MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ruclem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ruclem7 16220
Description: Lemma for ruc 16227. Successor value for the interval sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ruc.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„)
ruc.2 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (π‘₯ ∈ (ℝ Γ— ℝ), 𝑦 ∈ ℝ ↦ ⦋(((1st β€˜π‘₯) + (2nd β€˜π‘₯)) / 2) / π‘šβ¦Œif(π‘š < 𝑦, ⟨(1st β€˜π‘₯), π‘šβŸ©, ⟨((π‘š + (2nd β€˜π‘₯)) / 2), (2nd β€˜π‘₯)⟩)))
ruc.4 𝐢 = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} βˆͺ 𝐹)
ruc.5 𝐺 = seq0(𝐷, 𝐢)
Assertion
Ref Expression
ruclem7 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (πΊβ€˜(𝑁 + 1)) = ((πΊβ€˜π‘)𝐷(πΉβ€˜(𝑁 + 1))))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘š,𝑦,𝐹   π‘š,𝐺,π‘₯,𝑦   π‘š,𝑁,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,π‘š)   𝐢(π‘₯,𝑦,π‘š)   𝐷(π‘₯,𝑦,π‘š)

Proof of Theorem ruclem7
StepHypRef Expression
1 simpr 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2 nn0uz 12902 . . . . 5 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
31, 2eleqtrdi 2839 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
4 seqp1 14021 . . . 4 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (seq0(𝐷, 𝐢)β€˜(𝑁 + 1)) = ((seq0(𝐷, 𝐢)β€˜π‘)𝐷(πΆβ€˜(𝑁 + 1))))
53, 4syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (seq0(𝐷, 𝐢)β€˜(𝑁 + 1)) = ((seq0(𝐷, 𝐢)β€˜π‘)𝐷(πΆβ€˜(𝑁 + 1))))
6 ruc.5 . . . 4 𝐺 = seq0(𝐷, 𝐢)
76fveq1i 6903 . . 3 (πΊβ€˜(𝑁 + 1)) = (seq0(𝐷, 𝐢)β€˜(𝑁 + 1))
86fveq1i 6903 . . . 4 (πΊβ€˜π‘) = (seq0(𝐷, 𝐢)β€˜π‘)
98oveq1i 7436 . . 3 ((πΊβ€˜π‘)𝐷(πΆβ€˜(𝑁 + 1))) = ((seq0(𝐷, 𝐢)β€˜π‘)𝐷(πΆβ€˜(𝑁 + 1)))
105, 7, 93eqtr4g 2793 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (πΊβ€˜(𝑁 + 1)) = ((πΊβ€˜π‘)𝐷(πΆβ€˜(𝑁 + 1))))
11 nn0p1nn 12549 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•)
1211adantl 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•)
1312nnne0d 12300 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 + 1) β‰  0)
1413necomd 2993 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 0 β‰  (𝑁 + 1))
15 ruc.4 . . . . . . 7 𝐢 = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} βˆͺ 𝐹)
1615equncomi 4156 . . . . . 6 𝐢 = (𝐹 βˆͺ {⟨0, ⟨0, 1⟩⟩})
1716fveq1i 6903 . . . . 5 (πΆβ€˜(𝑁 + 1)) = ((𝐹 βˆͺ {⟨0, ⟨0, 1⟩⟩})β€˜(𝑁 + 1))
18 fvunsn 7194 . . . . 5 (0 β‰  (𝑁 + 1) β†’ ((𝐹 βˆͺ {⟨0, ⟨0, 1⟩⟩})β€˜(𝑁 + 1)) = (πΉβ€˜(𝑁 + 1)))
1917, 18eqtrid 2780 . . . 4 (0 β‰  (𝑁 + 1) β†’ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)) = (πΉβ€˜(𝑁 + 1)))
2014, 19syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)) = (πΉβ€˜(𝑁 + 1)))
2120oveq2d 7442 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜π‘)𝐷(πΆβ€˜(𝑁 + 1))) = ((πΊβ€˜π‘)𝐷(πΉβ€˜(𝑁 + 1))))
2210, 21eqtrd 2768 1 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (πΊβ€˜(𝑁 + 1)) = ((πΊβ€˜π‘)𝐷(πΉβ€˜(𝑁 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  β¦‹csb 3894   βˆͺ cun 3947  ifcif 4532  {csn 4632  βŸ¨cop 4638   class class class wbr 5152   Γ— cxp 5680  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ∈ cmpo 7428  1st c1st 7997  2nd c2nd 7998  β„cr 11145  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   < clt 11286   / cdiv 11909  β„•cn 12250  2c2 12305  β„•0cn0 12510  β„€β‰₯cuz 12860  seqcseq 14006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-seq 14007
This theorem is referenced by:  ruclem8  16221  ruclem9  16222  ruclem12  16225
  Copyright terms: Public domain W3C validator