Theorem hmeocnvb 23667

Description: The converse of a homeomorphism is a homeomorphism. (Contributed by FL, 5-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hmeocnvb	⊢ (Rel 𝐹 → (◡𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ↔ 𝐹 ∈ (𝐾Homeo𝐽)))

Proof of Theorem hmeocnvb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmeocnv 23655	. . 3 ⊢ (◡𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → ◡◡𝐹 ∈ (𝐾Homeo𝐽))
2		dfrel2 6164	. . . 4 ⊢ (Rel 𝐹 ↔ ◡◡𝐹 = 𝐹)
3		eleq1 2817	. . . 4 ⊢ (◡◡𝐹 = 𝐹 → (◡◡𝐹 ∈ (𝐾Homeo𝐽) ↔ 𝐹 ∈ (𝐾Homeo𝐽)))
4	2, 3	sylbi 217	. . 3 ⊢ (Rel 𝐹 → (◡◡𝐹 ∈ (𝐾Homeo𝐽) ↔ 𝐹 ∈ (𝐾Homeo𝐽)))
5	1, 4	imbitrid 244	. 2 ⊢ (Rel 𝐹 → (◡𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹 ∈ (𝐾Homeo𝐽)))
6		hmeocnv 23655	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐾Homeo𝐽) → ◡𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾))
7	5, 6	impbid1 225	1 ⊢ (Rel 𝐹 → (◡𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ↔ 𝐹 ∈ (𝐾Homeo𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ^◡ccnv 5639  Rel wrel 5645  (class class class)co 7389  Homeochmeo 23646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5535  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-fv 6521  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-map 8803  df-top 22787  df-topon 22804  df-cn 23120  df-hmeo 23648

This theorem is referenced by: (None)