Theorem eqfnfv 7060

Description: Equality of functions is determined by their values. Special case of Exercise 4 of [TakeutiZaring] p. 28 (with domain equality omitted). (Contributed by NM, 3-Aug-1994.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eqfnfv	⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐺 Fn 𝐴) → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺

Proof of Theorem eqfnfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffn5 6974	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 ↔ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)))
2		dffn5 6974	. . 3 ⊢ (𝐺 Fn 𝐴 ↔ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺‘𝑥)))
3		eqeq12 2780	. . 3 ⊢ ((𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺‘𝑥))) → (𝐹 = 𝐺 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺‘𝑥))))
4	1, 2, 3	syl2anb 610	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐺 Fn 𝐴) → (𝐹 = 𝐺 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺‘𝑥))))
5		fvex 6929	. . . 4 ⊢ (𝐹‘𝑥) ∈ V
6	5	rgenw 3084	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ V
7		mpteqb 7044	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ V → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺‘𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)))
8	6, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺‘𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
9	4, 8	bitrdi 290	1 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐺 Fn 𝐴) → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  Vcvv 3454   ↦ cmpt 5192   Fn wfn 6561  ‘cfv 6566

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-fv 6574

This theorem is used by:  eqfnfv2  7061  eqfnfvd  7063  eqfnfv2f  7064  fsneq  7065  eqfnun  7067  fvreseq0  7068  fnmptfvd  7071  fndmdifeq0  7074  fneqeql  7076  fnnfpeq0  7214  fprb  7230  fconst2g  7240  cocan1  7330  cocan2  7331  weniso  7395  fsplitfpar  8166  fnsuppres  8246  tfr3  8445  ixpfi2  9377  fipreima  9385  updjud  10052  fseqenlem1  10142  fpwwe2lem7  10761  ofsubeq0  12357  ser0f  14238  hashgval2  14563  hashf1lem1  14641  prodf1f  16105  efcvgfsum  16296  prmreclem2  17139  1arithlem4  17148  1arith  17149  smndex1n0mnd  19161  isgrpinv  19254  dprdf11  20290  frlmplusgvalb  22130  frlmvscavalb  22131  islindf4  22199  psrbagconf1o  22292  pthaus  24012  xkohaus  24027  cnmpt11  24037  cnmpt21  24045  prdsxmetlem  24742  rrxmet  25784  rolle  26365  tdeglem4  26433  resinf1o  26921  dchrelbas2  27621  dchreq  27642  eqeefv  29538  axlowdimlem14  29590  elntg2  29620  nmlno0lem  31452  phoeqi  31516  occllem  31962  dfiop2  32412  hoeq  32419  ho01i  32487  hoeq1  32489  kbpj  32615  nmlnop0iALT  32654  lnopco0i  32663  nlelchi  32720  rnbra  32766  kbass5  32779  hmopidmchi  32810  hmopidmpji  32811  pjssdif2i  32833  pjinvari  32850  bnj1542  35598  bnj580  35654  subfacp1lem3  36155  subfacp1lem5  36157  mrsubff1  36487  msubff1  36529  faclimlem1  36723  rdgprc  36771  broucube  38840  cocanfo  38921  sdclem2  38942  rrnmet  39029  rrnequiv  39035  ltrnid  41458  ltrneq2  41471  tendoeq1  42087  sticksstones1  43462  pw2f1ocnv  44310  caofcan  45568  addrcom  45717  dvnprodlem1  47229  cfsetsnfsetf1  48402  cfsetsnfsetfo  48403  rrx2pnecoorneor  50159  rrx2linest  50185  nateq  50675  dfinito4  50967