Theorem hmeoqtop 21956

Description: A homeomorphism is a quotient map. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hmeoqtop	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐾 = (𝐽 qTop 𝐹))

Proof of Theorem hmeoqtop

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmeocn 21941	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2		cntop2 21423	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
4		eqid 2825	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
5	4	toptopon 21099	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
6	3, 5	sylib 210	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
7		eqid 2825	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
8	7, 4	hmeof1o 21945	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹:∪ 𝐽–1-1-onto→∪ 𝐾)
9		f1ofo 6389	. . 3 ⊢ (𝐹:∪ 𝐽–1-1-onto→∪ 𝐾 → 𝐹:∪ 𝐽–onto→∪ 𝐾)
10		forn 6360	. . 3 ⊢ (𝐹:∪ 𝐽–onto→∪ 𝐾 → ran 𝐹 = ∪ 𝐾)
11	8, 9, 10	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → ran 𝐹 = ∪ 𝐾)
12		hmeoima 21946	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → (𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐾)
13	6, 1, 11, 12	qtopomap 21899	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐾 = (𝐽 qTop 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  ∪ cuni 4660  ran crn 5347  –onto→wfo 6125  –1-1-onto→wf1o 6126  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910   qTop cqtop 16523  Topctop 21075  TopOnctopon 21092   Cn ccn 21406  Homeochmeo 21934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-map 8129  df-qtop 16527  df-top 21076  df-topon 21093  df-cn 21409  df-hmeo 21936

This theorem is referenced by:  xpstopnlem2  21992