MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ruclem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ruclem7 16125
Description: Lemma for ruc 16132. Successor value for the interval sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ruc.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„)
ruc.2 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (π‘₯ ∈ (ℝ Γ— ℝ), 𝑦 ∈ ℝ ↦ ⦋(((1st β€˜π‘₯) + (2nd β€˜π‘₯)) / 2) / π‘šβ¦Œif(π‘š < 𝑦, ⟨(1st β€˜π‘₯), π‘šβŸ©, ⟨((π‘š + (2nd β€˜π‘₯)) / 2), (2nd β€˜π‘₯)⟩)))
ruc.4 𝐢 = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} βˆͺ 𝐹)
ruc.5 𝐺 = seq0(𝐷, 𝐢)
Assertion
Ref Expression
ruclem7 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (πΊβ€˜(𝑁 + 1)) = ((πΊβ€˜π‘)𝐷(πΉβ€˜(𝑁 + 1))))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘š,𝑦,𝐹   π‘š,𝐺,π‘₯,𝑦   π‘š,𝑁,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,π‘š)   𝐢(π‘₯,𝑦,π‘š)   𝐷(π‘₯,𝑦,π‘š)

Proof of Theorem ruclem7
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2 nn0uz 12812 . . . . 5 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
31, 2eleqtrdi 2848 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
4 seqp1 13928 . . . 4 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (seq0(𝐷, 𝐢)β€˜(𝑁 + 1)) = ((seq0(𝐷, 𝐢)β€˜π‘)𝐷(πΆβ€˜(𝑁 + 1))))
53, 4syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (seq0(𝐷, 𝐢)β€˜(𝑁 + 1)) = ((seq0(𝐷, 𝐢)β€˜π‘)𝐷(πΆβ€˜(𝑁 + 1))))
6 ruc.5 . . . 4 𝐺 = seq0(𝐷, 𝐢)
76fveq1i 6848 . . 3 (πΊβ€˜(𝑁 + 1)) = (seq0(𝐷, 𝐢)β€˜(𝑁 + 1))
86fveq1i 6848 . . . 4 (πΊβ€˜π‘) = (seq0(𝐷, 𝐢)β€˜π‘)
98oveq1i 7372 . . 3 ((πΊβ€˜π‘)𝐷(πΆβ€˜(𝑁 + 1))) = ((seq0(𝐷, 𝐢)β€˜π‘)𝐷(πΆβ€˜(𝑁 + 1)))
105, 7, 93eqtr4g 2802 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (πΊβ€˜(𝑁 + 1)) = ((πΊβ€˜π‘)𝐷(πΆβ€˜(𝑁 + 1))))
11 nn0p1nn 12459 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•)
1211adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•)
1312nnne0d 12210 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 + 1) β‰  0)
1413necomd 3000 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 0 β‰  (𝑁 + 1))
15 ruc.4 . . . . . . 7 𝐢 = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} βˆͺ 𝐹)
1615equncomi 4120 . . . . . 6 𝐢 = (𝐹 βˆͺ {⟨0, ⟨0, 1⟩⟩})
1716fveq1i 6848 . . . . 5 (πΆβ€˜(𝑁 + 1)) = ((𝐹 βˆͺ {⟨0, ⟨0, 1⟩⟩})β€˜(𝑁 + 1))
18 fvunsn 7130 . . . . 5 (0 β‰  (𝑁 + 1) β†’ ((𝐹 βˆͺ {⟨0, ⟨0, 1⟩⟩})β€˜(𝑁 + 1)) = (πΉβ€˜(𝑁 + 1)))
1917, 18eqtrid 2789 . . . 4 (0 β‰  (𝑁 + 1) β†’ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)) = (πΉβ€˜(𝑁 + 1)))
2014, 19syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)) = (πΉβ€˜(𝑁 + 1)))
2120oveq2d 7378 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜π‘)𝐷(πΆβ€˜(𝑁 + 1))) = ((πΊβ€˜π‘)𝐷(πΉβ€˜(𝑁 + 1))))
2210, 21eqtrd 2777 1 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (πΊβ€˜(𝑁 + 1)) = ((πΊβ€˜π‘)𝐷(πΉβ€˜(𝑁 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  β¦‹csb 3860   βˆͺ cun 3913  ifcif 4491  {csn 4591  βŸ¨cop 4597   class class class wbr 5110   Γ— cxp 5636  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∈ cmpo 7364  1st c1st 7924  2nd c2nd 7925  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   < clt 11196   / cdiv 11819  β„•cn 12160  2c2 12215  β„•0cn0 12420  β„€β‰₯cuz 12770  seqcseq 13913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-seq 13914
This theorem is referenced by:  ruclem8  16126  ruclem9  16127  ruclem12  16130
  Copyright terms: Public domain W3C validator