Theorem homulcl 31731

Description: The scalar product of a Hilbert space operator is an operator. (Contributed by NM, 21-Feb-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
homulcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)

Proof of Theorem homulcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelcdm 7009	. . . . 5 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
2		hvmulcl 30985	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ)
3	1, 2	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ)) → (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ)
4	3	anassrs 467	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ)
5	4	fmpttd 7043	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥))): ℋ⟶ ℋ)
6		hommval 31708	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op 𝑇) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥))))
7	6	feq1d 6628	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ↔ (𝑥 ∈ ℋ ↦ (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝑥))): ℋ⟶ ℋ))
8	5, 7	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111   ↦ cmpt 5167  ⟶wf 6472  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  ℂcc 10999   ℋchba 30891   ·_ℎ csm 30893   ·_op chot 30911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-hilex 30971  ax-hfvmul 30977

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-map 8747  df-homul 31703

This theorem is referenced by:  honegsubi  31768  homullid  31772  homco1  31773  homulass  31774  hoadddi  31775  hoadddir  31776  hosubneg  31779  hosubdi  31780  honegsubdi  31782  honegsubdi2  31783  hosub4  31785  hosubsub4  31790  hosubeq0i  31798  nmopnegi  31937  homco2  31949  lnopmi  31972  hmopm  31993  nmophmi  32003  adjmul  32064  opsqrlem1  32112  opsqrlem6  32117