Theorem hmeoqtop 22385

Description: A homeomorphism is a quotient map. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hmeoqtop	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐾 = (𝐽 qTop 𝐹))

Proof of Theorem hmeoqtop

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmeocn 22370	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2		cntop2 21851	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
4		toptopon2 21528	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
5	3, 4	sylib 220	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
6		eqid 2823	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
7		eqid 2823	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
8	6, 7	hmeof1o 22374	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹:∪ 𝐽–1-1-onto→∪ 𝐾)
9		f1ofo 6624	. . 3 ⊢ (𝐹:∪ 𝐽–1-1-onto→∪ 𝐾 → 𝐹:∪ 𝐽–onto→∪ 𝐾)
10		forn 6595	. . 3 ⊢ (𝐹:∪ 𝐽–onto→∪ 𝐾 → ran 𝐹 = ∪ 𝐾)
11	8, 9, 10	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → ran 𝐹 = ∪ 𝐾)
12		hmeoima 22375	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → (𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐾)
13	5, 1, 11, 12	qtopomap 22328	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐾 = (𝐽 qTop 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∪ cuni 4840  ran crn 5558  –onto→wfo 6355  –1-1-onto→wf1o 6356  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158   qTop cqtop 16778  Topctop 21503  TopOnctopon 21520   Cn ccn 21834  Homeochmeo 22363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-map 8410  df-qtop 16782  df-top 21504  df-topon 21521  df-cn 21837  df-hmeo 22365

This theorem is referenced by:  xpstopnlem2  22421