Theorem hvsub4 31639

Description: Hilbert vector space addition/subtraction law. (Contributed by NM, 17-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvsub4	⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷)) = ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷)))

Proof of Theorem hvsub4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvaddcl 31614	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
2		hvaddcl 31614	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐶 +ℎ 𝐷) ∈ ℋ)
3		hvsubval 31618	. . 3 ⊢ (((𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝐶 +ℎ 𝐷) ∈ ℋ) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷)) = ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ ( -1 ·ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷))))
4	1, 2, 3	syl2an 608	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷)) = ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ ( -1 ·ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷))))
5		hvsubval 31618	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶)))
6	5	ad2ant2r 760	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶)))
7		hvsubval 31618	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐵 −ℎ 𝐷) = (𝐵 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷)))
8	7	ad2ant2l 759	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐵 −ℎ 𝐷) = (𝐵 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷)))
9	6, 8	oveq12d 7438	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷)) = ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶)) +ℎ (𝐵 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷))))
10		neg1cn 12305	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
11		ax-hvdistr1 31610	. . . . . . 7 ⊢ (( -1 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → ( -1 ·ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷)) = (( -1 ·ℎ 𝐶) +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷)))
12	10, 11	mp3an1 1477	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → ( -1 ·ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷)) = (( -1 ·ℎ 𝐶) +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷)))
13	12	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ( -1 ·ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷)) = (( -1 ·ℎ 𝐶) +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷)))
14	13	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ ( -1 ·ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷))) = ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (( -1 ·ℎ 𝐶) +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷))))
15		hvmulcl 31615	. . . . . . . . 9 ⊢ (( -1 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ( -1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
16	10, 15	mpan 703	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → ( -1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
17	16	anim2i 629	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ∈ ℋ ∧ ( -1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ))
18		hvmulcl 31615	. . . . . . . . 9 ⊢ (( -1 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → ( -1 ·ℎ 𝐷) ∈ ℋ)
19	10, 18	mpan 703	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℋ → ( -1 ·ℎ 𝐷) ∈ ℋ)
20	19	anim2i 629	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐵 ∈ ℋ ∧ ( -1 ·ℎ 𝐷) ∈ ℋ))
21	17, 20	anim12i 625	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ∈ ℋ ∧ ( -1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ ( -1 ·ℎ 𝐷) ∈ ℋ)))
22	21	an4s 673	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ∈ ℋ ∧ ( -1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ ( -1 ·ℎ 𝐷) ∈ ℋ)))
23		hvadd4 31638	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ ( -1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ ( -1 ·ℎ 𝐷) ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶)) +ℎ (𝐵 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷))) = ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (( -1 ·ℎ 𝐶) +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷))))
24	22, 23	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶)) +ℎ (𝐵 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷))) = ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (( -1 ·ℎ 𝐶) +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷))))
25	14, 24	eqtr4d 2799	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ ( -1 ·ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷))) = ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶)) +ℎ (𝐵 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐷))))
26	9, 25	eqtr4d 2799	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷)) = ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ ( -1 ·ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷))))
27	4, 26	eqtr4d 2799	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 +ℎ 𝐵) −ℎ (𝐶 +ℎ 𝐷)) = ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐵 −ℎ 𝐷)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  1c1 11201   -cneg 11542   ℋchba 31521   +_ℎ cva 31522   ·_ℎ csm 31523   −_ℎ cmv 31527

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-hfvadd 31602  ax-hvcom 31603  ax-hvass 31604  ax-hfvmul 31607  ax-hvdistr1 31610

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-ltxr 11348  df-sub 11543  df-neg 11544  df-hvsub 31573

This theorem is used by:  hvaddsub4  31680  5oalem2  32257  3oalem2  32265