HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnophsi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lnophsi 31829
Description: The sum of two linear operators is linear. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnopco.1 ๐‘† โˆˆ LinOp
lnopco.2 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
Assertion
Ref Expression
lnophsi (๐‘† +op ๐‘‡) โˆˆ LinOp
Proof of Theorem lnophsi
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnopco.1 . . . 4 ๐‘† โˆˆ LinOp
21lnopfi 31797 . . 3 ๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹
3 lnopco.2 . . . 4 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
43lnopfi 31797 . . 3 ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹
52, 4hoaddcli 31596 . 2 (๐‘† +op ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹
6 hvmulcl 30841 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
71lnopaddi 31799 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘†โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ง)))
83lnopaddi 31799 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)))
97, 8oveq12d 7442 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘†โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง))) = (((๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ง)) +โ„Ž ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
106, 9sylan 578 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘†โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง))) = (((๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ง)) +โ„Ž ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
112ffvelcdmi 7096 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹)
126, 11syl 17 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹)
132ffvelcdmi 7096 . . . . . . . 8 (๐‘ง โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
1412, 13anim12i 611 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘†โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹))
154ffvelcdmi 7096 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹)
166, 15syl 17 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹)
174ffvelcdmi 7096 . . . . . . . 8 (๐‘ง โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
1816, 17anim12i 611 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹))
19 hvadd4 30864 . . . . . . 7 ((((๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘†โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹) โˆง ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ง)) +โ„Ž ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))) = (((๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ))) +โ„Ž ((๐‘†โ€˜๐‘ง) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
2014, 18, 19syl2anc 582 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ง)) +โ„Ž ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))) = (((๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ))) +โ„Ž ((๐‘†โ€˜๐‘ง) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
2110, 20eqtrd 2767 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘†โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง))) = (((๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ))) +โ„Ž ((๐‘†โ€˜๐‘ง) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
22 hvaddcl 30840 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
236, 22sylan 578 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
24 hosval 31568 . . . . . . 7 ((๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘†โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง))))
252, 4, 24mp3an12 1447 . . . . . 6 (((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘†โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง))))
2623, 25syl 17 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘†โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง))))
272ffvelcdmi 7096 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
284ffvelcdmi 7096 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
2927, 28jca 510 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹))
30 ax-hvdistr1 30836 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘†โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘†โ€˜๐‘ฆ) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))))
31303expb 1117 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘†โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘†โ€˜๐‘ฆ) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))))
3229, 31sylan2 591 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘†โ€˜๐‘ฆ) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))))
33 hosval 31568 . . . . . . . . . 10 ((๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฆ) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
342, 4, 33mp3an12 1447 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฆ) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
3534oveq2d 7440 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘†โ€˜๐‘ฆ) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))))
3635adantl 480 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘†โ€˜๐‘ฆ) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))))
371lnopmuli 31800 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))
383lnopmuli 31800 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
3937, 38oveq12d 7442 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ))) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))))
4032, 36, 393eqtr4d 2777 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ))))
41 hosval 31568 . . . . . . 7 ((๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ง) = ((๐‘†โ€˜๐‘ง) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)))
422, 4, 41mp3an12 1447 . . . . . 6 (๐‘ง โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ง) = ((๐‘†โ€˜๐‘ง) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)))
4340, 42oveqan12d 7443 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ง)) = (((๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ))) +โ„Ž ((๐‘†โ€˜๐‘ง) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
4421, 26, 433eqtr4d 2777 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ง)))
4544ralrimiva 3142 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ง)))
4645rgen2 3193 . 2 โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ง))
47 ellnop 31686 . 2 ((๐‘† +op ๐‘‡) โˆˆ LinOp โ†” ((๐‘† +op ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ง))))
485, 46, 47mpbir2an 709 1 (๐‘† +op ๐‘‡) โˆˆ LinOp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3057  โŸถwf 6547  โ€˜cfv 6551  (class class class)co 7424  โ„‚cc 11142   โ„‹chba 30747   +โ„Ž cva 30748   ยทโ„Ž csm 30749   +op chos 30766  LinOpclo 30775
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-hilex 30827  ax-hfvadd 30828  ax-hvcom 30829  ax-hvass 30830  ax-hv0cl 30831  ax-hvaddid 30832  ax-hfvmul 30833  ax-hvmulid 30834  ax-hvdistr1 30836  ax-hvdistr2 30837  ax-hvmul0 30838
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8729  df-map 8851  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-ltxr 11289  df-sub 11482  df-neg 11483  df-hvsub 30799  df-hosum 31558  df-lnop 31669
This theorem is referenced by:  lnophdi  31830  bdophsi  31924
  Copyright terms: Public domain W3C validator