HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  homulcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem homulcl 31279
Description: The scalar product of a Hilbert space operator is an operator. (Contributed by NM, 21-Feb-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
homulcl ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
Proof of Theorem homulcl
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffvelcdm 7082 . . . . 5 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
2 hvmulcl 30533 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹)
31, 2sylan2 591 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹)
43anassrs 466 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹)
54fmpttd 7115 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†ฆ (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))): โ„‹โŸถ โ„‹)
6 hommval 31256 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทop ๐‘‡) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†ฆ (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
76feq1d 6701 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โ†” (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†ฆ (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))): โ„‹โŸถ โ„‹))
85, 7mpbird 256 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆˆ wcel 2104   โ†ฆ cmpt 5230  โŸถwf 6538  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110   โ„‹chba 30439   ยทโ„Ž csm 30441   ยทop chot 30459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-hilex 30519  ax-hfvmul 30525
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-map 8824  df-homul 31251
This theorem is referenced by:  honegsubi  31316  homullid  31320  homco1  31321  homulass  31322  hoadddi  31323  hoadddir  31324  hosubneg  31327  hosubdi  31328  honegsubdi  31330  honegsubdi2  31331  hosub4  31333  hosubsub4  31338  hosubeq0i  31346  nmopnegi  31485  homco2  31497  lnopmi  31520  hmopm  31541  nmophmi  31551  adjmul  31612  opsqrlem1  31660  opsqrlem6  31665
  Copyright terms: Public domain W3C validator