MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkp1lem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlkp1lem6 27446
Description: Lemma for wlkp1 27449. (Contributed by AV, 6-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
wlkp1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wlkp1.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
wlkp1.f (𝜑 → Fun 𝐼)
wlkp1.a (𝜑𝐼 ∈ Fin)
wlkp1.b (𝜑𝐵𝑊)
wlkp1.c (𝜑𝐶𝑉)
wlkp1.d (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
wlkp1.w (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
wlkp1.n 𝑁 = (♯‘𝐹)
wlkp1.e (𝜑𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
wlkp1.x (𝜑 → {(𝑃𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
wlkp1.u (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
wlkp1.h 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
wlkp1.q 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
wlkp1.s (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
Assertion
Ref Expression
wlkp1lem6 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝑄𝑘) = (𝑃𝑘) ∧ (𝑄‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝑆)‘(𝐻𝑘)) = (𝐼‘(𝐹𝑘))))
Distinct variable group:   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑃(𝑘)   𝑄(𝑘)   𝑆(𝑘)   𝐸(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝐼(𝑘)   𝑁(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem wlkp1lem6
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wlkp1.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 wlkp1.i . . . 4 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3 wlkp1.f . . . 4 (𝜑 → Fun 𝐼)
4 wlkp1.a . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
5 wlkp1.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑊)
6 wlkp1.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑉)
7 wlkp1.d . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
8 wlkp1.w . . . 4 (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
9 wlkp1.n . . . 4 𝑁 = (♯‘𝐹)
10 wlkp1.e . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
11 wlkp1.x . . . 4 (𝜑 → {(𝑃𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
12 wlkp1.u . . . 4 (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
13 wlkp1.h . . . 4 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
14 wlkp1.q . . . 4 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
15 wlkp1.s . . . 4 (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15wlkp1lem5 27445 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (0...𝑁)(𝑄𝑥) = (𝑃𝑥))
17 elfzofz 13036 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
1817adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
19 fveq2 6643 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑘 → (𝑄𝑥) = (𝑄𝑘))
20 fveq2 6643 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑘 → (𝑃𝑥) = (𝑃𝑘))
2119, 20eqeq12d 2837 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑘 → ((𝑄𝑥) = (𝑃𝑥) ↔ (𝑄𝑘) = (𝑃𝑘)))
2221rspcv 3595 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (∀𝑥 ∈ (0...𝑁)(𝑄𝑥) = (𝑃𝑥) → (𝑄𝑘) = (𝑃𝑘)))
2318, 22syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (∀𝑥 ∈ (0...𝑁)(𝑄𝑥) = (𝑃𝑥) → (𝑄𝑘) = (𝑃𝑘)))
2423imp 410 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑥 ∈ (0...𝑁)(𝑄𝑥) = (𝑃𝑥)) → (𝑄𝑘) = (𝑃𝑘))
25 fzofzp1 13117 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁))
2625adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁))
27 fveq2 6643 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝑄𝑥) = (𝑄‘(𝑘 + 1)))
28 fveq2 6643 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝑃𝑥) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
2927, 28eqeq12d 2837 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝑄𝑥) = (𝑃𝑥) ↔ (𝑄‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘(𝑘 + 1))))
3029rspcv 3595 . . . . . 6 ((𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁) → (∀𝑥 ∈ (0...𝑁)(𝑄𝑥) = (𝑃𝑥) → (𝑄‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘(𝑘 + 1))))
3126, 30syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (∀𝑥 ∈ (0...𝑁)(𝑄𝑥) = (𝑃𝑥) → (𝑄‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘(𝑘 + 1))))
3231imp 410 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑥 ∈ (0...𝑁)(𝑄𝑥) = (𝑃𝑥)) → (𝑄‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
3312adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
3413fveq1i 6644 . . . . . . . 8 (𝐻𝑘) = ((𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})‘𝑘)
35 fzonel 13034 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ 𝑁 ∈ (0..^𝑁)
36 eleq1 2899 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 = 𝑘 → (𝑁 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)))
3735, 36mtbii 329 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 = 𝑘 → ¬ 𝑘 ∈ (0..^𝑁))
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 = 𝑘 → ¬ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)))
3938con2d 136 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → ¬ 𝑁 = 𝑘))
4039imp 410 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ¬ 𝑁 = 𝑘)
4140neqned 3014 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑁𝑘)
42 fvunsn 6914 . . . . . . . . 9 (𝑁𝑘 → ((𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})‘𝑘) = (𝐹𝑘))
4341, 42syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})‘𝑘) = (𝐹𝑘))
4434, 43syl5eq 2868 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐻𝑘) = (𝐹𝑘))
4533, 44fveq12d 6650 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((iEdg‘𝑆)‘(𝐻𝑘)) = ((𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})‘(𝐹𝑘)))
469oveq2i 7141 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0..^𝑁) = (0..^(♯‘𝐹))
4746eleq2i 2903 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
482wlkf 27382 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
498, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
50 wrdsymbcl 13858 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹𝑘) ∈ dom 𝐼)
5150ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → (𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹𝑘) ∈ dom 𝐼))
5249, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐹𝑘) ∈ dom 𝐼))
5347, 52syl5bi 245 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ dom 𝐼))
5453imp 410 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ dom 𝐼)
55 eleq1 2899 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 = (𝐹𝑘) → (𝐵 ∈ dom 𝐼 ↔ (𝐹𝑘) ∈ dom 𝐼))
5654, 55syl5ibrcom 250 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐵 = (𝐹𝑘) → 𝐵 ∈ dom 𝐼))
5756con3d 155 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼 → ¬ 𝐵 = (𝐹𝑘)))
5857ex 416 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → (¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼 → ¬ 𝐵 = (𝐹𝑘))))
597, 58mpid 44 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → ¬ 𝐵 = (𝐹𝑘)))
6059imp 410 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ¬ 𝐵 = (𝐹𝑘))
6160neqned 3014 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐵 ≠ (𝐹𝑘))
62 fvunsn 6914 . . . . . . 7 (𝐵 ≠ (𝐹𝑘) → ((𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})‘(𝐹𝑘)) = (𝐼‘(𝐹𝑘)))
6361, 62syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})‘(𝐹𝑘)) = (𝐼‘(𝐹𝑘)))
6445, 63eqtrd 2856 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((iEdg‘𝑆)‘(𝐻𝑘)) = (𝐼‘(𝐹𝑘)))
6564adantr 484 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑥 ∈ (0...𝑁)(𝑄𝑥) = (𝑃𝑥)) → ((iEdg‘𝑆)‘(𝐻𝑘)) = (𝐼‘(𝐹𝑘)))
6624, 32, 653jca 1125 . . 3 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ∀𝑥 ∈ (0...𝑁)(𝑄𝑥) = (𝑃𝑥)) → ((𝑄𝑘) = (𝑃𝑘) ∧ (𝑄‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝑆)‘(𝐻𝑘)) = (𝐼‘(𝐹𝑘))))
6716, 66mpidan 688 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑄𝑘) = (𝑃𝑘) ∧ (𝑄‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝑆)‘(𝐻𝑘)) = (𝐼‘(𝐹𝑘))))
6867ralrimiva 3170 1 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝑄𝑘) = (𝑃𝑘) ∧ (𝑄‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ ((iEdg‘𝑆)‘(𝐻𝑘)) = (𝐼‘(𝐹𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3007  wral 3126  cun 3908  wss 3910  {csn 4540  {cpr 4542  cop 4546   class class class wbr 5039  dom cdm 5528  Fun wfun 6322  cfv 6328  (class class class)co 7130  Fincfn 8484  0cc0 10514  1c1 10515   + caddc 10517  ...cfz 12875  ..^cfzo 13016  chash 13674  Word cword 13845  Vtxcvtx 26767  iEdgciedg 26768  Edgcedg 26818  Walkscwlks 27364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-ifp 1059  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-er 8264  df-map 8383  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-card 9344  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-hash 13675  df-word 13846  df-wlks 27367
This theorem is referenced by:  wlkp1lem8  27448
  Copyright terms: Public domain W3C validator