HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hoadddi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoadddi 30745
Description: Scalar product distributive law for Hilbert space operators. (Contributed by NM, 12-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hoadddi ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op (𝑇 +op 𝑈)) = ((𝐴 ·op 𝑇) +op (𝐴 ·op 𝑈)))

Proof of Theorem hoadddi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1191 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐴 ∈ ℂ)
2 ffvelcdm 7032 . . . . . . 7 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
323ad2antl2 1186 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
4 ffvelcdm 7032 . . . . . . 7 ((𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑈𝑥) ∈ ℋ)
543ad2antl3 1187 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑈𝑥) ∈ ℋ)
6 ax-hvdistr1 29950 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑈𝑥) ∈ ℋ) → (𝐴 · ((𝑇𝑥) + (𝑈𝑥))) = ((𝐴 · (𝑇𝑥)) + (𝐴 · (𝑈𝑥))))
71, 3, 5, 6syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 · ((𝑇𝑥) + (𝑈𝑥))) = ((𝐴 · (𝑇𝑥)) + (𝐴 · (𝑈𝑥))))
8 hosval 30682 . . . . . . . 8 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥) = ((𝑇𝑥) + (𝑈𝑥)))
98oveq2d 7373 . . . . . . 7 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 · ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥)) = (𝐴 · ((𝑇𝑥) + (𝑈𝑥))))
1093expa 1118 . . . . . 6 (((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 · ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥)) = (𝐴 · ((𝑇𝑥) + (𝑈𝑥))))
11103adantl1 1166 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 · ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥)) = (𝐴 · ((𝑇𝑥) + (𝑈𝑥))))
12 homval 30683 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝐴 · (𝑇𝑥)))
13123expa 1118 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝐴 · (𝑇𝑥)))
14133adantl3 1168 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝐴 · (𝑇𝑥)))
15 homval 30683 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑈)‘𝑥) = (𝐴 · (𝑈𝑥)))
16153expa 1118 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑈)‘𝑥) = (𝐴 · (𝑈𝑥)))
17163adantl2 1167 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑈)‘𝑥) = (𝐴 · (𝑈𝑥)))
1814, 17oveq12d 7375 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) + ((𝐴 ·op 𝑈)‘𝑥)) = ((𝐴 · (𝑇𝑥)) + (𝐴 · (𝑈𝑥))))
197, 11, 183eqtr4d 2786 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝐴 · ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥)) = (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) + ((𝐴 ·op 𝑈)‘𝑥)))
20 hoaddcl 30700 . . . . . . 7 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (𝑇 +op 𝑈): ℋ⟶ ℋ)
2120anim2i 617 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ)) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇 +op 𝑈): ℋ⟶ ℋ))
22213impb 1115 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇 +op 𝑈): ℋ⟶ ℋ))
23 homval 30683 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇 +op 𝑈): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op (𝑇 +op 𝑈))‘𝑥) = (𝐴 · ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥)))
24233expa 1118 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇 +op 𝑈): ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op (𝑇 +op 𝑈))‘𝑥) = (𝐴 · ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥)))
2522, 24sylan 580 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op (𝑇 +op 𝑈))‘𝑥) = (𝐴 · ((𝑇 +op 𝑈)‘𝑥)))
26 homulcl 30701 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
27 homulcl 30701 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op 𝑈): ℋ⟶ ℋ)
2826, 27anim12i 613 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ)) → ((𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ·op 𝑈): ℋ⟶ ℋ))
29283impdi 1350 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ·op 𝑈): ℋ⟶ ℋ))
30 hosval 30682 . . . . . 6 (((𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ·op 𝑈): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·op 𝑇) +op (𝐴 ·op 𝑈))‘𝑥) = (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) + ((𝐴 ·op 𝑈)‘𝑥)))
31303expa 1118 . . . . 5 ((((𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ·op 𝑈): ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·op 𝑇) +op (𝐴 ·op 𝑈))‘𝑥) = (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) + ((𝐴 ·op 𝑈)‘𝑥)))
3229, 31sylan 580 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·op 𝑇) +op (𝐴 ·op 𝑈))‘𝑥) = (((𝐴 ·op 𝑇)‘𝑥) + ((𝐴 ·op 𝑈)‘𝑥)))
3319, 25, 323eqtr4d 2786 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op (𝑇 +op 𝑈))‘𝑥) = (((𝐴 ·op 𝑇) +op (𝐴 ·op 𝑈))‘𝑥))
3433ralrimiva 3143 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝐴 ·op (𝑇 +op 𝑈))‘𝑥) = (((𝐴 ·op 𝑇) +op (𝐴 ·op 𝑈))‘𝑥))
35 homulcl 30701 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇 +op 𝑈): ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op (𝑇 +op 𝑈)): ℋ⟶ ℋ)
3620, 35sylan2 593 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ)) → (𝐴 ·op (𝑇 +op 𝑈)): ℋ⟶ ℋ)
37363impb 1115 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op (𝑇 +op 𝑈)): ℋ⟶ ℋ)
38 hoaddcl 30700 . . . . 5 (((𝐴 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ·op 𝑈): ℋ⟶ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇) +op (𝐴 ·op 𝑈)): ℋ⟶ ℋ)
3926, 27, 38syl2an 596 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ)) → ((𝐴 ·op 𝑇) +op (𝐴 ·op 𝑈)): ℋ⟶ ℋ)
40393impdi 1350 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇) +op (𝐴 ·op 𝑈)): ℋ⟶ ℋ)
41 hoeq 30702 . . 3 (((𝐴 ·op (𝑇 +op 𝑈)): ℋ⟶ ℋ ∧ ((𝐴 ·op 𝑇) +op (𝐴 ·op 𝑈)): ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝐴 ·op (𝑇 +op 𝑈))‘𝑥) = (((𝐴 ·op 𝑇) +op (𝐴 ·op 𝑈))‘𝑥) ↔ (𝐴 ·op (𝑇 +op 𝑈)) = ((𝐴 ·op 𝑇) +op (𝐴 ·op 𝑈))))
4237, 40, 41syl2anc 584 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝐴 ·op (𝑇 +op 𝑈))‘𝑥) = (((𝐴 ·op 𝑇) +op (𝐴 ·op 𝑈))‘𝑥) ↔ (𝐴 ·op (𝑇 +op 𝑈)) = ((𝐴 ·op 𝑇) +op (𝐴 ·op 𝑈))))
4334, 42mpbid 231 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑈: ℋ⟶ ℋ) → (𝐴 ·op (𝑇 +op 𝑈)) = ((𝐴 ·op 𝑇) +op (𝐴 ·op 𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  chba 29861   + cva 29862   · csm 29863   +op chos 29880   ·op chot 29881
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-hilex 29941  ax-hfvadd 29942  ax-hfvmul 29947  ax-hvdistr1 29950
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-map 8767  df-hosum 30672  df-homul 30673
This theorem is referenced by:  hosubdi  30750  honegdi  30751  ho2times  30761  opsqrlem6  31087
  Copyright terms: Public domain W3C validator