MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ruclem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ruclem7 15449
Description: Lemma for ruc 15456. Successor value for the interval sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ruc.1 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
ruc.2 (𝜑𝐷 = (𝑥 ∈ (ℝ × ℝ), 𝑦 ∈ ℝ ↦ (((1st𝑥) + (2nd𝑥)) / 2) / 𝑚if(𝑚 < 𝑦, ⟨(1st𝑥), 𝑚⟩, ⟨((𝑚 + (2nd𝑥)) / 2), (2nd𝑥)⟩)))
ruc.4 𝐶 = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ 𝐹)
ruc.5 𝐺 = seq0(𝐷, 𝐶)
Assertion
Ref Expression
ruclem7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑁 + 1)) = ((𝐺𝑁)𝐷(𝐹‘(𝑁 + 1))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐹   𝑚,𝐺,𝑥,𝑦   𝑚,𝑁,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑚)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑚)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑚)

Proof of Theorem ruclem7
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 nn0uz 12094 . . . . 5 0 = (ℤ‘0)
31, 2syl6eleq 2877 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (ℤ‘0))
4 seqp1 13199 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘0) → (seq0(𝐷, 𝐶)‘(𝑁 + 1)) = ((seq0(𝐷, 𝐶)‘𝑁)𝐷(𝐶‘(𝑁 + 1))))
53, 4syl 17 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → (seq0(𝐷, 𝐶)‘(𝑁 + 1)) = ((seq0(𝐷, 𝐶)‘𝑁)𝐷(𝐶‘(𝑁 + 1))))
6 ruc.5 . . . 4 𝐺 = seq0(𝐷, 𝐶)
76fveq1i 6500 . . 3 (𝐺‘(𝑁 + 1)) = (seq0(𝐷, 𝐶)‘(𝑁 + 1))
86fveq1i 6500 . . . 4 (𝐺𝑁) = (seq0(𝐷, 𝐶)‘𝑁)
98oveq1i 6986 . . 3 ((𝐺𝑁)𝐷(𝐶‘(𝑁 + 1))) = ((seq0(𝐷, 𝐶)‘𝑁)𝐷(𝐶‘(𝑁 + 1)))
105, 7, 93eqtr4g 2840 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑁 + 1)) = ((𝐺𝑁)𝐷(𝐶‘(𝑁 + 1))))
11 nn0p1nn 11748 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
1211adantl 474 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
1312nnne0d 11490 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ≠ 0)
1413necomd 3023 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≠ (𝑁 + 1))
15 ruc.4 . . . . . . 7 𝐶 = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ 𝐹)
1615equncomi 4021 . . . . . 6 𝐶 = (𝐹 ∪ {⟨0, ⟨0, 1⟩⟩})
1716fveq1i 6500 . . . . 5 (𝐶‘(𝑁 + 1)) = ((𝐹 ∪ {⟨0, ⟨0, 1⟩⟩})‘(𝑁 + 1))
18 fvunsn 6764 . . . . 5 (0 ≠ (𝑁 + 1) → ((𝐹 ∪ {⟨0, ⟨0, 1⟩⟩})‘(𝑁 + 1)) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
1917, 18syl5eq 2827 . . . 4 (0 ≠ (𝑁 + 1) → (𝐶‘(𝑁 + 1)) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
2014, 19syl 17 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐶‘(𝑁 + 1)) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
2120oveq2d 6992 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑁)𝐷(𝐶‘(𝑁 + 1))) = ((𝐺𝑁)𝐷(𝐹‘(𝑁 + 1))))
2210, 21eqtrd 2815 1 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑁 + 1)) = ((𝐺𝑁)𝐷(𝐹‘(𝑁 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2968  csb 3787  cun 3828  ifcif 4350  {csn 4441  cop 4447   class class class wbr 4929   × cxp 5405  wf 6184  cfv 6188  (class class class)co 6976  cmpo 6978  1st c1st 7499  2nd c2nd 7500  cr 10334  0cc0 10335  1c1 10336   + caddc 10338   < clt 10474   / cdiv 11098  cn 11439  2c2 11495  0cn0 11707  cuz 12058  seqcseq 13184
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-seq 13185
This theorem is referenced by:  ruclem8  15450  ruclem9  15451  ruclem12  15454
  Copyright terms: Public domain W3C validator