Theorem cats1un 14434

Description: Express a word with an extra symbol as the union of the word and the new value. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
cats1un	⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩) = (𝐴 ∪ {⟨(♯‘𝐴), 𝐵⟩}))

Proof of Theorem cats1un

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatws1cl 14321	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩) ∈ Word 𝑋)
2		wrdf 14222	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩) ∈ Word 𝑋 → (𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩):(0..^(♯‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)))⟶𝑋)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩):(0..^(♯‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)))⟶𝑋)
4		ccatws1len 14325	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑋 → (♯‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) = ((♯‘𝐴) + 1))
5	4	oveq2d 7291	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑋 → (0..^(♯‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩))) = (0..^((♯‘𝐴) + 1)))
6		lencl 14236	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑋 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
7		nn0uz 12620	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
8	6, 7	eleqtrdi 2849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑋 → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘0))
9		fzosplitsn 13495	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘0) → (0..^((♯‘𝐴) + 1)) = ((0..^(♯‘𝐴)) ∪ {(♯‘𝐴)}))
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑋 → (0..^((♯‘𝐴) + 1)) = ((0..^(♯‘𝐴)) ∪ {(♯‘𝐴)}))
11	5, 10	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑋 → (0..^(♯‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩))) = ((0..^(♯‘𝐴)) ∪ {(♯‘𝐴)}))
12	11	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (0..^(♯‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩))) = ((0..^(♯‘𝐴)) ∪ {(♯‘𝐴)}))
13	12	feq2d 6586	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩):(0..^(♯‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)))⟶𝑋 ↔ (𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩):((0..^(♯‘𝐴)) ∪ {(♯‘𝐴)})⟶𝑋))
14	3, 13	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩):((0..^(♯‘𝐴)) ∪ {(♯‘𝐴)})⟶𝑋)
15	14	ffnd 6601	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩) Fn ((0..^(♯‘𝐴)) ∪ {(♯‘𝐴)}))
16		wrdf 14222	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑋 → 𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶𝑋)
17	16	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶𝑋)
18		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ {⟨(♯‘𝐴), 𝐵⟩} = {⟨(♯‘𝐴), 𝐵⟩}
19		fsng 7009	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ({⟨(♯‘𝐴), 𝐵⟩}:{(♯‘𝐴)}⟶{𝐵} ↔ {⟨(♯‘𝐴), 𝐵⟩} = {⟨(♯‘𝐴), 𝐵⟩}))
20	18, 19	mpbiri 257	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {⟨(♯‘𝐴), 𝐵⟩}:{(♯‘𝐴)}⟶{𝐵})
21	6, 20	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {⟨(♯‘𝐴), 𝐵⟩}:{(♯‘𝐴)}⟶{𝐵})
22		fzodisjsn 13425	. . . . 5 ⊢ ((0..^(♯‘𝐴)) ∩ {(♯‘𝐴)}) = ∅
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((0..^(♯‘𝐴)) ∩ {(♯‘𝐴)}) = ∅)
24		fun 6636	. . . 4 ⊢ (((𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶𝑋 ∧ {⟨(♯‘𝐴), 𝐵⟩}:{(♯‘𝐴)}⟶{𝐵}) ∧ ((0..^(♯‘𝐴)) ∩ {(♯‘𝐴)}) = ∅) → (𝐴 ∪ {⟨(♯‘𝐴), 𝐵⟩}):((0..^(♯‘𝐴)) ∪ {(♯‘𝐴)})⟶(𝑋 ∪ {𝐵}))
25	17, 21, 23, 24	syl21anc 835	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∪ {⟨(♯‘𝐴), 𝐵⟩}):((0..^(♯‘𝐴)) ∪ {(♯‘𝐴)})⟶(𝑋 ∪ {𝐵}))
26	25	ffnd 6601	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∪ {⟨(♯‘𝐴), 𝐵⟩}) Fn ((0..^(♯‘𝐴)) ∪ {(♯‘𝐴)}))
27		elun 4083	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ((0..^(♯‘𝐴)) ∪ {(♯‘𝐴)}) ↔ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ∨ 𝑥 ∈ {(♯‘𝐴)}))
28		ccats1val1 14332	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘𝑥) = (𝐴‘𝑥))
29	28	adantlr 712	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘𝑥) = (𝐴‘𝑥))
30		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
31		fzonel 13401	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ (♯‘𝐴) ∈ (0..^(♯‘𝐴))
32		nelne2 3042	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ∧ ¬ (♯‘𝐴) ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → 𝑥 ≠ (♯‘𝐴))
33	30, 31, 32	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → 𝑥 ≠ (♯‘𝐴))
34	33	necomd 2999	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (♯‘𝐴) ≠ 𝑥)
35		fvunsn 7051	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) ≠ 𝑥 → ((𝐴 ∪ {⟨(♯‘𝐴), 𝐵⟩})‘𝑥) = (𝐴‘𝑥))
36	34, 35	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → ((𝐴 ∪ {⟨(♯‘𝐴), 𝐵⟩})‘𝑥) = (𝐴‘𝑥))
37	29, 36	eqtr4d 2781	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘𝑥) = ((𝐴 ∪ {⟨(♯‘𝐴), 𝐵⟩})‘𝑥))
38		fvexd 6789	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (♯‘𝐴) ∈ V)
39		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑋)
40	17	fdmd 6611	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → dom 𝐴 = (0..^(♯‘𝐴)))
41	40	eleq2d 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((♯‘𝐴) ∈ dom 𝐴 ↔ (♯‘𝐴) ∈ (0..^(♯‘𝐴))))
42	31, 41	mtbiri 327	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ¬ (♯‘𝐴) ∈ dom 𝐴)
43		fsnunfv 7059	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ ¬ (♯‘𝐴) ∈ dom 𝐴) → ((𝐴 ∪ {⟨(♯‘𝐴), 𝐵⟩})‘(♯‘𝐴)) = 𝐵)
44	38, 39, 42, 43	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴 ∪ {⟨(♯‘𝐴), 𝐵⟩})‘(♯‘𝐴)) = 𝐵)
45		simpl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ Word 𝑋)
46		s1cl 14307	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑋 → ⟨“𝐵”⟩ ∈ Word 𝑋)
47	46	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ⟨“𝐵”⟩ ∈ Word 𝑋)
48		s1len 14311	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (♯‘⟨“𝐵”⟩) = 1
49		1nn 11984	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℕ
50	48, 49	eqeltri 2835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (♯‘⟨“𝐵”⟩) ∈ ℕ
51		lbfzo0 13427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐵”⟩)) ↔ (♯‘⟨“𝐵”⟩) ∈ ℕ)
52	50, 51	mpbir 230	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐵”⟩))
53	52	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐵”⟩)))
54		ccatval3 14284	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ ⟨“𝐵”⟩ ∈ Word 𝑋 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐵”⟩))) → ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘(0 + (♯‘𝐴))) = (⟨“𝐵”⟩‘0))
55	45, 47, 53, 54	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘(0 + (♯‘𝐴))) = (⟨“𝐵”⟩‘0))
56		s1fv 14315	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑋 → (⟨“𝐵”⟩‘0) = 𝐵)
57	56	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (⟨“𝐵”⟩‘0) = 𝐵)
58	55, 57	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘(0 + (♯‘𝐴))) = 𝐵)
59	6	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
60	59	nn0cnd 12295	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
61	60	addid2d 11176	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (0 + (♯‘𝐴)) = (♯‘𝐴))
62	61	fveq2d 6778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘(0 + (♯‘𝐴))) = ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘(♯‘𝐴)))
63	44, 58, 62	3eqtr2rd 2785	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘(♯‘𝐴)) = ((𝐴 ∪ {⟨(♯‘𝐴), 𝐵⟩})‘(♯‘𝐴)))
64		elsni 4578	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {(♯‘𝐴)} → 𝑥 = (♯‘𝐴))
65	64	fveq2d 6778	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {(♯‘𝐴)} → ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘𝑥) = ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘(♯‘𝐴)))
66	64	fveq2d 6778	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {(♯‘𝐴)} → ((𝐴 ∪ {⟨(♯‘𝐴), 𝐵⟩})‘𝑥) = ((𝐴 ∪ {⟨(♯‘𝐴), 𝐵⟩})‘(♯‘𝐴)))
67	65, 66	eqeq12d 2754	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {(♯‘𝐴)} → (((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘𝑥) = ((𝐴 ∪ {⟨(♯‘𝐴), 𝐵⟩})‘𝑥) ↔ ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘(♯‘𝐴)) = ((𝐴 ∪ {⟨(♯‘𝐴), 𝐵⟩})‘(♯‘𝐴))))
68	63, 67	syl5ibrcom 246	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ {(♯‘𝐴)} → ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘𝑥) = ((𝐴 ∪ {⟨(♯‘𝐴), 𝐵⟩})‘𝑥)))
69	68	imp 407	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ {(♯‘𝐴)}) → ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘𝑥) = ((𝐴 ∪ {⟨(♯‘𝐴), 𝐵⟩})‘𝑥))
70	37, 69	jaodan 955	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ∨ 𝑥 ∈ {(♯‘𝐴)})) → ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘𝑥) = ((𝐴 ∪ {⟨(♯‘𝐴), 𝐵⟩})‘𝑥))
71	27, 70	sylan2b 594	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ((0..^(♯‘𝐴)) ∪ {(♯‘𝐴)})) → ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘𝑥) = ((𝐴 ∪ {⟨(♯‘𝐴), 𝐵⟩})‘𝑥))
72	15, 26, 71	eqfnfvd 6912	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩) = (𝐴 ∪ {⟨(♯‘𝐴), 𝐵⟩}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  Vcvv 3432   ∪ cun 3885   ∩ cin 3886  ∅c0 4256  {csn 4561  ⟨cop 4567  dom cdm 5589  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  ℤ_≥cuz 12582  ..^cfzo 13382  ♯chash 14044  Word cword 14217   ++ cconcat 14273  ⟨“cs1 14300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-concat 14274  df-s1 14301

This theorem is referenced by:  s2prop  14620  s3tpop  14622  s4prop  14623  pgpfaclem1  19684  vdegp1ai  27903  vdegp1bi  27904  wwlksnext  28258