Theorem hmeocnv 23902

Description: The converse of a homeomorphism is a homeomorphism. (Contributed by FL, 5-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hmeocnv	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → ◡𝐹 ∈ (𝐾Homeo𝐽))

Proof of Theorem hmeocnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmeocnvcn 23901	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → ◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
2		hmeocn 23900	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3		eqid 2770	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
4		eqid 2770	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
5	3, 4	cnf 23386	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
6		frel 6715	. . . . 5 ⊢ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 → Rel 𝐹)
7	2, 5, 6	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → Rel 𝐹)
8		dfrel2 6191	. . . 4 ⊢ (Rel 𝐹 ↔ ◡◡𝐹 = 𝐹)
9	7, 8	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → ◡◡𝐹 = 𝐹)
10	9, 2	eqeltrd 2870	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → ◡◡𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
11		ishmeo 23899	. 2 ⊢ (◡𝐹 ∈ (𝐾Homeo𝐽) ↔ (◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ∧ ◡◡𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
12	1, 10, 11	sylanbrc 594	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → ◡𝐹 ∈ (𝐾Homeo𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1568   ∈ wcel 2150  ∪ cuni 4877  ^◡ccnv 5664  Rel wrel 5670  ⟶wf 6536  (class class class)co 7414   Cn ccn 23364  Homeochmeo 23893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5560  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-map 8829  df-top 23034  df-topon 23051  df-cn 23367  df-hmeo 23895

This theorem is referenced by:  hmeocnvb  23914  hmphsym  23922  xpstopnlem2  23951