Theorem hoeqi 31903

Description: Equality of Hilbert space operators. (Contributed by NM, 14-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoeq.1	⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
hoeq.2	⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hoeqi	⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑆‘𝑥) = (𝑇‘𝑥) ↔ 𝑆 = 𝑇)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇

Proof of Theorem hoeqi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoeq.1	. 2 ⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
2		hoeq.2	. 2 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
3		hoeq 31902	. 2 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑆‘𝑥) = (𝑇‘𝑥) ↔ 𝑆 = 𝑇))
4	1, 2, 3	mp2an 700	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑆‘𝑥) = (𝑇‘𝑥) ↔ 𝑆 = 𝑇)

Syntax hints:   ↔ wb 208   = wceq 1554  ∀wral 3070  ⟶wf 6506  ‘cfv 6510   ℋchba 31061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pr 5384

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4281  df-if 4475  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-id 5535  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-fv 6518

This theorem is referenced by:  hoaddcomi  31914  hodsi  31917  hoaddassi  31918  hocadddiri  31921  hocsubdiri  31922  hoaddridi  31928  ho0coi  31930  hoid1i  31931  hoid1ri  31932  honegsubi  31938  hoddii  32131  pjsdii  32297  pjddii  32298  pjss1coi  32305  pjss2coi  32306  pjorthcoi  32311  pjscji  32312  pjtoi  32321  pjclem4  32341  pj3si  32349  pj3cor1i  32351