HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvsub4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvsub4 28234
Description: Hilbert vector space addition/subtraction law. (Contributed by NM, 17-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvsub4 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 𝐶) + (𝐵 𝐷)))

Proof of Theorem hvsub4
StepHypRef Expression
1 hvaddcl 28209 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ)
2 hvaddcl 28209 . . 3 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℋ)
3 hvsubval 28213 . . 3 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℋ) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (𝐶 + 𝐷))))
41, 2, 3syl2an 583 . 2 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (𝐶 + 𝐷))))
5 hvsubval 28213 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 𝐶) = (𝐴 + (-1 · 𝐶)))
65ad2ant2r 741 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐴 𝐶) = (𝐴 + (-1 · 𝐶)))
7 hvsubval 28213 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐵 𝐷) = (𝐵 + (-1 · 𝐷)))
87ad2ant2l 740 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐵 𝐷) = (𝐵 + (-1 · 𝐷)))
96, 8oveq12d 6811 . . 3 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 𝐶) + (𝐵 𝐷)) = ((𝐴 + (-1 · 𝐶)) + (𝐵 + (-1 · 𝐷))))
10 neg1cn 11326 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
11 ax-hvdistr1 28205 . . . . . . 7 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (-1 · (𝐶 + 𝐷)) = ((-1 · 𝐶) + (-1 · 𝐷)))
1210, 11mp3an1 1559 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (-1 · (𝐶 + 𝐷)) = ((-1 · 𝐶) + (-1 · 𝐷)))
1312adantl 467 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (-1 · (𝐶 + 𝐷)) = ((-1 · 𝐶) + (-1 · 𝐷)))
1413oveq2d 6809 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐴 + 𝐵) + ((-1 · 𝐶) + (-1 · 𝐷))))
15 hvmulcl 28210 . . . . . . . . 9 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (-1 · 𝐶) ∈ ℋ)
1610, 15mpan 670 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℋ → (-1 · 𝐶) ∈ ℋ)
1716anim2i 603 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ∈ ℋ ∧ (-1 · 𝐶) ∈ ℋ))
18 hvmulcl 28210 . . . . . . . . 9 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (-1 · 𝐷) ∈ ℋ)
1910, 18mpan 670 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℋ → (-1 · 𝐷) ∈ ℋ)
2019anim2i 603 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐵 ∈ ℋ ∧ (-1 · 𝐷) ∈ ℋ))
2117, 20anim12i 600 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (-1 · 𝐶) ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ (-1 · 𝐷) ∈ ℋ)))
2221an4s 639 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (-1 · 𝐶) ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ (-1 · 𝐷) ∈ ℋ)))
23 hvadd4 28233 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ (-1 · 𝐶) ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ (-1 · 𝐷) ∈ ℋ)) → ((𝐴 + (-1 · 𝐶)) + (𝐵 + (-1 · 𝐷))) = ((𝐴 + 𝐵) + ((-1 · 𝐶) + (-1 · 𝐷))))
2422, 23syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 + (-1 · 𝐶)) + (𝐵 + (-1 · 𝐷))) = ((𝐴 + 𝐵) + ((-1 · 𝐶) + (-1 · 𝐷))))
2514, 24eqtr4d 2808 . . 3 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐴 + (-1 · 𝐶)) + (𝐵 + (-1 · 𝐷))))
269, 25eqtr4d 2808 . 2 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 𝐶) + (𝐵 𝐷)) = ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (𝐶 + 𝐷))))
274, 26eqtr4d 2808 1 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 𝐶) + (𝐵 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  (class class class)co 6793  cc 10136  1c1 10139  -cneg 10469  chil 28116   + cva 28117   · csm 28118   cmv 28122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-hfvadd 28197  ax-hvcom 28198  ax-hvass 28199  ax-hfvmul 28202  ax-hvdistr1 28205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-ltxr 10281  df-sub 10470  df-neg 10471  df-hvsub 28168
This theorem is referenced by:  hvaddsub4  28275  5oalem2  28854  3oalem2  28862
  Copyright terms: Public domain W3C validator