Theorem homco2 32052

Description: Move a scalar product out of a composition of operators. The operator 𝑇 must be linear, unlike homco1 31876 that works for any operators. (Contributed by NM, 13-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
homco2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (𝑇 ∘ (𝐴 ·op 𝑈)) = (𝐴 ·op (𝑇 ∘ 𝑈)))

Proof of Theorem homco2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		simpl3 1194	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝑈: ℋ⟶ ℋ)
3		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
4		homval 31816	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑈)‘𝑥) = (𝐴 ·ℎ (𝑈‘𝑥)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑈)‘𝑥) = (𝐴 ·ℎ (𝑈‘𝑥)))
6	5	fveq2d 6838	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝐴 ·op 𝑈)‘𝑥)) = (𝑇‘(𝐴 ·ℎ (𝑈‘𝑥))))
7		homulcl 31834	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op 𝑈): ℋ⟶ ℋ)
8	7	3adant2 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op 𝑈): ℋ⟶ ℋ)
9		fvco3 6933	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ·op 𝑈): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇 ∘ (𝐴 ·op 𝑈))‘𝑥) = (𝑇‘((𝐴 ·op 𝑈)‘𝑥)))
10	8, 9	sylan 580	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇 ∘ (𝐴 ·op 𝑈))‘𝑥) = (𝑇‘((𝐴 ·op 𝑈)‘𝑥)))
11		fvco3 6933	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇 ∘ 𝑈)‘𝑥) = (𝑇‘(𝑈‘𝑥)))
12	2, 3, 11	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇 ∘ 𝑈)‘𝑥) = (𝑇‘(𝑈‘𝑥)))
13	12	oveq2d 7374	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ ((𝑇 ∘ 𝑈)‘𝑥)) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘(𝑈‘𝑥))))
14		lnopf 31934	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
15	14	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
16		simp3 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → 𝑈: ℋ⟶ ℋ)
17		fco 6686	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (𝑇 ∘ 𝑈): ℋ⟶ ℋ)
18	15, 16, 17	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (𝑇 ∘ 𝑈): ℋ⟶ ℋ)
19	18	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇 ∘ 𝑈): ℋ⟶ ℋ)
20		homval 31816	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇 ∘ 𝑈): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op (𝑇 ∘ 𝑈))‘𝑥) = (𝐴 ·ℎ ((𝑇 ∘ 𝑈)‘𝑥)))
21	1, 19, 3, 20	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op (𝑇 ∘ 𝑈))‘𝑥) = (𝐴 ·ℎ ((𝑇 ∘ 𝑈)‘𝑥)))
22		simpl2 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝑇 ∈ LinOp)
23	16	ffvelcdmda 7029	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑈‘𝑥) ∈ ℋ)
24		lnopmul 32042	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑥) ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 ·ℎ (𝑈‘𝑥))) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘(𝑈‘𝑥))))
25	22, 1, 23, 24	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 ·ℎ (𝑈‘𝑥))) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘(𝑈‘𝑥))))
26	13, 21, 25	3eqtr4d 2781	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op (𝑇 ∘ 𝑈))‘𝑥) = (𝑇‘(𝐴 ·ℎ (𝑈‘𝑥))))
27	6, 10, 26	3eqtr4d 2781	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇 ∘ (𝐴 ·op 𝑈))‘𝑥) = ((𝐴 ·op (𝑇 ∘ 𝑈))‘𝑥))
28	27	ralrimiva 3128	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇 ∘ (𝐴 ·op 𝑈))‘𝑥) = ((𝐴 ·op (𝑇 ∘ 𝑈))‘𝑥))
29		fco 6686	. . . 4 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ·op 𝑈): ℋ⟶ ℋ) → (𝑇 ∘ (𝐴 ·op 𝑈)): ℋ⟶ ℋ)
30	15, 8, 29	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (𝑇 ∘ (𝐴 ·op 𝑈)): ℋ⟶ ℋ)
31		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → 𝐴 ∈ ℂ)
32		homulcl 31834	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇 ∘ 𝑈): ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op (𝑇 ∘ 𝑈)): ℋ⟶ ℋ)
33	31, 18, 32	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op (𝑇 ∘ 𝑈)): ℋ⟶ ℋ)
34		hoeq 31835	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∘ (𝐴 ·op 𝑈)): ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ·op (𝑇 ∘ 𝑈)): ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇 ∘ (𝐴 ·op 𝑈))‘𝑥) = ((𝐴 ·op (𝑇 ∘ 𝑈))‘𝑥) ↔ (𝑇 ∘ (𝐴 ·op 𝑈)) = (𝐴 ·op (𝑇 ∘ 𝑈))))
35	30, 33, 34	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇 ∘ (𝐴 ·op 𝑈))‘𝑥) = ((𝐴 ·op (𝑇 ∘ 𝑈))‘𝑥) ↔ (𝑇 ∘ (𝐴 ·op 𝑈)) = (𝐴 ·op (𝑇 ∘ 𝑈))))
36	28, 35	mpbid 232	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (𝑇 ∘ (𝐴 ·op 𝑈)) = (𝐴 ·op (𝑇 ∘ 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051   ∘ ccom 5628  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024   ℋchba 30994   ·_ℎ csm 30996   ·_op chot 31014  LinOpclo 31022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-hilex 31074  ax-hfvadd 31075  ax-hvass 31077  ax-hv0cl 31078  ax-hvaddid 31079  ax-hfvmul 31080  ax-hvmulid 31081  ax-hvdistr2 31084  ax-hvmul0 31085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171  df-sub 11366  df-neg 11367  df-hvsub 31046  df-homul 31806  df-lnop 31916

This theorem is referenced by:  opsqrlem1  32215