Theorem homullid 31832

Description: An operator equals its scalar product with one. (Contributed by NM, 12-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
homullid	⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (1 ·op 𝑇) = 𝑇)

Proof of Theorem homullid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11242	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		homval 31773	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((1 ·op 𝑇)‘𝑥) = (1 ·ℎ (𝑇‘𝑥)))
3	1, 2	mp3an1 1448	. . . 4 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((1 ·op 𝑇)‘𝑥) = (1 ·ℎ (𝑇‘𝑥)))
4		ffvelcdm 7115	. . . . 5 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
5		ax-hvmulid 31038	. . . . 5 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ → (1 ·ℎ (𝑇‘𝑥)) = (𝑇‘𝑥))
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (1 ·ℎ (𝑇‘𝑥)) = (𝑇‘𝑥))
7	3, 6	eqtrd 2780	. . 3 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((1 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝑇‘𝑥))
8	7	ralrimiva 3152	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → ∀𝑥 ∈ ℋ ((1 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝑇‘𝑥))
9		homulcl 31791	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (1 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
10	1, 9	mpan 689	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (1 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
11		hoeq 31792	. . 3 ⊢ (((1 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ((1 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝑇‘𝑥) ↔ (1 ·op 𝑇) = 𝑇))
12	10, 11	mpancom 687	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ ((1 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝑇‘𝑥) ↔ (1 ·op 𝑇) = 𝑇))
13	8, 12	mpbid 232	1 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (1 ·op 𝑇) = 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  1c1 11185   ℋchba 30951   ·_ℎ csm 30953   ·_op chot 30971

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-1cn 11242  ax-hilex 31031  ax-hfvmul 31037  ax-hvmulid 31038

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-map 8886  df-homul 31763

This theorem is referenced by:  honegneg  31838  ho2times  31851  leopmul  32166  nmopleid  32171  opsqrlem1  32172  opsqrlem6  32177