Theorem homulcl 31919

Description: The scalar product of a Hilbert space operator is an operator. (Contributed by NM, 21-Feb-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
homulcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)

Proof of Theorem homulcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelcdm 7057	. . . . 5 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
2		hvmulcl 31173	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ)
3	1, 2	sylan2 602	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ)) → (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ)
4	3	anassrs 471	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ)
5	4	fmpttd 7091	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥))): ℋ⟶ ℋ)
6		hommval 31896	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op 𝑇) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥))))
7	6	feq1d 6668	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ↔ (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥))): ℋ⟶ ℋ))
8	5, 7	mpbird 259	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2141   ↦ cmpt 5178  ⟶wf 6512  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  ℂcc 11065   ℋchba 31079   ·_ℎ csm 31081   ·_op chot 31099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-hilex 31159  ax-hfvmul 31165

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-map 8804  df-homul 31891

This theorem is referenced by:  honegsubi  31956  homullid  31960  homco1  31961  homulass  31962  hoadddi  31963  hoadddir  31964  hosubneg  31967  hosubdi  31968  honegsubdi  31970  honegsubdi2  31971  hosub4  31973  hosubsub4  31978  hosubeq0i  31986  nmopnegi  32125  homco2  32137  lnopmi  32160  hmopm  32181  nmophmi  32191  adjmul  32252  opsqrlem1  32300  opsqrlem6  32305