HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  homco2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem homco2 29763
Description: Move a scalar product out of a composition of operators. The operator 𝑇 must be linear, unlike homco1 29587 that works for any operators. (Contributed by NM, 13-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
homco2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (𝑇 ∘ (𝐴 ·op 𝑈)) = (𝐴 ·op (𝑇𝑈)))

Proof of Theorem homco2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐴 ∈ ℂ)
2 simpl3 1190 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝑈: ℋ⟶ ℋ)
3 simpr 488 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
4 homval 29527 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑈)‘𝑥) = (𝐴 · (𝑈𝑥)))
51, 2, 3, 4syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑈)‘𝑥) = (𝐴 · (𝑈𝑥)))
65fveq2d 6653 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝐴 ·op 𝑈)‘𝑥)) = (𝑇‘(𝐴 · (𝑈𝑥))))
7 homulcl 29545 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op 𝑈): ℋ⟶ ℋ)
873adant2 1128 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op 𝑈): ℋ⟶ ℋ)
9 fvco3 6741 . . . . 5 (((𝐴 ·op 𝑈): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇 ∘ (𝐴 ·op 𝑈))‘𝑥) = (𝑇‘((𝐴 ·op 𝑈)‘𝑥)))
108, 9sylan 583 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇 ∘ (𝐴 ·op 𝑈))‘𝑥) = (𝑇‘((𝐴 ·op 𝑈)‘𝑥)))
11 fvco3 6741 . . . . . . 7 ((𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑈)‘𝑥) = (𝑇‘(𝑈𝑥)))
122, 3, 11syl2anc 587 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑈)‘𝑥) = (𝑇‘(𝑈𝑥)))
1312oveq2d 7155 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 · ((𝑇𝑈)‘𝑥)) = (𝐴 · (𝑇‘(𝑈𝑥))))
14 lnopf 29645 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ LinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
15143ad2ant2 1131 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
16 simp3 1135 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → 𝑈: ℋ⟶ ℋ)
17 fco 6509 . . . . . . . 8 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (𝑇𝑈): ℋ⟶ ℋ)
1815, 16, 17syl2anc 587 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (𝑇𝑈): ℋ⟶ ℋ)
1918adantr 484 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑈): ℋ⟶ ℋ)
20 homval 29527 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑈): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op (𝑇𝑈))‘𝑥) = (𝐴 · ((𝑇𝑈)‘𝑥)))
211, 19, 3, 20syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op (𝑇𝑈))‘𝑥) = (𝐴 · ((𝑇𝑈)‘𝑥)))
22 simpl2 1189 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝑇 ∈ LinOp)
2316ffvelrnda 6832 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑈𝑥) ∈ ℋ)
24 lnopmul 29753 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑥) ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 · (𝑈𝑥))) = (𝐴 · (𝑇‘(𝑈𝑥))))
2522, 1, 23, 24syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 · (𝑈𝑥))) = (𝐴 · (𝑇‘(𝑈𝑥))))
2613, 21, 253eqtr4d 2846 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op (𝑇𝑈))‘𝑥) = (𝑇‘(𝐴 · (𝑈𝑥))))
276, 10, 263eqtr4d 2846 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇 ∘ (𝐴 ·op 𝑈))‘𝑥) = ((𝐴 ·op (𝑇𝑈))‘𝑥))
2827ralrimiva 3152 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇 ∘ (𝐴 ·op 𝑈))‘𝑥) = ((𝐴 ·op (𝑇𝑈))‘𝑥))
29 fco 6509 . . . 4 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ·op 𝑈): ℋ⟶ ℋ) → (𝑇 ∘ (𝐴 ·op 𝑈)): ℋ⟶ ℋ)
3015, 8, 29syl2anc 587 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (𝑇 ∘ (𝐴 ·op 𝑈)): ℋ⟶ ℋ)
31 simp1 1133 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → 𝐴 ∈ ℂ)
32 homulcl 29545 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑈): ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op (𝑇𝑈)): ℋ⟶ ℋ)
3331, 18, 32syl2anc 587 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op (𝑇𝑈)): ℋ⟶ ℋ)
34 hoeq 29546 . . 3 (((𝑇 ∘ (𝐴 ·op 𝑈)): ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ·op (𝑇𝑈)): ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇 ∘ (𝐴 ·op 𝑈))‘𝑥) = ((𝐴 ·op (𝑇𝑈))‘𝑥) ↔ (𝑇 ∘ (𝐴 ·op 𝑈)) = (𝐴 ·op (𝑇𝑈))))
3530, 33, 34syl2anc 587 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇 ∘ (𝐴 ·op 𝑈))‘𝑥) = ((𝐴 ·op (𝑇𝑈))‘𝑥) ↔ (𝑇 ∘ (𝐴 ·op 𝑈)) = (𝐴 ·op (𝑇𝑈))))
3628, 35mpbid 235 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (𝑇 ∘ (𝐴 ·op 𝑈)) = (𝐴 ·op (𝑇𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wral 3109  ccom 5527  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139  cc 10528  chba 28705   · csm 28707   ·op chot 28725  LinOpclo 28733
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-hilex 28785  ax-hfvadd 28786  ax-hvass 28788  ax-hv0cl 28789  ax-hvaddid 28790  ax-hfvmul 28791  ax-hvmulid 28792  ax-hvdistr2 28795  ax-hvmul0 28796
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-ltxr 10673  df-sub 10865  df-neg 10866  df-hvsub 28757  df-homul 29517  df-lnop 29627
This theorem is referenced by:  opsqrlem1  29926
  Copyright terms: Public domain W3C validator