Theorem hvsub4 31654

Description: Hilbert vector space addition/subtraction law. (Contributed by NM, 17-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvsub4	⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷)) = ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷)))

Proof of Theorem hvsub4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvaddcl 31629	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
2		hvaddcl 31629	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐶 +ℎ 𝐷) ∈ ℋ)
3		hvsubval 31633	. . 3 ⊢ (((𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝐶 +ℎ 𝐷) ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷)) = ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ ( -1 ·ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷))))
4	1, 2, 3	syl2an 608	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷)) = ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ ( -1 ·ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷))))
5		hvsubval 31633	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶)))
6	5	ad2ant2r 760	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶)))
7		hvsubval 31633	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐵 −ℎ 𝐷) = (𝐵 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷)))
8	7	ad2ant2l 759	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐵 −ℎ 𝐷) = (𝐵 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷)))
9	6, 8	oveq12d 7448	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷)) = ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶)) +ℎ (𝐵 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷))))
10		neg1cn 12318	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
11		ax-hvdistr1 31625	. . . . . . 7 ⊢ (( -1 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → ( -1 ·ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷)) = (( -1 ·ℎ 𝐶) +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷)))
12	10, 11	mp3an1 1477	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → ( -1 ·ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷)) = (( -1 ·ℎ 𝐶) +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷)))
13	12	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ( -1 ·ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷)) = (( -1 ·ℎ 𝐶) +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷)))
14	13	oveq2d 7446	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ ( -1 ·ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷))) = ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (( -1 ·ℎ 𝐶) +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷))))
15		hvmulcl 31630	. . . . . . . . 9 ⊢ (( -1 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ( -1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
16	10, 15	mpan 703	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → ( -1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
17	16	anim2i 629	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ∈ ℋ ∧ ( -1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ))
18		hvmulcl 31630	. . . . . . . . 9 ⊢ (( -1 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → ( -1 ·ℎ 𝐷) ∈ ℋ)
19	10, 18	mpan 703	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℋ → ( -1 ·ℎ 𝐷) ∈ ℋ)
20	19	anim2i 629	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐵 ∈ ℋ ∧ ( -1 ·ℎ 𝐷) ∈ ℋ))
21	17, 20	anim12i 625	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ∈ ℋ ∧ ( -1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ ( -1 ·ℎ 𝐷) ∈ ℋ)))
22	21	an4s 673	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ∈ ℋ ∧ ( -1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ ( -1 ·ℎ 𝐷) ∈ ℋ)))
23		hvadd4 31653	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ ( -1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ ( -1 ·ℎ 𝐷) ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶)) +ℎ (𝐵 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷))) = ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (( -1 ·ℎ 𝐶) +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷))))
24	22, 23	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶)) +ℎ (𝐵 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷))) = ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (( -1 ·ℎ 𝐶) +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷))))
25	14, 24	eqtr4d 2801	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ ( -1 ·ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷))) = ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶)) +ℎ (𝐵 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷))))
26	9, 25	eqtr4d 2801	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷)) = ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ ( -1 ·ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷))))
27	4, 26	eqtr4d 2801	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷)) = ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7430  ℂcc 11211  1c1 11214   -cneg 11555   ℋchba 31536   +_ℎ cva 31537   ·_ℎ csm 31538   −_ℎ cmv 31542

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-hfvadd 31617  ax-hvcom 31618  ax-hvass 31619  ax-hfvmul 31622  ax-hvdistr1 31625

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-ltxr 11361  df-sub 11556  df-neg 11557  df-hvsub 31588

This theorem is used by:  hvaddsub4  31695  5oalem2  32272  3oalem2  32280