Theorem wlkp1lem5 30006

Description: Lemma for wlkp1 30010. (Contributed by AV, 6-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
wlkp1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wlkp1.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
wlkp1.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
wlkp1.a	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
wlkp1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
wlkp1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
wlkp1.d	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
wlkp1.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
wlkp1.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
wlkp1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
wlkp1.x	⊢ (𝜑 → {(𝑃‘𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
wlkp1.u	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
wlkp1.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
wlkp1.q	⊢ 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
wlkp1.s	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
wlkp1lem5	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝑄‘𝑘) = (𝑃‘𝑘))

Distinct variable group:   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑃(𝑘)   𝑄(𝑘)   𝑆(𝑘)   𝐸(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝐼(𝑘)   𝑁(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem wlkp1lem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkp1.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
2	1	fveq1i 6884	. . 3 ⊢ (𝑄‘𝑘) = ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘𝑘)
3		fzp1nel 13641	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ (𝑁 + 1) ∈ (0...𝑁)
4		eleq1 2851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (0...𝑁)))
5	4	notbid 321	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ∈ (0...𝑁)))
6	5	eqcoms 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 + 1) = 𝑘 → (¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ∈ (0...𝑁)))
7	3, 6	mpbiri 261	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 + 1) = 𝑘 → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁))
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) = 𝑘 → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁)))
9	8	con2d 135	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...𝑁) → ¬ (𝑁 + 1) = 𝑘))
10	9	imp 411	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ¬ (𝑁 + 1) = 𝑘)
11	10	neqned 2965	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 + 1) ≠ 𝑘)
12		fvunsn 7179	. . . 4 ⊢ ((𝑁 + 1) ≠ 𝑘 → ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘𝑘) = (𝑃‘𝑘))
13	11, 12	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘𝑘) = (𝑃‘𝑘))
14	2, 13	eqtrid 2810	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑄‘𝑘) = (𝑃‘𝑘))
15	14	ralrimiva 3157	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝑄‘𝑘) = (𝑃‘𝑘))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079   ∪ cun 3904   ⊆ wss 3906  {csn 4590  {cpr 4592  ⟨cop 4596   class class class wbr 5110  dom cdm 5663  Fun wfun 6532  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Fincfn 8944  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104  ...cfz 13536  ♯chash 14368  Vtxcvtx 29327  iEdgciedg 29328  Edgcedg 29378  Walkscwlks 29927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-z 12593  df-fz 13537

This theorem is referenced by:  wlkp1lem6  30007  wlkp1lem7  30008  wlkp1lem8  30009  eupth2eucrct  30549