Theorem hmeoqtop 23740

Description: A homeomorphism is a quotient map. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hmeoqtop	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐾 = (𝐽 qTop 𝐹))

Proof of Theorem hmeoqtop

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmeocn 23725	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2		cntop2 23206	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
4		toptopon2 22883	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
5	3, 4	sylib 218	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
6		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
7		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
8	6, 7	hmeof1o 23729	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹:∪ 𝐽–1-1-onto→∪ 𝐾)
9		f1ofo 6788	. . 3 ⊢ (𝐹:∪ 𝐽–1-1-onto→∪ 𝐾 → 𝐹:∪ 𝐽–onto→∪ 𝐾)
10		forn 6756	. . 3 ⊢ (𝐹:∪ 𝐽–onto→∪ 𝐾 → ran 𝐹 = ∪ 𝐾)
11	8, 9, 10	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → ran 𝐹 = ∪ 𝐾)
12		hmeoima 23730	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → (𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐾)
13	5, 1, 11, 12	qtopomap 23683	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐾 = (𝐽 qTop 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∪ cuni 4851  ran crn 5632  –onto→wfo 6497  –1-1-onto→wf1o 6498  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367   qTop cqtop 17467  Topctop 22858  TopOnctopon 22875   Cn ccn 23189  Homeochmeo 23718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-map 8775  df-qtop 17471  df-top 22859  df-topon 22876  df-cn 23192  df-hmeo 23720

This theorem is referenced by:  xpstopnlem2  23776