HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  homulass Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem homulass 31055
Description: Scalar product associative law for Hilbert space operators. (Contributed by NM, 12-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
homulass ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยทop ๐‘‡) = (๐ด ยทop (๐ต ยทop ๐‘‡)))
Proof of Theorem homulass
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulcl 11194 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
2 homval 30994 . . . . . . . . 9 (((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด ยท ๐ต) ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐ด ยท ๐ต) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
31, 2syl3an1 1164 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด ยท ๐ต) ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐ด ยท ๐ต) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
433expia 1122 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (((๐ด ยท ๐ต) ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐ด ยท ๐ต) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
543impa 1111 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (((๐ด ยท ๐ต) ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐ด ยท ๐ต) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
65imp 408 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด ยท ๐ต) ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐ด ยท ๐ต) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
7 homval 30994 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ต ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ต ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
87oveq2d 7425 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ((๐ต ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) = (๐ด ยทโ„Ž (๐ต ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
983expa 1119 . . . . . . 7 (((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ((๐ต ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) = (๐ด ยทโ„Ž (๐ต ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
1093adantl1 1167 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ((๐ต ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) = (๐ด ยทโ„Ž (๐ต ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
11 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
12 ax-hvmulass 30260 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (๐ด ยทโ„Ž (๐ต ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
1311, 12syl3an3 1166 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (๐ด ยทโ„Ž (๐ต ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
14133expa 1119 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (๐ด ยทโ„Ž (๐ต ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
1514exp43 438 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (๐ด ยทโ„Ž (๐ต ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))))))
16153imp1 1348 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (๐ด ยทโ„Ž (๐ต ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
1710, 16eqtr4d 2776 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ((๐ต ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐ด ยท ๐ต) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
186, 17eqtr4d 2776 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด ยท ๐ต) ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž ((๐ต ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)))
19 homulcl 31012 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐ต ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
20 homval 30994 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop (๐ต ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž ((๐ต ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)))
2119, 20syl3an2 1165 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop (๐ต ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž ((๐ต ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)))
22213expia 1122 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐ด ยทop (๐ต ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž ((๐ต ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ))))
23223impb 1116 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐ด ยทop (๐ต ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž ((๐ต ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ))))
2423imp 408 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop (๐ต ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž ((๐ต ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)))
2518, 24eqtr4d 2776 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด ยท ๐ต) ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐ด ยทop (๐ต ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ))
2625ralrimiva 3147 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (((๐ด ยท ๐ต) ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐ด ยทop (๐ต ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ))
27 homulcl 31012 . . . 4 (((๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
281, 27stoic3 1779 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
29 homulcl 31012 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทop (๐ต ยทop ๐‘‡)): โ„‹โŸถ โ„‹)
3019, 29sylan2 594 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)) โ†’ (๐ด ยทop (๐ต ยทop ๐‘‡)): โ„‹โŸถ โ„‹)
31303impb 1116 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทop (๐ต ยทop ๐‘‡)): โ„‹โŸถ โ„‹)
32 hoeq 31013 . . 3 ((((๐ด ยท ๐ต) ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐ด ยทop (๐ต ยทop ๐‘‡)): โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (((๐ด ยท ๐ต) ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐ด ยทop (๐ต ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ) โ†” ((๐ด ยท ๐ต) ยทop ๐‘‡) = (๐ด ยทop (๐ต ยทop ๐‘‡))))
3328, 31, 32syl2anc 585 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ (((๐ด ยท ๐ต) ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐ด ยทop (๐ต ยทop ๐‘‡))โ€˜๐‘ฅ) โ†” ((๐ด ยท ๐ต) ยทop ๐‘‡) = (๐ด ยทop (๐ต ยทop ๐‘‡))))
3426, 33mpbid 231 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยทop ๐‘‡) = (๐ด ยทop (๐ต ยทop ๐‘‡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3062  โŸถwf 6540  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108   ยท cmul 11115   โ„‹chba 30172   ยทโ„Ž csm 30174   ยทop chot 30192
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-mulcl 11172  ax-hilex 30252  ax-hfvmul 30258  ax-hvmulass 30260
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-map 8822  df-homul 30984
This theorem is referenced by:  homul12  31058  honegneg  31059  leopmul  31387  nmopleid  31392  opsqrlem1  31393  opsqrlem6  31398
  Copyright terms: Public domain W3C validator