Theorem hmeoqtop 22926

Description: A homeomorphism is a quotient map. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hmeoqtop	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐾 = (𝐽 qTop 𝐹))

Proof of Theorem hmeoqtop

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmeocn 22911	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2		cntop2 22392	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
4		toptopon2 22067	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
5	3, 4	sylib 217	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
6		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
7		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
8	6, 7	hmeof1o 22915	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹:∪ 𝐽–1-1-onto→∪ 𝐾)
9		f1ofo 6723	. . 3 ⊢ (𝐹:∪ 𝐽–1-1-onto→∪ 𝐾 → 𝐹:∪ 𝐽–onto→∪ 𝐾)
10		forn 6691	. . 3 ⊢ (𝐹:∪ 𝐽–onto→∪ 𝐾 → ran 𝐹 = ∪ 𝐾)
11	8, 9, 10	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → ran 𝐹 = ∪ 𝐾)
12		hmeoima 22916	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → (𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐾)
13	5, 1, 11, 12	qtopomap 22869	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐾 = (𝐽 qTop 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∪ cuni 4839  ran crn 5590  –onto→wfo 6431  –1-1-onto→wf1o 6432  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   qTop cqtop 17214  Topctop 22042  TopOnctopon 22059   Cn ccn 22375  Homeochmeo 22904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-map 8617  df-qtop 17218  df-top 22043  df-topon 22060  df-cn 22378  df-hmeo 22906

This theorem is referenced by:  xpstopnlem2  22962