HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnophsi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnophsi 30363
Description: The sum of two linear operators is linear. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnopco.1 𝑆 ∈ LinOp
lnopco.2 𝑇 ∈ LinOp
Assertion
Ref Expression
lnophsi (𝑆 +op 𝑇) ∈ LinOp

Proof of Theorem lnophsi
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnopco.1 . . . 4 𝑆 ∈ LinOp
21lnopfi 30331 . . 3 𝑆: ℋ⟶ ℋ
3 lnopco.2 . . . 4 𝑇 ∈ LinOp
43lnopfi 30331 . . 3 𝑇: ℋ⟶ ℋ
52, 4hoaddcli 30130 . 2 (𝑆 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
6 hvmulcl 29375 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℋ)
71lnopaddi 30333 . . . . . . . 8 (((𝑥 · 𝑦) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑆‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑆‘(𝑥 · 𝑦)) + (𝑆𝑧)))
83lnopaddi 30333 . . . . . . . 8 (((𝑥 · 𝑦) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑇‘(𝑥 · 𝑦)) + (𝑇𝑧)))
97, 8oveq12d 7293 . . . . . . 7 (((𝑥 · 𝑦) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑆‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) + (𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧))) = (((𝑆‘(𝑥 · 𝑦)) + (𝑆𝑧)) + ((𝑇‘(𝑥 · 𝑦)) + (𝑇𝑧))))
106, 9sylan 580 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑆‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) + (𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧))) = (((𝑆‘(𝑥 · 𝑦)) + (𝑆𝑧)) + ((𝑇‘(𝑥 · 𝑦)) + (𝑇𝑧))))
112ffvelrni 6960 . . . . . . . . 9 ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℋ → (𝑆‘(𝑥 · 𝑦)) ∈ ℋ)
126, 11syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑆‘(𝑥 · 𝑦)) ∈ ℋ)
132ffvelrni 6960 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℋ → (𝑆𝑧) ∈ ℋ)
1412, 13anim12i 613 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑆‘(𝑥 · 𝑦)) ∈ ℋ ∧ (𝑆𝑧) ∈ ℋ))
154ffvelrni 6960 . . . . . . . . 9 ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℋ → (𝑇‘(𝑥 · 𝑦)) ∈ ℋ)
166, 15syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝑥 · 𝑦)) ∈ ℋ)
174ffvelrni 6960 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℋ → (𝑇𝑧) ∈ ℋ)
1816, 17anim12i 613 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑇‘(𝑥 · 𝑦)) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑧) ∈ ℋ))
19 hvadd4 29398 . . . . . . 7 ((((𝑆‘(𝑥 · 𝑦)) ∈ ℋ ∧ (𝑆𝑧) ∈ ℋ) ∧ ((𝑇‘(𝑥 · 𝑦)) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑧) ∈ ℋ)) → (((𝑆‘(𝑥 · 𝑦)) + (𝑆𝑧)) + ((𝑇‘(𝑥 · 𝑦)) + (𝑇𝑧))) = (((𝑆‘(𝑥 · 𝑦)) + (𝑇‘(𝑥 · 𝑦))) + ((𝑆𝑧) + (𝑇𝑧))))
2014, 18, 19syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (((𝑆‘(𝑥 · 𝑦)) + (𝑆𝑧)) + ((𝑇‘(𝑥 · 𝑦)) + (𝑇𝑧))) = (((𝑆‘(𝑥 · 𝑦)) + (𝑇‘(𝑥 · 𝑦))) + ((𝑆𝑧) + (𝑇𝑧))))
2110, 20eqtrd 2778 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑆‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) + (𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧))) = (((𝑆‘(𝑥 · 𝑦)) + (𝑇‘(𝑥 · 𝑦))) + ((𝑆𝑧) + (𝑇𝑧))))
22 hvaddcl 29374 . . . . . . 7 (((𝑥 · 𝑦) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ∈ ℋ)
236, 22sylan 580 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ∈ ℋ)
24 hosval 30102 . . . . . . 7 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ∈ ℋ) → ((𝑆 +op 𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑆‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) + (𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧))))
252, 4, 24mp3an12 1450 . . . . . 6 (((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ∈ ℋ → ((𝑆 +op 𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑆‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) + (𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧))))
2623, 25syl 17 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑆 +op 𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑆‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) + (𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧))))
272ffvelrni 6960 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℋ → (𝑆𝑦) ∈ ℋ)
284ffvelrni 6960 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℋ → (𝑇𝑦) ∈ ℋ)
2927, 28jca 512 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℋ → ((𝑆𝑦) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ))
30 ax-hvdistr1 29370 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑆𝑦) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ) → (𝑥 · ((𝑆𝑦) + (𝑇𝑦))) = ((𝑥 · (𝑆𝑦)) + (𝑥 · (𝑇𝑦))))
31303expb 1119 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑆𝑦) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ)) → (𝑥 · ((𝑆𝑦) + (𝑇𝑦))) = ((𝑥 · (𝑆𝑦)) + (𝑥 · (𝑇𝑦))))
3229, 31sylan2 593 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 · ((𝑆𝑦) + (𝑇𝑦))) = ((𝑥 · (𝑆𝑦)) + (𝑥 · (𝑇𝑦))))
33 hosval 30102 . . . . . . . . . 10 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑦) = ((𝑆𝑦) + (𝑇𝑦)))
342, 4, 33mp3an12 1450 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℋ → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑦) = ((𝑆𝑦) + (𝑇𝑦)))
3534oveq2d 7291 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℋ → (𝑥 · ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑦)) = (𝑥 · ((𝑆𝑦) + (𝑇𝑦))))
3635adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 · ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑦)) = (𝑥 · ((𝑆𝑦) + (𝑇𝑦))))
371lnopmuli 30334 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑆‘(𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 · (𝑆𝑦)))
383lnopmuli 30334 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 · (𝑇𝑦)))
3937, 38oveq12d 7293 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑆‘(𝑥 · 𝑦)) + (𝑇‘(𝑥 · 𝑦))) = ((𝑥 · (𝑆𝑦)) + (𝑥 · (𝑇𝑦))))
4032, 36, 393eqtr4d 2788 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 · ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑦)) = ((𝑆‘(𝑥 · 𝑦)) + (𝑇‘(𝑥 · 𝑦))))
41 hosval 30102 . . . . . . 7 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑧) = ((𝑆𝑧) + (𝑇𝑧)))
422, 4, 41mp3an12 1450 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℋ → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑧) = ((𝑆𝑧) + (𝑇𝑧)))
4340, 42oveqan12d 7294 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑦)) + ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑧)) = (((𝑆‘(𝑥 · 𝑦)) + (𝑇‘(𝑥 · 𝑦))) + ((𝑆𝑧) + (𝑇𝑧))))
4421, 26, 433eqtr4d 2788 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑆 +op 𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑦)) + ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑧)))
4544ralrimiva 3103 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ∀𝑧 ∈ ℋ ((𝑆 +op 𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑦)) + ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑧)))
4645rgen2 3120 . 2 𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((𝑆 +op 𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑦)) + ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑧))
47 ellnop 30220 . 2 ((𝑆 +op 𝑇) ∈ LinOp ↔ ((𝑆 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((𝑆 +op 𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑦)) + ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑧))))
485, 46, 47mpbir2an 708 1 (𝑆 +op 𝑇) ∈ LinOp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wral 3064  wf 6429  cfv 6433  (class class class)co 7275  cc 10869  chba 29281   + cva 29282   · csm 29283   +op chos 29300  LinOpclo 29309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-hilex 29361  ax-hfvadd 29362  ax-hvcom 29363  ax-hvass 29364  ax-hv0cl 29365  ax-hvaddid 29366  ax-hfvmul 29367  ax-hvmulid 29368  ax-hvdistr1 29370  ax-hvdistr2 29371  ax-hvmul0 29372
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014  df-sub 11207  df-neg 11208  df-hvsub 29333  df-hosum 30092  df-lnop 30203
This theorem is referenced by:  lnophdi  30364  bdophsi  30458
  Copyright terms: Public domain W3C validator