Theorem finsubmsubg 43312

Description: A submonoid of a finite group is a subgroup. This does not extend to infinite groups, as the submonoid ℕ₀ of the group (ℤ, + ) shows. Note also that the union of a submonoid and its inverses need not be a submonoid, as the submonoid (ℕ₀ ∖ {1}) of the group (ℤ, + ) shows: 3 is in that submonoid, -2 is the inverse of 2, but 1 is not in their union. Or simply, the subgroup generated by (ℕ₀ ∖ {1}) is ℤ, not (ℤ ∖ {1, -1}). (Contributed by SN, 31-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
finsubmsubg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
finsubmsubg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
finsubmsubg.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
finsubmsubg.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
finsubmsubg	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem finsubmsubg

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. 2 ⊢ (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
2		finsubmsubg.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
3		finsubmsubg.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
4	2	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝐺 ∈ Grp)
5		finsubmsubg.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
6	5	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ Fin)
7		finsubmsubg.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
8	7	submss 18873	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
9	3, 8	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
10	9	sselda 3936	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑎 ∈ 𝐵)
11	7, 1	odcl2 19641	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑎) ∈ ℕ)
12	4, 6, 10, 11	syl3anc 1397	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((od‘𝐺)‘𝑎) ∈ ℕ)
13	12	ralrimiva 3156	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝑆 ((od‘𝐺)‘𝑎) ∈ ℕ)
14	1, 2, 3, 13	finodsubmsubg 19643	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ⊆ wss 3904  ‘cfv 6536  Fincfn 8941  ℕcn 12239  Basecbs 17275  SubMndcsubmnd 18846  Grpcgrp 19006  SubGrpcsubg 19192  odcod 19600

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-inf2 9608  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-oadd 8455  df-omul 8456  df-er 8692  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9932  df-acn 9935  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-rp 13023  df-fz 13542  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14045  df-exp 14105  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-dvds 16317  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-0g 17500  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-submnd 18848  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-sbg 19011  df-mulg 19140  df-subg 19195  df-od 19604

This theorem is used by: (None)