Theorem cats1un 14794

Description: Express a word with an extra symbol as the union of the word and the new value. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
cats1un	⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩) = (𝐴 ∪ {⟨(♯‘𝐴), 𝐵⟩}))

Proof of Theorem cats1un

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatws1cl 14688	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩) ∈ Word 𝑋)
2		wrdf 14587	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩) ∈ Word 𝑋 → (𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩):(0..^(♯‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)))⟶𝑋)
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩):(0..^(♯‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)))⟶𝑋)
4		ccatws1len 14692	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑋 → (♯‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) = ((♯‘𝐴) + 1))
5	4	oveq2d 7433	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑋 → (0..^(♯‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩))) = (0..^((♯‘𝐴) + 1)))
6		lencl 14602	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑋 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
7		nn0uz 12929	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
8	6, 7	eleqtrdi 2872	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑋 → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘0))
9		fzosplitsn 13836	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘0) → (0..^((♯‘𝐴) + 1)) = ((0..^(♯‘𝐴)) ∪ {(♯‘𝐴)}))
10	8, 9	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑋 → (0..^((♯‘𝐴) + 1)) = ((0..^(♯‘𝐴)) ∪ {(♯‘𝐴)}))
11	5, 10	eqtrd 2797	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑋 → (0..^(♯‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩))) = ((0..^(♯‘𝐴)) ∪ {(♯‘𝐴)}))
12	11	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (0..^(♯‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩))) = ((0..^(♯‘𝐴)) ∪ {(♯‘𝐴)}))
13	12	feq2d 6690	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩):(0..^(♯‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)))⟶𝑋 ↔ (𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩):((0..^(♯‘𝐴)) ∪ {(♯‘𝐴)})⟶𝑋))
14	3, 13	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩):((0..^(♯‘𝐴)) ∪ {(♯‘𝐴)})⟶𝑋)
15	14	ffnd 6707	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩) Fn ((0..^(♯‘𝐴)) ∪ {(♯‘𝐴)}))
16		wrdf 14587	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑋 → 𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶𝑋)
17	16	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶𝑋)
18		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ {⟨(♯‘𝐴), 𝐵⟩} = {⟨(♯‘𝐴), 𝐵⟩}
19		fsng 7135	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ({⟨(♯‘𝐴), 𝐵⟩}:{(♯‘𝐴)}⟶{𝐵} ↔ {⟨(♯‘𝐴), 𝐵⟩} = {⟨(♯‘𝐴), 𝐵⟩}))
20	18, 19	mpbiri 261	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {⟨(♯‘𝐴), 𝐵⟩}:{(♯‘𝐴)}⟶{𝐵})
21	6, 20	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {⟨(♯‘𝐴), 𝐵⟩}:{(♯‘𝐴)}⟶{𝐵})
22		fzodisjsn 13757	. . . . 5 ⊢ ((0..^(♯‘𝐴)) ∩ {(♯‘𝐴)}) = ∅
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((0..^(♯‘𝐴)) ∩ {(♯‘𝐴)}) = ∅)
24		fun 6741	. . . 4 ⊢ (((𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶𝑋 ∧ {⟨(♯‘𝐴), 𝐵⟩}:{(♯‘𝐴)}⟶{𝐵}) ∧ ((0..^(♯‘𝐴)) ∩ {(♯‘𝐴)}) = ∅) → (𝐴 ∪ {⟨(♯‘𝐴), 𝐵⟩}):((0..^(♯‘𝐴)) ∪ {(♯‘𝐴)})⟶(𝑋 ∪ {𝐵}))
25	17, 21, 23, 24	syl21anc 851	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∪ {⟨(♯‘𝐴), 𝐵⟩}):((0..^(♯‘𝐴)) ∪ {(♯‘𝐴)})⟶(𝑋 ∪ {𝐵}))
26	25	ffnd 6707	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∪ {⟨(♯‘𝐴), 𝐵⟩}) Fn ((0..^(♯‘𝐴)) ∪ {(♯‘𝐴)}))
27		elun 4103	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ((0..^(♯‘𝐴)) ∪ {(♯‘𝐴)}) ↔ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ∨ 𝑥 ∈ {(♯‘𝐴)}))
28		ccats1val1 14698	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘𝑥) = (𝐴‘𝑥))
29	28	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘𝑥) = (𝐴‘𝑥))
30		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
31		fzonel 13733	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ (♯‘𝐴) ∈ (0..^(♯‘𝐴))
32		nelne2 3055	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ∧ ¬ (♯‘𝐴) ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → 𝑥 ≠ (♯‘𝐴))
33	30, 31, 32	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → 𝑥 ≠ (♯‘𝐴))
34	33	necomd 3012	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (♯‘𝐴) ≠ 𝑥)
35		fvunsn 7181	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) ≠ 𝑥 → ((𝐴 ∪ {⟨(♯‘𝐴), 𝐵⟩})‘𝑥) = (𝐴‘𝑥))
36	34, 35	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → ((𝐴 ∪ {⟨(♯‘𝐴), 𝐵⟩})‘𝑥) = (𝐴‘𝑥))
37	29, 36	eqtr4d 2800	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘𝑥) = ((𝐴 ∪ {⟨(♯‘𝐴), 𝐵⟩})‘𝑥))
38		fvexd 6897	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (♯‘𝐴) ∈ V)
39		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑋)
40	17	fdmd 6717	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → dom 𝐴 = (0..^(♯‘𝐴)))
41	40	eleq2d 2848	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((♯‘𝐴) ∈ dom 𝐴 ↔ (♯‘𝐴) ∈ (0..^(♯‘𝐴))))
42	31, 41	mtbiri 330	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ¬ (♯‘𝐴) ∈ dom 𝐴)
43		fsnunfv 7189	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ ¬ (♯‘𝐴) ∈ dom 𝐴) → ((𝐴 ∪ {⟨(♯‘𝐴), 𝐵⟩})‘(♯‘𝐴)) = 𝐵)
44	38, 39, 42, 43	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴 ∪ {⟨(♯‘𝐴), 𝐵⟩})‘(♯‘𝐴)) = 𝐵)
45		simpl 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ Word 𝑋)
46		s1cl 14673	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑋 → ⟨“𝐵”⟩ ∈ Word 𝑋)
47	46	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ⟨“𝐵”⟩ ∈ Word 𝑋)
48		s1len 14677	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (♯‘⟨“𝐵”⟩) = 1
49		1nn 12272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℕ
50	48, 49	eqeltri 2858	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (♯‘⟨“𝐵”⟩) ∈ ℕ
51		lbfzo0 13759	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐵”⟩)) ↔ (♯‘⟨“𝐵”⟩) ∈ ℕ)
52	50, 51	mpbir 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐵”⟩))
53	52	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐵”⟩)))
54		ccatval3 14648	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ ⟨“𝐵”⟩ ∈ Word 𝑋 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐵”⟩))) → ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘(0 + (♯‘𝐴))) = (⟨“𝐵”⟩‘0))
55	45, 47, 53, 54	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘(0 + (♯‘𝐴))) = (⟨“𝐵”⟩‘0))
56		s1fv 14682	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑋 → (⟨“𝐵”⟩‘0) = 𝐵)
57	56	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (⟨“𝐵”⟩‘0) = 𝐵)
58	55, 57	eqtrd 2797	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘(0 + (♯‘𝐴))) = 𝐵)
59	6	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
60	59	nn0cnd 12595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
61	60	addlidd 11439	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (0 + (♯‘𝐴)) = (♯‘𝐴))
62	61	fveq2d 6886	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘(0 + (♯‘𝐴))) = ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘(♯‘𝐴)))
63	44, 58, 62	3eqtr2rd 2804	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘(♯‘𝐴)) = ((𝐴 ∪ {⟨(♯‘𝐴), 𝐵⟩})‘(♯‘𝐴)))
64		elsni 4604	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {(♯‘𝐴)} → 𝑥 = (♯‘𝐴))
65	64	fveq2d 6886	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {(♯‘𝐴)} → ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘𝑥) = ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘(♯‘𝐴)))
66	64	fveq2d 6886	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {(♯‘𝐴)} → ((𝐴 ∪ {⟨(♯‘𝐴), 𝐵⟩})‘𝑥) = ((𝐴 ∪ {⟨(♯‘𝐴), 𝐵⟩})‘(♯‘𝐴)))
67	65, 66	eqeq12d 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {(♯‘𝐴)} → (((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘𝑥) = ((𝐴 ∪ {⟨(♯‘𝐴), 𝐵⟩})‘𝑥) ↔ ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘(♯‘𝐴)) = ((𝐴 ∪ {⟨(♯‘𝐴), 𝐵⟩})‘(♯‘𝐴))))
68	63, 67	syl5ibrcom 250	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ {(♯‘𝐴)} → ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘𝑥) = ((𝐴 ∪ {⟨(♯‘𝐴), 𝐵⟩})‘𝑥)))
69	68	imp 412	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ {(♯‘𝐴)}) → ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘𝑥) = ((𝐴 ∪ {⟨(♯‘𝐴), 𝐵⟩})‘𝑥))
70	37, 69	jaodan 972	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ∨ 𝑥 ∈ {(♯‘𝐴)})) → ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘𝑥) = ((𝐴 ∪ {⟨(♯‘𝐴), 𝐵⟩})‘𝑥))
71	27, 70	sylan2b 606	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ((0..^(♯‘𝐴)) ∪ {(♯‘𝐴)})) → ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘𝑥) = ((𝐴 ∪ {⟨(♯‘𝐴), 𝐵⟩})‘𝑥))
72	15, 26, 71	eqfnfvd 7029	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩) = (𝐴 ∪ {⟨(♯‘𝐴), 𝐵⟩}))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  Vcvv 3453   ∪ cun 3900   ∩ cin 3901  ∅c0 4282  {csn 4587  ⟨cop 4593  dom cdm 5659  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  0cc0 11128  1c1 11129   + caddc 11131  ℕcn 12261  ℕ₀cn0 12532  ℤ_≥cuz 12891  ..^cfzo 13713  ♯chash 14398  Word cword 14582   ++ cconcat 14639  ⟨“cs1 14666

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-hash 14399  df-word 14583  df-concat 14640  df-s1 14667

This theorem is used by:  s2prop  14982  s3tpop  14984  s4prop  14985  pgpfaclem1  20216  vdegp1ai  30004  vdegp1bi  30005  wwlksnext  30369