Theorem homullid 31729

Description: An operator equals its scalar product with one. (Contributed by NM, 12-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
homullid	⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (1 ·op 𝑇) = 𝑇)

Proof of Theorem homullid

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11126	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		homval 31670	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((1 ·op 𝑇)‘𝑥) = (1 ·ℎ (𝑇‘𝑥)))
3	1, 2	mp3an1 1450	. . . 4 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((1 ·op 𝑇)‘𝑥) = (1 ·ℎ (𝑇‘𝑥)))
4		ffvelcdm 7053	. . . . 5 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
5		ax-hvmulid 30935	. . . . 5 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ → (1 ·ℎ (𝑇‘𝑥)) = (𝑇‘𝑥))
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (1 ·ℎ (𝑇‘𝑥)) = (𝑇‘𝑥))
7	3, 6	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((1 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝑇‘𝑥))
8	7	ralrimiva 3125	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → ∀𝑥 ∈ ℋ ((1 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝑇‘𝑥))
9		homulcl 31688	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (1 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
10	1, 9	mpan 690	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (1 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ)
11		hoeq 31689	. . 3 ⊢ (((1 ·op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ((1 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝑇‘𝑥) ↔ (1 ·op 𝑇) = 𝑇))
12	10, 11	mpancom 688	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (∀𝑥 ∈ ℋ ((1 ·op 𝑇)‘𝑥) = (𝑇‘𝑥) ↔ (1 ·op 𝑇) = 𝑇))
13	8, 12	mpbid 232	1 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → (1 ·op 𝑇) = 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  1c1 11069   ℋchba 30848   ·_ℎ csm 30850   ·_op chot 30868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-1cn 11126  ax-hilex 30928  ax-hfvmul 30934  ax-hvmulid 30935

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-map 8801  df-homul 31660

This theorem is referenced by:  honegneg  31735  ho2times  31748  leopmul  32063  nmopleid  32068  opsqrlem1  32069  opsqrlem6  32074