HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hoadddir Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hoadddir 31670
Description: Scalar product reverse distributive law for Hilbert space operators. (Contributed by NM, 25-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hoadddir ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยทop ๐‘‡) = ((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ต ยทop ๐‘‡)))
Proof of Theorem hoadddir
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addcl 11220 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
21anim1i 613 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹))
323impa 1107 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹))
4 homval 31607 . . . . . . 7 (((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐ด + ๐ต) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
543expa 1115 . . . . . 6 ((((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐ด + ๐ต) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
63, 5sylan 578 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐ด + ๐ต) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
7 homval 31607 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
873expa 1115 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
983adantl2 1164 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
10 homval 31607 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ต ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ต ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
11103expa 1115 . . . . . . . 8 (((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ต ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ต ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
12113adantl1 1163 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ต ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ต ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
139, 12oveq12d 7435 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((๐ต ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (๐ต ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
14 ffvelcdm 7088 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
15 ax-hvdistr2 30875 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (๐ต ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
1614, 15syl3an3 1162 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (๐ต ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
17163exp 1116 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (๐ต ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))))
1817exp4a 430 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (๐ต ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))))))
19183imp1 1344 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (๐ต ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
2013, 19eqtr4d 2768 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((๐ต ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐ด + ๐ต) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
216, 20eqtr4d 2768 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((๐ต ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)))
22 homulcl 31625 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
23 homulcl 31625 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐ต ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
2422, 23anim12i 611 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐ต ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹))
25243impdir 1348 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐ต ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹))
26 hosval 31606 . . . . . 6 (((๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐ต ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ต ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ) = (((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((๐ต ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)))
27263expa 1115 . . . . 5 ((((๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐ต ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ต ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ) = (((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((๐ต ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)))
2825, 27sylan 578 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ต ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ) = (((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((๐ต ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)))
2921, 28eqtr4d 2768 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ต ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ))
3029ralrimiva 3136 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (((๐ด + ๐ต) ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ต ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ))
31 homulcl 31625 . . . 4 (((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
321, 31stoic3 1770 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
33 hoaddcl 31624 . . . . 5 (((๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐ต ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ต ยทop ๐‘‡)): โ„‹โŸถ โ„‹)
3422, 23, 33syl2an 594 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ต ยทop ๐‘‡)): โ„‹โŸถ โ„‹)
35343impdir 1348 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ต ยทop ๐‘‡)): โ„‹โŸถ โ„‹)
36 hoeq 31626 . . 3 ((((๐ด + ๐ต) ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ต ยทop ๐‘‡)): โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (((๐ด + ๐ต) ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ต ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ) โ†” ((๐ด + ๐ต) ยทop ๐‘‡) = ((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ต ยทop ๐‘‡))))
3732, 35, 36syl2anc 582 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (((๐ด + ๐ต) ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ต ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ) โ†” ((๐ด + ๐ต) ยทop ๐‘‡) = ((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ต ยทop ๐‘‡))))
3830, 37mpbid 231 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยทop ๐‘‡) = ((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ต ยทop ๐‘‡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3051  โŸถwf 6543  โ€˜cfv 6547  (class class class)co 7417  โ„‚cc 11136   + caddc 11141   โ„‹chba 30785   +โ„Ž cva 30786   ยทโ„Ž csm 30787   +op chos 30804   ยทop chot 30805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-addcl 11198  ax-hilex 30865  ax-hfvadd 30866  ax-hfvmul 30871  ax-hvdistr2 30875
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-map 8845  df-hosum 31596  df-homul 31597
This theorem is referenced by:  ho2times  31685
  Copyright terms: Public domain W3C validator