Theorem homulcl 32182

Description: The scalar product of a Hilbert space operator is an operator. (Contributed by NM, 21-Feb-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
homulcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)

Proof of Theorem homulcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelcdm 7080	. . . . 5 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
2		hvmulcl 31436	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ)
3	1, 2	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ)) → (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ)
4	3	anassrs 473	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ)
5	4	fmpttd 7114	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥))): ℋ⟶ ℋ)
6		hommval 32159	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op 𝑇) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥))))
7	6	feq1d 6691	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ↔ (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥))): ℋ⟶ ℋ))
8	5, 7	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146   ↦ cmpt 5194  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11113   ℋchba 31342   ·_ℎ csm 31344   ·_op chot 31362

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-hilex 31422  ax-hfvmul 31428

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-map 8832  df-homul 32154

This theorem is used by:  honegsubi  32219  homullid  32223  homco1  32224  homulass  32225  hoadddi  32226  hoadddir  32227  hosubneg  32230  hosubdi  32231  honegsubdi  32233  honegsubdi2  32234  hosub4  32236  hosubsub4  32241  hosubeq0i  32249  nmopnegi  32388  homco2  32400  lnopmi  32423  hmopm  32444  nmophmi  32454  adjmul  32515  opsqrlem1  32563  opsqrlem6  32568