Theorem finsubmsubg 41081

Description: A submonoid of a finite group is a subgroup. This does not extend to infinite groups, as the submonoid ℕ₀ of the group (ℤ, + ) shows. Note also that the union of a submonoid and its inverses need not be a submonoid, as the submonoid (ℕ₀ ∖ {1}) of the group (ℤ, + ) shows: 3 is in that submonoid, -2 is the inverse of 2, but 1 is not in their union. Or simply, the subgroup generated by (ℕ₀ ∖ {1}) is ℤ, not (ℤ ∖ {1, -1}). (Contributed by SN, 31-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
finsubmsubg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
finsubmsubg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
finsubmsubg.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
finsubmsubg.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
finsubmsubg	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem finsubmsubg

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2732	. 2 ⊢ (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
2		finsubmsubg.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
3		finsubmsubg.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
4	2	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝐺 ∈ Grp)
5		finsubmsubg.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
6	5	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ Fin)
7		finsubmsubg.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
8	7	submss 18686	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
9	3, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
10	9	sselda 3981	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑎 ∈ 𝐵)
11	7, 1	odcl2 19427	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑎) ∈ ℕ)
12	4, 6, 10, 11	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((od‘𝐺)‘𝑎) ∈ ℕ)
13	12	ralrimiva 3146	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝑆 ((od‘𝐺)‘𝑎) ∈ ℕ)
14	1, 2, 3, 13	finodsubmsubg 19429	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3947  ‘cfv 6540  Fincfn 8935  ℕcn 12208  Basecbs 17140  SubMndcsubmnd 18666  Grpcgrp 18815  SubGrpcsubg 18994  odcod 19386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-dvds 16194  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-od 19390

This theorem is referenced by: (None)