MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hmeoqtop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hmeoqtop 23799
Description: A homeomorphism is a quotient map. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
hmeoqtop (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐾 = (𝐽 qTop 𝐹))

Proof of Theorem hmeoqtop
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmeocn 23784 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2 cntop2 23265 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
31, 2syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
4 toptopon2 22940 . . 3 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
53, 4sylib 218 . 2 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
6 eqid 2735 . . . 4 𝐽 = 𝐽
7 eqid 2735 . . . 4 𝐾 = 𝐾
86, 7hmeof1o 23788 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹: 𝐽1-1-onto 𝐾)
9 f1ofo 6856 . . 3 (𝐹: 𝐽1-1-onto 𝐾𝐹: 𝐽onto 𝐾)
10 forn 6824 . . 3 (𝐹: 𝐽onto 𝐾 → ran 𝐹 = 𝐾)
118, 9, 103syl 18 . 2 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → ran 𝐹 = 𝐾)
12 hmeoima 23789 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝑥𝐽) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐾)
135, 1, 11, 12qtopomap 23742 1 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐾 = (𝐽 qTop 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106   cuni 4912  ran crn 5690  ontowfo 6561  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  (class class class)co 7431   qTop cqtop 17550  Topctop 22915  TopOnctopon 22932   Cn ccn 23248  Homeochmeo 23777
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8867  df-qtop 17554  df-top 22916  df-topon 22933  df-cn 23251  df-hmeo 23779
This theorem is referenced by:  xpstopnlem2  23835
  Copyright terms: Public domain W3C validator