Theorem finsubmsubg 42483

Description: A submonoid of a finite group is a subgroup. This does not extend to infinite groups, as the submonoid ℕ₀ of the group (ℤ, + ) shows. Note also that the union of a submonoid and its inverses need not be a submonoid, as the submonoid (ℕ₀ ∖ {1}) of the group (ℤ, + ) shows: 3 is in that submonoid, -2 is the inverse of 2, but 1 is not in their union. Or simply, the subgroup generated by (ℕ₀ ∖ {1}) is ℤ, not (ℤ ∖ {1, -1}). (Contributed by SN, 31-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
finsubmsubg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
finsubmsubg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
finsubmsubg.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
finsubmsubg.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
finsubmsubg	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem finsubmsubg

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. 2 ⊢ (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
2		finsubmsubg.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
3		finsubmsubg.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
4	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝐺 ∈ Grp)
5		finsubmsubg.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
6	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ Fin)
7		finsubmsubg.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
8	7	submss 18791	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
9	3, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
10	9	sselda 3963	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑎 ∈ 𝐵)
11	7, 1	odcl2 19551	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((od‘𝐺)‘𝑎) ∈ ℕ)
12	4, 6, 10, 11	syl3anc 1372	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((od‘𝐺)‘𝑎) ∈ ℕ)
13	12	ralrimiva 3133	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝑆 ((od‘𝐺)‘𝑎) ∈ ℕ)
14	1, 2, 3, 13	finodsubmsubg 19553	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3931  ‘cfv 6541  Fincfn 8967  ℕcn 12248  Basecbs 17229  SubMndcsubmnd 18764  Grpcgrp 18920  SubGrpcsubg 19107  odcod 19510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-inf2 9663  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214  ax-pre-sup 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-oadd 8492  df-omul 8493  df-er 8727  df-map 8850  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-sup 9464  df-inf 9465  df-oi 9532  df-card 9961  df-acn 9964  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11903  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-n0 12510  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13017  df-fz 13530  df-fl 13814  df-mod 13892  df-seq 14025  df-exp 14085  df-cj 15120  df-re 15121  df-im 15122  df-sqrt 15256  df-abs 15257  df-dvds 16273  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17230  df-ress 17253  df-plusg 17286  df-0g 17457  df-mgm 18622  df-sgrp 18701  df-mnd 18717  df-submnd 18766  df-grp 18923  df-minusg 18924  df-sbg 18925  df-mulg 19055  df-subg 19110  df-od 19514

This theorem is referenced by: (None)