HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  homco1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem homco1 30785
Description: Associative law for scalar product and composition of operators. (Contributed by NM, 13-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
homco1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡) โˆ˜ ๐‘ˆ) = (๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)))

Proof of Theorem homco1
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvco3 6941 . . . . . 6 ((๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด ยทop ๐‘‡) โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜(๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)))
213ad2antl3 1188 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด ยทop ๐‘‡) โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜(๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)))
3 fvco3 6941 . . . . . . . 8 ((๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜(๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)))
433ad2antl3 1188 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜(๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)))
54oveq2d 7374 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ((๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ)) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜(๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ))))
6 ffvelcdm 7033 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
7 homval 30725 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜(๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜(๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ))))
86, 7syl3an3 1166 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜(๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜(๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ))))
983expa 1119 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜(๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜(๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ))))
109exp43 438 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜(๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜(๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)))))))
11103imp1 1348 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜(๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜(๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ))))
125, 11eqtr4d 2776 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ((๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜(๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)))
132, 12eqtr4d 2776 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด ยทop ๐‘‡) โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž ((๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ)))
14 fco 6693 . . . . . . . 8 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹)
15 homval 30725 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž ((๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ)))
1614, 15syl3an2 1165 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž ((๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ)))
17163expia 1122 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž ((๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ))))
18173impb 1116 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž ((๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ))))
1918imp 408 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž ((๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ)))
2013, 19eqtr4d 2776 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด ยทop ๐‘‡) โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ))
2120ralrimiva 3140 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (((๐ด ยทop ๐‘‡) โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ))
22 homulcl 30743 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
23 fco 6693 . . . 4 (((๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡) โˆ˜ ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹)
2422, 23stoic3 1779 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡) โˆ˜ ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹)
25 homulcl 30743 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)): โ„‹โŸถ โ„‹)
2614, 25sylan2 594 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹)) โ†’ (๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)): โ„‹โŸถ โ„‹)
27263impb 1116 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)): โ„‹โŸถ โ„‹)
28 hoeq 30744 . . 3 ((((๐ด ยทop ๐‘‡) โˆ˜ ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)): โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (((๐ด ยทop ๐‘‡) โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) โ†” ((๐ด ยทop ๐‘‡) โˆ˜ ๐‘ˆ) = (๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ))))
2924, 27, 28syl2anc 585 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (((๐ด ยทop ๐‘‡) โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) โ†” ((๐ด ยทop ๐‘‡) โˆ˜ ๐‘ˆ) = (๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ))))
3021, 29mpbid 231 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡) โˆ˜ ๐‘ˆ) = (๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061   โˆ˜ ccom 5638  โŸถwf 6493  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054   โ„‹chba 29903   ยทโ„Ž csm 29905   ยทop chot 29923
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-hilex 29983  ax-hfvmul 29989
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-map 8770  df-homul 30715
This theorem is referenced by:  opsqrlem1  31124
  Copyright terms: Public domain W3C validator