Theorem icodisj 13536

Description: Adjacent left-closed right-open real intervals are disjoint. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
icodisj	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,)𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) = ∅)

Proof of Theorem icodisj

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3992	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)))
2		elico1 13450	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
3	2	3adant3 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
4	3	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))
5	4	simp3d 1144	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 < 𝐵)
6	5	adantrr 716	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶))) → 𝑥 < 𝐵)
7		elico1 13450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐶)))
8	7	3adant1 1130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐶)))
9	8	biimpa 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐶))
10	9	simp2d 1143	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝐵 ≤ 𝑥)
11		simpl2 1192	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
12	9	simp1d 1142	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
13	11, 12	xrlenltd 11356	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → (𝐵 ≤ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝐵))
14	10, 13	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → ¬ 𝑥 < 𝐵)
15	14	adantrl 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶))) → ¬ 𝑥 < 𝐵)
16	6, 15	pm2.65da 816	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ¬ (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)))
17	16	pm2.21d 121	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ∅))
18	1, 17	biimtrid 242	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ∅))
19	18	ssrdv 4014	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,)𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) ⊆ ∅)
20		ss0 4425	. 2 ⊢ (((𝐴[,)𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) ⊆ ∅ → ((𝐴[,)𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) = ∅)
21	19, 20	syl 17	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,)𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325  [,)cico 13409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-xr 11328  df-le 11330  df-ico 13413

This theorem is referenced by:  icombl  25618  difico  32788  chtvalz  34606