Theorem homco2 31913

Description: Move a scalar product out of a composition of operators. The operator 𝑇 must be linear, unlike homco1 31737 that works for any operators. (Contributed by NM, 13-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
homco2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (𝑇 ∘ (𝐴 ·op 𝑈)) = (𝐴 ·op (𝑇 ∘ 𝑈)))

Proof of Theorem homco2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		simpl3 1194	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝑈: ℋ⟶ ℋ)
3		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
4		homval 31677	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑈)‘𝑥) = (𝐴 ·ℎ (𝑈‘𝑥)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑈)‘𝑥) = (𝐴 ·ℎ (𝑈‘𝑥)))
6	5	fveq2d 6865	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝐴 ·op 𝑈)‘𝑥)) = (𝑇‘(𝐴 ·ℎ (𝑈‘𝑥))))
7		homulcl 31695	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op 𝑈): ℋ⟶ ℋ)
8	7	3adant2 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op 𝑈): ℋ⟶ ℋ)
9		fvco3 6963	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ·op 𝑈): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇 ∘ (𝐴 ·op 𝑈))‘𝑥) = (𝑇‘((𝐴 ·op 𝑈)‘𝑥)))
10	8, 9	sylan 580	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇 ∘ (𝐴 ·op 𝑈))‘𝑥) = (𝑇‘((𝐴 ·op 𝑈)‘𝑥)))
11		fvco3 6963	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇 ∘ 𝑈)‘𝑥) = (𝑇‘(𝑈‘𝑥)))
12	2, 3, 11	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇 ∘ 𝑈)‘𝑥) = (𝑇‘(𝑈‘𝑥)))
13	12	oveq2d 7406	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ ((𝑇 ∘ 𝑈)‘𝑥)) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘(𝑈‘𝑥))))
14		lnopf 31795	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ LinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
15	14	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
16		simp3 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → 𝑈: ℋ⟶ ℋ)
17		fco 6715	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (𝑇 ∘ 𝑈): ℋ⟶ ℋ)
18	15, 16, 17	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (𝑇 ∘ 𝑈): ℋ⟶ ℋ)
19	18	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇 ∘ 𝑈): ℋ⟶ ℋ)
20		homval 31677	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇 ∘ 𝑈): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op (𝑇 ∘ 𝑈))‘𝑥) = (𝐴 ·ℎ ((𝑇 ∘ 𝑈)‘𝑥)))
21	1, 19, 3, 20	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op (𝑇 ∘ 𝑈))‘𝑥) = (𝐴 ·ℎ ((𝑇 ∘ 𝑈)‘𝑥)))
22		simpl2 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝑇 ∈ LinOp)
23	16	ffvelcdmda 7059	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑈‘𝑥) ∈ ℋ)
24		lnopmul 31903	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑈‘𝑥) ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 ·ℎ (𝑈‘𝑥))) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘(𝑈‘𝑥))))
25	22, 1, 23, 24	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 ·ℎ (𝑈‘𝑥))) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘(𝑈‘𝑥))))
26	13, 21, 25	3eqtr4d 2775	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op (𝑇 ∘ 𝑈))‘𝑥) = (𝑇‘(𝐴 ·ℎ (𝑈‘𝑥))))
27	6, 10, 26	3eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇 ∘ (𝐴 ·op 𝑈))‘𝑥) = ((𝐴 ·op (𝑇 ∘ 𝑈))‘𝑥))
28	27	ralrimiva 3126	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇 ∘ (𝐴 ·op 𝑈))‘𝑥) = ((𝐴 ·op (𝑇 ∘ 𝑈))‘𝑥))
29		fco 6715	. . . 4 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ·op 𝑈): ℋ⟶ ℋ) → (𝑇 ∘ (𝐴 ·op 𝑈)): ℋ⟶ ℋ)
30	15, 8, 29	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (𝑇 ∘ (𝐴 ·op 𝑈)): ℋ⟶ ℋ)
31		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → 𝐴 ∈ ℂ)
32		homulcl 31695	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇 ∘ 𝑈): ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op (𝑇 ∘ 𝑈)): ℋ⟶ ℋ)
33	31, 18, 32	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op (𝑇 ∘ 𝑈)): ℋ⟶ ℋ)
34		hoeq 31696	. . 3 ⊢ (((𝑇 ∘ (𝐴 ·op 𝑈)): ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ·op (𝑇 ∘ 𝑈)): ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇 ∘ (𝐴 ·op 𝑈))‘𝑥) = ((𝐴 ·op (𝑇 ∘ 𝑈))‘𝑥) ↔ (𝑇 ∘ (𝐴 ·op 𝑈)) = (𝐴 ·op (𝑇 ∘ 𝑈))))
35	30, 33, 34	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇 ∘ (𝐴 ·op 𝑈))‘𝑥) = ((𝐴 ·op (𝑇 ∘ 𝑈))‘𝑥) ↔ (𝑇 ∘ (𝐴 ·op 𝑈)) = (𝐴 ·op (𝑇 ∘ 𝑈))))
36	28, 35	mpbid 232	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (𝑇 ∘ (𝐴 ·op 𝑈)) = (𝐴 ·op (𝑇 ∘ 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045   ∘ ccom 5645  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073   ℋchba 30855   ·_ℎ csm 30857   ·_op chot 30875  LinOpclo 30883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-hilex 30935  ax-hfvadd 30936  ax-hvass 30938  ax-hv0cl 30939  ax-hvaddid 30940  ax-hfvmul 30941  ax-hvmulid 30942  ax-hvdistr2 30945  ax-hvmul0 30946

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220  df-sub 11414  df-neg 11415  df-hvsub 30907  df-homul 31667  df-lnop 31777

This theorem is referenced by:  opsqrlem1  32076