Theorem 1hevtxdg1 26854

Description: The vertex degree of vertex 𝐷 in a graph 𝐺 with only one hyperedge 𝐸 (not being a loop) is 1 if 𝐷 is incident with the edge 𝐸. (Contributed by AV, 2-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 17-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1hevtxdg0.i	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
1hevtxdg0.v	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1hevtxdg0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
1hevtxdg0.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
1hevtxdg1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
1hevtxdg1.n	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐸)
1hevtxdg1.l	⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝐸))

Assertion

Ref	Expression
1hevtxdg1	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = 1)

Proof of Theorem 1hevtxdg1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1hevtxdg0.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
2	1	dmeqd 5571	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨𝐴, 𝐸⟩})
3		1hevtxdg1.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
4		dmsnopg 5860	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ 𝒫 𝑉 → dom {⟨𝐴, 𝐸⟩} = {𝐴})
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom {⟨𝐴, 𝐸⟩} = {𝐴})
6	2, 5	eqtrd 2814	. 2 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴})
7		1hevtxdg0.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
8		1hevtxdg0.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
9	8	pweqd 4384	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝒫 (Vtx‘𝐺) = 𝒫 𝑉)
10	3, 9	eleqtrrd 2862	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺))
11		1hevtxdg1.l	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝐸))
12		fveq2 6446	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝐸))
13	12	breq2d 4898	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐸 → (2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ 2 ≤ (♯‘𝐸)))
14	13	elrab 3572	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ (𝐸 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝐸)))
15	10, 11, 14	sylanbrc 578	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
16	7, 15	fsnd 6433	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
17	16	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
18	1	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
19		simpr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴})
20	18, 19	feq12d 6279	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}))
21	17, 20	mpbird 249	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
22		1hevtxdg0.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
23	22, 8	eleqtrrd 2862	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺))
24	23	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺))
25		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
26		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
27		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ dom (iEdg‘𝐺) = dom (iEdg‘𝐺)
28		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
29	25, 26, 27, 28	vtxdlfgrval 26833	. . . 4 ⊢ (((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}))
30	21, 24, 29	syl2anc 579	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}))
31		rabeq 3389	. . . . 5 ⊢ (dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴} → {𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} = {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)})
32	31	adantl 475	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → {𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} = {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)})
33	32	fveq2d 6450	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}))
34		fveq2 6446	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = ((iEdg‘𝐺)‘𝐴))
35	34	eleq2d 2845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴)))
36	35	rabsnif 4490	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} = if(𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴), {𝐴}, ∅)
37		1hevtxdg1.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐸)
38	1	fveq1d 6448	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴))
39		fvsng 6713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑉) → ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴) = 𝐸)
40	7, 3, 39	syl2anc 579	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴) = 𝐸)
41	38, 40	eqtrd 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝐴) = 𝐸)
42	37, 41	eleqtrrd 2862	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴))
43	42	iftrued 4315	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴), {𝐴}, ∅) = {𝐴})
44	36, 43	syl5eq 2826	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} = {𝐴})
45	44	fveq2d 6450	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = (♯‘{𝐴}))
46		hashsng 13474	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (♯‘{𝐴}) = 1)
47	7, 46	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝐴}) = 1)
48	45, 47	eqtrd 2814	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = 1)
49	48	adantr 474	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = 1)
50	30, 33, 49	3eqtrd 2818	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = 1)
51	6, 50	mpdan 677	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  {crab 3094  ∅c0 4141  ifcif 4307  𝒫 cpw 4379  {csn 4398  ⟨cop 4404   class class class wbr 4886  dom cdm 5355  ⟶wf 6131  ‘cfv 6135  1c1 10273   ≤ cle 10412  2c2 11430  ♯chash 13435  Vtxcvtx 26344  iEdgciedg 26345  VtxDegcvtxdg 26813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-n0 11643  df-xnn0 11715  df-z 11729  df-uz 11993  df-xadd 12258  df-fz 12644  df-hash 13436  df-vtxdg 26814

This theorem is referenced by:  1hegrvtxdg1  26855  p1evtxdp1  26862