Theorem hvsub4 29979

Description: Hilbert vector space addition/subtraction law. (Contributed by NM, 17-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvsub4	⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷)) = ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷)))

Proof of Theorem hvsub4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvaddcl 29954	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
2		hvaddcl 29954	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐶 +ℎ 𝐷) ∈ ℋ)
3		hvsubval 29958	. . 3 ⊢ (((𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝐶 +ℎ 𝐷) ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷)) = ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷))))
4	1, 2, 3	syl2an 596	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷)) = ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷))))
5		hvsubval 29958	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)))
6	5	ad2ant2r 745	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)))
7		hvsubval 29958	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐵 −ℎ 𝐷) = (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷)))
8	7	ad2ant2l 744	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐵 −ℎ 𝐷) = (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷)))
9	6, 8	oveq12d 7375	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷)) = ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)) +ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷))))
10		neg1cn 12267	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
11		ax-hvdistr1 29950	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷)) = ((-1 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷)))
12	10, 11	mp3an1 1448	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷)) = ((-1 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷)))
13	12	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (-1 ·ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷)) = ((-1 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷)))
14	13	oveq2d 7373	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷))) = ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ ((-1 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷))))
15		hvmulcl 29955	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
16	10, 15	mpan 688	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (-1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
17	16	anim2i 617	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ∈ ℋ ∧ (-1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ))
18		hvmulcl 29955	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ 𝐷) ∈ ℋ)
19	10, 18	mpan 688	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℋ → (-1 ·ℎ 𝐷) ∈ ℋ)
20	19	anim2i 617	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐵 ∈ ℋ ∧ (-1 ·ℎ 𝐷) ∈ ℋ))
21	17, 20	anim12i 613	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (-1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ (-1 ·ℎ 𝐷) ∈ ℋ)))
22	21	an4s 658	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (-1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ (-1 ·ℎ 𝐷) ∈ ℋ)))
23		hvadd4 29978	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ (-1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ (-1 ·ℎ 𝐷) ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)) +ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷))) = ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ ((-1 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷))))
24	22, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)) +ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷))) = ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ ((-1 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷))))
25	14, 24	eqtr4d 2779	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷))) = ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)) +ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷))))
26	9, 25	eqtr4d 2779	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷)) = ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷))))
27	4, 26	eqtr4d 2779	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷)) = ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  1c1 11052  -cneg 11386   ℋchba 29861   +_ℎ cva 29862   ·_ℎ csm 29863   −_ℎ cmv 29867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-hfvadd 29942  ax-hvcom 29943  ax-hvass 29944  ax-hfvmul 29947  ax-hvdistr1 29950

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-ltxr 11194  df-sub 11387  df-neg 11388  df-hvsub 29913

This theorem is referenced by:  hvaddsub4  30020  5oalem2  30597  3oalem2  30605