Theorem hvsub4 31330

Description: Hilbert vector space addition/subtraction law. (Contributed by NM, 17-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvsub4	⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷)) = ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷)))

Proof of Theorem hvsub4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvaddcl 31305	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
2		hvaddcl 31305	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐶 +ℎ 𝐷) ∈ ℋ)
3		hvsubval 31309	. . 3 ⊢ (((𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝐶 +ℎ 𝐷) ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷)) = ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷))))
4	1, 2, 3	syl2an 607	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷)) = ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷))))
5		hvsubval 31309	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)))
6	5	ad2ant2r 759	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)))
7		hvsubval 31309	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐵 −ℎ 𝐷) = (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷)))
8	7	ad2ant2l 758	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐵 −ℎ 𝐷) = (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷)))
9	6, 8	oveq12d 7429	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷)) = ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)) +ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷))))
10		neg1cn 12203	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
11		ax-hvdistr1 31301	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷)) = ((-1 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷)))
12	10, 11	mp3an1 1474	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷)) = ((-1 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷)))
13	12	adantl 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (-1 ·ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷)) = ((-1 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷)))
14	13	oveq2d 7427	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷))) = ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ ((-1 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷))))
15		hvmulcl 31306	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
16	10, 15	mpan 702	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (-1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
17	16	anim2i 628	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ∈ ℋ ∧ (-1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ))
18		hvmulcl 31306	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (-1 ·ℎ 𝐷) ∈ ℋ)
19	10, 18	mpan 702	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℋ → (-1 ·ℎ 𝐷) ∈ ℋ)
20	19	anim2i 628	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐵 ∈ ℋ ∧ (-1 ·ℎ 𝐷) ∈ ℋ))
21	17, 20	anim12i 624	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (-1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ (-1 ·ℎ 𝐷) ∈ ℋ)))
22	21	an4s 672	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (-1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ (-1 ·ℎ 𝐷) ∈ ℋ)))
23		hvadd4 31329	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ (-1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ (-1 ·ℎ 𝐷) ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)) +ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷))) = ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ ((-1 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷))))
24	22, 23	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)) +ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷))) = ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ ((-1 ·ℎ 𝐶) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷))))
25	14, 24	eqtr4d 2807	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷))) = ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)) +ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐷))))
26	9, 25	eqtr4d 2807	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷)) = ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷))))
27	4, 26	eqtr4d 2807	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷)) = ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7411  ℂcc 11098  1c1 11101  -cneg 11442   ℋchba 31212   +_ℎ cva 31213   ·_ℎ csm 31214   −_ℎ cmv 31218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-hfvadd 31293  ax-hvcom 31294  ax-hvass 31295  ax-hfvmul 31298  ax-hvdistr1 31301

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-ltxr 11248  df-sub 11443  df-neg 11444  df-hvsub 31264

This theorem is referenced by:  hvaddsub4  31371  5oalem2  31948  3oalem2  31956