MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ruclem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ruclem7 16284
Description: Lemma for ruc 16291. Successor value for the interval sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ruc.1 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
ruc.2 (𝜑𝐷 = (𝑥 ∈ (ℝ × ℝ), 𝑦 ∈ ℝ ↦ (((1st𝑥) + (2nd𝑥)) / 2) / 𝑚if(𝑚 < 𝑦, ⟨(1st𝑥), 𝑚⟩, ⟨((𝑚 + (2nd𝑥)) / 2), (2nd𝑥)⟩)))
ruc.4 𝐶 = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ 𝐹)
ruc.5 𝐺 = seq0(𝐷, 𝐶)
Assertion
Ref Expression
ruclem7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑁 + 1)) = ((𝐺𝑁)𝐷(𝐹‘(𝑁 + 1))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐹   𝑚,𝐺,𝑥,𝑦   𝑚,𝑁,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑚)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑚)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑚)

Proof of Theorem ruclem7
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 nn0uz 12945 . . . . 5 0 = (ℤ‘0)
31, 2eleqtrdi 2854 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (ℤ‘0))
4 seqp1 14067 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘0) → (seq0(𝐷, 𝐶)‘(𝑁 + 1)) = ((seq0(𝐷, 𝐶)‘𝑁)𝐷(𝐶‘(𝑁 + 1))))
53, 4syl 17 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → (seq0(𝐷, 𝐶)‘(𝑁 + 1)) = ((seq0(𝐷, 𝐶)‘𝑁)𝐷(𝐶‘(𝑁 + 1))))
6 ruc.5 . . . 4 𝐺 = seq0(𝐷, 𝐶)
76fveq1i 6921 . . 3 (𝐺‘(𝑁 + 1)) = (seq0(𝐷, 𝐶)‘(𝑁 + 1))
86fveq1i 6921 . . . 4 (𝐺𝑁) = (seq0(𝐷, 𝐶)‘𝑁)
98oveq1i 7458 . . 3 ((𝐺𝑁)𝐷(𝐶‘(𝑁 + 1))) = ((seq0(𝐷, 𝐶)‘𝑁)𝐷(𝐶‘(𝑁 + 1)))
105, 7, 93eqtr4g 2805 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑁 + 1)) = ((𝐺𝑁)𝐷(𝐶‘(𝑁 + 1))))
11 nn0p1nn 12592 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
1211adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
1312nnne0d 12343 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ≠ 0)
1413necomd 3002 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≠ (𝑁 + 1))
15 ruc.4 . . . . . . 7 𝐶 = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ 𝐹)
1615equncomi 4183 . . . . . 6 𝐶 = (𝐹 ∪ {⟨0, ⟨0, 1⟩⟩})
1716fveq1i 6921 . . . . 5 (𝐶‘(𝑁 + 1)) = ((𝐹 ∪ {⟨0, ⟨0, 1⟩⟩})‘(𝑁 + 1))
18 fvunsn 7213 . . . . 5 (0 ≠ (𝑁 + 1) → ((𝐹 ∪ {⟨0, ⟨0, 1⟩⟩})‘(𝑁 + 1)) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
1917, 18eqtrid 2792 . . . 4 (0 ≠ (𝑁 + 1) → (𝐶‘(𝑁 + 1)) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
2014, 19syl 17 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐶‘(𝑁 + 1)) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
2120oveq2d 7464 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑁)𝐷(𝐶‘(𝑁 + 1))) = ((𝐺𝑁)𝐷(𝐹‘(𝑁 + 1))))
2210, 21eqtrd 2780 1 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑁 + 1)) = ((𝐺𝑁)𝐷(𝐹‘(𝑁 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2108  wne 2946  csb 3921  cun 3974  ifcif 4548  {csn 4648  cop 4654   class class class wbr 5166   × cxp 5698  wf 6569  cfv 6573  (class class class)co 7448  cmpo 7450  1st c1st 8028  2nd c2nd 8029  cr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   < clt 11324   / cdiv 11947  cn 12293  2c2 12348  0cn0 12553  cuz 12903  seqcseq 14052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-seq 14053
This theorem is referenced by:  ruclem8  16285  ruclem9  16286  ruclem12  16289
  Copyright terms: Public domain W3C validator