Theorem grpcominv2 42968

Description: If two elements commute, then they commute with each other's inverses (case of the second element commuting with the inverse of the first element). (Contributed by SN, 1-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpcominv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpcominv.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpcominv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
grpcominv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
grpcominv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
grpcominv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
grpcominv.1	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
grpcominv2	⊢ (𝜑 → (𝑌 + (𝑁‘𝑋)) = ((𝑁‘𝑋) + 𝑌))

Proof of Theorem grpcominv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpcominv.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpcominv.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		grpcominv.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
4		grpcominv.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
5		grpcominv.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		grpcominv.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		grpcominv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
8	7	eqcomd 2743	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑋) = (𝑋 + 𝑌))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8	grpcominv1 42967	1 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + (𝑁‘𝑋)) = ((𝑁‘𝑋) + 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  Grpcgrp 18900  inv_gcminusg 18901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904

This theorem is referenced by: (None)