Theorem hoeq 32112

Description: Equality of Hilbert space operators. (Contributed by NM, 12-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hoeq	⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑈‘𝑥) ↔ 𝑇 = 𝑈))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑇   𝑥,𝑈

Proof of Theorem hoeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6705	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 𝑇 Fn ℋ)
2		ffn 6705	. 2 ⊢ (𝑈: ℋ⟶ ℋ → 𝑈 Fn ℋ)
3		eqfnfv 7025	. . 3 ⊢ ((𝑇 Fn ℋ ∧ 𝑈 Fn ℋ) → (𝑇 = 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑈‘𝑥)))
4	3	bicomd 226	. 2 ⊢ ((𝑇 Fn ℋ ∧ 𝑈 Fn ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑈‘𝑥) ↔ 𝑇 = 𝑈))
5	1, 2, 4	syl2an 607	1 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑈‘𝑥) ↔ 𝑇 = 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570  ∀wral 3079   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536   ℋchba 31271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544

This theorem is referenced by:  hoeqi  32113  homullid  32152  homco1  32153  homulass  32154  hoadddi  32155  hoadddir  32156  homco2  32329