HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  homco2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem homco2 31735
Description: Move a scalar product out of a composition of operators. The operator ๐‘‡ must be linear, unlike homco1 31559 that works for any operators. (Contributed by NM, 13-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
homco2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐‘‡ โˆ˜ (๐ด ยทop ๐‘ˆ)) = (๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)))
Proof of Theorem homco2
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 simpl3 1190 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹)
3 simpr 484 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)
4 homval 31499 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)))
51, 2, 3, 4syl3anc 1368 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)))
65fveq2d 6888 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜((๐ด ยทop ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘‡โ€˜(๐ด ยทโ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ))))
7 homulcl 31517 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทop ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹)
873adant2 1128 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทop ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹)
9 fvco3 6983 . . . . 5 (((๐ด ยทop ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡ โˆ˜ (๐ด ยทop ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜((๐ด ยทop ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ)))
108, 9sylan 579 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡ โˆ˜ (๐ด ยทop ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜((๐ด ยทop ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ)))
11 fvco3 6983 . . . . . . 7 ((๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜(๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)))
122, 3, 11syl2anc 583 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜(๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)))
1312oveq2d 7420 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ((๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ)) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜(๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ))))
14 lnopf 31617 . . . . . . . . 9 (๐‘‡ โˆˆ LinOp โ†’ ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)
15143ad2ant2 1131 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)
16 simp3 1135 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹)
17 fco 6734 . . . . . . . 8 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹)
1815, 16, 17syl2anc 583 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹)
1918adantr 480 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹)
20 homval 31499 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž ((๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ)))
211, 19, 3, 20syl3anc 1368 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž ((๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ)))
22 simpl2 1189 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ LinOp)
2316ffvelcdmda 7079 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
24 lnopmul 31725 . . . . . 6 ((๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐ด ยทโ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ))) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜(๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ))))
2522, 1, 23, 24syl3anc 1368 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐ด ยทโ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ))) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜(๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ))))
2613, 21, 253eqtr4d 2776 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜(๐ด ยทโ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ))))
276, 10, 263eqtr4d 2776 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡ โˆ˜ (๐ด ยทop ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ))
2827ralrimiva 3140 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡ โˆ˜ (๐ด ยทop ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ))
29 fco 6734 . . . 4 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐ด ยทop ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐‘‡ โˆ˜ (๐ด ยทop ๐‘ˆ)): โ„‹โŸถ โ„‹)
3015, 8, 29syl2anc 583 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐‘‡ โˆ˜ (๐ด ยทop ๐‘ˆ)): โ„‹โŸถ โ„‹)
31 simp1 1133 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
32 homulcl 31517 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)): โ„‹โŸถ โ„‹)
3331, 18, 32syl2anc 583 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)): โ„‹โŸถ โ„‹)
34 hoeq 31518 . . 3 (((๐‘‡ โˆ˜ (๐ด ยทop ๐‘ˆ)): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)): โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡ โˆ˜ (๐ด ยทop ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) โ†” (๐‘‡ โˆ˜ (๐ด ยทop ๐‘ˆ)) = (๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ))))
3530, 33, 34syl2anc 583 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐‘‡ โˆ˜ (๐ด ยทop ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) = ((๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) โ†” (๐‘‡ โˆ˜ (๐ด ยทop ๐‘ˆ)) = (๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ))))
3628, 35mpbid 231 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡ โˆˆ LinOp โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐‘‡ โˆ˜ (๐ด ยทop ๐‘ˆ)) = (๐ด ยทop (๐‘‡ โˆ˜ ๐‘ˆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055   โˆ˜ ccom 5673  โŸถwf 6532  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107   โ„‹chba 30677   ยทโ„Ž csm 30679   ยทop chot 30697  LinOpclo 30705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-hilex 30757  ax-hfvadd 30758  ax-hvass 30760  ax-hv0cl 30761  ax-hvaddid 30762  ax-hfvmul 30763  ax-hvmulid 30764  ax-hvdistr2 30767  ax-hvmul0 30768
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254  df-sub 11447  df-neg 11448  df-hvsub 30729  df-homul 31489  df-lnop 31599
This theorem is referenced by:  opsqrlem1  31898
  Copyright terms: Public domain W3C validator