Theorem icodisj 13418

Description: Adjacent left-closed right-open real intervals are disjoint. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
icodisj	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,)𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) = ∅)

Proof of Theorem icodisj

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3944	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)))
2		elico1 13332	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
3	2	3adant3 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
4	3	biimpa 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))
5	4	simp3d 1144	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 < 𝐵)
6	5	adantrr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶))) → 𝑥 < 𝐵)
7		elico1 13332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐶)))
8	7	3adant1 1130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐶)))
9	8	biimpa 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐶))
10	9	simp2d 1143	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝐵 ≤ 𝑥)
11		simpl2 1192	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
12	9	simp1d 1142	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
13	11, 12	xrlenltd 11245	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → (𝐵 ≤ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝐵))
14	10, 13	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → ¬ 𝑥 < 𝐵)
15	14	adantrl 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶))) → ¬ 𝑥 < 𝐵)
16	6, 15	pm2.65da 815	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ¬ (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)))
17	16	pm2.21d 121	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ∅))
18	1, 17	biimtrid 241	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ∅))
19	18	ssrdv 3968	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,)𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) ⊆ ∅)
20		ss0 4378	. 2 ⊢ (((𝐴[,)𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) ⊆ ∅ → ((𝐴[,)𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) = ∅)
21	19, 20	syl 17	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,)𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3927   ⊆ wss 3928  ∅c0 4302   class class class wbr 5125  (class class class)co 7377  ℝ^*cxr 11212   < clt 11213   ≤ cle 11214  [,)cico 13291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-nul 4303  df-if 4507  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-br 5126  df-opab 5188  df-id 5551  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fv 6524  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-xr 11217  df-le 11219  df-ico 13295

This theorem is referenced by:  icombl  24980  difico  31788  chtvalz  33365