MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hmeoqtop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hmeoqtop 23767
Description: A homeomorphism is a quotient map. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
hmeoqtop (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐾 = (𝐽 qTop 𝐹))

Proof of Theorem hmeoqtop
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmeocn 23752 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2 cntop2 23233 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
31, 2syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
4 toptopon2 22908 . . 3 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
53, 4sylib 217 . 2 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
6 eqid 2726 . . . 4 𝐽 = 𝐽
7 eqid 2726 . . . 4 𝐾 = 𝐾
86, 7hmeof1o 23756 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹: 𝐽1-1-onto 𝐾)
9 f1ofo 6842 . . 3 (𝐹: 𝐽1-1-onto 𝐾𝐹: 𝐽onto 𝐾)
10 forn 6810 . . 3 (𝐹: 𝐽onto 𝐾 → ran 𝐹 = 𝐾)
118, 9, 103syl 18 . 2 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → ran 𝐹 = 𝐾)
12 hmeoima 23757 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝑥𝐽) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐾)
135, 1, 11, 12qtopomap 23710 1 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐾 = (𝐽 qTop 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1534  wcel 2099   cuni 4905  ran crn 5675  ontowfo 6544  1-1-ontowf1o 6545  cfv 6546  (class class class)co 7416   qTop cqtop 17513  Topctop 22883  TopOnctopon 22900   Cn ccn 23216  Homeochmeo 23745
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-id 5572  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-map 8849  df-qtop 17517  df-top 22884  df-topon 22901  df-cn 23219  df-hmeo 23747
This theorem is referenced by:  xpstopnlem2  23803
  Copyright terms: Public domain W3C validator