HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  homulcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem homulcl 31012
Description: The scalar product of a Hilbert space operator is an operator. (Contributed by NM, 21-Feb-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
homulcl ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
Proof of Theorem homulcl
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffvelcdm 7084 . . . . 5 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
2 hvmulcl 30266 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹)
31, 2sylan2 594 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹)
43anassrs 469 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹)
54fmpttd 7115 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†ฆ (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))): โ„‹โŸถ โ„‹)
6 hommval 30989 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทop ๐‘‡) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†ฆ (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
76feq1d 6703 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โ†” (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†ฆ (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))): โ„‹โŸถ โ„‹))
85, 7mpbird 257 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆˆ wcel 2107   โ†ฆ cmpt 5232  โŸถwf 6540  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108   โ„‹chba 30172   ยทโ„Ž csm 30174   ยทop chot 30192
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-hilex 30252  ax-hfvmul 30258
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-map 8822  df-homul 30984
This theorem is referenced by:  honegsubi  31049  homullid  31053  homco1  31054  homulass  31055  hoadddi  31056  hoadddir  31057  hosubneg  31060  hosubdi  31061  honegsubdi  31063  honegsubdi2  31064  hosub4  31066  hosubsub4  31071  hosubeq0i  31079  nmopnegi  31218  homco2  31230  lnopmi  31253  hmopm  31274  nmophmi  31284  adjmul  31345  opsqrlem1  31393  opsqrlem6  31398
  Copyright terms: Public domain W3C validator