HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnophsi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnophsi 29936
Description: The sum of two linear operators is linear. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnopco.1 𝑆 ∈ LinOp
lnopco.2 𝑇 ∈ LinOp
Assertion
Ref Expression
lnophsi (𝑆 +op 𝑇) ∈ LinOp

Proof of Theorem lnophsi
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnopco.1 . . . 4 𝑆 ∈ LinOp
21lnopfi 29904 . . 3 𝑆: ℋ⟶ ℋ
3 lnopco.2 . . . 4 𝑇 ∈ LinOp
43lnopfi 29904 . . 3 𝑇: ℋ⟶ ℋ
52, 4hoaddcli 29703 . 2 (𝑆 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
6 hvmulcl 28948 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℋ)
71lnopaddi 29906 . . . . . . . 8 (((𝑥 · 𝑦) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑆‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑆‘(𝑥 · 𝑦)) + (𝑆𝑧)))
83lnopaddi 29906 . . . . . . . 8 (((𝑥 · 𝑦) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑇‘(𝑥 · 𝑦)) + (𝑇𝑧)))
97, 8oveq12d 7189 . . . . . . 7 (((𝑥 · 𝑦) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑆‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) + (𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧))) = (((𝑆‘(𝑥 · 𝑦)) + (𝑆𝑧)) + ((𝑇‘(𝑥 · 𝑦)) + (𝑇𝑧))))
106, 9sylan 583 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑆‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) + (𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧))) = (((𝑆‘(𝑥 · 𝑦)) + (𝑆𝑧)) + ((𝑇‘(𝑥 · 𝑦)) + (𝑇𝑧))))
112ffvelrni 6861 . . . . . . . . 9 ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℋ → (𝑆‘(𝑥 · 𝑦)) ∈ ℋ)
126, 11syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑆‘(𝑥 · 𝑦)) ∈ ℋ)
132ffvelrni 6861 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℋ → (𝑆𝑧) ∈ ℋ)
1412, 13anim12i 616 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑆‘(𝑥 · 𝑦)) ∈ ℋ ∧ (𝑆𝑧) ∈ ℋ))
154ffvelrni 6861 . . . . . . . . 9 ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℋ → (𝑇‘(𝑥 · 𝑦)) ∈ ℋ)
166, 15syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝑥 · 𝑦)) ∈ ℋ)
174ffvelrni 6861 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℋ → (𝑇𝑧) ∈ ℋ)
1816, 17anim12i 616 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑇‘(𝑥 · 𝑦)) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑧) ∈ ℋ))
19 hvadd4 28971 . . . . . . 7 ((((𝑆‘(𝑥 · 𝑦)) ∈ ℋ ∧ (𝑆𝑧) ∈ ℋ) ∧ ((𝑇‘(𝑥 · 𝑦)) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑧) ∈ ℋ)) → (((𝑆‘(𝑥 · 𝑦)) + (𝑆𝑧)) + ((𝑇‘(𝑥 · 𝑦)) + (𝑇𝑧))) = (((𝑆‘(𝑥 · 𝑦)) + (𝑇‘(𝑥 · 𝑦))) + ((𝑆𝑧) + (𝑇𝑧))))
2014, 18, 19syl2anc 587 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (((𝑆‘(𝑥 · 𝑦)) + (𝑆𝑧)) + ((𝑇‘(𝑥 · 𝑦)) + (𝑇𝑧))) = (((𝑆‘(𝑥 · 𝑦)) + (𝑇‘(𝑥 · 𝑦))) + ((𝑆𝑧) + (𝑇𝑧))))
2110, 20eqtrd 2773 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑆‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) + (𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧))) = (((𝑆‘(𝑥 · 𝑦)) + (𝑇‘(𝑥 · 𝑦))) + ((𝑆𝑧) + (𝑇𝑧))))
22 hvaddcl 28947 . . . . . . 7 (((𝑥 · 𝑦) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ∈ ℋ)
236, 22sylan 583 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ∈ ℋ)
24 hosval 29675 . . . . . . 7 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ∈ ℋ) → ((𝑆 +op 𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑆‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) + (𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧))))
252, 4, 24mp3an12 1452 . . . . . 6 (((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ∈ ℋ → ((𝑆 +op 𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑆‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) + (𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧))))
2623, 25syl 17 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑆 +op 𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑆‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) + (𝑇‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧))))
272ffvelrni 6861 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℋ → (𝑆𝑦) ∈ ℋ)
284ffvelrni 6861 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℋ → (𝑇𝑦) ∈ ℋ)
2927, 28jca 515 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℋ → ((𝑆𝑦) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ))
30 ax-hvdistr1 28943 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑆𝑦) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ) → (𝑥 · ((𝑆𝑦) + (𝑇𝑦))) = ((𝑥 · (𝑆𝑦)) + (𝑥 · (𝑇𝑦))))
31303expb 1121 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((𝑆𝑦) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑦) ∈ ℋ)) → (𝑥 · ((𝑆𝑦) + (𝑇𝑦))) = ((𝑥 · (𝑆𝑦)) + (𝑥 · (𝑇𝑦))))
3229, 31sylan2 596 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 · ((𝑆𝑦) + (𝑇𝑦))) = ((𝑥 · (𝑆𝑦)) + (𝑥 · (𝑇𝑦))))
33 hosval 29675 . . . . . . . . . 10 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑦) = ((𝑆𝑦) + (𝑇𝑦)))
342, 4, 33mp3an12 1452 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℋ → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑦) = ((𝑆𝑦) + (𝑇𝑦)))
3534oveq2d 7187 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℋ → (𝑥 · ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑦)) = (𝑥 · ((𝑆𝑦) + (𝑇𝑦))))
3635adantl 485 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 · ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑦)) = (𝑥 · ((𝑆𝑦) + (𝑇𝑦))))
371lnopmuli 29907 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑆‘(𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 · (𝑆𝑦)))
383lnopmuli 29907 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 · (𝑇𝑦)))
3937, 38oveq12d 7189 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑆‘(𝑥 · 𝑦)) + (𝑇‘(𝑥 · 𝑦))) = ((𝑥 · (𝑆𝑦)) + (𝑥 · (𝑇𝑦))))
4032, 36, 393eqtr4d 2783 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 · ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑦)) = ((𝑆‘(𝑥 · 𝑦)) + (𝑇‘(𝑥 · 𝑦))))
41 hosval 29675 . . . . . . 7 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑧) = ((𝑆𝑧) + (𝑇𝑧)))
422, 4, 41mp3an12 1452 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℋ → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑧) = ((𝑆𝑧) + (𝑇𝑧)))
4340, 42oveqan12d 7190 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑦)) + ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑧)) = (((𝑆‘(𝑥 · 𝑦)) + (𝑇‘(𝑥 · 𝑦))) + ((𝑆𝑧) + (𝑇𝑧))))
4421, 26, 433eqtr4d 2783 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑆 +op 𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑦)) + ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑧)))
4544ralrimiva 3096 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ∀𝑧 ∈ ℋ ((𝑆 +op 𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑦)) + ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑧)))
4645rgen2 3115 . 2 𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((𝑆 +op 𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑦)) + ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑧))
47 ellnop 29793 . 2 ((𝑆 +op 𝑇) ∈ LinOp ↔ ((𝑆 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((𝑆 +op 𝑇)‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑦)) + ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑧))))
485, 46, 47mpbir2an 711 1 (𝑆 +op 𝑇) ∈ LinOp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 399   = wceq 1542  wcel 2113  wral 3053  wf 6336  cfv 6340  (class class class)co 7171  cc 10614  chba 28854   + cva 28855   · csm 28856   +op chos 28873  LinOpclo 28882
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7480  ax-resscn 10673  ax-1cn 10674  ax-icn 10675  ax-addcl 10676  ax-addrcl 10677  ax-mulcl 10678  ax-mulrcl 10679  ax-mulcom 10680  ax-addass 10681  ax-mulass 10682  ax-distr 10683  ax-i2m1 10684  ax-1ne0 10685  ax-1rid 10686  ax-rnegex 10687  ax-rrecex 10688  ax-cnre 10689  ax-pre-lttri 10690  ax-pre-lttrn 10691  ax-pre-ltadd 10692  ax-hilex 28934  ax-hfvadd 28935  ax-hvcom 28936  ax-hvass 28937  ax-hv0cl 28938  ax-hvaddid 28939  ax-hfvmul 28940  ax-hvmulid 28941  ax-hvdistr1 28943  ax-hvdistr2 28944  ax-hvmul0 28945
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3683  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-op 4524  df-uni 4798  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-id 5430  df-po 5443  df-so 5444  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7128  df-ov 7174  df-oprab 7175  df-mpo 7176  df-er 8321  df-map 8440  df-en 8557  df-dom 8558  df-sdom 8559  df-pnf 10756  df-mnf 10757  df-ltxr 10759  df-sub 10951  df-neg 10952  df-hvsub 28906  df-hosum 29665  df-lnop 29776
This theorem is referenced by:  lnophdi  29937  bdophsi  30031
  Copyright terms: Public domain W3C validator