HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  homco1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem homco1 31624
Description: Associative law for scalar product and composition of operators. (Contributed by NM, 13-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
homco1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡) โˆ˜ ๐‘ˆ) = (๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)))
Proof of Theorem homco1
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvco3 6997 . . . . . 6 ((๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด ยทop ๐‘‡) โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜(๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)))
213ad2antl3 1185 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด ยทop ๐‘‡) โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜(๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)))
3 fvco3 6997 . . . . . . . 8 ((๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜(๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)))
433ad2antl3 1185 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜(๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)))
54oveq2d 7436 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ((๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ)) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜(๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ))))
6 ffvelcdm 7091 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
7 homval 31564 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜(๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜(๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ))))
86, 7syl3an3 1163 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜(๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜(๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ))))
983expa 1116 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜(๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜(๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ))))
109exp43 436 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜(๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜(๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)))))))
11103imp1 1345 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜(๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜(๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ))))
125, 11eqtr4d 2771 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ((๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜(๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)))
132, 12eqtr4d 2771 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด ยทop ๐‘‡) โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž ((๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ)))
14 fco 6747 . . . . . . . 8 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹)
15 homval 31564 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž ((๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ)))
1614, 15syl3an2 1162 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž ((๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ)))
17163expia 1119 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž ((๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ))))
18173impb 1113 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž ((๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ))))
1918imp 406 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž ((๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ)))
2013, 19eqtr4d 2771 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด ยทop ๐‘‡) โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ))
2120ralrimiva 3143 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (((๐ด ยทop ๐‘‡) โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ))
22 homulcl 31582 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
23 fco 6747 . . . 4 (((๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡) โˆ˜ ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹)
2422, 23stoic3 1771 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡) โˆ˜ ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹)
25 homulcl 31582 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)): โ„‹โŸถ โ„‹)
2614, 25sylan2 592 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹)) โ†’ (๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)): โ„‹โŸถ โ„‹)
27263impb 1113 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)): โ„‹โŸถ โ„‹)
28 hoeq 31583 . . 3 ((((๐ด ยทop ๐‘‡) โˆ˜ ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)): โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (((๐ด ยทop ๐‘‡) โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) โ†” ((๐ด ยทop ๐‘‡) โˆ˜ ๐‘ˆ) = (๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ))))
2924, 27, 28syl2anc 583 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (((๐ด ยทop ๐‘‡) โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) โ†” ((๐ด ยทop ๐‘‡) โˆ˜ ๐‘ˆ) = (๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ))))
3021, 29mpbid 231 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡) โˆ˜ ๐‘ˆ) = (๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โˆ€wral 3058   โˆ˜ ccom 5682  โŸถwf 6544  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  โ„‚cc 11137   โ„‹chba 30742   ยทโ„Ž csm 30744   ยทop chot 30762
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-hilex 30822  ax-hfvmul 30828
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-map 8847  df-homul 31554
This theorem is referenced by:  opsqrlem1  31963
  Copyright terms: Public domain W3C validator