HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  homco2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem homco2 32006
Description: Move a scalar product out of a composition of operators. The operator 𝑇 must be linear, unlike homco1 31830 that works for any operators. (Contributed by NM, 13-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
homco2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (𝑇 ∘ (𝐴 ·op 𝑈)) = (𝐴 ·op (𝑇𝑈)))

Proof of Theorem homco2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1190 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐴 ∈ ℂ)
2 simpl3 1192 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝑈: ℋ⟶ ℋ)
3 simpr 484 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
4 homval 31770 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑈)‘𝑥) = (𝐴 · (𝑈𝑥)))
51, 2, 3, 4syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑈)‘𝑥) = (𝐴 · (𝑈𝑥)))
65fveq2d 6911 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝐴 ·op 𝑈)‘𝑥)) = (𝑇‘(𝐴 · (𝑈𝑥))))
7 homulcl 31788 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op 𝑈): ℋ⟶ ℋ)
873adant2 1130 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op 𝑈): ℋ⟶ ℋ)
9 fvco3 7008 . . . . 5 (((𝐴 ·op 𝑈): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇 ∘ (𝐴 ·op 𝑈))‘𝑥) = (𝑇‘((𝐴 ·op 𝑈)‘𝑥)))
108, 9sylan 580 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇 ∘ (𝐴 ·op 𝑈))‘𝑥) = (𝑇‘((𝐴 ·op 𝑈)‘𝑥)))
11 fvco3 7008 . . . . . . 7 ((𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑈)‘𝑥) = (𝑇‘(𝑈𝑥)))
122, 3, 11syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑈)‘𝑥) = (𝑇‘(𝑈𝑥)))
1312oveq2d 7447 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 · ((𝑇𝑈)‘𝑥)) = (𝐴 · (𝑇‘(𝑈𝑥))))
14 lnopf 31888 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ LinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
15143ad2ant2 1133 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
16 simp3 1137 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → 𝑈: ℋ⟶ ℋ)
17 fco 6761 . . . . . . . 8 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (𝑇𝑈): ℋ⟶ ℋ)
1815, 16, 17syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (𝑇𝑈): ℋ⟶ ℋ)
1918adantr 480 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑈): ℋ⟶ ℋ)
20 homval 31770 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑈): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op (𝑇𝑈))‘𝑥) = (𝐴 · ((𝑇𝑈)‘𝑥)))
211, 19, 3, 20syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op (𝑇𝑈))‘𝑥) = (𝐴 · ((𝑇𝑈)‘𝑥)))
22 simpl2 1191 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝑇 ∈ LinOp)
2316ffvelcdmda 7104 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑈𝑥) ∈ ℋ)
24 lnopmul 31996 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑈𝑥) ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 · (𝑈𝑥))) = (𝐴 · (𝑇‘(𝑈𝑥))))
2522, 1, 23, 24syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 · (𝑈𝑥))) = (𝐴 · (𝑇‘(𝑈𝑥))))
2613, 21, 253eqtr4d 2785 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op (𝑇𝑈))‘𝑥) = (𝑇‘(𝐴 · (𝑈𝑥))))
276, 10, 263eqtr4d 2785 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇 ∘ (𝐴 ·op 𝑈))‘𝑥) = ((𝐴 ·op (𝑇𝑈))‘𝑥))
2827ralrimiva 3144 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇 ∘ (𝐴 ·op 𝑈))‘𝑥) = ((𝐴 ·op (𝑇𝑈))‘𝑥))
29 fco 6761 . . . 4 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ·op 𝑈): ℋ⟶ ℋ) → (𝑇 ∘ (𝐴 ·op 𝑈)): ℋ⟶ ℋ)
3015, 8, 29syl2anc 584 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (𝑇 ∘ (𝐴 ·op 𝑈)): ℋ⟶ ℋ)
31 simp1 1135 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → 𝐴 ∈ ℂ)
32 homulcl 31788 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑈): ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op (𝑇𝑈)): ℋ⟶ ℋ)
3331, 18, 32syl2anc 584 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op (𝑇𝑈)): ℋ⟶ ℋ)
34 hoeq 31789 . . 3 (((𝑇 ∘ (𝐴 ·op 𝑈)): ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ·op (𝑇𝑈)): ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇 ∘ (𝐴 ·op 𝑈))‘𝑥) = ((𝐴 ·op (𝑇𝑈))‘𝑥) ↔ (𝑇 ∘ (𝐴 ·op 𝑈)) = (𝐴 ·op (𝑇𝑈))))
3530, 33, 34syl2anc 584 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇 ∘ (𝐴 ·op 𝑈))‘𝑥) = ((𝐴 ·op (𝑇𝑈))‘𝑥) ↔ (𝑇 ∘ (𝐴 ·op 𝑈)) = (𝐴 ·op (𝑇𝑈))))
3628, 35mpbid 232 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (𝑇 ∘ (𝐴 ·op 𝑈)) = (𝐴 ·op (𝑇𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  ccom 5693  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  chba 30948   · csm 30950   ·op chot 30968  LinOpclo 30976
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-hilex 31028  ax-hfvadd 31029  ax-hvass 31031  ax-hv0cl 31032  ax-hvaddid 31033  ax-hfvmul 31034  ax-hvmulid 31035  ax-hvdistr2 31038  ax-hvmul0 31039
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-hvsub 31000  df-homul 31760  df-lnop 31870
This theorem is referenced by:  opsqrlem1  32169
  Copyright terms: Public domain W3C validator