Theorem grpcominv2 41083

Description: If two elements commute, then they commute with each other's inverses (case of the second element commuting with the inverse of the first element). (Contributed by SN, 1-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpcominv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpcominv.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpcominv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
grpcominv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
grpcominv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
grpcominv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
grpcominv.1	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
grpcominv2	⊢ (𝜑 → (𝑌 + (𝑁‘𝑋)) = ((𝑁‘𝑋) + 𝑌))

Proof of Theorem grpcominv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpcominv.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpcominv.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		grpcominv.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
4		grpcominv.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
5		grpcominv.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		grpcominv.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		grpcominv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
8	7	eqcomd 2739	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑋) = (𝑋 + 𝑌))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8	grpcominv1 41082	1 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + (𝑁‘𝑋)) = ((𝑁‘𝑋) + 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  +_gcplusg 17197  Grpcgrp 18819  inv_gcminusg 18820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823

This theorem is referenced by: (None)