HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  homulass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem homulass 29138
Description: Scalar product associative law for Hilbert space operators. (Contributed by NM, 12-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
homulass ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ((𝐴 · 𝐵) ·op 𝑇) = (𝐴 ·op (𝐵 ·op 𝑇)))

Proof of Theorem homulass
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulcl 10277 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
2 homval 29077 . . . . . . . . 9 (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝐴 · 𝐵) ·op 𝑇)‘𝑥) = ((𝐴 · 𝐵) · (𝑇𝑥)))
31, 2syl3an1 1202 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝐴 · 𝐵) ·op 𝑇)‘𝑥) = ((𝐴 · 𝐵) · (𝑇𝑥)))
433expia 1150 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑥 ∈ ℋ → (((𝐴 · 𝐵) ·op 𝑇)‘𝑥) = ((𝐴 · 𝐵) · (𝑇𝑥))))
543impa 1136 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑥 ∈ ℋ → (((𝐴 · 𝐵) ·op 𝑇)‘𝑥) = ((𝐴 · 𝐵) · (𝑇𝑥))))
65imp 395 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝐴 · 𝐵) ·op 𝑇)‘𝑥) = ((𝐴 · 𝐵) · (𝑇𝑥)))
7 homval 29077 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐵 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝐵 · (𝑇𝑥)))
87oveq2d 6862 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 · ((𝐵 ·op 𝑇)‘𝑥)) = (𝐴 · (𝐵 · (𝑇𝑥))))
983expa 1147 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 · ((𝐵 ·op 𝑇)‘𝑥)) = (𝐴 · (𝐵 · (𝑇𝑥))))
1093adantl1 1207 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 · ((𝐵 ·op 𝑇)‘𝑥)) = (𝐴 · (𝐵 · (𝑇𝑥))))
11 ffvelrn 6551 . . . . . . . . . 10 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
12 ax-hvmulass 28341 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ) → ((𝐴 · 𝐵) · (𝑇𝑥)) = (𝐴 · (𝐵 · (𝑇𝑥))))
1311, 12syl3an3 1205 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ)) → ((𝐴 · 𝐵) · (𝑇𝑥)) = (𝐴 · (𝐵 · (𝑇𝑥))))
14133expa 1147 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ)) → ((𝐴 · 𝐵) · (𝑇𝑥)) = (𝐴 · (𝐵 · (𝑇𝑥))))
1514exp43 427 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐵 ∈ ℂ → (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (𝑥 ∈ ℋ → ((𝐴 · 𝐵) · (𝑇𝑥)) = (𝐴 · (𝐵 · (𝑇𝑥)))))))
16153imp1 1456 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 · 𝐵) · (𝑇𝑥)) = (𝐴 · (𝐵 · (𝑇𝑥))))
1710, 16eqtr4d 2802 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 · ((𝐵 ·op 𝑇)‘𝑥)) = ((𝐴 · 𝐵) · (𝑇𝑥)))
186, 17eqtr4d 2802 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝐴 · 𝐵) ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝐴 · ((𝐵 ·op 𝑇)‘𝑥)))
19 homulcl 29095 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝐵 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
20 homval 29077 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op (𝐵 ·op 𝑇))‘𝑥) = (𝐴 · ((𝐵 ·op 𝑇)‘𝑥)))
2119, 20syl3an2 1203 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op (𝐵 ·op 𝑇))‘𝑥) = (𝐴 · ((𝐵 ·op 𝑇)‘𝑥)))
22213expia 1150 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ)) → (𝑥 ∈ ℋ → ((𝐴 ·op (𝐵 ·op 𝑇))‘𝑥) = (𝐴 · ((𝐵 ·op 𝑇)‘𝑥))))
23223impb 1143 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑥 ∈ ℋ → ((𝐴 ·op (𝐵 ·op 𝑇))‘𝑥) = (𝐴 · ((𝐵 ·op 𝑇)‘𝑥))))
2423imp 395 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op (𝐵 ·op 𝑇))‘𝑥) = (𝐴 · ((𝐵 ·op 𝑇)‘𝑥)))
2518, 24eqtr4d 2802 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝐴 · 𝐵) ·op 𝑇)‘𝑥) = ((𝐴 ·op (𝐵 ·op 𝑇))‘𝑥))
2625ralrimiva 3113 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ∀𝑥 ∈ ℋ (((𝐴 · 𝐵) ·op 𝑇)‘𝑥) = ((𝐴 ·op (𝐵 ·op 𝑇))‘𝑥))
27 homulcl 29095 . . . 4 (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ((𝐴 · 𝐵) ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
281, 27stoic3 1871 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ((𝐴 · 𝐵) ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
29 homulcl 29095 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op (𝐵 ·op 𝑇)): ℋ⟶ ℋ)
3019, 29sylan2 586 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ)) → (𝐴 ·op (𝐵 ·op 𝑇)): ℋ⟶ ℋ)
31303impb 1143 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op (𝐵 ·op 𝑇)): ℋ⟶ ℋ)
32 hoeq 29096 . . 3 ((((𝐴 · 𝐵) ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ·op (𝐵 ·op 𝑇)): ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (((𝐴 · 𝐵) ·op 𝑇)‘𝑥) = ((𝐴 ·op (𝐵 ·op 𝑇))‘𝑥) ↔ ((𝐴 · 𝐵) ·op 𝑇) = (𝐴 ·op (𝐵 ·op 𝑇))))
3328, 31, 32syl2anc 579 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (((𝐴 · 𝐵) ·op 𝑇)‘𝑥) = ((𝐴 ·op (𝐵 ·op 𝑇))‘𝑥) ↔ ((𝐴 · 𝐵) ·op 𝑇) = (𝐴 ·op (𝐵 ·op 𝑇))))
3426, 33mpbid 223 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ((𝐴 · 𝐵) ·op 𝑇) = (𝐴 ·op (𝐵 ·op 𝑇)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  wf 6066  cfv 6070  (class class class)co 6846  cc 10191   · cmul 10198  chba 28253   · csm 28255   ·op chot 28273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-mulcl 10255  ax-hilex 28333  ax-hfvmul 28339  ax-hvmulass 28341
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-id 5187  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-map 8066  df-homul 29067
This theorem is referenced by:  homul12  29141  honegneg  29142  leopmul  29470  nmopleid  29475  opsqrlem1  29476  opsqrlem6  29481
  Copyright terms: Public domain W3C validator