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Theorem nnsum4primeseven 42263
Description: If the (weak) ternary Goldbach conjecture is valid, then every even integer greater than 8 is the sum of 4 primes. (Contributed by AV, 25-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
nnsum4primeseven (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘)))
Distinct variable group:   𝑓,𝑁,𝑘,𝑚

Proof of Theorem nnsum4primeseven
Dummy variables 𝑜 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evengpop3 42261 . . . 4 (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOddW 𝑁 = (𝑜 + 3)))
21imp 395 . . 3 ((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOddW 𝑁 = (𝑜 + 3))
3 simplll 782 . . . . . . 7 ((((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOddW ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → ∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
4 6nn 11466 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℕ
54nnzi 11667 . . . . . . . . . . 11 6 ∈ ℤ
65a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → 6 ∈ ℤ)
7 3z 11676 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℤ
87a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → 3 ∈ ℤ)
9 6p3e9 11451 . . . . . . . . . . . . . 14 (6 + 3) = 9
109eqcomi 2815 . . . . . . . . . . . . 13 9 = (6 + 3)
1110fveq2i 6411 . . . . . . . . . . . 12 (ℤ‘9) = (ℤ‘(6 + 3))
1211eleq2i 2877 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘(6 + 3)))
1312biimpi 207 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(6 + 3)))
14 eluzsub 11934 . . . . . . . . . 10 ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(6 + 3))) → (𝑁 − 3) ∈ (ℤ‘6))
156, 8, 13, 14syl3anc 1483 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → (𝑁 − 3) ∈ (ℤ‘6))
1615adantr 468 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑁 − 3) ∈ (ℤ‘6))
1716ad3antlr 713 . . . . . . 7 ((((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOddW ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → (𝑁 − 3) ∈ (ℤ‘6))
18 3odd 42192 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ Odd
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → 3 ∈ Odd )
2019anim1i 604 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (3 ∈ Odd ∧ 𝑁 ∈ Even ))
2120adantl 469 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) → (3 ∈ Odd ∧ 𝑁 ∈ Even ))
2221ancomd 451 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) → (𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ))
2322adantr 468 . . . . . . . . 9 (((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOddW ) → (𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ))
2423adantr 468 . . . . . . . 8 ((((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOddW ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → (𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ))
25 emoo 42188 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ) → (𝑁 − 3) ∈ Odd )
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 ((((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOddW ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → (𝑁 − 3) ∈ Odd )
27 nnsum4primesodd 42259 . . . . . . . 8 (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → (((𝑁 − 3) ∈ (ℤ‘6) ∧ (𝑁 − 3) ∈ Odd ) → ∃𝑔 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)))
2827imp 395 . . . . . . 7 ((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ ((𝑁 − 3) ∈ (ℤ‘6) ∧ (𝑁 − 3) ∈ Odd )) → ∃𝑔 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘))
293, 17, 26, 28syl12anc 856 . . . . . 6 ((((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOddW ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → ∃𝑔 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘))
30 simpr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 𝑔:(1...3)⟶ℙ)
31 4z 11677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4 ∈ ℤ
32 fzonel 12707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ¬ 4 ∈ (1..^4)
33 fzoval 12695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (4 ∈ ℤ → (1..^4) = (1...(4 − 1)))
3431, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1..^4) = (1...(4 − 1))
35 4cn 11382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4 ∈ ℂ
36 ax-1cn 10279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1 ∈ ℂ
37 3cn 11379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3 ∈ ℂ
3835, 36, 373pm3.2i 1431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (4 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ)
39 3p1e4 11436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (3 + 1) = 4
40 subadd2 10570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((4 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((4 − 1) = 3 ↔ (3 + 1) = 4))
4139, 40mpbiri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((4 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → (4 − 1) = 3)
4238, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (4 − 1) = 3
4342oveq2i 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1...(4 − 1)) = (1...3)
4434, 43eqtri 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1..^4) = (1...3)
4544eqcomi 2815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1...3) = (1..^4)
4645eleq2i 2877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (4 ∈ (1...3) ↔ 4 ∈ (1..^4))
4732, 46mtbir 314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ¬ 4 ∈ (1...3)
4831, 47pm3.2i 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (4 ∈ ℤ ∧ ¬ 4 ∈ (1...3))
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (4 ∈ ℤ ∧ ¬ 4 ∈ (1...3)))
50 3prm 15624 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 ∈ ℙ
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 3 ∈ ℙ)
52 fsnunf 6676 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑔:(1...3)⟶ℙ ∧ (4 ∈ ℤ ∧ ¬ 4 ∈ (1...3)) ∧ 3 ∈ ℙ) → (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):((1...3) ∪ {4})⟶ℙ)
5330, 49, 51, 52syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):((1...3) ∪ {4})⟶ℙ)
54 fzval3 12761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (4 ∈ ℤ → (1...4) = (1..^(4 + 1)))
5531, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1...4) = (1..^(4 + 1))
56 1z 11673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ℤ
57 1re 10325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ ℝ
58 4re 11381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4 ∈ ℝ
59 1lt4 11475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 < 4
6057, 58, 59ltleii 10445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ≤ 4
61 eluz2 11910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (4 ∈ (ℤ‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 4))
6256, 31, 60, 61mpbir3an 1434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4 ∈ (ℤ‘1)
63 fzosplitsn 12800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (4 ∈ (ℤ‘1) → (1..^(4 + 1)) = ((1..^4) ∪ {4}))
6462, 63ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1..^(4 + 1)) = ((1..^4) ∪ {4})
6544uneq1i 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1..^4) ∪ {4}) = ((1...3) ∪ {4})
6655, 64, 653eqtri 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1...4) = ((1...3) ∪ {4})
6766feq2i 6248 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):(1...4)⟶ℙ ↔ (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):((1...3) ∪ {4})⟶ℙ)
6853, 67sylibr 225 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):(1...4)⟶ℙ)
69 prmex 15609 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℙ ∈ V
70 ovex 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1...4) ∈ V
7169, 70pm3.2i 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℙ ∈ V ∧ (1...4) ∈ V)
72 elmapg 8105 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ℙ ∈ V ∧ (1...4) ∈ V) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4)) ↔ (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):(1...4)⟶ℙ))
7371, 72mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4)) ↔ (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):(1...4)⟶ℙ))
7468, 73mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4)))
7574adantr 468 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) → (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4)))
76 fveq1 6407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) → (𝑓𝑘) = ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
7776adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑓𝑘) = ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
7877sumeq2dv 14656 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) → Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
7978eqeq2d 2816 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) → (𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘) ↔ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘)))
8079adantl 469 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) ∧ 𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})) → (𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘) ↔ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘)))
8162a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 4 ∈ (ℤ‘1))
8266eleq2i 2877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (1...4) ↔ 𝑘 ∈ ((1...3) ∪ {4}))
83 elun 3952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ((1...3) ∪ {4}) ↔ (𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 ∈ {4}))
84 velsn 4386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ {4} ↔ 𝑘 = 4)
8584orbi2i 927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 ∈ {4}) ↔ (𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 = 4))
8682, 83, 853bitri 288 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (1...4) ↔ (𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 = 4))
87 elfz2 12556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑘 ∈ (1...3) ↔ ((1 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 3)))
88 3re 11378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3 ∈ ℝ
8988, 58pm3.2i 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ)
90 3lt4 11473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3 < 4
91 ltnle 10402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ) → (3 < 4 ↔ ¬ 4 ≤ 3))
9290, 91mpbii 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ) → ¬ 4 ≤ 3)
9389, 92ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ¬ 4 ≤ 3
94 breq1 4847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑘 = 4 → (𝑘 ≤ 3 ↔ 4 ≤ 3))
9594eqcoms 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (4 = 𝑘 → (𝑘 ≤ 3 ↔ 4 ≤ 3))
9693, 95mtbiri 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (4 = 𝑘 → ¬ 𝑘 ≤ 3)
9796a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑘 ∈ ℤ → (4 = 𝑘 → ¬ 𝑘 ≤ 3))
9897necon2ad 2993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 ≤ 3 → 4 ≠ 𝑘))
9998adantld 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑘 ∈ ℤ → ((1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 3) → 4 ≠ 𝑘))
100993ad2ant3 1158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((1 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 3) → 4 ≠ 𝑘))
101100imp 395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((1 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 3)) → 4 ≠ 𝑘)
10287, 101sylbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘 ∈ (1...3) → 4 ≠ 𝑘)
103102adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 4 ≠ 𝑘)
104 fvunsn 6670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (4 ≠ 𝑘 → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (𝑔𝑘))
105103, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (𝑔𝑘))
106 ffvelrn 6579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑔:(1...3)⟶ℙ ∧ 𝑘 ∈ (1...3)) → (𝑔𝑘) ∈ ℙ)
107106ancoms 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔𝑘) ∈ ℙ)
108 prmz 15607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑔𝑘) ∈ ℙ → (𝑔𝑘) ∈ ℤ)
109107, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔𝑘) ∈ ℤ)
110109zcnd 11749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔𝑘) ∈ ℂ)
111105, 110eqeltrd 2885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ)
112111ex 399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ (1...3) → (𝑔:(1...3)⟶ℙ → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
113112adantld 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (1...3) → ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
114 fveq2 6408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = 4 → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4))
11531a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑔:(1...3)⟶ℙ → 4 ∈ ℤ)
1167a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑔:(1...3)⟶ℙ → 3 ∈ ℤ)
117 fdm 6264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑔:(1...3)⟶ℙ → dom 𝑔 = (1...3))
118 eleq2 2874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (dom 𝑔 = (1...3) → (4 ∈ dom 𝑔 ↔ 4 ∈ (1...3)))
11947, 118mtbiri 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (dom 𝑔 = (1...3) → ¬ 4 ∈ dom 𝑔)
120117, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑔:(1...3)⟶ℙ → ¬ 4 ∈ dom 𝑔)
121 fsnunfv 6678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((4 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ ¬ 4 ∈ dom 𝑔) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4) = 3)
122115, 116, 120, 121syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑔:(1...3)⟶ℙ → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4) = 3)
123122adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4) = 3)
124114, 123sylan9eq 2860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑘 = 4 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ)) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = 3)
125124, 37syl6eqel 2893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑘 = 4 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ)) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ)
126125ex 399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 4 → ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
127113, 126jaoi 875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 = 4) → ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
128127com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 = 4) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
12986, 128syl5bi 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑘 ∈ (1...4) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
130129imp 395 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ)
13181, 130, 114fsumm1 14703 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)))
132131adantr 468 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) → Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)))
13342eqcomi 2815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3 = (4 − 1)
134133oveq2i 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1...3) = (1...(4 − 1))
135134a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (1...3) = (1...(4 − 1)))
136102adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...3)) → 4 ≠ 𝑘)
137136, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...3)) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (𝑔𝑘))
138137eqcomd 2812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...3)) → (𝑔𝑘) = ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
139135, 138sumeq12dv 14660 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
140139eqeq2d 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘) ↔ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘)))
141140biimpa 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) → (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
142141eqcomd 2812 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) → Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (𝑁 − 3))
143142oveq1d 6889 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) → (Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)) = ((𝑁 − 3) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)))
14431a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 4 ∈ ℤ)
1457a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 3 ∈ ℤ)
146120adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ¬ 4 ∈ dom 𝑔)
147144, 145, 146, 121syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4) = 3)
148147oveq2d 6890 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑁 − 3) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)) = ((𝑁 − 3) + 3))
149 eluzelcn 11916 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → 𝑁 ∈ ℂ)
15037a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → 3 ∈ ℂ)
151149, 150npcand 10681 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → ((𝑁 − 3) + 3) = 𝑁)
152151adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑁 − 3) + 3) = 𝑁)
153148, 152eqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑁 − 3) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)) = 𝑁)
154153adantr 468 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) → ((𝑁 − 3) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)) = 𝑁)
155132, 143, 1543eqtrrd 2845 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) → 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
15675, 80, 155rspcedvd 3509 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘))
157156ex 399 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘)))
158157expcom 400 . . . . . . . . . 10 (𝑔:(1...3)⟶ℙ → (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → ((𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘))))
159 elmapi 8114 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3)) → 𝑔:(1...3)⟶ℙ)
160158, 159syl11 33 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → (𝑔 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3)) → ((𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘))))
161160rexlimdv 3218 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → (∃𝑔 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘)))
162161adantr 468 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (∃𝑔 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘)))
163162ad3antlr 713 . . . . . 6 ((((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOddW ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → (∃𝑔 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘)))
16429, 163mpd 15 . . . . 5 ((((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOddW ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘))
165164ex 399 . . . 4 (((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOddW ) → (𝑁 = (𝑜 + 3) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘)))
166165rexlimdva 3219 . . 3 ((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) → (∃𝑜 ∈ GoldbachOddW 𝑁 = (𝑜 + 3) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘)))
1672, 166mpd 15 . 2 ((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘))
168167ex 399 1 (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wo 865  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2156  wne 2978  wral 3096  wrex 3097  Vcvv 3391  cun 3767  {csn 4370  cop 4376   class class class wbr 4844  dom cdm 5311  wf 6097  cfv 6101  (class class class)co 6874  𝑚 cmap 8092  cc 10219  cr 10220  1c1 10222   + caddc 10224   < clt 10359  cle 10360  cmin 10551  3c3 11357  4c4 11358  5c5 11359  6c6 11360  9c9 11363  cz 11643  cuz 11904  ...cfz 12549  ..^cfzo 12689  Σcsu 14639  cprime 15603   Even ceven 42112   Odd codd 42113   GoldbachOddW cgbow 42209
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-inf2 8785  ax-cnex 10277  ax-resscn 10278  ax-1cn 10279  ax-icn 10280  ax-addcl 10281  ax-addrcl 10282  ax-mulcl 10283  ax-mulrcl 10284  ax-mulcom 10285  ax-addass 10286  ax-mulass 10287  ax-distr 10288  ax-i2m1 10289  ax-1ne0 10290  ax-1rid 10291  ax-rnegex 10292  ax-rrecex 10293  ax-cnre 10294  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296  ax-pre-ltadd 10297  ax-pre-mulgt0 10298  ax-pre-sup 10299
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-om 7296  df-1st 7398  df-2nd 7399  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-1o 7796  df-2o 7797  df-oadd 7800  df-er 7979  df-map 8094  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-fin 8196  df-sup 8587  df-inf 8588  df-oi 8654  df-card 9048  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-xr 10363  df-ltxr 10364  df-le 10365  df-sub 10553  df-neg 10554  df-div 10970  df-nn 11306  df-2 11364  df-3 11365  df-4 11366  df-5 11367  df-6 11368  df-7 11369  df-8 11370  df-9 11371  df-n0 11560  df-z 11644  df-uz 11905  df-rp 12047  df-fz 12550  df-fzo 12690  df-seq 13025  df-exp 13084  df-hash 13338  df-cj 14062  df-re 14063  df-im 14064  df-sqrt 14198  df-abs 14199  df-clim 14442  df-sum 14640  df-dvds 15204  df-prm 15604  df-even 42114  df-odd 42115  df-gbow 42212
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