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Theorem nnsum4primesevenALTV 44245
Description: If the (strong) ternary Goldbach conjecture is valid, then every even integer greater than 10 is the sum of 4 primes. (Contributed by AV, 27-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
nnsum4primesevenALTV (∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) → ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘)))
Distinct variable group:   𝑓,𝑁,𝑘,𝑚

Proof of Theorem nnsum4primesevenALTV
Dummy variables 𝑜 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplll 774 . . . . 5 ((((∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → ∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ))
2 8nn 11729 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℕ
32nnzi 12003 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℤ
43a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ12) → 8 ∈ ℤ)
5 3z 12012 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℤ
65a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ12) → 3 ∈ ℤ)
74, 6zaddcld 12088 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ12) → (8 + 3) ∈ ℤ)
8 eluzelz 12250 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ12) → 𝑁 ∈ ℤ)
9 eluz2 12246 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ12) ↔ (12 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 12 ≤ 𝑁))
10 8p4e12 12177 . . . . . . . . . . . . . 14 (8 + 4) = 12
1110breq1i 5059 . . . . . . . . . . . . 13 ((8 + 4) ≤ 𝑁12 ≤ 𝑁)
12 1nn0 11910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℕ0
13 2nn 11707 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℕ
14 1lt2 11805 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 < 2
1512, 12, 13, 14declt 12123 . . . . . . . . . . . . . . 15 11 < 12
16 8p3e11 12176 . . . . . . . . . . . . . . 15 (8 + 3) = 11
1715, 16, 103brtr4i 5082 . . . . . . . . . . . . . 14 (8 + 3) < (8 + 4)
18 8re 11730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 8 ∈ ℝ
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℤ → 8 ∈ ℝ)
20 3re 11714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ ℝ
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℤ → 3 ∈ ℝ)
2219, 21readdcld 10668 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℤ → (8 + 3) ∈ ℝ)
23 4re 11718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4 ∈ ℝ
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℤ → 4 ∈ ℝ)
2519, 24readdcld 10668 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℤ → (8 + 4) ∈ ℝ)
26 zre 11982 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
27 ltleletr 10731 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((8 + 3) ∈ ℝ ∧ (8 + 4) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((8 + 3) < (8 + 4) ∧ (8 + 4) ≤ 𝑁) → (8 + 3) ≤ 𝑁))
2822, 25, 26, 27syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℤ → (((8 + 3) < (8 + 4) ∧ (8 + 4) ≤ 𝑁) → (8 + 3) ≤ 𝑁))
2917, 28mpani 695 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → ((8 + 4) ≤ 𝑁 → (8 + 3) ≤ 𝑁))
3011, 29syl5bir 246 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → (12 ≤ 𝑁 → (8 + 3) ≤ 𝑁))
3130imp 410 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 12 ≤ 𝑁) → (8 + 3) ≤ 𝑁)
32313adant1 1127 . . . . . . . . . 10 ((12 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 12 ≤ 𝑁) → (8 + 3) ≤ 𝑁)
339, 32sylbi 220 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ12) → (8 + 3) ≤ 𝑁)
34 eluz2 12246 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘(8 + 3)) ↔ ((8 + 3) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (8 + 3) ≤ 𝑁))
357, 8, 33, 34syl3anbrc 1340 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ12) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(8 + 3)))
36 eluzsub 12271 . . . . . . . 8 ((8 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(8 + 3))) → (𝑁 − 3) ∈ (ℤ‘8))
374, 6, 35, 36syl3anc 1368 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ12) → (𝑁 − 3) ∈ (ℤ‘8))
3837adantr 484 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑁 − 3) ∈ (ℤ‘8))
3938ad3antlr 730 . . . . 5 ((((∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → (𝑁 − 3) ∈ (ℤ‘8))
40 3odd 44152 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ Odd
4140a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ12) → 3 ∈ Odd )
4241anim1i 617 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (3 ∈ Odd ∧ 𝑁 ∈ Even ))
4342adantl 485 . . . . . . . . 9 ((∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even )) → (3 ∈ Odd ∧ 𝑁 ∈ Even ))
4443ancomd 465 . . . . . . . 8 ((∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even )) → (𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ))
4544adantr 484 . . . . . . 7 (((∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) → (𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ))
4645adantr 484 . . . . . 6 ((((∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → (𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ))
47 emoo 44148 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ) → (𝑁 − 3) ∈ Odd )
4846, 47syl 17 . . . . 5 ((((∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → (𝑁 − 3) ∈ Odd )
49 nnsum4primesoddALTV 44241 . . . . . 6 (∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) → (((𝑁 − 3) ∈ (ℤ‘8) ∧ (𝑁 − 3) ∈ Odd ) → ∃𝑔 ∈ (ℙ ↑m (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)))
5049imp 410 . . . . 5 ((∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ∧ ((𝑁 − 3) ∈ (ℤ‘8) ∧ (𝑁 − 3) ∈ Odd )) → ∃𝑔 ∈ (ℙ ↑m (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘))
511, 39, 48, 50syl12anc 835 . . . 4 ((((∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → ∃𝑔 ∈ (ℙ ↑m (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘))
52 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 𝑔:(1...3)⟶ℙ)
53 4z 12013 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4 ∈ ℤ
54 fzonel 13055 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ¬ 4 ∈ (1..^4)
55 fzoval 13043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (4 ∈ ℤ → (1..^4) = (1...(4 − 1)))
5653, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1..^4) = (1...(4 − 1))
57 4cn 11719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4 ∈ ℂ
58 ax-1cn 10593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 ∈ ℂ
59 3cn 11715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3 ∈ ℂ
60 3p1e4 11779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (3 + 1) = 4
61 subadd2 10888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((4 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((4 − 1) = 3 ↔ (3 + 1) = 4))
6260, 61mpbiri 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((4 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → (4 − 1) = 3)
6357, 58, 59, 62mp3an 1458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (4 − 1) = 3
6463oveq2i 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1...(4 − 1)) = (1...3)
6556, 64eqtri 2847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1..^4) = (1...3)
6665eqcomi 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1...3) = (1..^4)
6766eleq2i 2907 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (4 ∈ (1...3) ↔ 4 ∈ (1..^4))
6854, 67mtbir 326 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ¬ 4 ∈ (1...3)
6953, 68pm3.2i 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (4 ∈ ℤ ∧ ¬ 4 ∈ (1...3))
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (4 ∈ ℤ ∧ ¬ 4 ∈ (1...3)))
71 3prm 16036 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℙ
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 3 ∈ ℙ)
73 fsnunf 6938 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑔:(1...3)⟶ℙ ∧ (4 ∈ ℤ ∧ ¬ 4 ∈ (1...3)) ∧ 3 ∈ ℙ) → (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):((1...3) ∪ {4})⟶ℙ)
7452, 70, 72, 73syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):((1...3) ∪ {4})⟶ℙ)
75 fzval3 13110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (4 ∈ ℤ → (1...4) = (1..^(4 + 1)))
7653, 75ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1...4) = (1..^(4 + 1))
77 1z 12009 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℤ
78 1re 10639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℝ
79 1lt4 11810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 < 4
8078, 23, 79ltleii 10761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ≤ 4
81 eluz2 12246 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (4 ∈ (ℤ‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 4))
8277, 53, 80, 81mpbir3an 1338 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4 ∈ (ℤ‘1)
83 fzosplitsn 13149 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (4 ∈ (ℤ‘1) → (1..^(4 + 1)) = ((1..^4) ∪ {4}))
8482, 83ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1..^(4 + 1)) = ((1..^4) ∪ {4})
8565uneq1i 4121 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1..^4) ∪ {4}) = ((1...3) ∪ {4})
8676, 84, 853eqtri 2851 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1...4) = ((1...3) ∪ {4})
8786feq2i 6495 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):(1...4)⟶ℙ ↔ (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):((1...3) ∪ {4})⟶ℙ)
8874, 87sylibr 237 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):(1...4)⟶ℙ)
89 prmex 16019 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℙ ∈ V
90 ovex 7182 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1...4) ∈ V
9189, 90pm3.2i 474 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℙ ∈ V ∧ (1...4) ∈ V)
92 elmapg 8415 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℙ ∈ V ∧ (1...4) ∈ V) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) ∈ (ℙ ↑m (1...4)) ↔ (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):(1...4)⟶ℙ))
9391, 92mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) ∈ (ℙ ↑m (1...4)) ↔ (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):(1...4)⟶ℙ))
9488, 93mpbird 260 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) ∈ (ℙ ↑m (1...4)))
9594adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) → (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) ∈ (ℙ ↑m (1...4)))
96 fveq1 6660 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) → (𝑓𝑘) = ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
9796sumeq2sdv 15061 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) → Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
9897eqeq2d 2835 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) → (𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘) ↔ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘)))
9998adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) ∧ 𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})) → (𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘) ↔ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘)))
10082a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 4 ∈ (ℤ‘1))
10186eleq2i 2907 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (1...4) ↔ 𝑘 ∈ ((1...3) ∪ {4}))
102 elun 4111 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ((1...3) ∪ {4}) ↔ (𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 ∈ {4}))
103 velsn 4566 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ {4} ↔ 𝑘 = 4)
104103orbi2i 910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 ∈ {4}) ↔ (𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 = 4))
105101, 102, 1043bitri 300 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (1...4) ↔ (𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 = 4))
106 elfz2 12901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 ∈ (1...3) ↔ ((1 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 3)))
10720, 23pm3.2i 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ)
108 3lt4 11808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3 < 4
109 ltnle 10718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ) → (3 < 4 ↔ ¬ 4 ≤ 3))
110108, 109mpbii 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ) → ¬ 4 ≤ 3)
111107, 110ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ¬ 4 ≤ 3
112 breq1 5055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑘 = 4 → (𝑘 ≤ 3 ↔ 4 ≤ 3))
113112eqcoms 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (4 = 𝑘 → (𝑘 ≤ 3 ↔ 4 ≤ 3))
114111, 113mtbiri 330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (4 = 𝑘 → ¬ 𝑘 ≤ 3)
115114a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑘 ∈ ℤ → (4 = 𝑘 → ¬ 𝑘 ≤ 3))
116115necon2ad 3029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 ≤ 3 → 4 ≠ 𝑘))
117116adantld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑘 ∈ ℤ → ((1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 3) → 4 ≠ 𝑘))
1181173ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((1 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 3) → 4 ≠ 𝑘))
119118imp 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((1 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 3)) → 4 ≠ 𝑘)
120106, 119sylbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 ∈ (1...3) → 4 ≠ 𝑘)
121120adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 4 ≠ 𝑘)
122 fvunsn 6932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (4 ≠ 𝑘 → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (𝑔𝑘))
123121, 122syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (𝑔𝑘))
124 ffvelrn 6840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑔:(1...3)⟶ℙ ∧ 𝑘 ∈ (1...3)) → (𝑔𝑘) ∈ ℙ)
125124ancoms 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔𝑘) ∈ ℙ)
126 prmz 16017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑔𝑘) ∈ ℙ → (𝑔𝑘) ∈ ℤ)
127125, 126syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔𝑘) ∈ ℤ)
128127zcnd 12085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔𝑘) ∈ ℂ)
129123, 128eqeltrd 2916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ)
130129ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (1...3) → (𝑔:(1...3)⟶ℙ → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
131130adantld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (1...3) → ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
132 fveq2 6661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 4 → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4))
13353a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑔:(1...3)⟶ℙ → 4 ∈ ℤ)
1345a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑔:(1...3)⟶ℙ → 3 ∈ ℤ)
135 fdm 6511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑔:(1...3)⟶ℙ → dom 𝑔 = (1...3))
136 eleq2 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (dom 𝑔 = (1...3) → (4 ∈ dom 𝑔 ↔ 4 ∈ (1...3)))
13768, 136mtbiri 330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (dom 𝑔 = (1...3) → ¬ 4 ∈ dom 𝑔)
138135, 137syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑔:(1...3)⟶ℙ → ¬ 4 ∈ dom 𝑔)
139 fsnunfv 6940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((4 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ ¬ 4 ∈ dom 𝑔) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4) = 3)
140133, 134, 138, 139syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑔:(1...3)⟶ℙ → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4) = 3)
141140adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4) = 3)
142132, 141sylan9eq 2879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 = 4 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ)) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = 3)
143142, 59eqeltrdi 2924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 = 4 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ)) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ)
144143ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 4 → ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
145131, 144jaoi 854 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 = 4) → ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
146145com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 = 4) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
147105, 146syl5bi 245 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑘 ∈ (1...4) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
148147imp 410 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ)
149100, 148, 132fsumm1 15106 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)))
150149adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) → Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)))
15163eqcomi 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3 = (4 − 1)
152151oveq2i 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1...3) = (1...(4 − 1))
153152a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (1...3) = (1...(4 − 1)))
154120adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...3)) → 4 ≠ 𝑘)
155154, 122syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...3)) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (𝑔𝑘))
156155eqcomd 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...3)) → (𝑔𝑘) = ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
157153, 156sumeq12dv 15063 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
158157eqeq2d 2835 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘) ↔ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘)))
159158biimpa 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) → (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
160159eqcomd 2830 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) → Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (𝑁 − 3))
161160oveq1d 7164 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) → (Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)) = ((𝑁 − 3) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)))
16253a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 4 ∈ ℤ)
1635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 3 ∈ ℤ)
164138adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ¬ 4 ∈ dom 𝑔)
165162, 163, 164, 139syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4) = 3)
166165oveq2d 7165 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑁 − 3) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)) = ((𝑁 − 3) + 3))
167 eluzelcn 12252 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ12) → 𝑁 ∈ ℂ)
16859a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ12) → 3 ∈ ℂ)
169167, 168npcand 10999 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ12) → ((𝑁 − 3) + 3) = 𝑁)
170169adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑁 − 3) + 3) = 𝑁)
171166, 170eqtrd 2859 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑁 − 3) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)) = 𝑁)
172171adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) → ((𝑁 − 3) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)) = 𝑁)
173150, 161, 1723eqtrrd 2864 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) → 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
17495, 99, 173rspcedvd 3612 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘))
175174ex 416 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘)))
176175expcom 417 . . . . . . . 8 (𝑔:(1...3)⟶ℙ → (𝑁 ∈ (ℤ12) → ((𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘))))
177 elmapi 8424 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ (ℙ ↑m (1...3)) → 𝑔:(1...3)⟶ℙ)
178176, 177syl11 33 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ12) → (𝑔 ∈ (ℙ ↑m (1...3)) → ((𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘))))
179178rexlimdv 3275 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ12) → (∃𝑔 ∈ (ℙ ↑m (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘)))
180179adantr 484 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (∃𝑔 ∈ (ℙ ↑m (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘)))
181180ad3antlr 730 . . . 4 ((((∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → (∃𝑔 ∈ (ℙ ↑m (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘)))
18251, 181mpd 15 . . 3 ((((∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘))
183 evengpoap3 44243 . . . 4 (∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) → ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOdd 𝑁 = (𝑜 + 3)))
184183imp 410 . . 3 ((∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even )) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOdd 𝑁 = (𝑜 + 3))
185182, 184r19.29a 3281 . 2 ((∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even )) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘))
186185ex 416 1 (∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) → ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  wral 3133  wrex 3134  Vcvv 3480  cun 3917  {csn 4550  cop 4556   class class class wbr 5052  dom cdm 5542  wf 6339  cfv 6343  (class class class)co 7149  m cmap 8402  cc 10533  cr 10534  1c1 10536   + caddc 10538   < clt 10673  cle 10674  cmin 10868  2c2 11689  3c3 11690  4c4 11691  7c7 11694  8c8 11695  cz 11978  cdc 12095  cuz 12240  ...cfz 12894  ..^cfzo 13037  Σcsu 15042  cprime 16013   Even ceven 44068   Odd codd 44069   GoldbachOdd cgbo 44191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-sup 8903  df-oi 8971  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-rp 12387  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-seq 13374  df-exp 13435  df-hash 13696  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-sum 15043  df-dvds 15608  df-prm 16014  df-even 44070  df-odd 44071  df-gbo 44194
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