Theorem grpcominv2 42466

Description: If two elements commute, then they commute with each other's inverses (case of the second element commuting with the inverse of the first element). (Contributed by SN, 1-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpcominv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpcominv.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpcominv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
grpcominv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
grpcominv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
grpcominv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
grpcominv.1	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
grpcominv2	⊢ (𝜑 → (𝑌 + (𝑁‘𝑋)) = ((𝑁‘𝑋) + 𝑌))

Proof of Theorem grpcominv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpcominv.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpcominv.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		grpcominv.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
4		grpcominv.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
5		grpcominv.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		grpcominv.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		grpcominv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
8	7	eqcomd 2746	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑋) = (𝑋 + 𝑌))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8	grpcominv1 42465	1 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + (𝑁‘𝑋)) = ((𝑁‘𝑋) + 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6575  (class class class)co 7450  Basecbs 17260  +_gcplusg 17313  Grpcgrp 18975  inv_gcminusg 18976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-0g 17503  df-mgm 18680  df-sgrp 18759  df-mnd 18775  df-grp 18978  df-minusg 18979

This theorem is referenced by: (None)