Theorem nnsum4primesevenALTV 48566

Description: If the (strong) ternary Goldbach conjecture is valid, then every even integer greater than 10 is the sum of 4 primes. (Contributed by AV, 27-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnsum4primesevenALTV	⊢ (∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓‘𝑘)))

Distinct variable group:   𝑓,𝑁,𝑘,𝑚

Proof of Theorem nnsum4primesevenALTV

Dummy variables 𝑜 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 786	. . . . 5 ⊢ ((((∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → ∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ))
2		8nn 12331	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℕ
3	2	nnzi 12613	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℤ
4	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) → 8 ∈ ℤ)
5		3z 12622	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℤ
6	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) → 3 ∈ ℤ)
7	4, 6	zaddcld 12699	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) → (8 + 3) ∈ ℤ)
8		eluzelz 12867	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) → 𝑁 ∈ ℤ)
9		eluz2 12863	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ↔ (;12 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ;12 ≤ 𝑁))
10		8p4e12 12793	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (8 + 4) = ;12
11	10	breq1i 5116	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((8 + 4) ≤ 𝑁 ↔ ;12 ≤ 𝑁)
12		1nn0 12515	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℕ0
13		2nn 12309	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℕ
14		1lt2 12408	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 < 2
15	12, 12, 13, 14	declt 12739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;11 < ;12
16		8p3e11 12792	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (8 + 3) = ;11
17	15, 16, 10	3brtr4i 5141	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (8 + 3) < (8 + 4)
18		8re 12332	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 8 ∈ ℝ
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 8 ∈ ℝ)
20		3re 12316	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 ∈ ℝ
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 3 ∈ ℝ)
22	19, 21	readdcld 11233	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (8 + 3) ∈ ℝ)
23		4re 12320	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 4 ∈ ℝ
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 4 ∈ ℝ)
25	19, 24	readdcld 11233	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (8 + 4) ∈ ℝ)
26		zre 12590	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
27		ltleletr 11298	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((8 + 3) ∈ ℝ ∧ (8 + 4) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((8 + 3) < (8 + 4) ∧ (8 + 4) ≤ 𝑁) → (8 + 3) ≤ 𝑁))
28	22, 25, 26, 27	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((8 + 3) < (8 + 4) ∧ (8 + 4) ≤ 𝑁) → (8 + 3) ≤ 𝑁))
29	17, 28	mpani 708	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((8 + 4) ≤ 𝑁 → (8 + 3) ≤ 𝑁))
30	11, 29	biimtrrid 246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (;12 ≤ 𝑁 → (8 + 3) ≤ 𝑁))
31	30	imp 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ;12 ≤ 𝑁) → (8 + 3) ≤ 𝑁)
32	31	3adant1 1148	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;12 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ;12 ≤ 𝑁) → (8 + 3) ≤ 𝑁)
33	9, 32	sylbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) → (8 + 3) ≤ 𝑁)
34		eluz2 12863	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(8 + 3)) ↔ ((8 + 3) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (8 + 3) ≤ 𝑁))
35	7, 8, 33, 34	syl3anbrc 1362	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(8 + 3)))
36		eluzsub 12887	. . . . . . . 8 ⊢ ((8 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(8 + 3))) → (𝑁 − 3) ∈ (ℤ≥‘8))
37	4, 6, 35, 36	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) → (𝑁 − 3) ∈ (ℤ≥‘8))
38	37	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑁 − 3) ∈ (ℤ≥‘8))
39	38	ad3antlr 743	. . . . 5 ⊢ ((((∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → (𝑁 − 3) ∈ (ℤ≥‘8))
40		3odd 48473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ Odd
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) → 3 ∈ Odd )
42	41	anim1i 626	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (3 ∈ Odd ∧ 𝑁 ∈ Even ))
43	42	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even )) → (3 ∈ Odd ∧ 𝑁 ∈ Even ))
44	43	ancomd 466	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even )) → (𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ))
45	44	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) → (𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ))
46	45	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((((∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → (𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ))
47		emoo 48469	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ) → (𝑁 − 3) ∈ Odd )
48	46, 47	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((((∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → (𝑁 − 3) ∈ Odd )
49		nnsum4primesoddALTV 48562	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ) → (((𝑁 − 3) ∈ (ℤ≥‘8) ∧ (𝑁 − 3) ∈ Odd ) → ∃𝑔 ∈ (ℙ ↑m (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘)))
50	49	imp 411	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ∧ ((𝑁 − 3) ∈ (ℤ≥‘8) ∧ (𝑁 − 3) ∈ Odd )) → ∃𝑔 ∈ (ℙ ↑m (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘))
51	1, 39, 48, 50	syl12anc 849	. . . 4 ⊢ ((((∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → ∃𝑔 ∈ (ℙ ↑m (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘))
52		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 𝑔:(1...3)⟶ℙ)
53		4z 12623	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 4 ∈ ℤ
54		fzonel 13698	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ¬ 4 ∈ (1..^4)
55		fzoval 13684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (4 ∈ ℤ → (1..^4) = (1...(4 − 1)))
56	53, 55	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (1..^4) = (1...(4 − 1))
57		4cn 12321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 4 ∈ ℂ
58		ax-1cn 11153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 1 ∈ ℂ
59		3cn 12317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 3 ∈ ℂ
60		3p1e4 12380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (3 + 1) = 4
61		subadd2 11456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((4 − 1) = 3 ↔ (3 + 1) = 4))
62	60, 61	mpbiri 261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → (4 − 1) = 3)
63	57, 58, 59, 62	mp3an 1490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (4 − 1) = 3
64	63	oveq2i 7421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (1...(4 − 1)) = (1...3)
65	56, 64	eqtri 2786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1..^4) = (1...3)
66	65	eqcomi 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1...3) = (1..^4)
67	66	eleq2i 2855	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (4 ∈ (1...3) ↔ 4 ∈ (1..^4))
68	54, 67	mtbir 326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ¬ 4 ∈ (1...3)
69	53, 68	pm3.2i 475	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (4 ∈ ℤ ∧ ¬ 4 ∈ (1...3))
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (4 ∈ ℤ ∧ ¬ 4 ∈ (1...3)))
71		3prm 16747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 ∈ ℙ
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 3 ∈ ℙ)
73		fsnunf 7183	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑔:(1...3)⟶ℙ ∧ (4 ∈ ℤ ∧ ¬ 4 ∈ (1...3)) ∧ 3 ∈ ℙ) → (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):((1...3) ∪ {4})⟶ℙ)
74	52, 70, 72, 73	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):((1...3) ∪ {4})⟶ℙ)
75		fzval3 13759	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (4 ∈ ℤ → (1...4) = (1..^(4 + 1)))
76	53, 75	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1...4) = (1..^(4 + 1))
77		1z 12619	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ∈ ℤ
78		1re 11203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ ℝ
79		1lt4 12414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 < 4
80	78, 23, 79	ltleii 11328	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ≤ 4
81		eluz2 12863	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 4))
82	77, 53, 80, 81	mpbir3an 1360	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘1)
83		fzosplitsn 13801	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘1) → (1..^(4 + 1)) = ((1..^4) ∪ {4}))
84	82, 83	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1..^(4 + 1)) = ((1..^4) ∪ {4})
85	65	uneq1i 4118	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1..^4) ∪ {4}) = ((1...3) ∪ {4})
86	76, 84, 85	3eqtri 2790	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1...4) = ((1...3) ∪ {4})
87	86	feq2i 6697	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):(1...4)⟶ℙ ↔ (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):((1...3) ∪ {4})⟶ℙ)
88	74, 87	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):(1...4)⟶ℙ)
89		prmex 16730	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℙ ∈ V
90		ovex 7443	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1...4) ∈ V
91	89, 90	pm3.2i 475	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℙ ∈ V ∧ (1...4) ∈ V)
92		elmapg 8832	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ℙ ∈ V ∧ (1...4) ∈ V) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) ∈ (ℙ ↑m (1...4)) ↔ (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):(1...4)⟶ℙ))
93	91, 92	mp1i 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) ∈ (ℙ ↑m (1...4)) ↔ (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):(1...4)⟶ℙ))
94	88, 93	mpbird 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) ∈ (ℙ ↑m (1...4)))
95	94	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘)) → (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) ∈ (ℙ ↑m (1...4)))
96		fveq1 6880	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) → (𝑓‘𝑘) = ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
97	96	sumeq2sdv 15750	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) → Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
98	97	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) → (𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓‘𝑘) ↔ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘)))
99	98	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘)) ∧ 𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})) → (𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓‘𝑘) ↔ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘)))
100	82	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 4 ∈ (ℤ≥‘1))
101	86	eleq2i 2855	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ (1...4) ↔ 𝑘 ∈ ((1...3) ∪ {4}))
102		elun 4107	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ((1...3) ∪ {4}) ↔ (𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 ∈ {4}))
103		velsn 4605	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ {4} ↔ 𝑘 = 4)
104	103	orbi2i 925	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 ∈ {4}) ↔ (𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 = 4))
105	101, 102, 104	3bitri 300	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (1...4) ↔ (𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 = 4))
106		elfz2 13537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 ∈ (1...3) ↔ ((1 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 3)))
107	20, 23	pm3.2i 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ)
108		3lt4 12412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ 3 < 4
109		ltnle 11284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ) → (3 < 4 ↔ ¬ 4 ≤ 3))
110	108, 109	mpbii 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ) → ¬ 4 ≤ 3)
111	107, 110	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ¬ 4 ≤ 3
112		breq1 5112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑘 = 4 → (𝑘 ≤ 3 ↔ 4 ≤ 3))
113	112	eqcoms 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (4 = 𝑘 → (𝑘 ≤ 3 ↔ 4 ≤ 3))
114	111, 113	mtbiri 330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (4 = 𝑘 → ¬ 𝑘 ≤ 3)
115	114	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (4 = 𝑘 → ¬ 𝑘 ≤ 3))
116	115	necon2ad 2973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 ≤ 3 → 4 ≠ 𝑘))
117	116	adantld 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → ((1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 3) → 4 ≠ 𝑘))
118	117	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 3) → 4 ≠ 𝑘))
119	118	imp 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 3)) → 4 ≠ 𝑘)
120	106, 119	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 ∈ (1...3) → 4 ≠ 𝑘)
121	120	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 4 ≠ 𝑘)
122		fvunsn 7177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (4 ≠ 𝑘 → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (𝑔‘𝑘))
123	121, 122	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (𝑔‘𝑘))
124		ffvelcdm 7076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑔:(1...3)⟶ℙ ∧ 𝑘 ∈ (1...3)) → (𝑔‘𝑘) ∈ ℙ)
125	124	ancoms 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔‘𝑘) ∈ ℙ)
126		prmz 16728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑔‘𝑘) ∈ ℙ → (𝑔‘𝑘) ∈ ℤ)
127	125, 126	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔‘𝑘) ∈ ℤ)
128	127	zcnd 12696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔‘𝑘) ∈ ℂ)
129	123, 128	eqeltrd 2863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ)
130	129	ex 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ (1...3) → (𝑔:(1...3)⟶ℙ → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
131	130	adantld 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ (1...3) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
132		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = 4 → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4))
133	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑔:(1...3)⟶ℙ → 4 ∈ ℤ)
134	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑔:(1...3)⟶ℙ → 3 ∈ ℤ)
135		fdm 6715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑔:(1...3)⟶ℙ → dom 𝑔 = (1...3))
136		eleq2 2852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (dom 𝑔 = (1...3) → (4 ∈ dom 𝑔 ↔ 4 ∈ (1...3)))
137	68, 136	mtbiri 330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (dom 𝑔 = (1...3) → ¬ 4 ∈ dom 𝑔)
138	135, 137	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑔:(1...3)⟶ℙ → ¬ 4 ∈ dom 𝑔)
139		fsnunfv 7185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((4 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ ¬ 4 ∈ dom 𝑔) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4) = 3)
140	133, 134, 138, 139	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑔:(1...3)⟶ℙ → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4) = 3)
141	140	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4) = 3)
142	132, 141	sylan9eq 2818	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 = 4 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ)) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = 3)
143	142, 59	eqeltrdi 2871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 = 4 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ)) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ)
144	143	ex 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 4 → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
145	131, 144	jaoi 870	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 = 4) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
146	145	com12 33	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 = 4) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
147	105, 146	biimtrid 245	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑘 ∈ (1...4) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
148	147	imp 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ)
149	100, 148, 132	fsumm1 15798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)))
150	149	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘)) → Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)))
151	63	eqcomi 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 3 = (4 − 1)
152	151	oveq2i 7421	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1...3) = (1...(4 − 1))
153	152	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (1...3) = (1...(4 − 1)))
154	120	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...3)) → 4 ≠ 𝑘)
155	154, 122	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...3)) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (𝑔‘𝑘))
156	155	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...3)) → (𝑔‘𝑘) = ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
157	153, 156	sumeq12dv 15753	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
158	157	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘) ↔ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘)))
159	158	biimpa 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘)) → (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
160	159	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘)) → Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (𝑁 − 3))
161	160	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘)) → (Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)) = ((𝑁 − 3) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)))
162	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 4 ∈ ℤ)
163	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 3 ∈ ℤ)
164	138	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ¬ 4 ∈ dom 𝑔)
165	162, 163, 164, 139	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4) = 3)
166	165	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑁 − 3) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)) = ((𝑁 − 3) + 3))
167		eluzelcn 12869	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) → 𝑁 ∈ ℂ)
168	59	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) → 3 ∈ ℂ)
169	167, 168	npcand 11568	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) → ((𝑁 − 3) + 3) = 𝑁)
170	169	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑁 − 3) + 3) = 𝑁)
171	166, 170	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑁 − 3) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)) = 𝑁)
172	171	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘)) → ((𝑁 − 3) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)) = 𝑁)
173	150, 161, 172	3eqtrrd 2803	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘)) → 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
174	95, 99, 173	rspcedvd 3583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘)) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓‘𝑘))
175	174	ex 417	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓‘𝑘)))
176	175	expcom 418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔:(1...3)⟶ℙ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) → ((𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓‘𝑘))))
177		elmapi 8842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 ∈ (ℙ ↑m (1...3)) → 𝑔:(1...3)⟶ℙ)
178	176, 177	syl11 34	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) → (𝑔 ∈ (ℙ ↑m (1...3)) → ((𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓‘𝑘))))
179	178	rexlimdv 3164	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) → (∃𝑔 ∈ (ℙ ↑m (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓‘𝑘)))
180	179	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (∃𝑔 ∈ (ℙ ↑m (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓‘𝑘)))
181	180	ad3antlr 743	. . . 4 ⊢ ((((∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → (∃𝑔 ∈ (ℙ ↑m (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓‘𝑘)))
182	51, 181	mpd 16	. . 3 ⊢ ((((∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓‘𝑘))
183		evengpoap3 48564	. . . 4 ⊢ (∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOdd 𝑁 = (𝑜 + 3)))
184	183	imp 411	. . 3 ⊢ ((∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even )) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOdd 𝑁 = (𝑜 + 3))
185	182, 184	r19.29a 3173	. 2 ⊢ ((∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even )) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓‘𝑘))
186	185	ex 417	1 ⊢ (∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOdd ) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘;12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓‘𝑘)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  Vcvv 3455   ∪ cun 3903  {csn 4589  ⟨cop 4595   class class class wbr 5109  dom cdm 5661  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↑_m cmap 8820  ℂcc 11093  ℝcr 11094  1c1 11096   + caddc 11098   < clt 11238   ≤ cle 11239   − cmin 11436  2c2 12290  3c3 12291  4c4 12292  7c7 12295  8c8 12296  ℤcz 12586  ;cdc 12706  ℤ_≥cuz 12857  ...cfz 13530  ..^cfzo 13678  Σcsu 15733  ℙcprime 16724   Even ceven 48389   Odd codd 48390   GoldbachOdd cgbo 48512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-rp 13012  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-sum 15734  df-dvds 16306  df-prm 16725  df-even 48391  df-odd 48392  df-gbo 48515

This theorem is referenced by: (None)