Theorem ioounsn 13499

Description: The union of an open interval with its upper endpoint is a left-open right-closed interval. (Contributed by Jon Pennant, 8-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ioounsn	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))

Proof of Theorem ioounsn

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2		iccid 13412	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵[,]𝐵) = {𝐵})
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵[,]𝐵) = {𝐵})
4	3	uneq2d 4122	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ (𝐵[,]𝐵)) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}))
5		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
6		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
7	1	xrleidd 13172	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝐵)
8		df-ioo 13371	. . . 4 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
9		df-icc 13374	. . . 4 ⊢ [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
10		xrlenlt 11269	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ 𝑤 ↔ ¬ 𝑤 < 𝐵))
11		df-ioc 13372	. . . 4 ⊢ (,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
12		simpl1 1210	. . . . . 6 ⊢ (((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝑤 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵)) → 𝑤 ∈ ℝ*)
13		simpl2 1211	. . . . . 6 ⊢ (((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝑤 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
14		simprl 782	. . . . . 6 ⊢ (((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝑤 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵)) → 𝑤 < 𝐵)
15	12, 13, 14	xrltled 13170	. . . . 5 ⊢ (((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝑤 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵)) → 𝑤 ≤ 𝐵)
16	15	ex 417	. . . 4 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑤 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵) → 𝑤 ≤ 𝐵))
17		xrltletr 13177	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑤) → 𝐴 < 𝑤))
18	8, 9, 10, 11, 16, 17	ixxun 13383	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵)) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ (𝐵[,]𝐵)) = (𝐴(,]𝐵))
19	5, 1, 1, 6, 7, 18	syl32anc 1405	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ (𝐵[,]𝐵)) = (𝐴(,]𝐵))
20	4, 19	eqtr3d 2800	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∪ cun 3903  {csn 4589   class class class wbr 5109  (class class class)co 7410  ℝ^*cxr 11237   < clt 11238   ≤ cle 11239  (,)cioo 13367  (,]cioc 13368  [,]cicc 13370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-ioo 13371  df-ioc 13372  df-icc 13374

This theorem is referenced by:  iocunico  43958  iocmbl  43960  limcicciooub  46371  limcresiooub  46376  ioccncflimc  46619  volioc  46706  fourierdlem33  46874  fourierdlem49  46889  fourierdlem93  46933  fouriersw  46965