Theorem fvpr1g 7145

Description: The value of a function with a domain of (at most) two elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fvpr1g	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐴) = 𝐶)

Proof of Theorem fvpr1g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4570	. . . . 5 ⊢ {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩})
2	1	fveq1i 6841	. . . 4 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐴) = (({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩})‘𝐴)
3		necom 2985	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴)
4		fvunsn 7134	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐴 → (({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩})‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐶⟩}‘𝐴))
5	3, 4	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → (({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩})‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐶⟩}‘𝐴))
6	2, 5	eqtrid 2783	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐶⟩}‘𝐴))
7	6	3ad2ant3 1136	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐶⟩}‘𝐴))
8		fvsng 7135	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩}‘𝐴) = 𝐶)
9	8	3adant3 1133	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩}‘𝐴) = 𝐶)
10	7, 9	eqtrd 2771	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐴) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   ∪ cun 3887  {csn 4567  {cpr 4569  ⟨cop 4573  ‘cfv 6498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-res 5643  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fv 6506

This theorem is referenced by:  fvpr2g  7146  fvpr1  7147  fvtp1g  7153  fpropnf1  7222  f1prex  7239  wrdlen2i  14904  fvpr0o  17523  linds2eq  33441  zlmodzxzscm  48833  zlmodzxzadd  48834  lincvalpr  48894  ldepspr  48949  2arymptfv  49126  fv1prop  49175  prelrrx2b  49190  line2ylem  49227  line2  49228  line2x  49230  line2y  49231