MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ruclem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ruclem7 16183
Description: Lemma for ruc 16190. Successor value for the interval sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ruc.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„)
ruc.2 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (π‘₯ ∈ (ℝ Γ— ℝ), 𝑦 ∈ ℝ ↦ ⦋(((1st β€˜π‘₯) + (2nd β€˜π‘₯)) / 2) / π‘šβ¦Œif(π‘š < 𝑦, ⟨(1st β€˜π‘₯), π‘šβŸ©, ⟨((π‘š + (2nd β€˜π‘₯)) / 2), (2nd β€˜π‘₯)⟩)))
ruc.4 𝐢 = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} βˆͺ 𝐹)
ruc.5 𝐺 = seq0(𝐷, 𝐢)
Assertion
Ref Expression
ruclem7 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (πΊβ€˜(𝑁 + 1)) = ((πΊβ€˜π‘)𝐷(πΉβ€˜(𝑁 + 1))))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘š,𝑦,𝐹   π‘š,𝐺,π‘₯,𝑦   π‘š,𝑁,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,π‘š)   𝐢(π‘₯,𝑦,π‘š)   𝐷(π‘₯,𝑦,π‘š)

Proof of Theorem ruclem7
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2 nn0uz 12865 . . . . 5 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
31, 2eleqtrdi 2837 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
4 seqp1 13984 . . . 4 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (seq0(𝐷, 𝐢)β€˜(𝑁 + 1)) = ((seq0(𝐷, 𝐢)β€˜π‘)𝐷(πΆβ€˜(𝑁 + 1))))
53, 4syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (seq0(𝐷, 𝐢)β€˜(𝑁 + 1)) = ((seq0(𝐷, 𝐢)β€˜π‘)𝐷(πΆβ€˜(𝑁 + 1))))
6 ruc.5 . . . 4 𝐺 = seq0(𝐷, 𝐢)
76fveq1i 6885 . . 3 (πΊβ€˜(𝑁 + 1)) = (seq0(𝐷, 𝐢)β€˜(𝑁 + 1))
86fveq1i 6885 . . . 4 (πΊβ€˜π‘) = (seq0(𝐷, 𝐢)β€˜π‘)
98oveq1i 7414 . . 3 ((πΊβ€˜π‘)𝐷(πΆβ€˜(𝑁 + 1))) = ((seq0(𝐷, 𝐢)β€˜π‘)𝐷(πΆβ€˜(𝑁 + 1)))
105, 7, 93eqtr4g 2791 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (πΊβ€˜(𝑁 + 1)) = ((πΊβ€˜π‘)𝐷(πΆβ€˜(𝑁 + 1))))
11 nn0p1nn 12512 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•)
1211adantl 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•)
1312nnne0d 12263 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 + 1) β‰  0)
1413necomd 2990 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 0 β‰  (𝑁 + 1))
15 ruc.4 . . . . . . 7 𝐢 = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} βˆͺ 𝐹)
1615equncomi 4150 . . . . . 6 𝐢 = (𝐹 βˆͺ {⟨0, ⟨0, 1⟩⟩})
1716fveq1i 6885 . . . . 5 (πΆβ€˜(𝑁 + 1)) = ((𝐹 βˆͺ {⟨0, ⟨0, 1⟩⟩})β€˜(𝑁 + 1))
18 fvunsn 7172 . . . . 5 (0 β‰  (𝑁 + 1) β†’ ((𝐹 βˆͺ {⟨0, ⟨0, 1⟩⟩})β€˜(𝑁 + 1)) = (πΉβ€˜(𝑁 + 1)))
1917, 18eqtrid 2778 . . . 4 (0 β‰  (𝑁 + 1) β†’ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)) = (πΉβ€˜(𝑁 + 1)))
2014, 19syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (πΆβ€˜(𝑁 + 1)) = (πΉβ€˜(𝑁 + 1)))
2120oveq2d 7420 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((πΊβ€˜π‘)𝐷(πΆβ€˜(𝑁 + 1))) = ((πΊβ€˜π‘)𝐷(πΉβ€˜(𝑁 + 1))))
2210, 21eqtrd 2766 1 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (πΊβ€˜(𝑁 + 1)) = ((πΊβ€˜π‘)𝐷(πΉβ€˜(𝑁 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  β¦‹csb 3888   βˆͺ cun 3941  ifcif 4523  {csn 4623  βŸ¨cop 4629   class class class wbr 5141   Γ— cxp 5667  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ∈ cmpo 7406  1st c1st 7969  2nd c2nd 7970  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   < clt 11249   / cdiv 11872  β„•cn 12213  2c2 12268  β„•0cn0 12473  β„€β‰₯cuz 12823  seqcseq 13969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-seq 13970
This theorem is referenced by:  ruclem8  16184  ruclem9  16185  ruclem12  16188
  Copyright terms: Public domain W3C validator