Theorem hoeq 32185

Description: Equality of Hilbert space operators. (Contributed by NM, 12-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hoeq	⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑈‘𝑥) ↔ 𝑇 = 𝑈))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑇   𝑥,𝑈

Proof of Theorem hoeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6709	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 𝑇 Fn ℋ)
2		ffn 6709	. 2 ⊢ (𝑈: ℋ⟶ ℋ → 𝑈 Fn ℋ)
3		eqfnfv 7029	. . 3 ⊢ ((𝑇 Fn ℋ ∧ 𝑈 Fn ℋ) → (𝑇 = 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑈‘𝑥)))
4	3	bicomd 226	. 2 ⊢ ((𝑇 Fn ℋ ∧ 𝑈 Fn ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑈‘𝑥) ↔ 𝑇 = 𝑈))
5	1, 2, 4	syl2an 608	1 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑈‘𝑥) ↔ 𝑇 = 𝑈))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∀wral 3081   Fn wfn 6535  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540   ℋchba 31344

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548

This theorem is used by:  hoeqi  32186  homullid  32225  homco1  32226  homulass  32227  hoadddi  32228  hoadddir  32229  homco2  32402