Theorem hvsub4 30939

Description: Hilbert vector space addition/subtraction law. (Contributed by NM, 17-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvsub4	⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷)) = ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷)))

Proof of Theorem hvsub4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvaddcl 30914	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
2		hvaddcl 30914	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐶 +ℎ 𝐷) ∈ ℋ)
3		hvsubval 30918	. . 3 ⊢ (((𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝐶 +ℎ 𝐷) ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷)) = ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷))))
4	1, 2, 3	syl2an 596	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷)) = ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷))))
5		hvsubval 30918	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)))
6	5	ad2ant2r 747	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)))
7		hvsubval 30918	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐵 −ℎ 𝐷) = (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷)))
8	7	ad2ant2l 746	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐵 −ℎ 𝐷) = (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷)))
9	6, 8	oveq12d 7387	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷)) = ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)) +ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷))))
10		neg1cn 12147	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
11		ax-hvdistr1 30910	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷)) = ((-1 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷)))
12	10, 11	mp3an1 1450	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷)) = ((-1 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷)))
13	12	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (-1 ·ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷)) = ((-1 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷)))
14	13	oveq2d 7385	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷))) = ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ ((-1 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷))))
15		hvmulcl 30915	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
16	10, 15	mpan 690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (-1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
17	16	anim2i 617	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ∈ ℋ ∧ (-1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ))
18		hvmulcl 30915	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ 𝐷) ∈ ℋ)
19	10, 18	mpan 690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℋ → (-1 ·ℎ 𝐷) ∈ ℋ)
20	19	anim2i 617	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐵 ∈ ℋ ∧ (-1 ·ℎ 𝐷) ∈ ℋ))
21	17, 20	anim12i 613	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (-1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ (-1 ·ℎ 𝐷) ∈ ℋ)))
22	21	an4s 660	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (-1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ (-1 ·ℎ 𝐷) ∈ ℋ)))
23		hvadd4 30938	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ (-1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ (-1 ·ℎ 𝐷) ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)) +ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷))) = ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ ((-1 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷))))
24	22, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)) +ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷))) = ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ ((-1 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷))))
25	14, 24	eqtr4d 2767	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷))) = ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)) +ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷))))
26	9, 25	eqtr4d 2767	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷)) = ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷))))
27	4, 26	eqtr4d 2767	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷)) = ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  1c1 11045  -cneg 11382   ℋchba 30821   +_ℎ cva 30822   ·_ℎ csm 30823   −_ℎ cmv 30827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-hfvadd 30902  ax-hvcom 30903  ax-hvass 30904  ax-hfvmul 30907  ax-hvdistr1 30910

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-ltxr 11189  df-sub 11383  df-neg 11384  df-hvsub 30873

This theorem is referenced by:  hvaddsub4  30980  5oalem2  31557  3oalem2  31565