Theorem eqfnfv 7032

Description: Equality of functions is determined by their values. Special case of Exercise 4 of [TakeutiZaring] p. 28 (with domain equality omitted). (Contributed by NM, 3-Aug-1994.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eqfnfv	⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐺 Fn 𝐴) → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺

Proof of Theorem eqfnfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffn5 6950	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 ↔ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)))
2		dffn5 6950	. . 3 ⊢ (𝐺 Fn 𝐴 ↔ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺‘𝑥)))
3		eqeq12 2749	. . 3 ⊢ ((𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺‘𝑥))) → (𝐹 = 𝐺 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺‘𝑥))))
4	1, 2, 3	syl2anb 598	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐺 Fn 𝐴) → (𝐹 = 𝐺 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺‘𝑥))))
5		fvex 6904	. . . 4 ⊢ (𝐹‘𝑥) ∈ V
6	5	rgenw 3065	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ V
7		mpteqb 7017	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ V → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺‘𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)))
8	6, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺‘𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
9	4, 8	bitrdi 286	1 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐺 Fn 𝐴) → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  Vcvv 3474   ↦ cmpt 5231   Fn wfn 6538  ‘cfv 6543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-fv 6551

This theorem is referenced by:  eqfnfv2  7033  eqfnfvd  7035  eqfnfv2f  7036  eqfnun  7038  fvreseq0  7039  fnmptfvd  7042  fndmdifeq0  7045  fneqeql  7047  fnnfpeq0  7178  fprb  7197  fconst2g  7206  cocan1  7291  cocan2  7292  weniso  7353  fsplitfpar  8106  fnsuppres  8178  tfr3  8401  ixpfi2  9352  fipreima  9360  updjud  9931  fseqenlem1  10021  fpwwe2lem7  10634  ofsubeq0  12213  ser0f  14025  hashgval2  14342  hashf1lem1  14419  hashf1lem1OLD  14420  prodf1f  15842  efcvgfsum  16033  prmreclem2  16854  1arithlem4  16863  1arith  16864  smndex1n0mnd  18829  isgrpinv  18914  dprdf11  19934  frlmplusgvalb  21543  frlmvscavalb  21544  islindf4  21612  psrbagconf1o  21708  psrbagconf1oOLD  21709  pthaus  23362  xkohaus  23377  cnmpt11  23387  cnmpt21  23395  prdsxmetlem  24094  rrxmet  25149  rolle  25731  tdeglem4  25801  tdeglem4OLD  25802  resinf1o  26269  dchrelbas2  26964  dchreq  26985  eqeefv  28416  axlowdimlem14  28468  elntg2  28498  nmlno0lem  30301  phoeqi  30365  occllem  30811  dfiop2  31261  hoeq  31268  ho01i  31336  hoeq1  31338  kbpj  31464  nmlnop0iALT  31503  lnopco0i  31512  nlelchi  31569  rnbra  31615  kbass5  31628  hmopidmchi  31659  hmopidmpji  31660  pjssdif2i  31682  pjinvari  31699  bnj1542  34154  bnj580  34210  subfacp1lem3  34459  subfacp1lem5  34461  mrsubff1  34791  msubff1  34833  faclimlem1  35005  rdgprc  35058  broucube  36825  cocanfo  36890  sdclem2  36913  rrnmet  37000  rrnequiv  37006  ltrnid  39309  ltrneq2  39322  tendoeq1  39938  sticksstones1  41268  pw2f1ocnv  42078  caofcan  43384  addrcom  43536  fsneq  44204  dvnprodlem1  44961  cfsetsnfsetf1  46068  cfsetsnfsetfo  46069  rrx2pnecoorneor  47489  rrx2linest  47516