MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1hevtxdg1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1hevtxdg1 27215
Description: The vertex degree of vertex 𝐷 in a graph 𝐺 with only one hyperedge 𝐸 (not being a loop) is 1 if 𝐷 is incident with the edge 𝐸. (Contributed by AV, 2-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 17-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
1hevtxdg0.i (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
1hevtxdg0.v (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1hevtxdg0.a (𝜑𝐴𝑋)
1hevtxdg0.d (𝜑𝐷𝑉)
1hevtxdg1.e (𝜑𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
1hevtxdg1.n (𝜑𝐷𝐸)
1hevtxdg1.l (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝐸))
Assertion
Ref Expression
1hevtxdg1 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = 1)

Proof of Theorem 1hevtxdg1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1hevtxdg0.i . . . 4 (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
21dmeqd 5767 . . 3 (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨𝐴, 𝐸⟩})
3 1hevtxdg1.e . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
4 dmsnopg 6063 . . . 4 (𝐸 ∈ 𝒫 𝑉 → dom {⟨𝐴, 𝐸⟩} = {𝐴})
53, 4syl 17 . . 3 (𝜑 → dom {⟨𝐴, 𝐸⟩} = {𝐴})
62, 5eqtrd 2853 . 2 (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴})
7 1hevtxdg0.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑋)
8 fveq2 6663 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐸 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝐸))
98breq2d 5069 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐸 → (2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ 2 ≤ (♯‘𝐸)))
10 1hevtxdg0.v . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1110pweqd 4540 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 𝒫 (Vtx‘𝐺) = 𝒫 𝑉)
123, 11eleqtrrd 2913 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺))
13 1hevtxdg1.l . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝐸))
149, 12, 13elrabd 3679 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
157, 14fsnd 6650 . . . . . 6 (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
1615adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
171adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
18 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴})
1917, 18feq12d 6495 . . . . 5 ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}))
2016, 19mpbird 258 . . . 4 ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
21 1hevtxdg0.d . . . . . 6 (𝜑𝐷𝑉)
2221, 10eleqtrrd 2913 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺))
2322adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺))
24 eqid 2818 . . . . 5 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
25 eqid 2818 . . . . 5 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
26 eqid 2818 . . . . 5 dom (iEdg‘𝐺) = dom (iEdg‘𝐺)
27 eqid 2818 . . . . 5 (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
2824, 25, 26, 27vtxdlfgrval 27194 . . . 4 (((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}))
2920, 23, 28syl2anc 584 . . 3 ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}))
30 rabeq 3481 . . . . 5 (dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴} → {𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} = {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)})
3130adantl 482 . . . 4 ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → {𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} = {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)})
3231fveq2d 6667 . . 3 ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}))
33 fveq2 6663 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐴 → ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = ((iEdg‘𝐺)‘𝐴))
3433eleq2d 2895 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → (𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴)))
3534rabsnif 4651 . . . . . . 7 {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} = if(𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴), {𝐴}, ∅)
36 1hevtxdg1.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷𝐸)
371fveq1d 6665 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴))
38 fvsng 6934 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑋𝐸 ∈ 𝒫 𝑉) → ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴) = 𝐸)
397, 3, 38syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴) = 𝐸)
4037, 39eqtrd 2853 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝐴) = 𝐸)
4136, 40eleqtrrd 2913 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴))
4241iftrued 4471 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴), {𝐴}, ∅) = {𝐴})
4335, 42syl5eq 2865 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} = {𝐴})
4443fveq2d 6667 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = (♯‘{𝐴}))
45 hashsng 13718 . . . . . 6 (𝐴𝑋 → (♯‘{𝐴}) = 1)
467, 45syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘{𝐴}) = 1)
4744, 46eqtrd 2853 . . . 4 (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = 1)
4847adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = 1)
4929, 32, 483eqtrd 2857 . 2 ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = 1)
506, 49mpdan 683 1 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  {crab 3139  c0 4288  ifcif 4463  𝒫 cpw 4535  {csn 4557  cop 4563   class class class wbr 5057  dom cdm 5548  wf 6344  cfv 6348  1c1 10526  cle 10664  2c2 11680  chash 13678  Vtxcvtx 26708  iEdgciedg 26709  VtxDegcvtxdg 27174
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-xadd 12496  df-fz 12881  df-hash 13679  df-vtxdg 27175
This theorem is referenced by:  1hegrvtxdg1  27216  p1evtxdp1  27223
  Copyright terms: Public domain W3C validator