Theorem hoeqi 32124

Description: Equality of Hilbert space operators. (Contributed by NM, 14-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoeq.1	⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
hoeq.2	⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hoeqi	⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑆‘𝑥) = (𝑇‘𝑥) ↔ 𝑆 = 𝑇)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇

Proof of Theorem hoeqi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoeq.1	. 2 ⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
2		hoeq.2	. 2 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
3		hoeq 32123	. 2 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑆‘𝑥) = (𝑇‘𝑥) ↔ 𝑆 = 𝑇))
4	1, 2, 3	mp2an 704	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑆‘𝑥) = (𝑇‘𝑥) ↔ 𝑆 = 𝑇)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1569  ∀wral 3078  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536   ℋchba 31282

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5403

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544

This theorem is used by:  hoaddcomi  32135  hodsi  32138  hoaddassi  32139  hocadddiri  32142  hocsubdiri  32143  hoaddridi  32149  ho0coi  32151  hoid1i  32152  hoid1ri  32153  honegsubi  32159  hoddii  32352  pjsdii  32518  pjddii  32519  pjss1coi  32526  pjss2coi  32527  pjorthcoi  32532  pjscji  32533  pjtoi  32542  pjclem4  32562  pj3si  32570  pj3cor1i  32572