Theorem idhmeo 24107

Description: The identity function is a homeomorphism. (Contributed by FL, 14-Feb-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
idhmeo	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → ( I ↾ 𝑋) ∈ (𝐽Homeo𝐽))

Proof of Theorem idhmeo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idcn 23590	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → ( I ↾ 𝑋) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
2		cnvresid 6630	. . 3 ⊢ ◡( I ↾ 𝑋) = ( I ↾ 𝑋)
3	2, 1	eqeltrid 2868	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → ◡( I ↾ 𝑋) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
4		ishmeo 24093	. 2 ⊢ (( I ↾ 𝑋) ∈ (𝐽Homeo𝐽) ↔ (( I ↾ 𝑋) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ ◡( I ↾ 𝑋) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
5	1, 3, 4	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → ( I ↾ 𝑋) ∈ (𝐽Homeo𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146   I cid 5549  ^◡ccnv 5654   ↾ cres 5657  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  TopOnctopon 23243   Cn ccn 23557  Homeochmeo 24087

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-map 8863  df-top 23227  df-topon 23244  df-cn 23560  df-hmeo 24089

This theorem is used by:  hmphref  24115