxdg1 29027
Description: The vertex degree of vertex 𝐷 in a graph 𝐺 with only one hyperedge 𝐸 (not being a loop) is 1 if 𝐷 is incident with the edge 𝐸. (Contributed by AV, 2-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 17-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
1hevtxdg0.i (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜πΊ) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
1hevtxdg0.v (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜πΊ) = 𝑉)
1hevtxdg0.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
1hevtxdg0.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
1hevtxdg1.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
1hevtxdg1.n (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝐸)
1hevtxdg1.l (πœ‘ β†’ 2 ≀ (β™―β€˜πΈ))
Assertion
Ref Expression
1hevtxdg1 (πœ‘ β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π·) = 1)

Proof of Theorem 1hevtxdg1
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1hevtxdg0.i . . . 4 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜πΊ) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
21dmeqd 5906 . . 3 (πœ‘ β†’ dom (iEdgβ€˜πΊ) = dom {⟨𝐴, 𝐸⟩})
3 1hevtxdg1.e . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
4 dmsnopg 6213 . . . 4 (𝐸 ∈ 𝒫 𝑉 β†’ dom {⟨𝐴, 𝐸⟩} = {𝐴})
53, 4syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ dom {⟨𝐴, 𝐸⟩} = {𝐴})
62, 5eqtrd 2771 . 2 (πœ‘ β†’ dom (iEdgβ€˜πΊ) = {𝐴})
7 1hevtxdg0.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
8 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝐸 β†’ (β™―β€˜π‘₯) = (β™―β€˜πΈ))
98breq2d 5161 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝐸 β†’ (2 ≀ (β™―β€˜π‘₯) ↔ 2 ≀ (β™―β€˜πΈ)))
10 1hevtxdg0.v . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜πΊ) = 𝑉)
1110pweqd 4620 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝒫 (Vtxβ€˜πΊ) = 𝒫 𝑉)
123, 11eleqtrrd 2835 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝒫 (Vtxβ€˜πΊ))
13 1hevtxdg1.l . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 2 ≀ (β™―β€˜πΈ))
149, 12, 13elrabd 3686 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 (Vtxβ€˜πΊ) ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)})
157, 14fsnd 6877 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 (Vtxβ€˜πΊ) ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)})
1615adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ dom (iEdgβ€˜πΊ) = {𝐴}) β†’ {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 (Vtxβ€˜πΊ) ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)})
171adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ dom (iEdgβ€˜πΊ) = {𝐴}) β†’ (iEdgβ€˜πΊ) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
18 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ dom (iEdgβ€˜πΊ) = {𝐴}) β†’ dom (iEdgβ€˜πΊ) = {𝐴})
1917, 18feq12d 6706 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ dom (iEdgβ€˜πΊ) = {𝐴}) β†’ ((iEdgβ€˜πΊ):dom (iEdgβ€˜πΊ)⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 (Vtxβ€˜πΊ) ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} ↔ {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 (Vtxβ€˜πΊ) ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)}))
2016, 19mpbird 256 . . . 4 ((πœ‘ ∧ dom (iEdgβ€˜πΊ) = {𝐴}) β†’ (iEdgβ€˜πΊ):dom (iEdgβ€˜πΊ)⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 (Vtxβ€˜πΊ) ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)})
21 1hevtxdg0.d . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
2221, 10eleqtrrd 2835 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
2322adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ dom (iEdgβ€˜πΊ) = {𝐴}) β†’ 𝐷 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
24 eqid 2731 . . . . 5 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
25 eqid 2731 . . . . 5 (iEdgβ€˜πΊ) = (iEdgβ€˜πΊ)
26 eqid 2731 . . . . 5 dom (iEdgβ€˜πΊ) = dom (iEdgβ€˜πΊ)
27 eqid 2731 . . . . 5 (VtxDegβ€˜πΊ) = (VtxDegβ€˜πΊ)
2824, 25, 26, 27vtxdlfgrval 29006 . . . 4 (((iEdgβ€˜πΊ):dom (iEdgβ€˜πΊ)⟢{π‘₯ ∈ 𝒫 (Vtxβ€˜πΊ) ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)} ∧ 𝐷 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π·) = (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝐷 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}))
2920, 23, 28syl2anc 583 . . 3 ((πœ‘ ∧ dom (iEdgβ€˜πΊ) = {𝐴}) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π·) = (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝐷 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}))
30 rabeq 3445 . . . . 5 (dom (iEdgβ€˜πΊ) = {𝐴} β†’ {π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝐷 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)} = {π‘₯ ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)})
3130adantl 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ dom (iEdgβ€˜πΊ) = {𝐴}) β†’ {π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝐷 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)} = {π‘₯ ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)})
3231fveq2d 6896 . . 3 ((πœ‘ ∧ dom (iEdgβ€˜πΊ) = {𝐴}) β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝐷 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}) = (β™―β€˜{π‘₯ ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}))
33 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝐴 β†’ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) = ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π΄))
3433eleq2d 2818 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (𝐷 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ↔ 𝐷 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π΄)))
3534rabsnif 4728 . . . . . . 7 {π‘₯ ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)} = if(𝐷 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π΄), {𝐴}, βˆ…)
36 1hevtxdg1.n . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝐸)
371fveq1d 6894 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π΄) = ({⟨𝐴, 𝐸⟩}β€˜π΄))
38 fvsng 7181 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉) β†’ ({⟨𝐴, 𝐸⟩}β€˜π΄) = 𝐸)
397, 3, 38syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ({⟨𝐴, 𝐸⟩}β€˜π΄) = 𝐸)
4037, 39eqtrd 2771 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π΄) = 𝐸)
4136, 40eleqtrrd 2835 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π΄))
4241iftrued 4537 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ if(𝐷 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π΄), {𝐴}, βˆ…) = {𝐴})
4335, 42eqtrid 2783 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)} = {𝐴})
4443fveq2d 6896 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}) = (β™―β€˜{𝐴}))
45 hashsng 14334 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (β™―β€˜{𝐴}) = 1)
467, 45syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜{𝐴}) = 1)
4744, 46eqtrd 2771 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}) = 1)
4847adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ dom (iEdgβ€˜πΊ) = {𝐴}) β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}) = 1)
4929, 32, 483eqtrd 2775 . 2 ((πœ‘ ∧ dom (iEdgβ€˜πΊ) = {𝐴}) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π·) = 1)
506, 49mpdan 684 1 (πœ‘ β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π·) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {crab 3431  βˆ…c0 4323  ifcif 4529  π’« cpw 4603  {csn 4629  βŸ¨cop 4635   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  1c1 11114   ≀ cle 11254  2c2 12272  β™―chash 14295  Vtxcvtx 28520  iEdgciedg 28521  VtxDegcvtxdg 28986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-xadd 13098  df-fz 13490  df-hash 14296  df-vtxdg 28987
This theorem is referenced by:  1hegrvtxdg1  29028  p1evtxdp1  29035
  Copyright terms: Public domain W3C validator