HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvsub4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvsub4 31066
Description: Hilbert vector space addition/subtraction law. (Contributed by NM, 17-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvsub4 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 𝐶) + (𝐵 𝐷)))

Proof of Theorem hvsub4
StepHypRef Expression
1 hvaddcl 31041 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ)
2 hvaddcl 31041 . . 3 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℋ)
3 hvsubval 31045 . . 3 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℋ) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (𝐶 + 𝐷))))
41, 2, 3syl2an 596 . 2 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (𝐶 + 𝐷))))
5 hvsubval 31045 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 𝐶) = (𝐴 + (-1 · 𝐶)))
65ad2ant2r 747 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐴 𝐶) = (𝐴 + (-1 · 𝐶)))
7 hvsubval 31045 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐵 𝐷) = (𝐵 + (-1 · 𝐷)))
87ad2ant2l 746 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐵 𝐷) = (𝐵 + (-1 · 𝐷)))
96, 8oveq12d 7449 . . 3 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 𝐶) + (𝐵 𝐷)) = ((𝐴 + (-1 · 𝐶)) + (𝐵 + (-1 · 𝐷))))
10 neg1cn 12378 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
11 ax-hvdistr1 31037 . . . . . . 7 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (-1 · (𝐶 + 𝐷)) = ((-1 · 𝐶) + (-1 · 𝐷)))
1210, 11mp3an1 1447 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (-1 · (𝐶 + 𝐷)) = ((-1 · 𝐶) + (-1 · 𝐷)))
1312adantl 481 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (-1 · (𝐶 + 𝐷)) = ((-1 · 𝐶) + (-1 · 𝐷)))
1413oveq2d 7447 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐴 + 𝐵) + ((-1 · 𝐶) + (-1 · 𝐷))))
15 hvmulcl 31042 . . . . . . . . 9 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (-1 · 𝐶) ∈ ℋ)
1610, 15mpan 690 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℋ → (-1 · 𝐶) ∈ ℋ)
1716anim2i 617 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ∈ ℋ ∧ (-1 · 𝐶) ∈ ℋ))
18 hvmulcl 31042 . . . . . . . . 9 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (-1 · 𝐷) ∈ ℋ)
1910, 18mpan 690 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℋ → (-1 · 𝐷) ∈ ℋ)
2019anim2i 617 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐵 ∈ ℋ ∧ (-1 · 𝐷) ∈ ℋ))
2117, 20anim12i 613 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (-1 · 𝐶) ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ (-1 · 𝐷) ∈ ℋ)))
2221an4s 660 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (-1 · 𝐶) ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ (-1 · 𝐷) ∈ ℋ)))
23 hvadd4 31065 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ (-1 · 𝐶) ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ (-1 · 𝐷) ∈ ℋ)) → ((𝐴 + (-1 · 𝐶)) + (𝐵 + (-1 · 𝐷))) = ((𝐴 + 𝐵) + ((-1 · 𝐶) + (-1 · 𝐷))))
2422, 23syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 + (-1 · 𝐶)) + (𝐵 + (-1 · 𝐷))) = ((𝐴 + 𝐵) + ((-1 · 𝐶) + (-1 · 𝐷))))
2514, 24eqtr4d 2778 . . 3 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (𝐶 + 𝐷))) = ((𝐴 + (-1 · 𝐶)) + (𝐵 + (-1 · 𝐷))))
269, 25eqtr4d 2778 . 2 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 𝐶) + (𝐵 𝐷)) = ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (𝐶 + 𝐷))))
274, 26eqtr4d 2778 1 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 + 𝐵) − (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 𝐶) + (𝐵 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  (class class class)co 7431  cc 11151  1c1 11154  -cneg 11491  chba 30948   + cva 30949   · csm 30950   cmv 30954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-hfvadd 31029  ax-hvcom 31030  ax-hvass 31031  ax-hfvmul 31034  ax-hvdistr1 31037
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-hvsub 31000
This theorem is referenced by:  hvaddsub4  31107  5oalem2  31684  3oalem2  31692
  Copyright terms: Public domain W3C validator