Theorem nnsum4primeseven 44745

Description: If the (weak) ternary Goldbach conjecture is valid, then every even integer greater than 8 is the sum of 4 primes. (Contributed by AV, 25-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnsum4primeseven	⊢ (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓‘𝑘)))

Distinct variable group:   𝑓,𝑁,𝑘,𝑚

Proof of Theorem nnsum4primeseven

Dummy variables 𝑜 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evengpop3 44743	. . . 4 ⊢ (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOddW 𝑁 = (𝑜 + 3)))
2	1	imp 410	. . 3 ⊢ ((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOddW 𝑁 = (𝑜 + 3))
3		simplll 774	. . . . . 6 ⊢ ((((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOddW ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → ∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
4		6nn 11777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 6 ∈ ℕ
5	4	nnzi 12059	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ ℤ
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) → 6 ∈ ℤ)
7		3z 12068	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℤ
8	7	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) → 3 ∈ ℤ)
9		6p3e9 11848	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (6 + 3) = 9
10	9	eqcomi 2768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 9 = (6 + 3)
11	10	fveq2i 6667	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ≥‘9) = (ℤ≥‘(6 + 3))
12	11	eleq2i 2844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(6 + 3)))
13	12	biimpi 219	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(6 + 3)))
14		eluzsub 12328	. . . . . . . . 9 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(6 + 3))) → (𝑁 − 3) ∈ (ℤ≥‘6))
15	6, 8, 13, 14	syl3anc 1369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) → (𝑁 − 3) ∈ (ℤ≥‘6))
16	15	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑁 − 3) ∈ (ℤ≥‘6))
17	16	ad3antlr 730	. . . . . 6 ⊢ ((((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOddW ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → (𝑁 − 3) ∈ (ℤ≥‘6))
18		3odd 44653	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ Odd
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) → 3 ∈ Odd )
20	19	anim1i 617	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (3 ∈ Odd ∧ 𝑁 ∈ Even ))
21	20	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) → (3 ∈ Odd ∧ 𝑁 ∈ Even ))
22	21	ancomd 465	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) → (𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ))
23	22	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOddW ) → (𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ))
24	23	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOddW ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → (𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ))
25		emoo 44649	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ) → (𝑁 − 3) ∈ Odd )
26	24, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOddW ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → (𝑁 − 3) ∈ Odd )
27		nnsum4primesodd 44741	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → (((𝑁 − 3) ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑁 − 3) ∈ Odd ) → ∃𝑔 ∈ (ℙ ↑m (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘)))
28	27	imp 410	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ ((𝑁 − 3) ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑁 − 3) ∈ Odd )) → ∃𝑔 ∈ (ℙ ↑m (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘))
29	3, 17, 26, 28	syl12anc 835	. . . . 5 ⊢ ((((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOddW ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → ∃𝑔 ∈ (ℙ ↑m (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘))
30		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 𝑔:(1...3)⟶ℙ)
31		4z 12069	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 4 ∈ ℤ
32		fzonel 13114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ¬ 4 ∈ (1..^4)
33		fzoval 13102	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (4 ∈ ℤ → (1..^4) = (1...(4 − 1)))
34	31, 33	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1..^4) = (1...(4 − 1))
35		4cn 11773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 4 ∈ ℂ
36		ax-1cn 10647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 1 ∈ ℂ
37		3cn 11769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 3 ∈ ℂ
38	35, 36, 37	3pm3.2i 1337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (4 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ)
39		3p1e4 11833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (3 + 1) = 4
40		subadd2 10942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((4 − 1) = 3 ↔ (3 + 1) = 4))
41	39, 40	mpbiri 261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → (4 − 1) = 3)
42	38, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (4 − 1) = 3
43	42	oveq2i 7168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1...(4 − 1)) = (1...3)
44	34, 43	eqtri 2782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (1..^4) = (1...3)
45	44	eqcomi 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1...3) = (1..^4)
46	45	eleq2i 2844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (4 ∈ (1...3) ↔ 4 ∈ (1..^4))
47	32, 46	mtbir 326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ¬ 4 ∈ (1...3)
48	31, 47	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (4 ∈ ℤ ∧ ¬ 4 ∈ (1...3))
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (4 ∈ ℤ ∧ ¬ 4 ∈ (1...3)))
50		3prm 16105	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 ∈ ℙ
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 3 ∈ ℙ)
52		fsnunf 6945	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑔:(1...3)⟶ℙ ∧ (4 ∈ ℤ ∧ ¬ 4 ∈ (1...3)) ∧ 3 ∈ ℙ) → (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):((1...3) ∪ {4})⟶ℙ)
53	30, 49, 51, 52	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):((1...3) ∪ {4})⟶ℙ)
54		fzval3 13169	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (4 ∈ ℤ → (1...4) = (1..^(4 + 1)))
55	31, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1...4) = (1..^(4 + 1))
56		1z 12065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ ℤ
57		1re 10693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 ∈ ℝ
58		4re 11772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 4 ∈ ℝ
59		1lt4 11864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 < 4
60	57, 58, 59	ltleii 10815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ≤ 4
61		eluz2 12302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 4))
62	56, 31, 60, 61	mpbir3an 1339	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘1)
63		fzosplitsn 13208	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘1) → (1..^(4 + 1)) = ((1..^4) ∪ {4}))
64	62, 63	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1..^(4 + 1)) = ((1..^4) ∪ {4})
65	44	uneq1i 4067	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1..^4) ∪ {4}) = ((1...3) ∪ {4})
66	55, 64, 65	3eqtri 2786	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1...4) = ((1...3) ∪ {4})
67	66	feq2i 6496	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):(1...4)⟶ℙ ↔ (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):((1...3) ∪ {4})⟶ℙ)
68	53, 67	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):(1...4)⟶ℙ)
69		prmex 16088	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℙ ∈ V
70		ovex 7190	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1...4) ∈ V
71	69, 70	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℙ ∈ V ∧ (1...4) ∈ V)
72		elmapg 8436	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℙ ∈ V ∧ (1...4) ∈ V) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) ∈ (ℙ ↑m (1...4)) ↔ (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):(1...4)⟶ℙ))
73	71, 72	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) ∈ (ℙ ↑m (1...4)) ↔ (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):(1...4)⟶ℙ))
74	68, 73	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) ∈ (ℙ ↑m (1...4)))
75	74	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘)) → (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) ∈ (ℙ ↑m (1...4)))
76		fveq1 6663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) → (𝑓‘𝑘) = ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
77	76	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑓‘𝑘) = ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
78	77	sumeq2dv 15122	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) → Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
79	78	eqeq2d 2770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) → (𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓‘𝑘) ↔ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘)))
80	79	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘)) ∧ 𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})) → (𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓‘𝑘) ↔ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘)))
81	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 4 ∈ (ℤ≥‘1))
82	66	eleq2i 2844	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ (1...4) ↔ 𝑘 ∈ ((1...3) ∪ {4}))
83		elun 4057	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ((1...3) ∪ {4}) ↔ (𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 ∈ {4}))
84		velsn 4542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ {4} ↔ 𝑘 = 4)
85	84	orbi2i 910	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 ∈ {4}) ↔ (𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 = 4))
86	82, 83, 85	3bitri 300	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ (1...4) ↔ (𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 = 4))
87		elfz2 12960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑘 ∈ (1...3) ↔ ((1 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 3)))
88		3re 11768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ 3 ∈ ℝ
89	88, 58	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ)
90		3lt4 11862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ 3 < 4
91		ltnle 10772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ) → (3 < 4 ↔ ¬ 4 ≤ 3))
92	90, 91	mpbii 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ) → ¬ 4 ≤ 3)
93	89, 92	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ¬ 4 ≤ 3
94		breq1 5040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑘 = 4 → (𝑘 ≤ 3 ↔ 4 ≤ 3))
95	94	eqcoms 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (4 = 𝑘 → (𝑘 ≤ 3 ↔ 4 ≤ 3))
96	93, 95	mtbiri 330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (4 = 𝑘 → ¬ 𝑘 ≤ 3)
97	96	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (4 = 𝑘 → ¬ 𝑘 ≤ 3))
98	97	necon2ad 2967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 ≤ 3 → 4 ≠ 𝑘))
99	98	adantld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → ((1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 3) → 4 ≠ 𝑘))
100	99	3ad2ant3 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 3) → 4 ≠ 𝑘))
101	100	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 3)) → 4 ≠ 𝑘)
102	87, 101	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 ∈ (1...3) → 4 ≠ 𝑘)
103	102	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 4 ≠ 𝑘)
104		fvunsn 6939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (4 ≠ 𝑘 → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (𝑔‘𝑘))
105	103, 104	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (𝑔‘𝑘))
106		ffvelrn 6847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑔:(1...3)⟶ℙ ∧ 𝑘 ∈ (1...3)) → (𝑔‘𝑘) ∈ ℙ)
107	106	ancoms 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔‘𝑘) ∈ ℙ)
108		prmz 16086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑔‘𝑘) ∈ ℙ → (𝑔‘𝑘) ∈ ℤ)
109	107, 108	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔‘𝑘) ∈ ℤ)
110	109	zcnd 12141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔‘𝑘) ∈ ℂ)
111	105, 110	eqeltrd 2853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ)
112	111	ex 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ (1...3) → (𝑔:(1...3)⟶ℙ → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
113	112	adantld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ (1...3) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
114		fveq2 6664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = 4 → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4))
115	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑔:(1...3)⟶ℙ → 4 ∈ ℤ)
116	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑔:(1...3)⟶ℙ → 3 ∈ ℤ)
117		fdm 6512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑔:(1...3)⟶ℙ → dom 𝑔 = (1...3))
118		eleq2 2841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (dom 𝑔 = (1...3) → (4 ∈ dom 𝑔 ↔ 4 ∈ (1...3)))
119	47, 118	mtbiri 330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (dom 𝑔 = (1...3) → ¬ 4 ∈ dom 𝑔)
120	117, 119	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑔:(1...3)⟶ℙ → ¬ 4 ∈ dom 𝑔)
121		fsnunfv 6947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((4 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ ¬ 4 ∈ dom 𝑔) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4) = 3)
122	115, 116, 120, 121	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑔:(1...3)⟶ℙ → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4) = 3)
123	122	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4) = 3)
124	114, 123	sylan9eq 2814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 = 4 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ)) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = 3)
125	124, 37	eqeltrdi 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 = 4 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ)) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ)
126	125	ex 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 4 → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
127	113, 126	jaoi 854	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 = 4) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
128	127	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 = 4) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
129	86, 128	syl5bi 245	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑘 ∈ (1...4) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
130	129	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ)
131	81, 130, 114	fsumm1 15168	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)))
132	131	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘)) → Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)))
133	42	eqcomi 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 3 = (4 − 1)
134	133	oveq2i 7168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1...3) = (1...(4 − 1))
135	134	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (1...3) = (1...(4 − 1)))
136	102	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...3)) → 4 ≠ 𝑘)
137	136, 104	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...3)) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (𝑔‘𝑘))
138	137	eqcomd 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...3)) → (𝑔‘𝑘) = ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
139	135, 138	sumeq12dv 15125	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
140	139	eqeq2d 2770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘) ↔ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘)))
141	140	biimpa 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘)) → (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
142	141	eqcomd 2765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘)) → Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (𝑁 − 3))
143	142	oveq1d 7172	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘)) → (Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)) = ((𝑁 − 3) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)))
144	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 4 ∈ ℤ)
145	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 3 ∈ ℤ)
146	120	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ¬ 4 ∈ dom 𝑔)
147	144, 145, 146, 121	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4) = 3)
148	147	oveq2d 7173	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑁 − 3) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)) = ((𝑁 − 3) + 3))
149		eluzelcn 12308	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) → 𝑁 ∈ ℂ)
150	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) → 3 ∈ ℂ)
151	149, 150	npcand 11053	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) → ((𝑁 − 3) + 3) = 𝑁)
152	151	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑁 − 3) + 3) = 𝑁)
153	148, 152	eqtrd 2794	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑁 − 3) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)) = 𝑁)
154	153	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘)) → ((𝑁 − 3) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)) = 𝑁)
155	132, 143, 154	3eqtrrd 2799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘)) → 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
156	75, 80, 155	rspcedvd 3547	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘)) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓‘𝑘))
157	156	ex 416	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓‘𝑘)))
158	157	expcom 417	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔:(1...3)⟶ℙ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) → ((𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓‘𝑘))))
159		elmapi 8445	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 ∈ (ℙ ↑m (1...3)) → 𝑔:(1...3)⟶ℙ)
160	158, 159	syl11 33	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) → (𝑔 ∈ (ℙ ↑m (1...3)) → ((𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓‘𝑘))))
161	160	rexlimdv 3208	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) → (∃𝑔 ∈ (ℙ ↑m (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓‘𝑘)))
162	161	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (∃𝑔 ∈ (ℙ ↑m (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓‘𝑘)))
163	162	ad3antlr 730	. . . . 5 ⊢ ((((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOddW ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → (∃𝑔 ∈ (ℙ ↑m (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓‘𝑘)))
164	29, 163	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOddW ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓‘𝑘))
165	164	rexlimdva2 3212	. . 3 ⊢ ((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) → (∃𝑜 ∈ GoldbachOddW 𝑁 = (𝑜 + 3) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓‘𝑘)))
166	2, 165	mpd 15	. 2 ⊢ ((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓‘𝑘))
167	166	ex 416	1 ⊢ (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓‘𝑘)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2952  ∀wral 3071  ∃wrex 3072  Vcvv 3410   ∪ cun 3859  {csn 4526  ⟨cop 4532   class class class wbr 5037  dom cdm 5529  ⟶wf 6337  ‘cfv 6341  (class class class)co 7157   ↑_m cmap 8423  ℂcc 10587  ℝcr 10588  1c1 10590   + caddc 10592   < clt 10727   ≤ cle 10728   − cmin 10922  3c3 11744  4c4 11745  5c5 11746  6c6 11747  9c9 11750  ℤcz 12034  ℤ_≥cuz 12296  ...cfz 12953  ..^cfzo 13096  Σcsu 15104  ℙcprime 16082   Even ceven 44569   Odd codd 44570   GoldbachOddW cgbow 44691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5161  ax-sep 5174  ax-nul 5181  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7466  ax-inf2 9151  ax-cnex 10645  ax-resscn 10646  ax-1cn 10647  ax-icn 10648  ax-addcl 10649  ax-addrcl 10650  ax-mulcl 10651  ax-mulrcl 10652  ax-mulcom 10653  ax-addass 10654  ax-mulass 10655  ax-distr 10656  ax-i2m1 10657  ax-1ne0 10658  ax-1rid 10659  ax-rnegex 10660  ax-rrecex 10661  ax-cnre 10662  ax-pre-lttri 10663  ax-pre-lttrn 10664  ax-pre-ltadd 10665  ax-pre-mulgt0 10666  ax-pre-sup 10667

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3700  df-csb 3809  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4229  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4803  df-int 4843  df-iun 4889  df-br 5038  df-opab 5100  df-mpt 5118  df-tr 5144  df-id 5435  df-eprel 5440  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-se 5489  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6132  df-ord 6178  df-on 6179  df-lim 6180  df-suc 6181  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-isom 6350  df-riota 7115  df-ov 7160  df-oprab 7161  df-mpo 7162  df-om 7587  df-1st 7700  df-2nd 7701  df-wrecs 7964  df-recs 8025  df-rdg 8063  df-1o 8119  df-2o 8120  df-er 8306  df-map 8425  df-en 8542  df-dom 8543  df-sdom 8544  df-fin 8545  df-sup 8953  df-oi 9021  df-card 9415  df-pnf 10729  df-mnf 10730  df-xr 10731  df-ltxr 10732  df-le 10733  df-sub 10924  df-neg 10925  df-div 11350  df-nn 11689  df-2 11751  df-3 11752  df-4 11753  df-5 11754  df-6 11755  df-7 11756  df-8 11757  df-9 11758  df-n0 11949  df-z 12035  df-uz 12297  df-rp 12445  df-fz 12954  df-fzo 13097  df-seq 13433  df-exp 13494  df-hash 13755  df-cj 14520  df-re 14521  df-im 14522  df-sqrt 14656  df-abs 14657  df-clim 14907  df-sum 15105  df-dvds 15670  df-prm 16083  df-even 44571  df-odd 44572  df-gbow 44694

This theorem is referenced by:  wtgoldbnnsum4prm  44747