Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icodisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icodisj 12854
 Description: Adjacent left-closed right-open real intervals are disjoint. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
icodisj ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,)𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) = ∅)

Proof of Theorem icodisj
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3897 . . . 4 (𝑥 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)))
2 elico1 12769 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥 < 𝐵)))
323adant3 1129 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥 < 𝐵)))
43biimpa 480 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥 < 𝐵))
54simp3d 1141 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 < 𝐵)
65adantrr 716 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶))) → 𝑥 < 𝐵)
7 elico1 12769 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵𝑥𝑥 < 𝐶)))
873adant1 1127 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵𝑥𝑥 < 𝐶)))
98biimpa 480 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → (𝑥 ∈ ℝ*𝐵𝑥𝑥 < 𝐶))
109simp2d 1140 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝐵𝑥)
11 simpl2 1189 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
129simp1d 1139 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
1311, 12xrlenltd 10696 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → (𝐵𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝐵))
1410, 13mpbid 235 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → ¬ 𝑥 < 𝐵)
1514adantrl 715 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶))) → ¬ 𝑥 < 𝐵)
166, 15pm2.65da 816 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ¬ (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)))
1716pm2.21d 121 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ∅))
181, 17syl5bi 245 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ∅))
1918ssrdv 3921 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,)𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) ⊆ ∅)
20 ss0 4306 . 2 (((𝐴[,)𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) ⊆ ∅ → ((𝐴[,)𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) = ∅)
2119, 20syl 17 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,)𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) = ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243   class class class wbr 5030  (class class class)co 7135  ℝ*cxr 10663   < clt 10664   ≤ cle 10665  [,)cico 12728 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-xr 10668  df-le 10670  df-ico 12732 This theorem is referenced by:  icombl  24168  difico  30532  chtvalz  32010
 Copyright terms: Public domain W3C validator