Theorem hmeocnv 24108

Description: The converse of a homeomorphism is a homeomorphism. (Contributed by FL, 5-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hmeocnv	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → ◡𝐹 ∈ (𝐾Homeo𝐽))

Proof of Theorem hmeocnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmeocnvcn 24107	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → ◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
2		hmeocn 24106	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
4		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
5	3, 4	cnf 23591	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
6		frel 6734	. . . . 5 ⊢ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 → Rel 𝐹)
7	2, 5, 6	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → Rel 𝐹)
8		dfrel2 6192	. . . 4 ⊢ (Rel 𝐹 ↔ ◡◡𝐹 = 𝐹)
9	7, 8	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → ◡◡𝐹 = 𝐹)
10	9, 2	eqeltrd 2864	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → ◡◡𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
11		ishmeo 24105	. 2 ⊢ (◡𝐹 ∈ (𝐾Homeo𝐽) ↔ (◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ∧ ◡◡𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
12	1, 10, 11	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → ◡𝐹 ∈ (𝐾Homeo𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∪ cuni 4870  ^◡ccnv 5654  Rel wrel 5660  ⟶wf 6551  (class class class)co 7440   Cn ccn 23569  Homeochmeo 24099

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-fv 6563  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-map 8874  df-top 23239  df-topon 23256  df-cn 23572  df-hmeo 24101

This theorem is used by:  hmeocnvb  24120  hmphsym  24128  xpstopnlem2  24157