HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  homulcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem homulcl 29215
Description: The scalar product of a Hilbert space operator is an operator. (Contributed by NM, 21-Feb-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
homulcl ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)

Proof of Theorem homulcl
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffvelrn 6705 . . . . 5 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
2 hvmulcl 28469 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ) → (𝐴 · (𝑇𝑥)) ∈ ℋ)
31, 2sylan2 592 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ)) → (𝐴 · (𝑇𝑥)) ∈ ℋ)
43anassrs 468 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 · (𝑇𝑥)) ∈ ℋ)
54fmpttd 6733 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 · (𝑇𝑥))): ℋ⟶ ℋ)
6 hommval 29192 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op 𝑇) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 · (𝑇𝑥))))
76feq1d 6359 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ↔ (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 · (𝑇𝑥))): ℋ⟶ ℋ))
85, 7mpbird 258 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2079  cmpt 5035  wf 6213  cfv 6217  (class class class)co 7007  cc 10370  chba 28375   · csm 28377   ·op chot 28395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-hilex 28455  ax-hfvmul 28461
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-op 4473  df-uni 4740  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-id 5340  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-map 8249  df-homul 29187
This theorem is referenced by:  honegsubi  29252  homulid2  29256  homco1  29257  homulass  29258  hoadddi  29259  hoadddir  29260  hosubneg  29263  hosubdi  29264  honegsubdi  29266  honegsubdi2  29267  hosub4  29269  hosubsub4  29274  hosubeq0i  29282  nmopnegi  29421  homco2  29433  lnopmi  29456  hmopm  29477  nmophmi  29487  adjmul  29548  opsqrlem1  29596  opsqrlem6  29601
  Copyright terms: Public domain W3C validator