HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  homco2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem homco2 31800
Description: Move a scalar product out of a composition of operators. The operator ๐‘‡ must be linear, unlike homco1 31624 that works for any operators. (Contributed by NM, 13-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
homco2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐‘‡ โˆ˜ (๐ด ยทop ๐‘ˆ)) = (๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)))
Proof of Theorem homco2
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1189 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 simpl3 1191 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹)
3 simpr 484 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)
4 homval 31564 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)))
51, 2, 3, 4syl3anc 1369 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)))
65fveq2d 6901 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜((๐ด ยทop ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘‡โ€˜(๐ด ยทโ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ))))
7 homulcl 31582 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทop ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹)
873adant2 1129 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทop ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹)
9 fvco3 6997 . . . . 5 (((๐ด ยทop ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡ โˆ˜ (๐ด ยทop ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜((๐ด ยทop ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ)))
108, 9sylan 579 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡ โˆ˜ (๐ด ยทop ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜((๐ด ยทop ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ)))
11 fvco3 6997 . . . . . . 7 ((๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜(๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)))
122, 3, 11syl2anc 583 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜(๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)))
1312oveq2d 7436 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ((๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ)) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜(๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ))))
14 lnopf 31682 . . . . . . . . 9 (๐‘‡ โˆˆ LinOp โ†’ ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)
15143ad2ant2 1132 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)
16 simp3 1136 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹)
17 fco 6747 . . . . . . . 8 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹)
1815, 16, 17syl2anc 583 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹)
1918adantr 480 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹)
20 homval 31564 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž ((๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ)))
211, 19, 3, 20syl3anc 1369 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž ((๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ)))
22 simpl2 1190 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ LinOp)
2316ffvelcdmda 7094 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
24 lnopmul 31790 . . . . . 6 ((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐ด ยทโ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ))) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜(๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ))))
2522, 1, 23, 24syl3anc 1369 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐ด ยทโ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ))) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜(๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ))))
2613, 21, 253eqtr4d 2778 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜(๐ด ยทโ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ))))
276, 10, 263eqtr4d 2778 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡ โˆ˜ (๐ด ยทop ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ))
2827ralrimiva 3143 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡ โˆ˜ (๐ด ยทop ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ))
29 fco 6747 . . . 4 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐ด ยทop ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐‘‡ โˆ˜ (๐ด ยทop ๐‘ˆ)): โ„‹โŸถ โ„‹)
3015, 8, 29syl2anc 583 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐‘‡ โˆ˜ (๐ด ยทop ๐‘ˆ)): โ„‹โŸถ โ„‹)
31 simp1 1134 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
32 homulcl 31582 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)): โ„‹โŸถ โ„‹)
3331, 18, 32syl2anc 583 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)): โ„‹โŸถ โ„‹)
34 hoeq 31583 . . 3 (((๐‘‡ โˆ˜ (๐ด ยทop ๐‘ˆ)): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)): โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡ โˆ˜ (๐ด ยทop ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) โ†” (๐‘‡ โˆ˜ (๐ด ยทop ๐‘ˆ)) = (๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ))))
3530, 33, 34syl2anc 583 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡ โˆ˜ (๐ด ยทop ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) โ†” (๐‘‡ โˆ˜ (๐ด ยทop ๐‘ˆ)) = (๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ))))
3628, 35mpbid 231 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐‘‡ โˆ˜ (๐ด ยทop ๐‘ˆ)) = (๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โˆ€wral 3058   โˆ˜ ccom 5682  โŸถwf 6544  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  โ„‚cc 11137   โ„‹chba 30742   ยทโ„Ž csm 30744   ยทop chot 30762  LinOpclo 30770
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-hilex 30822  ax-hfvadd 30823  ax-hvass 30825  ax-hv0cl 30826  ax-hvaddid 30827  ax-hfvmul 30828  ax-hvmulid 30829  ax-hvdistr2 30832  ax-hvmul0 30833
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-ltxr 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-hvsub 30794  df-homul 31554  df-lnop 31664
This theorem is referenced by:  opsqrlem1  31963
  Copyright terms: Public domain W3C validator