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Theorem nnsum4primeseven 46767
Description: If the (weak) ternary Goldbach conjecture is valid, then every even integer greater than 8 is the sum of 4 primes. (Contributed by AV, 25-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
nnsum4primeseven (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘)))
Distinct variable group:   𝑓,𝑁,𝑘,𝑚

Proof of Theorem nnsum4primeseven
Dummy variables 𝑜 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evengpop3 46765 . . . 4 (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOddW 𝑁 = (𝑜 + 3)))
21imp 406 . . 3 ((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOddW 𝑁 = (𝑜 + 3))
3 simplll 772 . . . . . 6 ((((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOddW ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → ∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
4 6nn 12306 . . . . . . . . . . 11 6 ∈ ℕ
54nnzi 12591 . . . . . . . . . 10 6 ∈ ℤ
65a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → 6 ∈ ℤ)
7 3z 12600 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℤ
87a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → 3 ∈ ℤ)
9 6p3e9 12377 . . . . . . . . . . . . 13 (6 + 3) = 9
109eqcomi 2740 . . . . . . . . . . . 12 9 = (6 + 3)
1110fveq2i 6894 . . . . . . . . . . 11 (ℤ‘9) = (ℤ‘(6 + 3))
1211eleq2i 2824 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘(6 + 3)))
1312biimpi 215 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(6 + 3)))
14 eluzsub 12857 . . . . . . . . 9 ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(6 + 3))) → (𝑁 − 3) ∈ (ℤ‘6))
156, 8, 13, 14syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → (𝑁 − 3) ∈ (ℤ‘6))
1615adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑁 − 3) ∈ (ℤ‘6))
1716ad3antlr 728 . . . . . 6 ((((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOddW ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → (𝑁 − 3) ∈ (ℤ‘6))
18 3odd 46675 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ Odd
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → 3 ∈ Odd )
2019anim1i 614 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (3 ∈ Odd ∧ 𝑁 ∈ Even ))
2120adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) → (3 ∈ Odd ∧ 𝑁 ∈ Even ))
2221ancomd 461 . . . . . . . . 9 ((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) → (𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ))
2322adantr 480 . . . . . . . 8 (((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOddW ) → (𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ))
2423adantr 480 . . . . . . 7 ((((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOddW ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → (𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ))
25 emoo 46671 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ) → (𝑁 − 3) ∈ Odd )
2624, 25syl 17 . . . . . 6 ((((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOddW ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → (𝑁 − 3) ∈ Odd )
27 nnsum4primesodd 46763 . . . . . . 7 (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → (((𝑁 − 3) ∈ (ℤ‘6) ∧ (𝑁 − 3) ∈ Odd ) → ∃𝑔 ∈ (ℙ ↑m (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)))
2827imp 406 . . . . . 6 ((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ ((𝑁 − 3) ∈ (ℤ‘6) ∧ (𝑁 − 3) ∈ Odd )) → ∃𝑔 ∈ (ℙ ↑m (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘))
293, 17, 26, 28syl12anc 834 . . . . 5 ((((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOddW ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → ∃𝑔 ∈ (ℙ ↑m (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘))
30 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 𝑔:(1...3)⟶ℙ)
31 4z 12601 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4 ∈ ℤ
32 fzonel 13651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ¬ 4 ∈ (1..^4)
33 fzoval 13638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (4 ∈ ℤ → (1..^4) = (1...(4 − 1)))
3431, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1..^4) = (1...(4 − 1))
35 4cn 12302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4 ∈ ℂ
36 ax-1cn 11172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1 ∈ ℂ
37 3cn 12298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3 ∈ ℂ
3835, 36, 373pm3.2i 1338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (4 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ)
39 3p1e4 12362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (3 + 1) = 4
40 subadd2 11469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((4 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((4 − 1) = 3 ↔ (3 + 1) = 4))
4139, 40mpbiri 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((4 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → (4 − 1) = 3)
4238, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (4 − 1) = 3
4342oveq2i 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1...(4 − 1)) = (1...3)
4434, 43eqtri 2759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1..^4) = (1...3)
4544eqcomi 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1...3) = (1..^4)
4645eleq2i 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (4 ∈ (1...3) ↔ 4 ∈ (1..^4))
4732, 46mtbir 323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ¬ 4 ∈ (1...3)
4831, 47pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (4 ∈ ℤ ∧ ¬ 4 ∈ (1...3))
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (4 ∈ ℤ ∧ ¬ 4 ∈ (1...3)))
50 3prm 16636 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ ℙ
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 3 ∈ ℙ)
52 fsnunf 7185 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑔:(1...3)⟶ℙ ∧ (4 ∈ ℤ ∧ ¬ 4 ∈ (1...3)) ∧ 3 ∈ ℙ) → (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):((1...3) ∪ {4})⟶ℙ)
5330, 49, 51, 52syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):((1...3) ∪ {4})⟶ℙ)
54 fzval3 13706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (4 ∈ ℤ → (1...4) = (1..^(4 + 1)))
5531, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1...4) = (1..^(4 + 1))
56 1z 12597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℤ
57 1re 11219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ℝ
58 4re 12301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4 ∈ ℝ
59 1lt4 12393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 < 4
6057, 58, 59ltleii 11342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ≤ 4
61 eluz2 12833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (4 ∈ (ℤ‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 4))
6256, 31, 60, 61mpbir3an 1340 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4 ∈ (ℤ‘1)
63 fzosplitsn 13745 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (4 ∈ (ℤ‘1) → (1..^(4 + 1)) = ((1..^4) ∪ {4}))
6462, 63ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1..^(4 + 1)) = ((1..^4) ∪ {4})
6544uneq1i 4159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1..^4) ∪ {4}) = ((1...3) ∪ {4})
6655, 64, 653eqtri 2763 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1...4) = ((1...3) ∪ {4})
6766feq2i 6709 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):(1...4)⟶ℙ ↔ (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):((1...3) ∪ {4})⟶ℙ)
6853, 67sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):(1...4)⟶ℙ)
69 prmex 16619 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℙ ∈ V
70 ovex 7445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1...4) ∈ V
7169, 70pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℙ ∈ V ∧ (1...4) ∈ V)
72 elmapg 8837 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ℙ ∈ V ∧ (1...4) ∈ V) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) ∈ (ℙ ↑m (1...4)) ↔ (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):(1...4)⟶ℙ))
7371, 72mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) ∈ (ℙ ↑m (1...4)) ↔ (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):(1...4)⟶ℙ))
7468, 73mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) ∈ (ℙ ↑m (1...4)))
7574adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) → (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) ∈ (ℙ ↑m (1...4)))
76 fveq1 6890 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) → (𝑓𝑘) = ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
7776adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑓𝑘) = ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
7877sumeq2dv 15654 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) → Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
7978eqeq2d 2742 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) → (𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘) ↔ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘)))
8079adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) ∧ 𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})) → (𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘) ↔ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘)))
8162a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 4 ∈ (ℤ‘1))
8266eleq2i 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (1...4) ↔ 𝑘 ∈ ((1...3) ∪ {4}))
83 elun 4148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ((1...3) ∪ {4}) ↔ (𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 ∈ {4}))
84 velsn 4644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ {4} ↔ 𝑘 = 4)
8584orbi2i 910 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 ∈ {4}) ↔ (𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 = 4))
8682, 83, 853bitri 297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (1...4) ↔ (𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 = 4))
87 elfz2 13496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘 ∈ (1...3) ↔ ((1 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 3)))
88 3re 12297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3 ∈ ℝ
8988, 58pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ)
90 3lt4 12391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3 < 4
91 ltnle 11298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ) → (3 < 4 ↔ ¬ 4 ≤ 3))
9290, 91mpbii 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ) → ¬ 4 ≤ 3)
9389, 92ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ¬ 4 ≤ 3
94 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑘 = 4 → (𝑘 ≤ 3 ↔ 4 ≤ 3))
9594eqcoms 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (4 = 𝑘 → (𝑘 ≤ 3 ↔ 4 ≤ 3))
9693, 95mtbiri 327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (4 = 𝑘 → ¬ 𝑘 ≤ 3)
9796a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑘 ∈ ℤ → (4 = 𝑘 → ¬ 𝑘 ≤ 3))
9897necon2ad 2954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 ≤ 3 → 4 ≠ 𝑘))
9998adantld 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑘 ∈ ℤ → ((1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 3) → 4 ≠ 𝑘))
100993ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((1 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 3) → 4 ≠ 𝑘))
101100imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((1 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 3)) → 4 ≠ 𝑘)
10287, 101sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 ∈ (1...3) → 4 ≠ 𝑘)
103102adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 4 ≠ 𝑘)
104 fvunsn 7179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (4 ≠ 𝑘 → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (𝑔𝑘))
105103, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (𝑔𝑘))
106 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑔:(1...3)⟶ℙ ∧ 𝑘 ∈ (1...3)) → (𝑔𝑘) ∈ ℙ)
107106ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔𝑘) ∈ ℙ)
108 prmz 16617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑔𝑘) ∈ ℙ → (𝑔𝑘) ∈ ℤ)
109107, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔𝑘) ∈ ℤ)
110109zcnd 12672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔𝑘) ∈ ℂ)
111105, 110eqeltrd 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ)
112111ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (1...3) → (𝑔:(1...3)⟶ℙ → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
113112adantld 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (1...3) → ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
114 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 4 → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4))
11531a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑔:(1...3)⟶ℙ → 4 ∈ ℤ)
1167a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑔:(1...3)⟶ℙ → 3 ∈ ℤ)
117 fdm 6726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑔:(1...3)⟶ℙ → dom 𝑔 = (1...3))
118 eleq2 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (dom 𝑔 = (1...3) → (4 ∈ dom 𝑔 ↔ 4 ∈ (1...3)))
11947, 118mtbiri 327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (dom 𝑔 = (1...3) → ¬ 4 ∈ dom 𝑔)
120117, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑔:(1...3)⟶ℙ → ¬ 4 ∈ dom 𝑔)
121 fsnunfv 7187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((4 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ ¬ 4 ∈ dom 𝑔) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4) = 3)
122115, 116, 120, 121syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑔:(1...3)⟶ℙ → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4) = 3)
123122adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4) = 3)
124114, 123sylan9eq 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑘 = 4 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ)) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = 3)
125124, 37eqeltrdi 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 = 4 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ)) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ)
126125ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 4 → ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
127113, 126jaoi 854 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 = 4) → ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
128127com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 = 4) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
12986, 128biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑘 ∈ (1...4) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
130129imp 406 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ)
13181, 130, 114fsumm1 15702 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)))
132131adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) → Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)))
13342eqcomi 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3 = (4 − 1)
134133oveq2i 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1...3) = (1...(4 − 1))
135134a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (1...3) = (1...(4 − 1)))
136102adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...3)) → 4 ≠ 𝑘)
137136, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...3)) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (𝑔𝑘))
138137eqcomd 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...3)) → (𝑔𝑘) = ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
139135, 138sumeq12dv 15657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
140139eqeq2d 2742 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘) ↔ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘)))
141140biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) → (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
142141eqcomd 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) → Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (𝑁 − 3))
143142oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) → (Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)) = ((𝑁 − 3) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)))
14431a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 4 ∈ ℤ)
1457a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 3 ∈ ℤ)
146120adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ¬ 4 ∈ dom 𝑔)
147144, 145, 146, 121syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4) = 3)
148147oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑁 − 3) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)) = ((𝑁 − 3) + 3))
149 eluzelcn 12839 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → 𝑁 ∈ ℂ)
15037a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → 3 ∈ ℂ)
151149, 150npcand 11580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → ((𝑁 − 3) + 3) = 𝑁)
152151adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑁 − 3) + 3) = 𝑁)
153148, 152eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑁 − 3) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)) = 𝑁)
154153adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) → ((𝑁 − 3) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)) = 𝑁)
155132, 143, 1543eqtrrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) → 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
15675, 80, 155rspcedvd 3614 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘))
157156ex 412 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘)))
158157expcom 413 . . . . . . . . 9 (𝑔:(1...3)⟶ℙ → (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → ((𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘))))
159 elmapi 8847 . . . . . . . . 9 (𝑔 ∈ (ℙ ↑m (1...3)) → 𝑔:(1...3)⟶ℙ)
160158, 159syl11 33 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → (𝑔 ∈ (ℙ ↑m (1...3)) → ((𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘))))
161160rexlimdv 3152 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → (∃𝑔 ∈ (ℙ ↑m (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘)))
162161adantr 480 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (∃𝑔 ∈ (ℙ ↑m (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘)))
163162ad3antlr 728 . . . . 5 ((((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOddW ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → (∃𝑔 ∈ (ℙ ↑m (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘)))
16429, 163mpd 15 . . . 4 ((((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOddW ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘))
165164rexlimdva2 3156 . . 3 ((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) → (∃𝑜 ∈ GoldbachOddW 𝑁 = (𝑜 + 3) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘)))
1662, 165mpd 15 . 2 ((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘))
167166ex 412 1 (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wo 844  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  Vcvv 3473  cun 3946  {csn 4628  cop 4634   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7412  m cmap 8824  cc 11112  cr 11113  1c1 11115   + caddc 11117   < clt 11253  cle 11254  cmin 11449  3c3 12273  4c4 12274  5c5 12275  6c6 12276  9c9 12279  cz 12563  cuz 12827  ...cfz 13489  ..^cfzo 13632  Σcsu 15637  cprime 16613   Even ceven 46591   Odd codd 46592   GoldbachOddW cgbow 46713
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-sum 15638  df-dvds 16203  df-prm 16614  df-even 46593  df-odd 46594  df-gbow 46716
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