HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hoadddir Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hoadddir 31057
Description: Scalar product reverse distributive law for Hilbert space operators. (Contributed by NM, 25-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hoadddir ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยทop ๐‘‡) = ((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ต ยทop ๐‘‡)))
Proof of Theorem hoadddir
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addcl 11192 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
21anim1i 616 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹))
323impa 1111 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹))
4 homval 30994 . . . . . . 7 (((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐ด + ๐ต) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
543expa 1119 . . . . . 6 ((((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐ด + ๐ต) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
63, 5sylan 581 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐ด + ๐ต) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
7 homval 30994 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
873expa 1119 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
983adantl2 1168 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
10 homval 30994 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ต ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ต ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
11103expa 1119 . . . . . . . 8 (((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ต ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ต ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
12113adantl1 1167 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ต ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ต ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
139, 12oveq12d 7427 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((๐ต ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (๐ต ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
14 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
15 ax-hvdistr2 30262 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (๐ต ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
1614, 15syl3an3 1166 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (๐ต ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
17163exp 1120 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (๐ต ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))))
1817exp4a 433 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (๐ต ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))))))
19183imp1 1348 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (๐ต ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
2013, 19eqtr4d 2776 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((๐ต ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐ด + ๐ต) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
216, 20eqtr4d 2776 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((๐ต ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)))
22 homulcl 31012 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
23 homulcl 31012 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐ต ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
2422, 23anim12i 614 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐ต ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹))
25243impdir 1352 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐ต ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹))
26 hosval 30993 . . . . . 6 (((๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐ต ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ต ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ) = (((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((๐ต ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)))
27263expa 1119 . . . . 5 ((((๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐ต ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ต ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ) = (((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((๐ต ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)))
2825, 27sylan 581 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ต ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ) = (((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((๐ต ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)))
2921, 28eqtr4d 2776 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ต ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ))
3029ralrimiva 3147 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (((๐ด + ๐ต) ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ต ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ))
31 homulcl 31012 . . . 4 (((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
321, 31stoic3 1779 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
33 hoaddcl 31011 . . . . 5 (((๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐ต ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ต ยทop ๐‘‡)): โ„‹โŸถ โ„‹)
3422, 23, 33syl2an 597 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ต ยทop ๐‘‡)): โ„‹โŸถ โ„‹)
35343impdir 1352 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ต ยทop ๐‘‡)): โ„‹โŸถ โ„‹)
36 hoeq 31013 . . 3 ((((๐ด + ๐ต) ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ต ยทop ๐‘‡)): โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (((๐ด + ๐ต) ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ต ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ) โ†” ((๐ด + ๐ต) ยทop ๐‘‡) = ((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ต ยทop ๐‘‡))))
3732, 35, 36syl2anc 585 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (((๐ด + ๐ต) ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ต ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ) โ†” ((๐ด + ๐ต) ยทop ๐‘‡) = ((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ต ยทop ๐‘‡))))
3830, 37mpbid 231 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยทop ๐‘‡) = ((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ต ยทop ๐‘‡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3062  โŸถwf 6540  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108   + caddc 11113   โ„‹chba 30172   +โ„Ž cva 30173   ยทโ„Ž csm 30174   +op chos 30191   ยทop chot 30192
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-addcl 11170  ax-hilex 30252  ax-hfvadd 30253  ax-hfvmul 30258  ax-hvdistr2 30262
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-map 8822  df-hosum 30983  df-homul 30984
This theorem is referenced by:  ho2times  31072
  Copyright terms: Public domain W3C validator