Theorem grpcominv2 43842

Description: If two elements commute, then they commute with each other's inverses (case of the second element commuting with the inverse of the first element). (Contributed by SN, 1-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpcominv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpcominv.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpcominv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
grpcominv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
grpcominv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
grpcominv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
grpcominv.1	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
grpcominv2	⊢ (𝜑 → (𝑌 + (𝑁‘𝑋)) = ((𝑁‘𝑋) + 𝑌))

Proof of Theorem grpcominv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpcominv.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpcominv.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		grpcominv.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
4		grpcominv.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
5		grpcominv.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		grpcominv.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		grpcominv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
8	7	eqcomd 2769	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑋) = (𝑋 + 𝑌))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8	grpcominv1 43841	1 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + (𝑁‘𝑋)) = ((𝑁‘𝑋) + 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431  +_gcplusg 17472  Grpcgrp 19194  inv_gcminusg 19195

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-0g 17662  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-grp 19197  df-minusg 19198

This theorem is used by: (None)