HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  homco2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem homco2 31225
Description: Move a scalar product out of a composition of operators. The operator ๐‘‡ must be linear, unlike homco1 31049 that works for any operators. (Contributed by NM, 13-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
homco2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐‘‡ โˆ˜ (๐ด ยทop ๐‘ˆ)) = (๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)))
Proof of Theorem homco2
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1191 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 simpl3 1193 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹)
3 simpr 485 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)
4 homval 30989 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)))
51, 2, 3, 4syl3anc 1371 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)))
65fveq2d 6895 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜((๐ด ยทop ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘‡โ€˜(๐ด ยทโ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ))))
7 homulcl 31007 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทop ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹)
873adant2 1131 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทop ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹)
9 fvco3 6990 . . . . 5 (((๐ด ยทop ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡ โˆ˜ (๐ด ยทop ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜((๐ด ยทop ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ)))
108, 9sylan 580 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡ โˆ˜ (๐ด ยทop ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜((๐ด ยทop ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ)))
11 fvco3 6990 . . . . . . 7 ((๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜(๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)))
122, 3, 11syl2anc 584 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜(๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)))
1312oveq2d 7424 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ((๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ)) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜(๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ))))
14 lnopf 31107 . . . . . . . . 9 (๐‘‡ โˆˆ LinOp โ†’ ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)
15143ad2ant2 1134 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)
16 simp3 1138 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹)
17 fco 6741 . . . . . . . 8 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹)
1815, 16, 17syl2anc 584 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹)
1918adantr 481 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹)
20 homval 30989 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž ((๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ)))
211, 19, 3, 20syl3anc 1371 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž ((๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ)))
22 simpl2 1192 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ LinOp)
2316ffvelcdmda 7086 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
24 lnopmul 31215 . . . . . 6 ((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐ด ยทโ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ))) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜(๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ))))
2522, 1, 23, 24syl3anc 1371 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐ด ยทโ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ))) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜(๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ))))
2613, 21, 253eqtr4d 2782 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜(๐ด ยทโ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ))))
276, 10, 263eqtr4d 2782 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡ โˆ˜ (๐ด ยทop ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ))
2827ralrimiva 3146 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡ โˆ˜ (๐ด ยทop ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ))
29 fco 6741 . . . 4 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐ด ยทop ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐‘‡ โˆ˜ (๐ด ยทop ๐‘ˆ)): โ„‹โŸถ โ„‹)
3015, 8, 29syl2anc 584 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐‘‡ โˆ˜ (๐ด ยทop ๐‘ˆ)): โ„‹โŸถ โ„‹)
31 simp1 1136 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
32 homulcl 31007 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)): โ„‹โŸถ โ„‹)
3331, 18, 32syl2anc 584 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)): โ„‹โŸถ โ„‹)
34 hoeq 31008 . . 3 (((๐‘‡ โˆ˜ (๐ด ยทop ๐‘ˆ)): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)): โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡ โˆ˜ (๐ด ยทop ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) โ†” (๐‘‡ โˆ˜ (๐ด ยทop ๐‘ˆ)) = (๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ))))
3530, 33, 34syl2anc 584 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡ โˆ˜ (๐ด ยทop ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) โ†” (๐‘‡ โˆ˜ (๐ด ยทop ๐‘ˆ)) = (๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ))))
3628, 35mpbid 231 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐‘‡ โˆ˜ (๐ด ยทop ๐‘ˆ)) = (๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061   โˆ˜ ccom 5680  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  โ„‚cc 11107   โ„‹chba 30167   ยทโ„Ž csm 30169   ยทop chot 30187  LinOpclo 30195
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-hilex 30247  ax-hfvadd 30248  ax-hvass 30250  ax-hv0cl 30251  ax-hvaddid 30252  ax-hfvmul 30253  ax-hvmulid 30254  ax-hvdistr2 30257  ax-hvmul0 30258
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252  df-sub 11445  df-neg 11446  df-hvsub 30219  df-homul 30979  df-lnop 31089
This theorem is referenced by:  opsqrlem1  31388
  Copyright terms: Public domain W3C validator