HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  homullid Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem homullid 31308
Description: An operator equals its scalar product with one. (Contributed by NM, 12-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
homullid (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (1 ยทop ๐‘‡) = ๐‘‡)
Proof of Theorem homullid
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 11170 . . . . 5 1 โˆˆ โ„‚
2 homval 31249 . . . . 5 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((1 ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (1 ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
31, 2mp3an1 1448 . . . 4 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((1 ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (1 ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
4 ffvelcdm 7083 . . . . 5 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
5 ax-hvmulid 30514 . . . . 5 ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โ†’ (1 ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))
64, 5syl 17 . . . 4 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (1 ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))
73, 6eqtrd 2772 . . 3 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((1 ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))
87ralrimiva 3146 . 2 (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((1 ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))
9 homulcl 31267 . . . 4 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (1 ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
101, 9mpan 688 . . 3 (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (1 ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
11 hoeq 31268 . . 3 (((1 ยทop ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((1 ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ†” (1 ยทop ๐‘‡) = ๐‘‡))
1210, 11mpancom 686 . 2 (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((1 ยทop ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โ†” (1 ยทop ๐‘‡) = ๐‘‡))
138, 12mpbid 231 1 (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ (1 ยทop ๐‘‡) = ๐‘‡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  1c1 11113   โ„‹chba 30427   ยทโ„Ž csm 30429   ยทop chot 30447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-1cn 11170  ax-hilex 30507  ax-hfvmul 30513  ax-hvmulid 30514
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-map 8824  df-homul 31239
This theorem is referenced by:  honegneg  31314  ho2times  31327  leopmul  31642  nmopleid  31647  opsqrlem1  31648  opsqrlem6  31653
  Copyright terms: Public domain W3C validator