Theorem nnsum4primeseven 48447

Description: If the (weak) ternary Goldbach conjecture is valid, then every even integer greater than 8 is the sum of 4 primes. (Contributed by AV, 25-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnsum4primeseven	⊢ (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓‘𝑘)))

Distinct variable group:   𝑓,𝑁,𝑘,𝑚

Proof of Theorem nnsum4primeseven

Dummy variables 𝑜 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evengpop3 48445	. . . 4 ⊢ (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOddW 𝑁 = (𝑜 + 3)))
2	1	imp 411	. . 3 ⊢ ((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOddW 𝑁 = (𝑜 + 3))
3		simplll 786	. . . . . 6 ⊢ ((((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOddW ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → ∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
4		6nn 12326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 6 ∈ ℕ
5	4	nnzi 12614	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ ℤ
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) → 6 ∈ ℤ)
7		3z 12623	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℤ
8	7	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) → 3 ∈ ℤ)
9		6p3e9 12396	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (6 + 3) = 9
10	9	eqcomi 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 9 = (6 + 3)
11	10	fveq2i 6882	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ≥‘9) = (ℤ≥‘(6 + 3))
12	11	eleq2i 2861	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(6 + 3)))
13	12	biimpi 219	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(6 + 3)))
14		eluzsub 12888	. . . . . . . . 9 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(6 + 3))) → (𝑁 − 3) ∈ (ℤ≥‘6))
15	6, 8, 13, 14	syl3anc 1396	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) → (𝑁 − 3) ∈ (ℤ≥‘6))
16	15	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑁 − 3) ∈ (ℤ≥‘6))
17	16	ad3antlr 743	. . . . . 6 ⊢ ((((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOddW ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → (𝑁 − 3) ∈ (ℤ≥‘6))
18		3odd 48355	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ Odd
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) → 3 ∈ Odd )
20	19	anim1i 626	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (3 ∈ Odd ∧ 𝑁 ∈ Even ))
21	20	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) → (3 ∈ Odd ∧ 𝑁 ∈ Even ))
22	21	ancomd 466	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) → (𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ))
23	22	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOddW ) → (𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ))
24	23	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOddW ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → (𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ))
25		emoo 48351	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ) → (𝑁 − 3) ∈ Odd )
26	24, 25	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOddW ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → (𝑁 − 3) ∈ Odd )
27		nnsum4primesodd 48443	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → (((𝑁 − 3) ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑁 − 3) ∈ Odd ) → ∃𝑔 ∈ (ℙ ↑m (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘)))
28	27	imp 411	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ ((𝑁 − 3) ∈ (ℤ≥‘6) ∧ (𝑁 − 3) ∈ Odd )) → ∃𝑔 ∈ (ℙ ↑m (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘))
29	3, 17, 26, 28	syl12anc 849	. . . . 5 ⊢ ((((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOddW ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → ∃𝑔 ∈ (ℙ ↑m (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘))
30		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 𝑔:(1...3)⟶ℙ)
31		4z 12624	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 4 ∈ ℤ
32		fzonel 13698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ¬ 4 ∈ (1..^4)
33		fzoval 13684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (4 ∈ ℤ → (1..^4) = (1...(4 − 1)))
34	31, 33	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1..^4) = (1...(4 − 1))
35		4cn 12322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 4 ∈ ℂ
36		ax-1cn 11154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 1 ∈ ℂ
37		3cn 12318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 3 ∈ ℂ
38	35, 36, 37	3pm3.2i 1356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (4 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ)
39		3p1e4 12381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (3 + 1) = 4
40		subadd2 11457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((4 − 1) = 3 ↔ (3 + 1) = 4))
41	39, 40	mpbiri 261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → (4 − 1) = 3)
42	38, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (4 − 1) = 3
43	42	oveq2i 7419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1...(4 − 1)) = (1...3)
44	34, 43	eqtri 2792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (1..^4) = (1...3)
45	44	eqcomi 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1...3) = (1..^4)
46	45	eleq2i 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (4 ∈ (1...3) ↔ 4 ∈ (1..^4))
47	32, 46	mtbir 326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ¬ 4 ∈ (1...3)
48	31, 47	pm3.2i 475	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (4 ∈ ℤ ∧ ¬ 4 ∈ (1...3))
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (4 ∈ ℤ ∧ ¬ 4 ∈ (1...3)))
50		3prm 16748	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 ∈ ℙ
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 3 ∈ ℙ)
52		fsnunf 7181	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑔:(1...3)⟶ℙ ∧ (4 ∈ ℤ ∧ ¬ 4 ∈ (1...3)) ∧ 3 ∈ ℙ) → (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):((1...3) ∪ {4})⟶ℙ)
53	30, 49, 51, 52	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):((1...3) ∪ {4})⟶ℙ)
54		fzval3 13759	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (4 ∈ ℤ → (1...4) = (1..^(4 + 1)))
55	31, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1...4) = (1..^(4 + 1))
56		1z 12620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ ℤ
57		1re 11204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 ∈ ℝ
58		4re 12321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 4 ∈ ℝ
59		1lt4 12415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 < 4
60	57, 58, 59	ltleii 11329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ≤ 4
61		eluz2 12864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 4))
62	56, 31, 60, 61	mpbir3an 1358	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘1)
63		fzosplitsn 13801	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘1) → (1..^(4 + 1)) = ((1..^4) ∪ {4}))
64	62, 63	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1..^(4 + 1)) = ((1..^4) ∪ {4})
65	44	uneq1i 4126	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1..^4) ∪ {4}) = ((1...3) ∪ {4})
66	55, 64, 65	3eqtri 2796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1...4) = ((1...3) ∪ {4})
67	66	feq2i 6695	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):(1...4)⟶ℙ ↔ (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):((1...3) ∪ {4})⟶ℙ)
68	53, 67	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):(1...4)⟶ℙ)
69		prmex 16731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℙ ∈ V
70		ovex 7441	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1...4) ∈ V
71	69, 70	pm3.2i 475	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℙ ∈ V ∧ (1...4) ∈ V)
72		elmapg 8832	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℙ ∈ V ∧ (1...4) ∈ V) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) ∈ (ℙ ↑m (1...4)) ↔ (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):(1...4)⟶ℙ))
73	71, 72	mp1i 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) ∈ (ℙ ↑m (1...4)) ↔ (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):(1...4)⟶ℙ))
74	68, 73	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) ∈ (ℙ ↑m (1...4)))
75	74	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘)) → (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) ∈ (ℙ ↑m (1...4)))
76		fveq1 6878	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) → (𝑓‘𝑘) = ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
77	76	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑓‘𝑘) = ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
78	77	sumeq2dv 15749	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) → Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
79	78	eqeq2d 2780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) → (𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓‘𝑘) ↔ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘)))
80	79	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘)) ∧ 𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})) → (𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓‘𝑘) ↔ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘)))
81	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 4 ∈ (ℤ≥‘1))
82	66	eleq2i 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ (1...4) ↔ 𝑘 ∈ ((1...3) ∪ {4}))
83		elun 4115	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ((1...3) ∪ {4}) ↔ (𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 ∈ {4}))
84		velsn 4607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ {4} ↔ 𝑘 = 4)
85	84	orbi2i 925	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 ∈ {4}) ↔ (𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 = 4))
86	82, 83, 85	3bitri 300	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ (1...4) ↔ (𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 = 4))
87		elfz2 13538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑘 ∈ (1...3) ↔ ((1 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 3)))
88		3re 12317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ 3 ∈ ℝ
89	88, 58	pm3.2i 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ)
90		3lt4 12413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ 3 < 4
91		ltnle 11285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ) → (3 < 4 ↔ ¬ 4 ≤ 3))
92	90, 91	mpbii 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ) → ¬ 4 ≤ 3)
93	89, 92	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ¬ 4 ≤ 3
94		breq1 5113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑘 = 4 → (𝑘 ≤ 3 ↔ 4 ≤ 3))
95	94	eqcoms 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (4 = 𝑘 → (𝑘 ≤ 3 ↔ 4 ≤ 3))
96	93, 95	mtbiri 330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (4 = 𝑘 → ¬ 𝑘 ≤ 3)
97	96	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (4 = 𝑘 → ¬ 𝑘 ≤ 3))
98	97	necon2ad 2979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 ≤ 3 → 4 ≠ 𝑘))
99	98	adantld 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → ((1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 3) → 4 ≠ 𝑘))
100	99	3ad2ant3 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 3) → 4 ≠ 𝑘))
101	100	imp 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 3)) → 4 ≠ 𝑘)
102	87, 101	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 ∈ (1...3) → 4 ≠ 𝑘)
103	102	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 4 ≠ 𝑘)
104		fvunsn 7175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (4 ≠ 𝑘 → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (𝑔‘𝑘))
105	103, 104	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (𝑔‘𝑘))
106		ffvelcdm 7074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑔:(1...3)⟶ℙ ∧ 𝑘 ∈ (1...3)) → (𝑔‘𝑘) ∈ ℙ)
107	106	ancoms 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔‘𝑘) ∈ ℙ)
108		prmz 16729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑔‘𝑘) ∈ ℙ → (𝑔‘𝑘) ∈ ℤ)
109	107, 108	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔‘𝑘) ∈ ℤ)
110	109	zcnd 12697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔‘𝑘) ∈ ℂ)
111	105, 110	eqeltrd 2869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ)
112	111	ex 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ (1...3) → (𝑔:(1...3)⟶ℙ → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
113	112	adantld 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ (1...3) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
114		fveq2 6879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = 4 → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4))
115	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑔:(1...3)⟶ℙ → 4 ∈ ℤ)
116	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑔:(1...3)⟶ℙ → 3 ∈ ℤ)
117		fdm 6713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑔:(1...3)⟶ℙ → dom 𝑔 = (1...3))
118		eleq2 2858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (dom 𝑔 = (1...3) → (4 ∈ dom 𝑔 ↔ 4 ∈ (1...3)))
119	47, 118	mtbiri 330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (dom 𝑔 = (1...3) → ¬ 4 ∈ dom 𝑔)
120	117, 119	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑔:(1...3)⟶ℙ → ¬ 4 ∈ dom 𝑔)
121		fsnunfv 7183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((4 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ ¬ 4 ∈ dom 𝑔) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4) = 3)
122	115, 116, 120, 121	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑔:(1...3)⟶ℙ → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4) = 3)
123	122	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4) = 3)
124	114, 123	sylan9eq 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 = 4 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ)) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = 3)
125	124, 37	eqeltrdi 2877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 = 4 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ)) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ)
126	125	ex 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 4 → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
127	113, 126	jaoi 870	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 = 4) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
128	127	com12 33	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 = 4) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
129	86, 128	biimtrid 245	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑘 ∈ (1...4) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
130	129	imp 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ)
131	81, 130, 114	fsumm1 15798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)))
132	131	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘)) → Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)))
133	42	eqcomi 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 3 = (4 − 1)
134	133	oveq2i 7419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1...3) = (1...(4 − 1))
135	134	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (1...3) = (1...(4 − 1)))
136	102	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...3)) → 4 ≠ 𝑘)
137	136, 104	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...3)) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (𝑔‘𝑘))
138	137	eqcomd 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...3)) → (𝑔‘𝑘) = ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
139	135, 138	sumeq12dv 15753	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
140	139	eqeq2d 2780	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘) ↔ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘)))
141	140	biimpa 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘)) → (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
142	141	eqcomd 2775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘)) → Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (𝑁 − 3))
143	142	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘)) → (Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)) = ((𝑁 − 3) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)))
144	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 4 ∈ ℤ)
145	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 3 ∈ ℤ)
146	120	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ¬ 4 ∈ dom 𝑔)
147	144, 145, 146, 121	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4) = 3)
148	147	oveq2d 7424	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑁 − 3) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)) = ((𝑁 − 3) + 3))
149		eluzelcn 12870	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) → 𝑁 ∈ ℂ)
150	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) → 3 ∈ ℂ)
151	149, 150	npcand 11569	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) → ((𝑁 − 3) + 3) = 𝑁)
152	151	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑁 − 3) + 3) = 𝑁)
153	148, 152	eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑁 − 3) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)) = 𝑁)
154	153	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘)) → ((𝑁 − 3) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)) = 𝑁)
155	132, 143, 154	3eqtrrd 2809	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘)) → 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
156	75, 80, 155	rspcedvd 3592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘)) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓‘𝑘))
157	156	ex 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓‘𝑘)))
158	157	expcom 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔:(1...3)⟶ℙ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) → ((𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓‘𝑘))))
159		elmapi 8842	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 ∈ (ℙ ↑m (1...3)) → 𝑔:(1...3)⟶ℙ)
160	158, 159	syl11 34	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) → (𝑔 ∈ (ℙ ↑m (1...3)) → ((𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓‘𝑘))))
161	160	rexlimdv 3170	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) → (∃𝑔 ∈ (ℙ ↑m (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓‘𝑘)))
162	161	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (∃𝑔 ∈ (ℙ ↑m (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓‘𝑘)))
163	162	ad3antlr 743	. . . . 5 ⊢ ((((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOddW ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → (∃𝑔 ∈ (ℙ ↑m (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔‘𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓‘𝑘)))
164	29, 163	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOddW ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓‘𝑘))
165	164	rexlimdva2 3174	. . 3 ⊢ ((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) → (∃𝑜 ∈ GoldbachOddW 𝑁 = (𝑜 + 3) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓‘𝑘)))
166	2, 165	mpd 16	. 2 ⊢ ((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓‘𝑘))
167	166	ex 417	1 ⊢ (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚 → 𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓‘𝑘)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  ∃wrex 3095  Vcvv 3463   ∪ cun 3911  {csn 4591  ⟨cop 4597   class class class wbr 5110  dom cdm 5659  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408   ↑_m cmap 8820  ℂcc 11094  ℝcr 11095  1c1 11097   + caddc 11099   < clt 11239   ≤ cle 11240   − cmin 11437  3c3 12292  4c4 12293  5c5 12294  6c6 12295  9c9 12298  ℤcz 12587  ℤ_≥cuz 12858  ...cfz 13531  ..^cfzo 13678  Σcsu 15733  ℙcprime 16725   Even ceven 48271   Odd codd 48272   GoldbachOddW cgbow 48393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-inf2 9606  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-sum 15734  df-dvds 16307  df-prm 16726  df-even 48273  df-odd 48274  df-gbow 48396

This theorem is referenced by:  wtgoldbnnsum4prm  48449