Theorem ruclem7 16159

Description: Lemma for ruc 16166. Successor value for the interval sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ruc.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
ruc.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑥 ∈ (ℝ × ℝ), 𝑦 ∈ ℝ ↦ ⦋(((1st ‘𝑥) + (2nd ‘𝑥)) / 2) / 𝑚⦌if(𝑚 < 𝑦, ⟨(1st ‘𝑥), 𝑚⟩, ⟨((𝑚 + (2nd ‘𝑥)) / 2), (2nd ‘𝑥)⟩)))
ruc.4	⊢ 𝐶 = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ 𝐹)
ruc.5	⊢ 𝐺 = seq0(𝐷, 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
ruclem7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑁 + 1)) = ((𝐺‘𝑁)𝐷(𝐹‘(𝑁 + 1))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐹   𝑚,𝐺,𝑥,𝑦   𝑚,𝑁,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑚)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑚)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑚)

Proof of Theorem ruclem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		nn0uz 12787	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
3	1, 2	eleqtrdi 2844	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
4		seqp1 13937	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → (seq0(𝐷, 𝐶)‘(𝑁 + 1)) = ((seq0(𝐷, 𝐶)‘𝑁)𝐷(𝐶‘(𝑁 + 1))))
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (seq0(𝐷, 𝐶)‘(𝑁 + 1)) = ((seq0(𝐷, 𝐶)‘𝑁)𝐷(𝐶‘(𝑁 + 1))))
6		ruc.5	. . . 4 ⊢ 𝐺 = seq0(𝐷, 𝐶)
7	6	fveq1i 6833	. . 3 ⊢ (𝐺‘(𝑁 + 1)) = (seq0(𝐷, 𝐶)‘(𝑁 + 1))
8	6	fveq1i 6833	. . . 4 ⊢ (𝐺‘𝑁) = (seq0(𝐷, 𝐶)‘𝑁)
9	8	oveq1i 7366	. . 3 ⊢ ((𝐺‘𝑁)𝐷(𝐶‘(𝑁 + 1))) = ((seq0(𝐷, 𝐶)‘𝑁)𝐷(𝐶‘(𝑁 + 1)))
10	5, 7, 9	3eqtr4g 2794	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑁 + 1)) = ((𝐺‘𝑁)𝐷(𝐶‘(𝑁 + 1))))
11		nn0p1nn 12438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
12	11	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
13	12	nnne0d 12193	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ≠ 0)
14	13	necomd 2985	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≠ (𝑁 + 1))
15		ruc.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ 𝐹)
16	15	equncomi 4110	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (𝐹 ∪ {⟨0, ⟨0, 1⟩⟩})
17	16	fveq1i 6833	. . . . 5 ⊢ (𝐶‘(𝑁 + 1)) = ((𝐹 ∪ {⟨0, ⟨0, 1⟩⟩})‘(𝑁 + 1))
18		fvunsn 7123	. . . . 5 ⊢ (0 ≠ (𝑁 + 1) → ((𝐹 ∪ {⟨0, ⟨0, 1⟩⟩})‘(𝑁 + 1)) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
19	17, 18	eqtrid 2781	. . . 4 ⊢ (0 ≠ (𝑁 + 1) → (𝐶‘(𝑁 + 1)) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
20	14, 19	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐶‘(𝑁 + 1)) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
21	20	oveq2d 7372	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑁)𝐷(𝐶‘(𝑁 + 1))) = ((𝐺‘𝑁)𝐷(𝐹‘(𝑁 + 1))))
22	10, 21	eqtrd 2769	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑁 + 1)) = ((𝐺‘𝑁)𝐷(𝐹‘(𝑁 + 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ⦋csb 3847   ∪ cun 3897  ifcif 4477  {csn 4578  ⟨cop 4584   class class class wbr 5096   × cxp 5620  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356   ∈ cmpo 7358  1^st c1st 7929  2^nd c2nd 7930  ℝcr 11023  0cc0 11024  1c1 11025   + caddc 11027   < clt 11164   / cdiv 11792  ℕcn 12143  2c2 12198  ℕ₀cn0 12399  ℤ_≥cuz 12749  seqcseq 13922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-seq 13923

This theorem is referenced by:  ruclem8  16160  ruclem9  16161  ruclem12  16164