HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnophsi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lnophsi 31249
Description: The sum of two linear operators is linear. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnopco.1 ๐‘† โˆˆ LinOp
lnopco.2 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
Assertion
Ref Expression
lnophsi (๐‘† +op ๐‘‡) โˆˆ LinOp
Proof of Theorem lnophsi
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnopco.1 . . . 4 ๐‘† โˆˆ LinOp
21lnopfi 31217 . . 3 ๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹
3 lnopco.2 . . . 4 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
43lnopfi 31217 . . 3 ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹
52, 4hoaddcli 31016 . 2 (๐‘† +op ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹
6 hvmulcl 30261 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
71lnopaddi 31219 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘†โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ง)))
83lnopaddi 31219 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)))
97, 8oveq12d 7426 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘†โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง))) = (((๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ง)) +โ„Ž ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
106, 9sylan 580 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘†โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง))) = (((๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ง)) +โ„Ž ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
112ffvelcdmi 7085 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹)
126, 11syl 17 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹)
132ffvelcdmi 7085 . . . . . . . 8 (๐‘ง โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
1412, 13anim12i 613 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘†โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹))
154ffvelcdmi 7085 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹)
166, 15syl 17 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹)
174ffvelcdmi 7085 . . . . . . . 8 (๐‘ง โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
1816, 17anim12i 613 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹))
19 hvadd4 30284 . . . . . . 7 ((((๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘†โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹) โˆง ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ง)) +โ„Ž ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))) = (((๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ))) +โ„Ž ((๐‘†โ€˜๐‘ง) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
2014, 18, 19syl2anc 584 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ง)) +โ„Ž ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))) = (((๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ))) +โ„Ž ((๐‘†โ€˜๐‘ง) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
2110, 20eqtrd 2772 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘†โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง))) = (((๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ))) +โ„Ž ((๐‘†โ€˜๐‘ง) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
22 hvaddcl 30260 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
236, 22sylan 580 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
24 hosval 30988 . . . . . . 7 ((๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘†โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง))))
252, 4, 24mp3an12 1451 . . . . . 6 (((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘†โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง))))
2623, 25syl 17 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘†โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง))))
272ffvelcdmi 7085 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
284ffvelcdmi 7085 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
2927, 28jca 512 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹))
30 ax-hvdistr1 30256 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘†โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘†โ€˜๐‘ฆ) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))))
31303expb 1120 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘†โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘†โ€˜๐‘ฆ) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))))
3229, 31sylan2 593 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘†โ€˜๐‘ฆ) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))))
33 hosval 30988 . . . . . . . . . 10 ((๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฆ) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
342, 4, 33mp3an12 1451 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฆ) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
3534oveq2d 7424 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘†โ€˜๐‘ฆ) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))))
3635adantl 482 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘†โ€˜๐‘ฆ) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))))
371lnopmuli 31220 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))
383lnopmuli 31220 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
3937, 38oveq12d 7426 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ))) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))))
4032, 36, 393eqtr4d 2782 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ))))
41 hosval 30988 . . . . . . 7 ((๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ง) = ((๐‘†โ€˜๐‘ง) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)))
422, 4, 41mp3an12 1451 . . . . . 6 (๐‘ง โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ง) = ((๐‘†โ€˜๐‘ง) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)))
4340, 42oveqan12d 7427 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ง)) = (((๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ))) +โ„Ž ((๐‘†โ€˜๐‘ง) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
4421, 26, 433eqtr4d 2782 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ง)))
4544ralrimiva 3146 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ง)))
4645rgen2 3197 . 2 โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ง))
47 ellnop 31106 . 2 ((๐‘† +op ๐‘‡) โˆˆ LinOp โ†” ((๐‘† +op ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ง))))
485, 46, 47mpbir2an 709 1 (๐‘† +op ๐‘‡) โˆˆ LinOp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  โ„‚cc 11107   โ„‹chba 30167   +โ„Ž cva 30168   ยทโ„Ž csm 30169   +op chos 30186  LinOpclo 30195
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-hilex 30247  ax-hfvadd 30248  ax-hvcom 30249  ax-hvass 30250  ax-hv0cl 30251  ax-hvaddid 30252  ax-hfvmul 30253  ax-hvmulid 30254  ax-hvdistr1 30256  ax-hvdistr2 30257  ax-hvmul0 30258
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252  df-sub 11445  df-neg 11446  df-hvsub 30219  df-hosum 30978  df-lnop 31089
This theorem is referenced by:  lnophdi  31250  bdophsi  31344
  Copyright terms: Public domain W3C validator