Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1hevtxdg1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1hevtxdg1 27294
 Description: The vertex degree of vertex 𝐷 in a graph 𝐺 with only one hyperedge 𝐸 (not being a loop) is 1 if 𝐷 is incident with the edge 𝐸. (Contributed by AV, 2-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 17-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
1hevtxdg0.i (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
1hevtxdg0.v (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1hevtxdg0.a (𝜑𝐴𝑋)
1hevtxdg0.d (𝜑𝐷𝑉)
1hevtxdg1.e (𝜑𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
1hevtxdg1.n (𝜑𝐷𝐸)
1hevtxdg1.l (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝐸))
Assertion
Ref Expression
1hevtxdg1 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = 1)

Proof of Theorem 1hevtxdg1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1hevtxdg0.i . . . 4 (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
21dmeqd 5751 . . 3 (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨𝐴, 𝐸⟩})
3 1hevtxdg1.e . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
4 dmsnopg 6048 . . . 4 (𝐸 ∈ 𝒫 𝑉 → dom {⟨𝐴, 𝐸⟩} = {𝐴})
53, 4syl 17 . . 3 (𝜑 → dom {⟨𝐴, 𝐸⟩} = {𝐴})
62, 5eqtrd 2857 . 2 (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴})
7 1hevtxdg0.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑋)
8 fveq2 6652 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐸 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝐸))
98breq2d 5054 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐸 → (2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ 2 ≤ (♯‘𝐸)))
10 1hevtxdg0.v . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1110pweqd 4530 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 𝒫 (Vtx‘𝐺) = 𝒫 𝑉)
123, 11eleqtrrd 2917 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺))
13 1hevtxdg1.l . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝐸))
149, 12, 13elrabd 3657 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
157, 14fsnd 6639 . . . . . 6 (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
1615adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
171adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
18 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴})
1917, 18feq12d 6482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}))
2016, 19mpbird 260 . . . 4 ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
21 1hevtxdg0.d . . . . . 6 (𝜑𝐷𝑉)
2221, 10eleqtrrd 2917 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺))
2322adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺))
24 eqid 2822 . . . . 5 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
25 eqid 2822 . . . . 5 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
26 eqid 2822 . . . . 5 dom (iEdg‘𝐺) = dom (iEdg‘𝐺)
27 eqid 2822 . . . . 5 (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
2824, 25, 26, 27vtxdlfgrval 27273 . . . 4 (((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}))
2920, 23, 28syl2anc 587 . . 3 ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}))
30 rabeq 3459 . . . . 5 (dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴} → {𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} = {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)})
3130adantl 485 . . . 4 ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → {𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} = {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)})
3231fveq2d 6656 . . 3 ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}))
33 fveq2 6652 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐴 → ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = ((iEdg‘𝐺)‘𝐴))
3433eleq2d 2899 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → (𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴)))
3534rabsnif 4633 . . . . . . 7 {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} = if(𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴), {𝐴}, ∅)
36 1hevtxdg1.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷𝐸)
371fveq1d 6654 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴))
38 fvsng 6924 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑋𝐸 ∈ 𝒫 𝑉) → ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴) = 𝐸)
397, 3, 38syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴) = 𝐸)
4037, 39eqtrd 2857 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝐴) = 𝐸)
4136, 40eleqtrrd 2917 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴))
4241iftrued 4447 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴), {𝐴}, ∅) = {𝐴})
4335, 42syl5eq 2869 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} = {𝐴})
4443fveq2d 6656 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = (♯‘{𝐴}))
45 hashsng 13726 . . . . . 6 (𝐴𝑋 → (♯‘{𝐴}) = 1)
467, 45syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘{𝐴}) = 1)
4744, 46eqtrd 2857 . . . 4 (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = 1)
4847adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = 1)
4929, 32, 483eqtrd 2861 . 2 ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = 1)
506, 49mpdan 686 1 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = 1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  {crab 3134  ∅c0 4265  ifcif 4439  𝒫 cpw 4511  {csn 4539  ⟨cop 4545   class class class wbr 5042  dom cdm 5532  ⟶wf 6330  ‘cfv 6334  1c1 10527   ≤ cle 10665  2c2 11680  ♯chash 13686  Vtxcvtx 26787  iEdgciedg 26788  VtxDegcvtxdg 27253 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-xadd 12496  df-fz 12886  df-hash 13687  df-vtxdg 27254 This theorem is referenced by:  1hegrvtxdg1  27295  p1evtxdp1  27302
 Copyright terms: Public domain W3C validator