HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hoadddir Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hoadddir 31601
Description: Scalar product reverse distributive law for Hilbert space operators. (Contributed by NM, 25-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hoadddir ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยทop ๐‘‡) = ((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ต ยทop ๐‘‡)))
Proof of Theorem hoadddir
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addcl 11212 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
21anim1i 614 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹))
323impa 1108 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹))
4 homval 31538 . . . . . . 7 (((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐ด + ๐ต) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
543expa 1116 . . . . . 6 ((((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐ด + ๐ต) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
63, 5sylan 579 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐ด + ๐ต) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
7 homval 31538 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
873expa 1116 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
983adantl2 1165 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
10 homval 31538 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ต ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ต ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
11103expa 1116 . . . . . . . 8 (((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ต ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ต ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
12113adantl1 1164 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ต ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ต ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
139, 12oveq12d 7432 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((๐ต ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (๐ต ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
14 ffvelcdm 7085 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
15 ax-hvdistr2 30806 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (๐ต ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
1614, 15syl3an3 1163 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (๐ต ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
17163exp 1117 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (๐ต ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))))
1817exp4a 431 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (๐ต ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))))))
19183imp1 1345 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (๐ต ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
2013, 19eqtr4d 2770 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((๐ต ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐ด + ๐ต) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
216, 20eqtr4d 2770 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((๐ต ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)))
22 homulcl 31556 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
23 homulcl 31556 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐ต ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
2422, 23anim12i 612 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐ต ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹))
25243impdir 1349 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐ต ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹))
26 hosval 31537 . . . . . 6 (((๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐ต ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ต ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ) = (((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((๐ต ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)))
27263expa 1116 . . . . 5 ((((๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐ต ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ต ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ) = (((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((๐ต ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)))
2825, 27sylan 579 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ต ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ) = (((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((๐ต ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)))
2921, 28eqtr4d 2770 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ต ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ))
3029ralrimiva 3141 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (((๐ด + ๐ต) ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ต ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ))
31 homulcl 31556 . . . 4 (((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
321, 31stoic3 1771 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
33 hoaddcl 31555 . . . . 5 (((๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐ต ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ต ยทop ๐‘‡)): โ„‹โŸถ โ„‹)
3422, 23, 33syl2an 595 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ต ยทop ๐‘‡)): โ„‹โŸถ โ„‹)
35343impdir 1349 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ต ยทop ๐‘‡)): โ„‹โŸถ โ„‹)
36 hoeq 31557 . . 3 ((((๐ด + ๐ต) ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ต ยทop ๐‘‡)): โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (((๐ด + ๐ต) ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ต ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ) โ†” ((๐ด + ๐ต) ยทop ๐‘‡) = ((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ต ยทop ๐‘‡))))
3732, 35, 36syl2anc 583 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (((๐ด + ๐ต) ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ต ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ) โ†” ((๐ด + ๐ต) ยทop ๐‘‡) = ((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ต ยทop ๐‘‡))))
3830, 37mpbid 231 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยทop ๐‘‡) = ((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ต ยทop ๐‘‡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โˆ€wral 3056  โŸถwf 6538  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11128   + caddc 11133   โ„‹chba 30716   +โ„Ž cva 30717   ยทโ„Ž csm 30718   +op chos 30735   ยทop chot 30736
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-addcl 11190  ax-hilex 30796  ax-hfvadd 30797  ax-hfvmul 30802  ax-hvdistr2 30806
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-map 8838  df-hosum 31527  df-homul 31528
This theorem is referenced by:  ho2times  31616
  Copyright terms: Public domain W3C validator