MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1hevtxdg1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1hevtxdg1 27869
Description: The vertex degree of vertex 𝐷 in a graph 𝐺 with only one hyperedge 𝐸 (not being a loop) is 1 if 𝐷 is incident with the edge 𝐸. (Contributed by AV, 2-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 17-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
1hevtxdg0.i (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
1hevtxdg0.v (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1hevtxdg0.a (𝜑𝐴𝑋)
1hevtxdg0.d (𝜑𝐷𝑉)
1hevtxdg1.e (𝜑𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
1hevtxdg1.n (𝜑𝐷𝐸)
1hevtxdg1.l (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝐸))
Assertion
Ref Expression
1hevtxdg1 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = 1)

Proof of Theorem 1hevtxdg1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1hevtxdg0.i . . . 4 (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
21dmeqd 5812 . . 3 (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨𝐴, 𝐸⟩})
3 1hevtxdg1.e . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
4 dmsnopg 6114 . . . 4 (𝐸 ∈ 𝒫 𝑉 → dom {⟨𝐴, 𝐸⟩} = {𝐴})
53, 4syl 17 . . 3 (𝜑 → dom {⟨𝐴, 𝐸⟩} = {𝐴})
62, 5eqtrd 2780 . 2 (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴})
7 1hevtxdg0.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑋)
8 fveq2 6769 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐸 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝐸))
98breq2d 5091 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐸 → (2 ≤ (♯‘𝑥) ↔ 2 ≤ (♯‘𝐸)))
10 1hevtxdg0.v . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1110pweqd 4558 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 𝒫 (Vtx‘𝐺) = 𝒫 𝑉)
123, 11eleqtrrd 2844 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺))
13 1hevtxdg1.l . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝐸))
149, 12, 13elrabd 3628 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
157, 14fsnd 6755 . . . . . 6 (𝜑 → {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
1615adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
171adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
18 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴})
1917, 18feq12d 6585 . . . . 5 ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ↔ {⟨𝐴, 𝐸⟩}:{𝐴}⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}))
2016, 19mpbird 256 . . . 4 ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
21 1hevtxdg0.d . . . . . 6 (𝜑𝐷𝑉)
2221, 10eleqtrrd 2844 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺))
2322adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺))
24 eqid 2740 . . . . 5 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
25 eqid 2740 . . . . 5 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
26 eqid 2740 . . . . 5 dom (iEdg‘𝐺) = dom (iEdg‘𝐺)
27 eqid 2740 . . . . 5 (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
2824, 25, 26, 27vtxdlfgrval 27848 . . . 4 (((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}))
2920, 23, 28syl2anc 584 . . 3 ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}))
30 rabeq 3417 . . . . 5 (dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴} → {𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} = {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)})
3130adantl 482 . . . 4 ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → {𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} = {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)})
3231fveq2d 6773 . . 3 ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}))
33 fveq2 6769 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐴 → ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = ((iEdg‘𝐺)‘𝐴))
3433eleq2d 2826 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → (𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴)))
3534rabsnif 4665 . . . . . . 7 {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} = if(𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴), {𝐴}, ∅)
36 1hevtxdg1.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷𝐸)
371fveq1d 6771 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴))
38 fvsng 7047 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑋𝐸 ∈ 𝒫 𝑉) → ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴) = 𝐸)
397, 3, 38syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴) = 𝐸)
4037, 39eqtrd 2780 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝐴) = 𝐸)
4136, 40eleqtrrd 2844 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴))
4241iftrued 4473 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴), {𝐴}, ∅) = {𝐴})
4335, 42eqtrid 2792 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} = {𝐴})
4443fveq2d 6773 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = (♯‘{𝐴}))
45 hashsng 14080 . . . . . 6 (𝐴𝑋 → (♯‘{𝐴}) = 1)
467, 45syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘{𝐴}) = 1)
4744, 46eqtrd 2780 . . . 4 (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = 1)
4847adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = 1)
4929, 32, 483eqtrd 2784 . 2 ((𝜑 ∧ dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴}) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = 1)
506, 49mpdan 684 1 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1542  wcel 2110  {crab 3070  c0 4262  ifcif 4465  𝒫 cpw 4539  {csn 4567  cop 4573   class class class wbr 5079  dom cdm 5589  wf 6427  cfv 6431  1c1 10871  cle 11009  2c2 12026  chash 14040  Vtxcvtx 27362  iEdgciedg 27363  VtxDegcvtxdg 27828
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10926  ax-resscn 10927  ax-1cn 10928  ax-icn 10929  ax-addcl 10930  ax-addrcl 10931  ax-mulcl 10932  ax-mulrcl 10933  ax-mulcom 10934  ax-addass 10935  ax-mulass 10936  ax-distr 10937  ax-i2m1 10938  ax-1ne0 10939  ax-1rid 10940  ax-rnegex 10941  ax-rrecex 10942  ax-cnre 10943  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945  ax-pre-ltadd 10946  ax-pre-mulgt0 10947
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7705  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-1o 8286  df-er 8479  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-fin 8718  df-card 9696  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-xr 11012  df-ltxr 11013  df-le 11014  df-sub 11205  df-neg 11206  df-nn 11972  df-2 12034  df-n0 12232  df-xnn0 12304  df-z 12318  df-uz 12580  df-xadd 12846  df-fz 13237  df-hash 14041  df-vtxdg 27829
This theorem is referenced by:  1hegrvtxdg1  27870  p1evtxdp1  27877
  Copyright terms: Public domain W3C validator