Theorem eqfnfv 7011

Description: Equality of functions is determined by their values. Special case of Exercise 4 of [TakeutiZaring] p. 28 (with domain equality omitted). (Contributed by NM, 3-Aug-1994.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eqfnfv	⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐺 Fn 𝐴) → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺

Proof of Theorem eqfnfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffn5 6925	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 ↔ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)))
2		dffn5 6925	. . 3 ⊢ (𝐺 Fn 𝐴 ↔ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺‘𝑥)))
3		eqeq12 2779	. . 3 ⊢ ((𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺‘𝑥))) → (𝐹 = 𝐺 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺‘𝑥))))
4	1, 2, 3	syl2anb 607	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐺 Fn 𝐴) → (𝐹 = 𝐺 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺‘𝑥))))
5		fvex 6880	. . . 4 ⊢ (𝐹‘𝑥) ∈ V
6	5	rgenw 3080	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ V
7		mpteqb 6995	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ V → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺‘𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)))
8	6, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺‘𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
9	4, 8	bitrdi 289	1 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐺 Fn 𝐴) → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∀wral 3076  Vcvv 3454   ↦ cmpt 5181   Fn wfn 6516  ‘cfv 6521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-fv 6529

This theorem is referenced by:  eqfnfv2  7012  eqfnfvd  7014  eqfnfv2f  7015  fsneq  7016  eqfnun  7018  fvreseq0  7019  fnmptfvd  7022  fndmdifeq0  7025  fneqeql  7027  fnnfpeq0  7162  fprb  7178  fconst2g  7187  cocan1  7275  cocan2  7276  weniso  7338  fsplitfpar  8097  fnsuppres  8171  tfr3  8370  ixpfi2  9293  fipreima  9301  updjud  9892  fseqenlem1  9980  fpwwe2lem7  10595  ofsubeq0  12192  ser0f  14068  hashgval2  14391  hashf1lem1  14468  prodf1f  15922  efcvgfsum  16116  prmreclem2  16953  1arithlem4  16962  1arith  16963  smndex1n0mnd  18949  isgrpinv  19035  dprdf11  20065  frlmplusgvalb  21821  frlmvscavalb  21822  islindf4  21890  psrbagconf1o  21981  pthaus  23698  xkohaus  23713  cnmpt11  23723  cnmpt21  23731  prdsxmetlem  24428  rrxmet  25470  rolle  26052  tdeglem4  26120  resinf1o  26601  dchrelbas2  27301  dchreq  27322  eqeefv  29104  axlowdimlem14  29156  elntg2  29186  nmlno0lem  30996  phoeqi  31060  occllem  31506  dfiop2  31956  hoeq  31963  ho01i  32031  hoeq1  32033  kbpj  32159  nmlnop0iALT  32198  lnopco0i  32207  nlelchi  32264  rnbra  32310  kbass5  32323  hmopidmchi  32354  hmopidmpji  32355  pjssdif2i  32377  pjinvari  32394  bnj1542  35152  bnj580  35208  subfacp1lem3  35532  subfacp1lem5  35534  mrsubff1  35864  msubff1  35906  faclimlem1  36093  rdgprc  36142  broucube  38153  cocanfo  38218  sdclem2  38241  rrnmet  38328  rrnequiv  38334  ltrnid  40759  ltrneq2  40772  tendoeq1  41388  sticksstones1  42763  pw2f1ocnv  43614  caofcan  44899  addrcom  45050  dvnprodlem1  46520  cfsetsnfsetf1  47653  cfsetsnfsetfo  47654  rrx2pnecoorneor  49337  rrx2linest  49364  dfinito4  50122