HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnophsi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lnophsi 31759
Description: The sum of two linear operators is linear. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnopco.1 ๐‘† โˆˆ LinOp
lnopco.2 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
Assertion
Ref Expression
lnophsi (๐‘† +op ๐‘‡) โˆˆ LinOp
Proof of Theorem lnophsi
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnopco.1 . . . 4 ๐‘† โˆˆ LinOp
21lnopfi 31727 . . 3 ๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹
3 lnopco.2 . . . 4 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
43lnopfi 31727 . . 3 ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹
52, 4hoaddcli 31526 . 2 (๐‘† +op ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹
6 hvmulcl 30771 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
71lnopaddi 31729 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘†โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ง)))
83lnopaddi 31729 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)))
97, 8oveq12d 7422 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘†โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง))) = (((๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ง)) +โ„Ž ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
106, 9sylan 579 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘†โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง))) = (((๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ง)) +โ„Ž ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
112ffvelcdmi 7078 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹)
126, 11syl 17 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹)
132ffvelcdmi 7078 . . . . . . . 8 (๐‘ง โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
1412, 13anim12i 612 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘†โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹))
154ffvelcdmi 7078 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹)
166, 15syl 17 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹)
174ffvelcdmi 7078 . . . . . . . 8 (๐‘ง โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
1816, 17anim12i 612 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹))
19 hvadd4 30794 . . . . . . 7 ((((๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘†โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹) โˆง ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ง)) +โ„Ž ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))) = (((๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ))) +โ„Ž ((๐‘†โ€˜๐‘ง) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
2014, 18, 19syl2anc 583 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ง)) +โ„Ž ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))) = (((๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ))) +โ„Ž ((๐‘†โ€˜๐‘ง) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
2110, 20eqtrd 2766 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘†โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง))) = (((๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ))) +โ„Ž ((๐‘†โ€˜๐‘ง) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
22 hvaddcl 30770 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
236, 22sylan 579 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
24 hosval 31498 . . . . . . 7 ((๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘†โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง))))
252, 4, 24mp3an12 1447 . . . . . 6 (((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘†โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง))))
2623, 25syl 17 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘†โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง))))
272ffvelcdmi 7078 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
284ffvelcdmi 7078 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
2927, 28jca 511 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹))
30 ax-hvdistr1 30766 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘†โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘†โ€˜๐‘ฆ) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))))
31303expb 1117 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘†โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘†โ€˜๐‘ฆ) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))))
3229, 31sylan2 592 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘†โ€˜๐‘ฆ) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))))
33 hosval 31498 . . . . . . . . . 10 ((๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฆ) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
342, 4, 33mp3an12 1447 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฆ) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
3534oveq2d 7420 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘†โ€˜๐‘ฆ) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))))
3635adantl 481 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘†โ€˜๐‘ฆ) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))))
371lnopmuli 31730 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))
383lnopmuli 31730 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
3937, 38oveq12d 7422 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ))) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))))
4032, 36, 393eqtr4d 2776 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ))))
41 hosval 31498 . . . . . . 7 ((๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ง) = ((๐‘†โ€˜๐‘ง) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)))
422, 4, 41mp3an12 1447 . . . . . 6 (๐‘ง โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ง) = ((๐‘†โ€˜๐‘ง) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)))
4340, 42oveqan12d 7423 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ง)) = (((๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ))) +โ„Ž ((๐‘†โ€˜๐‘ง) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
4421, 26, 433eqtr4d 2776 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ง)))
4544ralrimiva 3140 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ง)))
4645rgen2 3191 . 2 โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ง))
47 ellnop 31616 . 2 ((๐‘† +op ๐‘‡) โˆˆ LinOp โ†” ((๐‘† +op ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ง))))
485, 46, 47mpbir2an 708 1 (๐‘† +op ๐‘‡) โˆˆ LinOp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055  โŸถwf 6532  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107   โ„‹chba 30677   +โ„Ž cva 30678   ยทโ„Ž csm 30679   +op chos 30696  LinOpclo 30705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-hilex 30757  ax-hfvadd 30758  ax-hvcom 30759  ax-hvass 30760  ax-hv0cl 30761  ax-hvaddid 30762  ax-hfvmul 30763  ax-hvmulid 30764  ax-hvdistr1 30766  ax-hvdistr2 30767  ax-hvmul0 30768
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254  df-sub 11447  df-neg 11448  df-hvsub 30729  df-hosum 31488  df-lnop 31599
This theorem is referenced by:  lnophdi  31760  bdophsi  31854
  Copyright terms: Public domain W3C validator