HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  homco1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem homco1 31830
Description: Associative law for scalar product and composition of operators. (Contributed by NM, 13-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
homco1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇) ∘ 𝑈) = (𝐴 ·op (𝑇𝑈)))

Proof of Theorem homco1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvco3 7008 . . . . . 6 ((𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·op 𝑇) ∘ 𝑈)‘𝑥) = ((𝐴 ·op 𝑇)‘(𝑈𝑥)))
213ad2antl3 1186 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·op 𝑇) ∘ 𝑈)‘𝑥) = ((𝐴 ·op 𝑇)‘(𝑈𝑥)))
3 fvco3 7008 . . . . . . . 8 ((𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑈)‘𝑥) = (𝑇‘(𝑈𝑥)))
433ad2antl3 1186 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑈)‘𝑥) = (𝑇‘(𝑈𝑥)))
54oveq2d 7447 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 · ((𝑇𝑈)‘𝑥)) = (𝐴 · (𝑇‘(𝑈𝑥))))
6 ffvelcdm 7101 . . . . . . . . . 10 ((𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑈𝑥) ∈ ℋ)
7 homval 31770 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑈𝑥) ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘(𝑈𝑥)) = (𝐴 · (𝑇‘(𝑈𝑥))))
86, 7syl3an3 1164 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘(𝑈𝑥)) = (𝐴 · (𝑇‘(𝑈𝑥))))
983expa 1117 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘(𝑈𝑥)) = (𝐴 · (𝑇‘(𝑈𝑥))))
109exp43 436 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (𝑈: ℋ⟶ ℋ → (𝑥 ∈ ℋ → ((𝐴 ·op 𝑇)‘(𝑈𝑥)) = (𝐴 · (𝑇‘(𝑈𝑥)))))))
11103imp1 1346 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘(𝑈𝑥)) = (𝐴 · (𝑇‘(𝑈𝑥))))
125, 11eqtr4d 2778 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 · ((𝑇𝑈)‘𝑥)) = ((𝐴 ·op 𝑇)‘(𝑈𝑥)))
132, 12eqtr4d 2778 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·op 𝑇) ∘ 𝑈)‘𝑥) = (𝐴 · ((𝑇𝑈)‘𝑥)))
14 fco 6761 . . . . . . . 8 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (𝑇𝑈): ℋ⟶ ℋ)
15 homval 31770 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑈): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op (𝑇𝑈))‘𝑥) = (𝐴 · ((𝑇𝑈)‘𝑥)))
1614, 15syl3an2 1163 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op (𝑇𝑈))‘𝑥) = (𝐴 · ((𝑇𝑈)‘𝑥)))
17163expia 1120 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ)) → (𝑥 ∈ ℋ → ((𝐴 ·op (𝑇𝑈))‘𝑥) = (𝐴 · ((𝑇𝑈)‘𝑥))))
18173impb 1114 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (𝑥 ∈ ℋ → ((𝐴 ·op (𝑇𝑈))‘𝑥) = (𝐴 · ((𝑇𝑈)‘𝑥))))
1918imp 406 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op (𝑇𝑈))‘𝑥) = (𝐴 · ((𝑇𝑈)‘𝑥)))
2013, 19eqtr4d 2778 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·op 𝑇) ∘ 𝑈)‘𝑥) = ((𝐴 ·op (𝑇𝑈))‘𝑥))
2120ralrimiva 3144 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → ∀𝑥 ∈ ℋ (((𝐴 ·op 𝑇) ∘ 𝑈)‘𝑥) = ((𝐴 ·op (𝑇𝑈))‘𝑥))
22 homulcl 31788 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
23 fco 6761 . . . 4 (((𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇) ∘ 𝑈): ℋ⟶ ℋ)
2422, 23stoic3 1773 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇) ∘ 𝑈): ℋ⟶ ℋ)
25 homulcl 31788 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑈): ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op (𝑇𝑈)): ℋ⟶ ℋ)
2614, 25sylan2 593 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ)) → (𝐴 ·op (𝑇𝑈)): ℋ⟶ ℋ)
27263impb 1114 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op (𝑇𝑈)): ℋ⟶ ℋ)
28 hoeq 31789 . . 3 ((((𝐴 ·op 𝑇) ∘ 𝑈): ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ·op (𝑇𝑈)): ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (((𝐴 ·op 𝑇) ∘ 𝑈)‘𝑥) = ((𝐴 ·op (𝑇𝑈))‘𝑥) ↔ ((𝐴 ·op 𝑇) ∘ 𝑈) = (𝐴 ·op (𝑇𝑈))))
2924, 27, 28syl2anc 584 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (((𝐴 ·op 𝑇) ∘ 𝑈)‘𝑥) = ((𝐴 ·op (𝑇𝑈))‘𝑥) ↔ ((𝐴 ·op 𝑇) ∘ 𝑈) = (𝐴 ·op (𝑇𝑈))))
3021, 29mpbid 232 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇) ∘ 𝑈) = (𝐴 ·op (𝑇𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  ccom 5693  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  chba 30948   · csm 30950   ·op chot 30968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-hilex 31028  ax-hfvmul 31034
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8867  df-homul 31760
This theorem is referenced by:  opsqrlem1  32169
  Copyright terms: Public domain W3C validator