HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnophsi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnophsi 30992
Description: The sum of two linear operators is linear. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnopco.1 ๐‘† โˆˆ LinOp
lnopco.2 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
Assertion
Ref Expression
lnophsi (๐‘† +op ๐‘‡) โˆˆ LinOp

Proof of Theorem lnophsi
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnopco.1 . . . 4 ๐‘† โˆˆ LinOp
21lnopfi 30960 . . 3 ๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹
3 lnopco.2 . . . 4 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
43lnopfi 30960 . . 3 ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹
52, 4hoaddcli 30759 . 2 (๐‘† +op ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹
6 hvmulcl 30004 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
71lnopaddi 30962 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘†โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ง)))
83lnopaddi 30962 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)))
97, 8oveq12d 7379 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘†โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง))) = (((๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ง)) +โ„Ž ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
106, 9sylan 581 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘†โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง))) = (((๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ง)) +โ„Ž ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
112ffvelcdmi 7038 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹)
126, 11syl 17 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹)
132ffvelcdmi 7038 . . . . . . . 8 (๐‘ง โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
1412, 13anim12i 614 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘†โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹))
154ffvelcdmi 7038 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹)
166, 15syl 17 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹)
174ffvelcdmi 7038 . . . . . . . 8 (๐‘ง โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
1816, 17anim12i 614 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹))
19 hvadd4 30027 . . . . . . 7 ((((๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘†โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹) โˆง ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹)) โ†’ (((๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ง)) +โ„Ž ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))) = (((๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ))) +โ„Ž ((๐‘†โ€˜๐‘ง) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
2014, 18, 19syl2anc 585 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ง)) +โ„Ž ((๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))) = (((๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ))) +โ„Ž ((๐‘†โ€˜๐‘ง) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
2110, 20eqtrd 2773 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘†โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง))) = (((๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ))) +โ„Ž ((๐‘†โ€˜๐‘ง) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
22 hvaddcl 30003 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
236, 22sylan 581 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
24 hosval 30731 . . . . . . 7 ((๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘†โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง))))
252, 4, 24mp3an12 1452 . . . . . 6 (((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘†โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง))))
2623, 25syl 17 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘†โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง))))
272ffvelcdmi 7038 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
284ffvelcdmi 7038 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
2927, 28jca 513 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹))
30 ax-hvdistr1 29999 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘†โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘†โ€˜๐‘ฆ) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))))
31303expb 1121 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘†โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘†โ€˜๐‘ฆ) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))))
3229, 31sylan2 594 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘†โ€˜๐‘ฆ) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))))
33 hosval 30731 . . . . . . . . . 10 ((๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฆ) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
342, 4, 33mp3an12 1452 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฆ) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
3534oveq2d 7377 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘†โ€˜๐‘ฆ) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))))
3635adantl 483 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘†โ€˜๐‘ฆ) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))))
371lnopmuli 30963 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))
383lnopmuli 30963 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
3937, 38oveq12d 7379 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ))) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))))
4032, 36, 393eqtr4d 2783 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ))))
41 hosval 30731 . . . . . . 7 ((๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ง) = ((๐‘†โ€˜๐‘ง) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)))
422, 4, 41mp3an12 1452 . . . . . 6 (๐‘ง โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ง) = ((๐‘†โ€˜๐‘ง) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)))
4340, 42oveqan12d 7380 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ง)) = (((๐‘†โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ))) +โ„Ž ((๐‘†โ€˜๐‘ง) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
4421, 26, 433eqtr4d 2783 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ง)))
4544ralrimiva 3140 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ง)))
4645rgen2 3191 . 2 โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ง))
47 ellnop 30849 . 2 ((๐‘† +op ๐‘‡) โˆˆ LinOp โ†” ((๐‘† +op ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((๐‘† +op ๐‘‡)โ€˜๐‘ง))))
485, 46, 47mpbir2an 710 1 (๐‘† +op ๐‘‡) โˆˆ LinOp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061  โŸถwf 6496  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057   โ„‹chba 29910   +โ„Ž cva 29911   ยทโ„Ž csm 29912   +op chos 29929  LinOpclo 29938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-hilex 29990  ax-hfvadd 29991  ax-hvcom 29992  ax-hvass 29993  ax-hv0cl 29994  ax-hvaddid 29995  ax-hfvmul 29996  ax-hvmulid 29997  ax-hvdistr1 29999  ax-hvdistr2 30000  ax-hvmul0 30001
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-ltxr 11202  df-sub 11395  df-neg 11396  df-hvsub 29962  df-hosum 30721  df-lnop 30832
This theorem is referenced by:  lnophdi  30993  bdophsi  31087
  Copyright terms: Public domain W3C validator