Theorem grpcominv2 42627

Description: If two elements commute, then they commute with each other's inverses (case of the second element commuting with the inverse of the first element). (Contributed by SN, 1-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpcominv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpcominv.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpcominv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
grpcominv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
grpcominv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
grpcominv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
grpcominv.1	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
grpcominv2	⊢ (𝜑 → (𝑌 + (𝑁‘𝑋)) = ((𝑁‘𝑋) + 𝑌))

Proof of Theorem grpcominv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpcominv.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpcominv.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		grpcominv.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
4		grpcominv.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
5		grpcominv.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		grpcominv.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		grpcominv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
8	7	eqcomd 2739	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑋) = (𝑋 + 𝑌))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8	grpcominv1 42626	1 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + (𝑁‘𝑋)) = ((𝑁‘𝑋) + 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  Basecbs 17122  +_gcplusg 17163  Grpcgrp 18848  inv_gcminusg 18849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-0g 17347  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-grp 18851  df-minusg 18852

This theorem is referenced by: (None)