Theorem ruclem7 16179

Description: Lemma for ruc 16186. Successor value for the interval sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ruc.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
ruc.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑥 ∈ (ℝ × ℝ), 𝑦 ∈ ℝ ↦ ⦋(((1st ‘𝑥) + (2nd ‘𝑥)) / 2) / 𝑚⦌if(𝑚 < 𝑦, ⟨(1st ‘𝑥), 𝑚⟩, ⟨((𝑚 + (2nd ‘𝑥)) / 2), (2nd ‘𝑥)⟩)))
ruc.4	⊢ 𝐶 = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ 𝐹)
ruc.5	⊢ 𝐺 = seq0(𝐷, 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
ruclem7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑁 + 1)) = ((𝐺‘𝑁)𝐷(𝐹‘(𝑁 + 1))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐹   𝑚,𝐺,𝑥,𝑦   𝑚,𝑁,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑚)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑚)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑚)

Proof of Theorem ruclem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		nn0uz 12864	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
3	1, 2	eleqtrdi 2844	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
4		seqp1 13981	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → (seq0(𝐷, 𝐶)‘(𝑁 + 1)) = ((seq0(𝐷, 𝐶)‘𝑁)𝐷(𝐶‘(𝑁 + 1))))
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (seq0(𝐷, 𝐶)‘(𝑁 + 1)) = ((seq0(𝐷, 𝐶)‘𝑁)𝐷(𝐶‘(𝑁 + 1))))
6		ruc.5	. . . 4 ⊢ 𝐺 = seq0(𝐷, 𝐶)
7	6	fveq1i 6893	. . 3 ⊢ (𝐺‘(𝑁 + 1)) = (seq0(𝐷, 𝐶)‘(𝑁 + 1))
8	6	fveq1i 6893	. . . 4 ⊢ (𝐺‘𝑁) = (seq0(𝐷, 𝐶)‘𝑁)
9	8	oveq1i 7419	. . 3 ⊢ ((𝐺‘𝑁)𝐷(𝐶‘(𝑁 + 1))) = ((seq0(𝐷, 𝐶)‘𝑁)𝐷(𝐶‘(𝑁 + 1)))
10	5, 7, 9	3eqtr4g 2798	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑁 + 1)) = ((𝐺‘𝑁)𝐷(𝐶‘(𝑁 + 1))))
11		nn0p1nn 12511	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
12	11	adantl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
13	12	nnne0d 12262	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ≠ 0)
14	13	necomd 2997	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≠ (𝑁 + 1))
15		ruc.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ 𝐹)
16	15	equncomi 4156	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (𝐹 ∪ {⟨0, ⟨0, 1⟩⟩})
17	16	fveq1i 6893	. . . . 5 ⊢ (𝐶‘(𝑁 + 1)) = ((𝐹 ∪ {⟨0, ⟨0, 1⟩⟩})‘(𝑁 + 1))
18		fvunsn 7177	. . . . 5 ⊢ (0 ≠ (𝑁 + 1) → ((𝐹 ∪ {⟨0, ⟨0, 1⟩⟩})‘(𝑁 + 1)) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
19	17, 18	eqtrid 2785	. . . 4 ⊢ (0 ≠ (𝑁 + 1) → (𝐶‘(𝑁 + 1)) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
20	14, 19	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐶‘(𝑁 + 1)) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
21	20	oveq2d 7425	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑁)𝐷(𝐶‘(𝑁 + 1))) = ((𝐺‘𝑁)𝐷(𝐹‘(𝑁 + 1))))
22	10, 21	eqtrd 2773	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑁 + 1)) = ((𝐺‘𝑁)𝐷(𝐹‘(𝑁 + 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ⦋csb 3894   ∪ cun 3947  ifcif 4529  {csn 4629  ⟨cop 4635   class class class wbr 5149   × cxp 5675  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  1^st c1st 7973  2^nd c2nd 7974  ℝcr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   < clt 11248   / cdiv 11871  ℕcn 12212  2c2 12267  ℕ₀cn0 12472  ℤ_≥cuz 12822  seqcseq 13966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-seq 13967

This theorem is referenced by:  ruclem8  16180  ruclem9  16181  ruclem12  16184