Theorem homullid 31829

Description: An operator equals its scalar product with one. (Contributed by NM, 12-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
homullid	⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (1 ·op 𝑇) = 𝑇)

Proof of Theorem homullid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11211	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		homval 31770	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((1 ·op 𝑇)‘𝑥) = (1 ·ℎ (𝑇‘𝑥)))
3	1, 2	mp3an1 1447	. . . 4 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((1 ·op 𝑇)‘𝑥) = (1 ·ℎ (𝑇‘𝑥)))
4		ffvelcdm 7101	. . . . 5 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
5		ax-hvmulid 31035	. . . . 5 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ → (1 ·ℎ (𝑇‘𝑥)) = (𝑇‘𝑥))
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (1 ·ℎ (𝑇‘𝑥)) = (𝑇‘𝑥))
7	3, 6	eqtrd 2775	. . 3 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((1 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝑇‘𝑥))
8	7	ralrimiva 3144	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → ∀𝑥 ∈ ℋ ((1 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝑇‘𝑥))
9		homulcl 31788	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (1 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
10	1, 9	mpan 690	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (1 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
11		hoeq 31789	. . 3 ⊢ (((1 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ((1 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝑇‘𝑥) ↔ (1 ·op 𝑇) = 𝑇))
12	10, 11	mpancom 688	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ ((1 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝑇‘𝑥) ↔ (1 ·op 𝑇) = 𝑇))
13	8, 12	mpbid 232	1 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (1 ·op 𝑇) = 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  1c1 11154   ℋchba 30948   ·_ℎ csm 30950   ·_op chot 30968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-1cn 11211  ax-hilex 31028  ax-hfvmul 31034  ax-hvmulid 31035

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8867  df-homul 31760

This theorem is referenced by:  honegneg  31835  ho2times  31848  leopmul  32163  nmopleid  32168  opsqrlem1  32169  opsqrlem6  32174