Theorem hmeocnv 23989

Description: The converse of a homeomorphism is a homeomorphism. (Contributed by FL, 5-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hmeocnv	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → ◡𝐹 ∈ (𝐾Homeo𝐽))

Proof of Theorem hmeocnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmeocnvcn 23988	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → ◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
2		hmeocn 23987	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
4		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
5	3, 4	cnf 23472	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
6		frel 6712	. . . . 5 ⊢ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 → Rel 𝐹)
7	2, 5, 6	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → Rel 𝐹)
8		dfrel2 6186	. . . 4 ⊢ (Rel 𝐹 ↔ ◡◡𝐹 = 𝐹)
9	7, 8	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → ◡◡𝐹 = 𝐹)
10	9, 2	eqeltrd 2862	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → ◡◡𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
11		ishmeo 23986	. 2 ⊢ (◡𝐹 ∈ (𝐾Homeo𝐽) ↔ (◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ∧ ◡◡𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
12	1, 10, 11	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → ◡𝐹 ∈ (𝐾Homeo𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∪ cuni 4870  ^◡ccnv 5658  Rel wrel 5664  ⟶wf 6533  (class class class)co 7416   Cn ccn 23450  Homeochmeo 23980

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-map 8831  df-top 23120  df-topon 23137  df-cn 23453  df-hmeo 23982

This theorem is used by:  hmeocnvb  24001  hmphsym  24009  xpstopnlem2  24038