MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvpr1g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fvpr1g 7209
Description: The value of a function with a domain of (at most) two elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
fvpr1g ((𝐴𝑉𝐶𝑊𝐴𝐵) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐴) = 𝐶)

Proof of Theorem fvpr1g
StepHypRef Expression
1 df-pr 4633 . . . . 5 {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩})
21fveq1i 6907 . . . 4 ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐴) = (({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩})‘𝐴)
3 necom 2991 . . . . 5 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
4 fvunsn 7198 . . . . 5 (𝐵𝐴 → (({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩})‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐶⟩}‘𝐴))
53, 4sylbi 217 . . . 4 (𝐴𝐵 → (({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩})‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐶⟩}‘𝐴))
62, 5eqtrid 2786 . . 3 (𝐴𝐵 → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐶⟩}‘𝐴))
763ad2ant3 1134 . 2 ((𝐴𝑉𝐶𝑊𝐴𝐵) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐶⟩}‘𝐴))
8 fvsng 7199 . . 3 ((𝐴𝑉𝐶𝑊) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩}‘𝐴) = 𝐶)
983adant3 1131 . 2 ((𝐴𝑉𝐶𝑊𝐴𝐵) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩}‘𝐴) = 𝐶)
107, 9eqtrd 2774 1 ((𝐴𝑉𝐶𝑊𝐴𝐵) → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐴) = 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  cun 3960  {csn 4630  {cpr 4632  cop 4636  cfv 6562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-res 5700  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fv 6570
This theorem is referenced by:  fvpr2g  7210  fvpr1  7211  fvtp1g  7217  fpropnf1  7286  f1prex  7303  wrdlen2i  14977  fvpr0o  17605  linds2eq  33388  zlmodzxzscm  48201  zlmodzxzadd  48202  lincvalpr  48263  ldepspr  48318  2arymptfv  48499  fv1prop  48548  prelrrx2b  48563  line2ylem  48600  line2  48601  line2x  48603  line2y  48604
  Copyright terms: Public domain W3C validator