MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkp1lem6 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem wlkp1lem6 29203
Description: Lemma for wlkp1 29206. (Contributed by AV, 6-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
wlkp1.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
wlkp1.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
wlkp1.f (πœ‘ β†’ Fun 𝐼)
wlkp1.a (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Fin)
wlkp1.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ π‘Š)
wlkp1.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
wlkp1.d (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐡 ∈ dom 𝐼)
wlkp1.w (πœ‘ β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
wlkp1.n 𝑁 = (β™―β€˜πΉ)
wlkp1.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (Edgβ€˜πΊ))
wlkp1.x (πœ‘ β†’ {(π‘ƒβ€˜π‘), 𝐢} βŠ† 𝐸)
wlkp1.u (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘†) = (𝐼 βˆͺ {⟨𝐡, 𝐸⟩}))
wlkp1.h 𝐻 = (𝐹 βˆͺ {βŸ¨π‘, 𝐡⟩})
wlkp1.q 𝑄 = (𝑃 βˆͺ {⟨(𝑁 + 1), 𝐢⟩})
wlkp1.s (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘†) = 𝑉)
Assertion
Ref Expression
wlkp1lem6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^𝑁)((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∧ (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))
Distinct variable group:   πœ‘,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘˜)   𝐢(π‘˜)   𝑃(π‘˜)   𝑄(π‘˜)   𝑆(π‘˜)   𝐸(π‘˜)   𝐹(π‘˜)   𝐺(π‘˜)   𝐻(π‘˜)   𝐼(π‘˜)   𝑁(π‘˜)   𝑉(π‘˜)   π‘Š(π‘˜)
Proof of Theorem wlkp1lem6
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wlkp1.v . . . 4 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
2 wlkp1.i . . . 4 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
3 wlkp1.f . . . 4 (πœ‘ β†’ Fun 𝐼)
4 wlkp1.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Fin)
5 wlkp1.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ π‘Š)
6 wlkp1.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
7 wlkp1.d . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐡 ∈ dom 𝐼)
8 wlkp1.w . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
9 wlkp1.n . . . 4 𝑁 = (β™―β€˜πΉ)
10 wlkp1.e . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (Edgβ€˜πΊ))
11 wlkp1.x . . . 4 (πœ‘ β†’ {(π‘ƒβ€˜π‘), 𝐢} βŠ† 𝐸)
12 wlkp1.u . . . 4 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜π‘†) = (𝐼 βˆͺ {⟨𝐡, 𝐸⟩}))
13 wlkp1.h . . . 4 𝐻 = (𝐹 βˆͺ {βŸ¨π‘, 𝐡⟩})
14 wlkp1.q . . . 4 𝑄 = (𝑃 βˆͺ {⟨(𝑁 + 1), 𝐢⟩})
15 wlkp1.s . . . 4 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘†) = 𝑉)
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15wlkp1lem5 29202 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (0...𝑁)(π‘„β€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜π‘₯))
17 elfzofz 13653 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) β†’ π‘˜ ∈ (0...𝑁))
1817adantl 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ (0...𝑁))
19 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (π‘„β€˜π‘₯) = (π‘„β€˜π‘˜))
20 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜π‘˜))
2119, 20eqeq12d 2747 . . . . . . 7 (π‘₯ = π‘˜ β†’ ((π‘„β€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜π‘₯) ↔ (π‘„β€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘˜)))
2221rspcv 3608 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ (0...𝑁) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (0...𝑁)(π‘„β€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ (π‘„β€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘˜)))
2318, 22syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (0...𝑁)(π‘„β€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ (π‘„β€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘˜)))
2423imp 406 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (0...𝑁)(π‘„β€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜π‘₯)) β†’ (π‘„β€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘˜))
25 fzofzp1 13734 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ (0...𝑁))
2625adantl 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ (0...𝑁))
27 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ (π‘„β€˜π‘₯) = (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)))
28 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))
2927, 28eqeq12d 2747 . . . . . . 7 (π‘₯ = (π‘˜ + 1) β†’ ((π‘„β€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜π‘₯) ↔ (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
3029rspcv 3608 . . . . . 6 ((π‘˜ + 1) ∈ (0...𝑁) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (0...𝑁)(π‘„β€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
3126, 30syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (0...𝑁)(π‘„β€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜π‘₯) β†’ (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))))
3231imp 406 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (0...𝑁)(π‘„β€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜π‘₯)) β†’ (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)))
3312adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (iEdgβ€˜π‘†) = (𝐼 βˆͺ {⟨𝐡, 𝐸⟩}))
3413fveq1i 6892 . . . . . . . 8 (π»β€˜π‘˜) = ((𝐹 βˆͺ {βŸ¨π‘, 𝐡⟩})β€˜π‘˜)
35 fzonel 13651 . . . . . . . . . . . . . 14 Β¬ 𝑁 ∈ (0..^𝑁)
36 eleq1 2820 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 = π‘˜ β†’ (𝑁 ∈ (0..^𝑁) ↔ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)))
3735, 36mtbii 326 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 = π‘˜ β†’ Β¬ π‘˜ ∈ (0..^𝑁))
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑁 = π‘˜ β†’ Β¬ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)))
3938con2d 134 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) β†’ Β¬ 𝑁 = π‘˜))
4039imp 406 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ Β¬ 𝑁 = π‘˜)
4140neqned 2946 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑁 β‰  π‘˜)
42 fvunsn 7179 . . . . . . . . 9 (𝑁 β‰  π‘˜ β†’ ((𝐹 βˆͺ {βŸ¨π‘, 𝐡⟩})β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
4341, 42syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((𝐹 βˆͺ {βŸ¨π‘, 𝐡⟩})β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
4434, 43eqtrid 2783 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (π»β€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
4533, 44fveq12d 6898 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = ((𝐼 βˆͺ {⟨𝐡, 𝐸⟩})β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
469oveq2i 7423 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0..^𝑁) = (0..^(β™―β€˜πΉ))
4746eleq2i 2824 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) ↔ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
482wlkf 29139 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
498, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
50 wrdsymbcl 14482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ dom 𝐼)
5150ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 β†’ (π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ dom 𝐼))
5249, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ dom 𝐼))
5347, 52biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ dom 𝐼))
5453imp 406 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ dom 𝐼)
55 eleq1 2820 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐡 = (πΉβ€˜π‘˜) β†’ (𝐡 ∈ dom 𝐼 ↔ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ dom 𝐼))
5654, 55syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (𝐡 = (πΉβ€˜π‘˜) β†’ 𝐡 ∈ dom 𝐼))
5756con3d 152 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (Β¬ 𝐡 ∈ dom 𝐼 β†’ Β¬ 𝐡 = (πΉβ€˜π‘˜)))
5857ex 412 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) β†’ (Β¬ 𝐡 ∈ dom 𝐼 β†’ Β¬ 𝐡 = (πΉβ€˜π‘˜))))
597, 58mpid 44 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (0..^𝑁) β†’ Β¬ 𝐡 = (πΉβ€˜π‘˜)))
6059imp 406 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ Β¬ 𝐡 = (πΉβ€˜π‘˜))
6160neqned 2946 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝐡 β‰  (πΉβ€˜π‘˜))
62 fvunsn 7179 . . . . . . 7 (𝐡 β‰  (πΉβ€˜π‘˜) β†’ ((𝐼 βˆͺ {⟨𝐡, 𝐸⟩})β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
6361, 62syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((𝐼 βˆͺ {⟨𝐡, 𝐸⟩})β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
6445, 63eqtrd 2771 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
6564adantr 480 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (0...𝑁)(π‘„β€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜π‘₯)) β†’ ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
6624, 32, 653jca 1127 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (0...𝑁)(π‘„β€˜π‘₯) = (π‘ƒβ€˜π‘₯)) β†’ ((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∧ (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))
6716, 66mpidan 686 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∧ (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))
6867ralrimiva 3145 1 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^𝑁)((π‘„β€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜π‘˜) ∧ (π‘„β€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) ∧ ((iEdgβ€˜π‘†)β€˜(π»β€˜π‘˜)) = (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060   βˆͺ cun 3946   βŠ† wss 3948  {csn 4628  {cpr 4630  βŸ¨cop 4634   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  Fun wfun 6537  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  Fincfn 8942  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116  ...cfz 13489  ..^cfzo 13632  β™―chash 14295  Word cword 14469  Vtxcvtx 28524  iEdgciedg 28525  Edgcedg 28575  Walkscwlks 29121
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-hash 14296  df-word 14470  df-wlks 29124
This theorem is referenced by:  wlkp1lem8  29205
  Copyright terms: Public domain W3C validator