HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  homulass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem homulass 30786
Description: Scalar product associative law for Hilbert space operators. (Contributed by NM, 12-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
homulass ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยทop ๐‘‡) = (๐ด ยทop (๐ต ยทop ๐‘‡)))

Proof of Theorem homulass
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulcl 11140 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
2 homval 30725 . . . . . . . . 9 (((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด ยท ๐ต) ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐ด ยท ๐ต) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
31, 2syl3an1 1164 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด ยท ๐ต) ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐ด ยท ๐ต) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
433expia 1122 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (((๐ด ยท ๐ต) ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐ด ยท ๐ต) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
543impa 1111 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (((๐ด ยท ๐ต) ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐ด ยท ๐ต) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
65imp 408 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด ยท ๐ต) ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐ด ยท ๐ต) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
7 homval 30725 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ต ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ต ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
87oveq2d 7374 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ((๐ต ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) = (๐ด ยทโ„Ž (๐ต ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
983expa 1119 . . . . . . 7 (((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ((๐ต ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) = (๐ด ยทโ„Ž (๐ต ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
1093adantl1 1167 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ((๐ต ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) = (๐ด ยทโ„Ž (๐ต ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
11 ffvelcdm 7033 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
12 ax-hvmulass 29991 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (๐ด ยทโ„Ž (๐ต ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
1311, 12syl3an3 1166 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (๐ด ยทโ„Ž (๐ต ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
14133expa 1119 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (๐ด ยทโ„Ž (๐ต ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
1514exp43 438 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (๐ด ยทโ„Ž (๐ต ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))))))
16153imp1 1348 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (๐ด ยทโ„Ž (๐ต ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
1710, 16eqtr4d 2776 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ((๐ต ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐ด ยท ๐ต) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
186, 17eqtr4d 2776 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด ยท ๐ต) ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž ((๐ต ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)))
19 homulcl 30743 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐ต ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
20 homval 30725 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop (๐ต ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž ((๐ต ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)))
2119, 20syl3an2 1165 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop (๐ต ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž ((๐ต ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)))
22213expia 1122 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐ด ยทop (๐ต ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž ((๐ต ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ))))
23223impb 1116 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐ด ยทop (๐ต ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž ((๐ต ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ))))
2423imp 408 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop (๐ต ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž ((๐ต ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)))
2518, 24eqtr4d 2776 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด ยท ๐ต) ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐ด ยทop (๐ต ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ))
2625ralrimiva 3140 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (((๐ด ยท ๐ต) ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐ด ยทop (๐ต ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ))
27 homulcl 30743 . . . 4 (((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
281, 27stoic3 1779 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
29 homulcl 30743 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทop (๐ต ยทop ๐‘‡)): โ„‹โŸถ โ„‹)
3019, 29sylan2 594 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)) โ†’ (๐ด ยทop (๐ต ยทop ๐‘‡)): โ„‹โŸถ โ„‹)
31303impb 1116 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทop (๐ต ยทop ๐‘‡)): โ„‹โŸถ โ„‹)
32 hoeq 30744 . . 3 ((((๐ด ยท ๐ต) ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐ด ยทop (๐ต ยทop ๐‘‡)): โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (((๐ด ยท ๐ต) ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐ด ยทop (๐ต ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ) โ†” ((๐ด ยท ๐ต) ยทop ๐‘‡) = (๐ด ยทop (๐ต ยทop ๐‘‡))))
3328, 31, 32syl2anc 585 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (((๐ด ยท ๐ต) ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐ด ยทop (๐ต ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ) โ†” ((๐ด ยท ๐ต) ยทop ๐‘‡) = (๐ด ยทop (๐ต ยทop ๐‘‡))))
3426, 33mpbid 231 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยทop ๐‘‡) = (๐ด ยทop (๐ต ยทop ๐‘‡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061  โŸถwf 6493  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054   ยท cmul 11061   โ„‹chba 29903   ยทโ„Ž csm 29905   ยทop chot 29923
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-mulcl 11118  ax-hilex 29983  ax-hfvmul 29989  ax-hvmulass 29991
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-map 8770  df-homul 30715
This theorem is referenced by:  homul12  30789  honegneg  30790  leopmul  31118  nmopleid  31123  opsqrlem1  31124  opsqrlem6  31129
  Copyright terms: Public domain W3C validator