Theorem wlkp1lem5 29769

Description: Lemma for wlkp1 29773. (Contributed by AV, 6-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
wlkp1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wlkp1.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
wlkp1.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
wlkp1.a	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
wlkp1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
wlkp1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
wlkp1.d	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
wlkp1.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
wlkp1.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
wlkp1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
wlkp1.x	⊢ (𝜑 → {(𝑃‘𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
wlkp1.u	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
wlkp1.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
wlkp1.q	⊢ 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
wlkp1.s	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
wlkp1lem5	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝑄‘𝑘) = (𝑃‘𝑘))

Distinct variable group:   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑃(𝑘)   𝑄(𝑘)   𝑆(𝑘)   𝐸(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝐼(𝑘)   𝑁(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem wlkp1lem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkp1.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
2	1	fveq1i 6835	. . 3 ⊢ (𝑄‘𝑘) = ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘𝑘)
3		fzp1nel 13563	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ (𝑁 + 1) ∈ (0...𝑁)
4		eleq1 2828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (0...𝑁)))
5	4	notbid 319	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ∈ (0...𝑁)))
6	5	eqcoms 2748	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 + 1) = 𝑘 → (¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ∈ (0...𝑁)))
7	3, 6	mpbiri 259	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 + 1) = 𝑘 → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁))
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) = 𝑘 → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁)))
9	8	con2d 134	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...𝑁) → ¬ (𝑁 + 1) = 𝑘))
10	9	imp 407	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ¬ (𝑁 + 1) = 𝑘)
11	10	neqned 2942	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 + 1) ≠ 𝑘)
12		fvunsn 7130	. . . 4 ⊢ ((𝑁 + 1) ≠ 𝑘 → ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘𝑘) = (𝑃‘𝑘))
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})‘𝑘) = (𝑃‘𝑘))
14	2, 13	eqtrid 2787	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑄‘𝑘) = (𝑃‘𝑘))
15	14	ralrimiva 3132	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝑄‘𝑘) = (𝑃‘𝑘))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ∀wral 3054   ∪ cun 3888   ⊆ wss 3890  {csn 4562  {cpr 4564  ⟨cop 4568   class class class wbr 5079  dom cdm 5625  Fun wfun 6486  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Fincfn 8890  0cc0 11036  1c1 11037   + caddc 11039  ...cfz 13459  ♯chash 14290  Vtxcvtx 29090  iEdgciedg 29091  Edgcedg 29141  Walkscwlks 29690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-z 12523  df-fz 13460

This theorem is referenced by:  wlkp1lem6  29770  wlkp1lem7  29771  wlkp1lem8  29772  eupth2eucrct  30312