Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ruclem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ruclem7 15601
 Description: Lemma for ruc 15608. Successor value for the interval sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ruc.1 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
ruc.2 (𝜑𝐷 = (𝑥 ∈ (ℝ × ℝ), 𝑦 ∈ ℝ ↦ (((1st𝑥) + (2nd𝑥)) / 2) / 𝑚if(𝑚 < 𝑦, ⟨(1st𝑥), 𝑚⟩, ⟨((𝑚 + (2nd𝑥)) / 2), (2nd𝑥)⟩)))
ruc.4 𝐶 = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ 𝐹)
ruc.5 𝐺 = seq0(𝐷, 𝐶)
Assertion
Ref Expression
ruclem7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑁 + 1)) = ((𝐺𝑁)𝐷(𝐹‘(𝑁 + 1))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐹   𝑚,𝐺,𝑥,𝑦   𝑚,𝑁,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑚)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑚)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑚)

Proof of Theorem ruclem7
StepHypRef Expression
1 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 nn0uz 12288 . . . . 5 0 = (ℤ‘0)
31, 2eleqtrdi 2900 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (ℤ‘0))
4 seqp1 13399 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘0) → (seq0(𝐷, 𝐶)‘(𝑁 + 1)) = ((seq0(𝐷, 𝐶)‘𝑁)𝐷(𝐶‘(𝑁 + 1))))
53, 4syl 17 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → (seq0(𝐷, 𝐶)‘(𝑁 + 1)) = ((seq0(𝐷, 𝐶)‘𝑁)𝐷(𝐶‘(𝑁 + 1))))
6 ruc.5 . . . 4 𝐺 = seq0(𝐷, 𝐶)
76fveq1i 6656 . . 3 (𝐺‘(𝑁 + 1)) = (seq0(𝐷, 𝐶)‘(𝑁 + 1))
86fveq1i 6656 . . . 4 (𝐺𝑁) = (seq0(𝐷, 𝐶)‘𝑁)
98oveq1i 7155 . . 3 ((𝐺𝑁)𝐷(𝐶‘(𝑁 + 1))) = ((seq0(𝐷, 𝐶)‘𝑁)𝐷(𝐶‘(𝑁 + 1)))
105, 7, 93eqtr4g 2858 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑁 + 1)) = ((𝐺𝑁)𝐷(𝐶‘(𝑁 + 1))))
11 nn0p1nn 11942 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
1211adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
1312nnne0d 11693 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ≠ 0)
1413necomd 3042 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≠ (𝑁 + 1))
15 ruc.4 . . . . . . 7 𝐶 = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ 𝐹)
1615equncomi 4085 . . . . . 6 𝐶 = (𝐹 ∪ {⟨0, ⟨0, 1⟩⟩})
1716fveq1i 6656 . . . . 5 (𝐶‘(𝑁 + 1)) = ((𝐹 ∪ {⟨0, ⟨0, 1⟩⟩})‘(𝑁 + 1))
18 fvunsn 6928 . . . . 5 (0 ≠ (𝑁 + 1) → ((𝐹 ∪ {⟨0, ⟨0, 1⟩⟩})‘(𝑁 + 1)) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
1917, 18syl5eq 2845 . . . 4 (0 ≠ (𝑁 + 1) → (𝐶‘(𝑁 + 1)) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
2014, 19syl 17 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐶‘(𝑁 + 1)) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
2120oveq2d 7161 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑁)𝐷(𝐶‘(𝑁 + 1))) = ((𝐺𝑁)𝐷(𝐹‘(𝑁 + 1))))
2210, 21eqtrd 2833 1 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑁 + 1)) = ((𝐺𝑁)𝐷(𝐹‘(𝑁 + 1))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ⦋csb 3830   ∪ cun 3881  ifcif 4428  {csn 4528  ⟨cop 4534   class class class wbr 5034   × cxp 5521  ⟶wf 6328  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145   ∈ cmpo 7147  1st c1st 7682  2nd c2nd 7683  ℝcr 10543  0cc0 10544  1c1 10545   + caddc 10547   < clt 10682   / cdiv 11304  ℕcn 11643  2c2 11698  ℕ0cn0 11903  ℤ≥cuz 12251  seqcseq 13384 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-er 8290  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-nn 11644  df-n0 11904  df-z 11990  df-uz 12252  df-seq 13385 This theorem is referenced by:  ruclem8  15602  ruclem9  15603  ruclem12  15606
 Copyright terms: Public domain W3C validator