Theorem ruclem7 16204

Description: Lemma for ruc 16211. Successor value for the interval sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ruc.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
ruc.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑥 ∈ (ℝ × ℝ), 𝑦 ∈ ℝ ↦ ⦋(((1st ‘𝑥) + (2nd ‘𝑥)) / 2) / 𝑚⦌if(𝑚 < 𝑦, ⟨(1st ‘𝑥), 𝑚⟩, ⟨((𝑚 + (2nd ‘𝑥)) / 2), (2nd ‘𝑥)⟩)))
ruc.4	⊢ 𝐶 = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ 𝐹)
ruc.5	⊢ 𝐺 = seq0(𝐷, 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
ruclem7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑁 + 1)) = ((𝐺‘𝑁)𝐷(𝐹‘(𝑁 + 1))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐹   𝑚,𝐺,𝑥,𝑦   𝑚,𝑁,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑚)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑚)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑚)

Proof of Theorem ruclem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		nn0uz 12835	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
3	1, 2	eleqtrdi 2838	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
4		seqp1 13981	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → (seq0(𝐷, 𝐶)‘(𝑁 + 1)) = ((seq0(𝐷, 𝐶)‘𝑁)𝐷(𝐶‘(𝑁 + 1))))
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (seq0(𝐷, 𝐶)‘(𝑁 + 1)) = ((seq0(𝐷, 𝐶)‘𝑁)𝐷(𝐶‘(𝑁 + 1))))
6		ruc.5	. . . 4 ⊢ 𝐺 = seq0(𝐷, 𝐶)
7	6	fveq1i 6859	. . 3 ⊢ (𝐺‘(𝑁 + 1)) = (seq0(𝐷, 𝐶)‘(𝑁 + 1))
8	6	fveq1i 6859	. . . 4 ⊢ (𝐺‘𝑁) = (seq0(𝐷, 𝐶)‘𝑁)
9	8	oveq1i 7397	. . 3 ⊢ ((𝐺‘𝑁)𝐷(𝐶‘(𝑁 + 1))) = ((seq0(𝐷, 𝐶)‘𝑁)𝐷(𝐶‘(𝑁 + 1)))
10	5, 7, 9	3eqtr4g 2789	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑁 + 1)) = ((𝐺‘𝑁)𝐷(𝐶‘(𝑁 + 1))))
11		nn0p1nn 12481	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
12	11	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
13	12	nnne0d 12236	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ≠ 0)
14	13	necomd 2980	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≠ (𝑁 + 1))
15		ruc.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ 𝐹)
16	15	equncomi 4123	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (𝐹 ∪ {⟨0, ⟨0, 1⟩⟩})
17	16	fveq1i 6859	. . . . 5 ⊢ (𝐶‘(𝑁 + 1)) = ((𝐹 ∪ {⟨0, ⟨0, 1⟩⟩})‘(𝑁 + 1))
18		fvunsn 7153	. . . . 5 ⊢ (0 ≠ (𝑁 + 1) → ((𝐹 ∪ {⟨0, ⟨0, 1⟩⟩})‘(𝑁 + 1)) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
19	17, 18	eqtrid 2776	. . . 4 ⊢ (0 ≠ (𝑁 + 1) → (𝐶‘(𝑁 + 1)) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
20	14, 19	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐶‘(𝑁 + 1)) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
21	20	oveq2d 7403	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑁)𝐷(𝐶‘(𝑁 + 1))) = ((𝐺‘𝑁)𝐷(𝐹‘(𝑁 + 1))))
22	10, 21	eqtrd 2764	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑁 + 1)) = ((𝐺‘𝑁)𝐷(𝐹‘(𝑁 + 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ⦋csb 3862   ∪ cun 3912  ifcif 4488  {csn 4589  ⟨cop 4595   class class class wbr 5107   × cxp 5636  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ∈ cmpo 7389  1^st c1st 7966  2^nd c2nd 7967  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   < clt 11208   / cdiv 11835  ℕcn 12186  2c2 12241  ℕ₀cn0 12442  ℤ_≥cuz 12793  seqcseq 13966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-seq 13967

This theorem is referenced by:  ruclem8  16205  ruclem9  16206  ruclem12  16209