HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hoadddi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hoadddi 31560
Description: Scalar product distributive law for Hilbert space operators. (Contributed by NM, 12-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hoadddi ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทop (๐‘‡ +op ๐‘ˆ)) = ((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ด ยทop ๐‘ˆ)))
Proof of Theorem hoadddi
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 ffvelcdm 7076 . . . . . . 7 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
323ad2antl2 1183 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
4 ffvelcdm 7076 . . . . . . 7 ((๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
543ad2antl3 1184 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
6 ax-hvdistr1 30765 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ))) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (๐ด ยทโ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ))))
71, 3, 5, 6syl3anc 1368 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ))) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (๐ด ยทโ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ))))
8 hosval 31497 . . . . . . . 8 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)))
98oveq2d 7420 . . . . . . 7 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ)) = (๐ด ยทโ„Ž ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ))))
1093expa 1115 . . . . . 6 (((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ)) = (๐ด ยทโ„Ž ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ))))
11103adantl1 1163 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ)) = (๐ด ยทโ„Ž ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ))))
12 homval 31498 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
13123expa 1115 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
14133adantl3 1165 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
15 homval 31498 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)))
16153expa 1115 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)))
17163adantl2 1164 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ)))
1814, 17oveq12d 7422 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((๐ด ยทop ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) +โ„Ž (๐ด ยทโ„Ž (๐‘ˆโ€˜๐‘ฅ))))
197, 11, 183eqtr4d 2776 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ)) = (((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((๐ด ยทop ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ)))
20 hoaddcl 31515 . . . . . . 7 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐‘‡ +op ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹)
2120anim2i 616 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹)) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡ +op ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹))
22213impb 1112 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡ +op ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹))
23 homval 31498 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡ +op ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop (๐‘‡ +op ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž ((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ)))
24233expa 1115 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡ +op ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop (๐‘‡ +op ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž ((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ)))
2522, 24sylan 579 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop (๐‘‡ +op ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด ยทโ„Ž ((๐‘‡ +op ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ)))
26 homulcl 31516 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
27 homulcl 31516 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทop ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹)
2826, 27anim12i 612 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹)) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐ด ยทop ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹))
29283impdi 1347 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐ด ยทop ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹))
30 hosval 31497 . . . . . 6 (((๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐ด ยทop ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ด ยทop ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) = (((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((๐ด ยทop ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ)))
31303expa 1115 . . . . 5 ((((๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐ด ยทop ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ด ยทop ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) = (((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((๐ด ยทop ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ)))
3229, 31sylan 579 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ด ยทop ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) = (((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž ((๐ด ยทop ๐‘ˆ)โ€˜๐‘ฅ)))
3319, 25, 323eqtr4d 2776 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop (๐‘‡ +op ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) = (((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ด ยทop ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ))
3433ralrimiva 3140 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐ด ยทop (๐‘‡ +op ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) = (((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ด ยทop ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ))
35 homulcl 31516 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡ +op ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทop (๐‘‡ +op ๐‘ˆ)): โ„‹โŸถ โ„‹)
3620, 35sylan2 592 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹)) โ†’ (๐ด ยทop (๐‘‡ +op ๐‘ˆ)): โ„‹โŸถ โ„‹)
37363impb 1112 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทop (๐‘‡ +op ๐‘ˆ)): โ„‹โŸถ โ„‹)
38 hoaddcl 31515 . . . . 5 (((๐ด ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง (๐ด ยทop ๐‘ˆ): โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ด ยทop ๐‘ˆ)): โ„‹โŸถ โ„‹)
3926, 27, 38syl2an 595 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โˆง (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹)) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ด ยทop ๐‘ˆ)): โ„‹โŸถ โ„‹)
40393impdi 1347 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ด ยทop ๐‘ˆ)): โ„‹โŸถ โ„‹)
41 hoeq 31517 . . 3 (((๐ด ยทop (๐‘‡ +op ๐‘ˆ)): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ด ยทop ๐‘ˆ)): โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐ด ยทop (๐‘‡ +op ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) = (((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ด ยทop ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) โ†” (๐ด ยทop (๐‘‡ +op ๐‘ˆ)) = ((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ด ยทop ๐‘ˆ))))
4237, 40, 41syl2anc 583 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((๐ด ยทop (๐‘‡ +op ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) = (((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ด ยทop ๐‘ˆ))โ€˜๐‘ฅ) โ†” (๐ด ยทop (๐‘‡ +op ๐‘ˆ)) = ((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ด ยทop ๐‘ˆ))))
4334, 42mpbid 231 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ˆ: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทop (๐‘‡ +op ๐‘ˆ)) = ((๐ด ยทop ๐‘‡) +op (๐ด ยทop ๐‘ˆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055  โŸถwf 6532  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107   โ„‹chba 30676   +โ„Ž cva 30677   ยทโ„Ž csm 30678   +op chos 30695   ยทop chot 30696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-hilex 30756  ax-hfvadd 30757  ax-hfvmul 30762  ax-hvdistr1 30765
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-map 8821  df-hosum 31487  df-homul 31488
This theorem is referenced by:  hosubdi  31565  honegdi  31566  ho2times  31576  opsqrlem6  31902
  Copyright terms: Public domain W3C validator