Theorem homco1 32182

Description: Associative law for scalar product and composition of operators. (Contributed by NM, 13-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
homco1	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇) ∘ 𝑈) = (𝐴 ·op (𝑇 ∘ 𝑈)))

Proof of Theorem homco1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvco3 6985	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·op 𝑇) ∘ 𝑈)‘𝑥) = ((𝐴 ·op 𝑇)‘(𝑈‘𝑥)))
2	1	3ad2antl3 1206	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·op 𝑇) ∘ 𝑈)‘𝑥) = ((𝐴 ·op 𝑇)‘(𝑈‘𝑥)))
3		fvco3 6985	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇 ∘ 𝑈)‘𝑥) = (𝑇‘(𝑈‘𝑥)))
4	3	3ad2antl3 1206	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇 ∘ 𝑈)‘𝑥) = (𝑇‘(𝑈‘𝑥)))
5	4	oveq2d 7432	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ ((𝑇 ∘ 𝑈)‘𝑥)) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘(𝑈‘𝑥))))
6		ffvelcdm 7080	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑈‘𝑥) ∈ ℋ)
7		homval 32122	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑈‘𝑥) ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘(𝑈‘𝑥)) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘(𝑈‘𝑥))))
8	6, 7	syl3an3 1183	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘(𝑈‘𝑥)) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘(𝑈‘𝑥))))
9	8	3expa 1136	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘(𝑈‘𝑥)) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘(𝑈‘𝑥))))
10	9	exp43 442	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (𝑈: ℋ⟶ ℋ → (𝑥 ∈ ℋ → ((𝐴 ·op 𝑇)‘(𝑈‘𝑥)) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘(𝑈‘𝑥)))))))
11	10	3imp1 1366	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘(𝑈‘𝑥)) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘(𝑈‘𝑥))))
12	5, 11	eqtr4d 2803	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ ((𝑇 ∘ 𝑈)‘𝑥)) = ((𝐴 ·op 𝑇)‘(𝑈‘𝑥)))
13	2, 12	eqtr4d 2803	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·op 𝑇) ∘ 𝑈)‘𝑥) = (𝐴 ·ℎ ((𝑇 ∘ 𝑈)‘𝑥)))
14		fco 6734	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (𝑇 ∘ 𝑈): ℋ⟶ ℋ)
15		homval 32122	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇 ∘ 𝑈): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op (𝑇 ∘ 𝑈))‘𝑥) = (𝐴 ·ℎ ((𝑇 ∘ 𝑈)‘𝑥)))
16	14, 15	syl3an2 1182	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op (𝑇 ∘ 𝑈))‘𝑥) = (𝐴 ·ℎ ((𝑇 ∘ 𝑈)‘𝑥)))
17	16	3expia 1139	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ)) → (𝑥 ∈ ℋ → ((𝐴 ·op (𝑇 ∘ 𝑈))‘𝑥) = (𝐴 ·ℎ ((𝑇 ∘ 𝑈)‘𝑥))))
18	17	3impb 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (𝑥 ∈ ℋ → ((𝐴 ·op (𝑇 ∘ 𝑈))‘𝑥) = (𝐴 ·ℎ ((𝑇 ∘ 𝑈)‘𝑥))))
19	18	imp 412	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op (𝑇 ∘ 𝑈))‘𝑥) = (𝐴 ·ℎ ((𝑇 ∘ 𝑈)‘𝑥)))
20	13, 19	eqtr4d 2803	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·op 𝑇) ∘ 𝑈)‘𝑥) = ((𝐴 ·op (𝑇 ∘ 𝑈))‘𝑥))
21	20	ralrimiva 3159	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → ∀𝑥 ∈ ℋ (((𝐴 ·op 𝑇) ∘ 𝑈)‘𝑥) = ((𝐴 ·op (𝑇 ∘ 𝑈))‘𝑥))
22		homulcl 32140	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
23		fco 6734	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇) ∘ 𝑈): ℋ⟶ ℋ)
24	22, 23	stoic3 1809	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇) ∘ 𝑈): ℋ⟶ ℋ)
25		homulcl 32140	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇 ∘ 𝑈): ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op (𝑇 ∘ 𝑈)): ℋ⟶ ℋ)
26	14, 25	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ)) → (𝐴 ·op (𝑇 ∘ 𝑈)): ℋ⟶ ℋ)
27	26	3impb 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op (𝑇 ∘ 𝑈)): ℋ⟶ ℋ)
28		hoeq 32141	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ·op 𝑇) ∘ 𝑈): ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ·op (𝑇 ∘ 𝑈)): ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (((𝐴 ·op 𝑇) ∘ 𝑈)‘𝑥) = ((𝐴 ·op (𝑇 ∘ 𝑈))‘𝑥) ↔ ((𝐴 ·op 𝑇) ∘ 𝑈) = (𝐴 ·op (𝑇 ∘ 𝑈))))
29	24, 27, 28	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (((𝐴 ·op 𝑇) ∘ 𝑈)‘𝑥) = ((𝐴 ·op (𝑇 ∘ 𝑈))‘𝑥) ↔ ((𝐴 ·op 𝑇) ∘ 𝑈) = (𝐴 ·op (𝑇 ∘ 𝑈))))
30	21, 29	mpbid 235	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇) ∘ 𝑈) = (𝐴 ·op (𝑇 ∘ 𝑈)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081   ∘ ccom 5667  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℂcc 11109   ℋchba 31300   ·_ℎ csm 31302   ·_op chot 31320

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-hilex 31380  ax-hfvmul 31386

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-map 8828  df-homul 32112

This theorem is used by:  opsqrlem1  32521