Theorem finsubmsubg 42491

Description: A submonoid of a finite group is a subgroup. This does not extend to infinite groups, as the submonoid ℕ₀ of the group (ℤ, + ) shows. Note also that the union of a submonoid and its inverses need not be a submonoid, as the submonoid (ℕ₀ ∖ {1}) of the group (ℤ, + ) shows: 3 is in that submonoid, -2 is the inverse of 2, but 1 is not in their union. Or simply, the subgroup generated by (ℕ₀ ∖ {1}) is ℤ, not (ℤ ∖ {1, -1}). (Contributed by SN, 31-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
finsubmsubg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
finsubmsubg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
finsubmsubg.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
finsubmsubg.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
finsubmsubg	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem finsubmsubg

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. 2 ⊢ (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
2		finsubmsubg.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
3		finsubmsubg.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
4	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝐺 ∈ Grp)
5		finsubmsubg.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
6	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ Fin)
7		finsubmsubg.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
8	7	submss 18742	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
9	3, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
10	9	sselda 3948	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑎 ∈ 𝐵)
11	7, 1	odcl2 19501	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑎) ∈ ℕ)
12	4, 6, 10, 11	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((od‘𝐺)‘𝑎) ∈ ℕ)
13	12	ralrimiva 3126	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝑆 ((od‘𝐺)‘𝑎) ∈ ℕ)
14	1, 2, 3, 13	finodsubmsubg 19503	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3916  ‘cfv 6513  Fincfn 8920  ℕcn 12187  Basecbs 17185  SubMndcsubmnd 18715  Grpcgrp 18871  SubGrpcsubg 19058  odcod 19460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-inf2 9600  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-isom 6522  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-oadd 8440  df-omul 8441  df-er 8673  df-map 8803  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-sup 9399  df-inf 9400  df-oi 9469  df-card 9898  df-acn 9901  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-rp 12958  df-fz 13475  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15071  df-re 15072  df-im 15073  df-sqrt 15207  df-abs 15208  df-dvds 16229  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-ress 17207  df-plusg 17239  df-0g 17410  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18717  df-grp 18874  df-minusg 18875  df-sbg 18876  df-mulg 19006  df-subg 19061  df-od 19464

This theorem is referenced by: (None)