Theorem nnsum4primeseven 49165

Description: If the (weak) ternary Goldbach conjecture is valid, then every even integer greater than 8 is the sum of 4 primes. (Contributed by AV, 25-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnsum4primeseven	⊢ (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓‘𝑘)))

Distinct variable group:   𝑓,𝑁,𝑘,𝑚

Proof of Theorem nnsum4primeseven

Dummy variables 𝑜 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evengpop3 49163	. . . 4 ⊢ (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOddW 𝑁 = (𝑜 + 3)))
2	1	imp 412	. . 3 ⊢ ((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOddW 𝑁 = (𝑜 + 3))
3		simplll 787	. . . . . 6 ⊢ ((((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOddW ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → ∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
4		6nn 12470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 6 ∈ ℕ
5	4	nnzi 12758	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ ℤ
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) → 6 ∈ ℤ)
7		3z 12767	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℤ
8	7	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) → 3 ∈ ℤ)
9		6p3e9 12540	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (6 + 3) = 9
10	9	eqcomi 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 9 = (6 + 3)
11	10	fveq2i 6917	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ≥‘9) = (ℤ≥‘(6 + 3))
12	11	eleq2i 2856	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(6 + 3)))
13	12	biimpi 219	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(6 + 3)))
14		eluzsub 13033	. . . . . . . . 9 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(6 + 3))) → (𝑁 − 3) ∈ (ℤ≥‘6))
15	6, 8, 13, 14	syl3anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) → (𝑁 − 3) ∈ (ℤ≥‘6))
16	15	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑁 − 3) ∈ (ℤ≥‘6))
17	16	ad3antlr 744	. . . . . 6 ⊢ ((((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOddW ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → (𝑁 − 3) ∈ (ℤ≥‘6))
18		3odd 49073	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ Odd
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) → 3 ∈ Odd )
20	19	anim1i 627	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (3 ∈ Odd ∧ 𝑁 ∈ Even ))
21	20	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) → (3 ∈ Odd ∧ 𝑁 ∈ Even ))
22	21	ancomd 467	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) → (𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ))
23	22	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOddW ) → (𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ))
24	23	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOddW ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → (𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ))
25		emoo 49069	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ) → (𝑁 − 3) ∈ Odd )
26	24, 25	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOddW ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → (𝑁 − 3) ∈ Odd )
27		nnsum4primesodd 49161	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → (((𝑁 − 3) ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑁 − 3) ∈ Odd ) → ∃𝑔 ∈ (ℙ ↑m (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘)))
28	27	imp 412	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ ((𝑁 − 3) ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑁 − 3) ∈ Odd )) → ∃𝑔 ∈ (ℙ ↑m (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘))
29	3, 17, 26, 28	syl12anc 850	. . . . 5 ⊢ ((((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOddW ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → ∃𝑔 ∈ (ℙ ↑m (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘))
30		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 𝑔:(1...3)⟶ℙ)
31		4z 12768	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 4 ∈ ℤ
32		fzonel 13846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ¬ 4 ∈ (1..^4)
33		fzoval 13832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (4 ∈ ℤ → (1..^4) = (1...(4 − 1)))
34	31, 33	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1..^4) = (1...(4 − 1))
35		4cn 12466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 4 ∈ ℂ
36		ax-1cn 11295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 1 ∈ ℂ
37		3cn 12462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 3 ∈ ℂ
38	35, 36, 37	3pm3.2i 1358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (4 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ)
39		3p1e4 12525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (3 + 1) = 4
40		subadd2 11598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((4 − 1) = 3 ↔ (3 + 1) = 4))
41	39, 40	mpbiri 261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → (4 − 1) = 3)
42	38, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (4 − 1) = 3
43	42	oveq2i 7460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1...(4 − 1)) = (1...3)
44	34, 43	eqtri 2786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (1..^4) = (1...3)
45	44	eqcomi 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1...3) = (1..^4)
46	45	eleq2i 2856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (4 ∈ (1...3) ↔ 4 ∈ (1..^4))
47	32, 46	mtbir 326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ¬ 4 ∈ (1...3)
48	31, 47	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (4 ∈ ℤ ∧ ¬ 4 ∈ (1...3))
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (4 ∈ ℤ ∧ ¬ 4 ∈ (1...3)))
50		3prm 16910	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 ∈ ℙ
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 3 ∈ ℙ)
52		fsnunf 7219	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑔:(1...3)⟶ℙ ∧ (4 ∈ ℤ ∧ ¬ 4 ∈ (1...3)) ∧ 3 ∈ ℙ) → (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):((1...3) ∪ {4})⟶ℙ)
53	30, 49, 51, 52	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):((1...3) ∪ {4})⟶ℙ)
54		fzval3 13907	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (4 ∈ ℤ → (1...4) = (1..^(4 + 1)))
55	31, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1...4) = (1..^(4 + 1))
56		1z 12764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ ℤ
57		1re 11345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 ∈ ℝ
58		4re 12465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 4 ∈ ℝ
59		1lt4 12559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 < 4
60	57, 58, 59	ltleii 11470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ≤ 4
61		eluz2 13009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 4))
62	56, 31, 60, 61	mpbir3an 1360	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘1)
63		fzosplitsn 13949	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘1) → (1..^(4 + 1)) = ((1..^4) ∪ {4}))
64	62, 63	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1..^(4 + 1)) = ((1..^4) ∪ {4})
65	44	uneq1i 4166	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1..^4) ∪ {4}) = ((1...3) ∪ {4})
66	55, 64, 65	3eqtri 2790	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1...4) = ((1...3) ∪ {4})
67	66	feq2i 6729	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):(1...4)⟶ℙ ↔ (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):((1...3) ∪ {4})⟶ℙ)
68	53, 67	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):(1...4)⟶ℙ)
69		prmex 16893	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℙ ∈ V
70		ovex 7482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1...4) ∈ V
71	69, 70	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℙ ∈ V ∧ (1...4) ∈ V)
72		elmapg 8895	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℙ ∈ V ∧ (1...4) ∈ V) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) ∈ (ℙ ↑m (1...4)) ↔ (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):(1...4)⟶ℙ))
73	71, 72	mp1i 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) ∈ (ℙ ↑m (1...4)) ↔ (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):(1...4)⟶ℙ))
74	68, 73	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) ∈ (ℙ ↑m (1...4)))
75	74	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘)) → (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) ∈ (ℙ ↑m (1...4)))
76		fveq1 6913	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) → (𝑓‘𝑘) = ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
77	76	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑓‘𝑘) = ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
78	77	sumeq2dv 15910	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) → Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
79	78	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) → (𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓‘𝑘) ↔ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘)))
80	79	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘)) ∧ 𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})) → (𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓‘𝑘) ↔ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘)))
81	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 4 ∈ (ℤ≥‘1))
82	66	eleq2i 2856	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ (1...4) ↔ 𝑘 ∈ ((1...3) ∪ {4}))
83		elun 4155	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ((1...3) ∪ {4}) ↔ (𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 ∈ {4}))
84		velsn 4600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ {4} ↔ 𝑘 = 4)
85	84	orbi2i 926	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 ∈ {4}) ↔ (𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 = 4))
86	82, 83, 85	3bitri 300	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ (1...4) ↔ (𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 = 4))
87		elfz2 13684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑘 ∈ (1...3) ↔ ((1 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 3)))
88		3re 12461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ 3 ∈ ℝ
89	88, 58	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ)
90		3lt4 12557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ 3 < 4
91		ltnle 11426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ) → (3 < 4 ↔ ¬ 4 ≤ 3))
92	90, 91	mpbii 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ) → ¬ 4 ≤ 3)
93	89, 92	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ¬ 4 ≤ 3
94		breq1 5109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑘 = 4 → (𝑘 ≤ 3 ↔ 4 ≤ 3))
95	94	eqcoms 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (4 = 𝑘 → (𝑘 ≤ 3 ↔ 4 ≤ 3))
96	93, 95	mtbiri 330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (4 = 𝑘 → ¬ 𝑘 ≤ 3)
97	96	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (4 = 𝑘 → ¬ 𝑘 ≤ 3))
98	97	necon2ad 2974	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 ≤ 3 → 4 ≠ 𝑘))
99	98	adantld 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → ((1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 3) → 4 ≠ 𝑘))
100	99	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 3) → 4 ≠ 𝑘))
101	100	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 3)) → 4 ≠ 𝑘)
102	87, 101	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 ∈ (1...3) → 4 ≠ 𝑘)
103	102	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 4 ≠ 𝑘)
104		fvunsn 7213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (4 ≠ 𝑘 → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (𝑔‘𝑘))
105	103, 104	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (𝑔‘𝑘))
106		ffvelcdm 7111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑔:(1...3)⟶ℙ ∧ 𝑘 ∈ (1...3)) → (𝑔‘𝑘) ∈ ℙ)
107	106	ancoms 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔‘𝑘) ∈ ℙ)
108		prmz 16891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑔‘𝑘) ∈ ℙ → (𝑔‘𝑘) ∈ ℤ)
109	107, 108	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔‘𝑘) ∈ ℤ)
110	109	zcnd 12842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔‘𝑘) ∈ ℂ)
111	105, 110	eqeltrd 2864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ)
112	111	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ (1...3) → (𝑔:(1...3)⟶ℙ → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
113	112	adantld 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ (1...3) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
114		fveq2 6914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = 4 → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4))
115	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑔:(1...3)⟶ℙ → 4 ∈ ℤ)
116	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑔:(1...3)⟶ℙ → 3 ∈ ℤ)
117		fdm 6747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑔:(1...3)⟶ℙ → dom 𝑔 = (1...3))
118		eleq2 2853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (dom 𝑔 = (1...3) → (4 ∈ dom 𝑔 ↔ 4 ∈ (1...3)))
119	47, 118	mtbiri 330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (dom 𝑔 = (1...3) → ¬ 4 ∈ dom 𝑔)
120	117, 119	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑔:(1...3)⟶ℙ → ¬ 4 ∈ dom 𝑔)
121		fsnunfv 7221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((4 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ ¬ 4 ∈ dom 𝑔) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4) = 3)
122	115, 116, 120, 121	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑔:(1...3)⟶ℙ → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4) = 3)
123	122	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4) = 3)
124	114, 123	sylan9eq 2818	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 = 4 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ)) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = 3)
125	124, 37	eqeltrdi 2872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 = 4 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ)) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ)
126	125	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 4 → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
127	113, 126	jaoi 871	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 = 4) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
128	127	com12 33	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 = 4) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
129	86, 128	biimtrid 245	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑘 ∈ (1...4) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
130	129	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ)
131	81, 130, 114	fsumm1 15958	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)))
132	131	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘)) → Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)))
133	42	eqcomi 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 3 = (4 − 1)
134	133	oveq2i 7460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1...3) = (1...(4 − 1))
135	134	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (1...3) = (1...(4 − 1)))
136	102	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...3)) → 4 ≠ 𝑘)
137	136, 104	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...3)) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (𝑔‘𝑘))
138	137	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...3)) → (𝑔‘𝑘) = ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
139	135, 138	sumeq12dv 15913	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
140	139	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘) ↔ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘)))
141	140	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘)) → (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
142	141	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘)) → Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (𝑁 − 3))
143	142	oveq1d 7464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘)) → (Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)) = ((𝑁 − 3) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)))
144	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 4 ∈ ℤ)
145	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 3 ∈ ℤ)
146	120	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ¬ 4 ∈ dom 𝑔)
147	144, 145, 146, 121	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4) = 3)
148	147	oveq2d 7465	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑁 − 3) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)) = ((𝑁 − 3) + 3))
149		eluzelcn 13015	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) → 𝑁 ∈ ℂ)
150	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) → 3 ∈ ℂ)
151	149, 150	npcand 11710	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) → ((𝑁 − 3) + 3) = 𝑁)
152	151	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑁 − 3) + 3) = 𝑁)
153	148, 152	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑁 − 3) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)) = 𝑁)
154	153	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘)) → ((𝑁 − 3) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)) = 𝑁)
155	132, 143, 154	3eqtrrd 2803	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘)) → 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
156	75, 80, 155	rspcedvd 3582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘)) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓‘𝑘))
157	156	ex 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓‘𝑘)))
158	157	expcom 419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔:(1...3)⟶ℙ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) → ((𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓‘𝑘))))
159		elmapi 8905	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 ∈ (ℙ ↑m (1...3)) → 𝑔:(1...3)⟶ℙ)
160	158, 159	syl11 34	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) → (𝑔 ∈ (ℙ ↑m (1...3)) → ((𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓‘𝑘))))
161	160	rexlimdv 3165	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) → (∃𝑔 ∈ (ℙ ↑m (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓‘𝑘)))
162	161	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (∃𝑔 ∈ (ℙ ↑m (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓‘𝑘)))
163	162	ad3antlr 744	. . . . 5 ⊢ ((((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOddW ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → (∃𝑔 ∈ (ℙ ↑m (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓‘𝑘)))
164	29, 163	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOddW ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓‘𝑘))
165	164	rexlimdva2 3169	. . 3 ⊢ ((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) → (∃𝑜 ∈ GoldbachOddW 𝑁 = (𝑜 + 3) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓‘𝑘)))
166	2, 165	mpd 16	. 2 ⊢ ((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓‘𝑘))
167	166	ex 418	1 ⊢ (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓‘𝑘)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  Vcvv 3454   ∪ cun 4152  {csn 4588  ⟨cop 4838   class class class wbr 5106  dom cdm 5656  ⟶wf 6560  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449   ↑_m cmap 8883  ℂcc 11235  ℝcr 11236  1c1 11238   + caddc 11240   < clt 11380   ≤ cle 11381   − cmin 11578  3c3 12436  4c4 12437  5c5 12438  6c6 12439  9c9 12442  ℤcz 12731  ℤ_≥cuz 13003  ...cfz 13677  ..^cfzo 13826  Σcsu 15894  ℙcprime 16887   Even ceven 48989   Odd codd 48990   GoldbachOddW cgbow 49111

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-inf2 9677  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314  ax-pre-sup 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-isom 6573  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-1o 8512  df-2o 8513  df-er 8753  df-map 8885  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-fin 9013  df-sup 9469  df-oi 9539  df-card 10055  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-div 12012  df-nn 12374  df-2 12443  df-3 12444  df-4 12445  df-5 12446  df-6 12447  df-7 12448  df-8 12449  df-9 12450  df-n0 12645  df-z 12732  df-uz 13004  df-rp 13159  df-fz 13678  df-fzo 13827  df-seq 14183  df-exp 14243  df-hash 14514  df-cj 15307  df-re 15308  df-im 15309  df-sqrt 15443  df-abs 15444  df-clim 15696  df-sum 15895  df-dvds 16464  df-prm 16888  df-even 48991  df-odd 48992  df-gbow 49114

This theorem is used by:  wtgoldbnnsum4prm  49167