HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hoadddi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hoadddi 31056
Description: Scalar product distributive law for Hilbert space operators. (Contributed by NM, 12-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hoadddi ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทop (๐‘‡ +op ๐‘ˆ)) = ((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ด ยทop ๐‘ˆ)))
Proof of Theorem hoadddi
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1192 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 ffvelcdm 7084 . . . . . . 7 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
323ad2antl2 1187 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
4 ffvelcdm 7084 . . . . . . 7 ((๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
543ad2antl3 1188 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
6 ax-hvdistr1 30261 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ))) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (๐ด ยทโ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ))))
71, 3, 5, 6syl3anc 1372 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ))) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (๐ด ยทโ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ))))
8 hosval 30993 . . . . . . . 8 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)))
98oveq2d 7425 . . . . . . 7 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ)) = (๐ด ยทโ„Ž ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ))))
1093expa 1119 . . . . . 6 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ)) = (๐ด ยทโ„Ž ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ))))
11103adantl1 1167 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ)) = (๐ด ยทโ„Ž ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ))))
12 homval 30994 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
13123expa 1119 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
14133adantl3 1169 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
15 homval 30994 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)))
16153expa 1119 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)))
17163adantl2 1168 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)))
1814, 17oveq12d 7427 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((๐ด ยทop ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (๐ด ยทโ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ))))
197, 11, 183eqtr4d 2783 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ)) = (((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((๐ด ยทop ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ)))
20 hoaddcl 31011 . . . . . . 7 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐‘‡ +op ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹)
2120anim2i 618 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹)) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡ +op ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹))
22213impb 1116 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡ +op ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹))
23 homval 30994 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡ +op ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop (๐‘‡ +op ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž ((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ)))
24233expa 1119 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡ +op ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop (๐‘‡ +op ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž ((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ)))
2522, 24sylan 581 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop (๐‘‡ +op ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž ((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ)))
26 homulcl 31012 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
27 homulcl 31012 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทop ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹)
2826, 27anim12i 614 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹)) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐ด ยทop ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹))
29283impdi 1351 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐ด ยทop ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹))
30 hosval 30993 . . . . . 6 (((๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐ด ยทop ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ด ยทop ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) = (((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((๐ด ยทop ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ)))
31303expa 1119 . . . . 5 ((((๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐ด ยทop ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ด ยทop ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) = (((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((๐ด ยทop ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ)))
3229, 31sylan 581 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ด ยทop ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) = (((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((๐ด ยทop ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ)))
3319, 25, 323eqtr4d 2783 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop (๐‘‡ +op ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) = (((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ด ยทop ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ))
3433ralrimiva 3147 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐ด ยทop (๐‘‡ +op ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) = (((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ด ยทop ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ))
35 homulcl 31012 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡ +op ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทop (๐‘‡ +op ๐‘ˆ)): โ„‹โŸถ โ„‹)
3620, 35sylan2 594 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹)) โ†’ (๐ด ยทop (๐‘‡ +op ๐‘ˆ)): โ„‹โŸถ โ„‹)
37363impb 1116 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทop (๐‘‡ +op ๐‘ˆ)): โ„‹โŸถ โ„‹)
38 hoaddcl 31011 . . . . 5 (((๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐ด ยทop ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ด ยทop ๐‘ˆ)): โ„‹โŸถ โ„‹)
3926, 27, 38syl2an 597 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹)) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ด ยทop ๐‘ˆ)): โ„‹โŸถ โ„‹)
40393impdi 1351 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ด ยทop ๐‘ˆ)): โ„‹โŸถ โ„‹)
41 hoeq 31013 . . 3 (((๐ด ยทop (๐‘‡ +op ๐‘ˆ)): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ด ยทop ๐‘ˆ)): โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐ด ยทop (๐‘‡ +op ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) = (((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ด ยทop ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) โ†” (๐ด ยทop (๐‘‡ +op ๐‘ˆ)) = ((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ด ยทop ๐‘ˆ))))
4237, 40, 41syl2anc 585 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐ด ยทop (๐‘‡ +op ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) = (((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ด ยทop ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) โ†” (๐ด ยทop (๐‘‡ +op ๐‘ˆ)) = ((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ด ยทop ๐‘ˆ))))
4334, 42mpbid 231 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทop (๐‘‡ +op ๐‘ˆ)) = ((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ด ยทop ๐‘ˆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3062  โŸถwf 6540  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108   โ„‹chba 30172   +โ„Ž cva 30173   ยทโ„Ž csm 30174   +op chos 30191   ยทop chot 30192
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-hilex 30252  ax-hfvadd 30253  ax-hfvmul 30258  ax-hvdistr1 30261
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-map 8822  df-hosum 30983  df-homul 30984
This theorem is referenced by:  hosubdi  31061  honegdi  31062  ho2times  31072  opsqrlem6  31398
  Copyright terms: Public domain W3C validator