HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  homco1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem homco1 31820
Description: Associative law for scalar product and composition of operators. (Contributed by NM, 13-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
homco1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇) ∘ 𝑈) = (𝐴 ·op (𝑇𝑈)))

Proof of Theorem homco1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvco3 7008 . . . . . 6 ((𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·op 𝑇) ∘ 𝑈)‘𝑥) = ((𝐴 ·op 𝑇)‘(𝑈𝑥)))
213ad2antl3 1188 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·op 𝑇) ∘ 𝑈)‘𝑥) = ((𝐴 ·op 𝑇)‘(𝑈𝑥)))
3 fvco3 7008 . . . . . . . 8 ((𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑈)‘𝑥) = (𝑇‘(𝑈𝑥)))
433ad2antl3 1188 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑈)‘𝑥) = (𝑇‘(𝑈𝑥)))
54oveq2d 7447 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 · ((𝑇𝑈)‘𝑥)) = (𝐴 · (𝑇‘(𝑈𝑥))))
6 ffvelcdm 7101 . . . . . . . . . 10 ((𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑈𝑥) ∈ ℋ)
7 homval 31760 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑈𝑥) ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘(𝑈𝑥)) = (𝐴 · (𝑇‘(𝑈𝑥))))
86, 7syl3an3 1166 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘(𝑈𝑥)) = (𝐴 · (𝑇‘(𝑈𝑥))))
983expa 1119 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘(𝑈𝑥)) = (𝐴 · (𝑇‘(𝑈𝑥))))
109exp43 436 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (𝑈: ℋ⟶ ℋ → (𝑥 ∈ ℋ → ((𝐴 ·op 𝑇)‘(𝑈𝑥)) = (𝐴 · (𝑇‘(𝑈𝑥)))))))
11103imp1 1348 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘(𝑈𝑥)) = (𝐴 · (𝑇‘(𝑈𝑥))))
125, 11eqtr4d 2780 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 · ((𝑇𝑈)‘𝑥)) = ((𝐴 ·op 𝑇)‘(𝑈𝑥)))
132, 12eqtr4d 2780 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·op 𝑇) ∘ 𝑈)‘𝑥) = (𝐴 · ((𝑇𝑈)‘𝑥)))
14 fco 6760 . . . . . . . 8 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (𝑇𝑈): ℋ⟶ ℋ)
15 homval 31760 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑈): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op (𝑇𝑈))‘𝑥) = (𝐴 · ((𝑇𝑈)‘𝑥)))
1614, 15syl3an2 1165 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op (𝑇𝑈))‘𝑥) = (𝐴 · ((𝑇𝑈)‘𝑥)))
17163expia 1122 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ)) → (𝑥 ∈ ℋ → ((𝐴 ·op (𝑇𝑈))‘𝑥) = (𝐴 · ((𝑇𝑈)‘𝑥))))
18173impb 1115 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (𝑥 ∈ ℋ → ((𝐴 ·op (𝑇𝑈))‘𝑥) = (𝐴 · ((𝑇𝑈)‘𝑥))))
1918imp 406 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op (𝑇𝑈))‘𝑥) = (𝐴 · ((𝑇𝑈)‘𝑥)))
2013, 19eqtr4d 2780 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·op 𝑇) ∘ 𝑈)‘𝑥) = ((𝐴 ·op (𝑇𝑈))‘𝑥))
2120ralrimiva 3146 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → ∀𝑥 ∈ ℋ (((𝐴 ·op 𝑇) ∘ 𝑈)‘𝑥) = ((𝐴 ·op (𝑇𝑈))‘𝑥))
22 homulcl 31778 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
23 fco 6760 . . . 4 (((𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇) ∘ 𝑈): ℋ⟶ ℋ)
2422, 23stoic3 1776 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇) ∘ 𝑈): ℋ⟶ ℋ)
25 homulcl 31778 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑈): ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op (𝑇𝑈)): ℋ⟶ ℋ)
2614, 25sylan2 593 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ)) → (𝐴 ·op (𝑇𝑈)): ℋ⟶ ℋ)
27263impb 1115 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op (𝑇𝑈)): ℋ⟶ ℋ)
28 hoeq 31779 . . 3 ((((𝐴 ·op 𝑇) ∘ 𝑈): ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ·op (𝑇𝑈)): ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (((𝐴 ·op 𝑇) ∘ 𝑈)‘𝑥) = ((𝐴 ·op (𝑇𝑈))‘𝑥) ↔ ((𝐴 ·op 𝑇) ∘ 𝑈) = (𝐴 ·op (𝑇𝑈))))
2924, 27, 28syl2anc 584 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (((𝐴 ·op 𝑇) ∘ 𝑈)‘𝑥) = ((𝐴 ·op (𝑇𝑈))‘𝑥) ↔ ((𝐴 ·op 𝑇) ∘ 𝑈) = (𝐴 ·op (𝑇𝑈))))
3021, 29mpbid 232 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇) ∘ 𝑈) = (𝐴 ·op (𝑇𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  ccom 5689  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  chba 30938   · csm 30940   ·op chot 30958
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-hilex 31018  ax-hfvmul 31024
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8868  df-homul 31750
This theorem is referenced by:  opsqrlem1  32159
  Copyright terms: Public domain W3C validator