MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioounsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioounsn 12856
Description: The union of an open interval with its upper endpoint is a left-open right-closed interval. (Contributed by Jon Pennant, 8-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
ioounsn ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))

Proof of Theorem ioounsn
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1131 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2 iccid 12776 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵[,]𝐵) = {𝐵})
31, 2syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → (𝐵[,]𝐵) = {𝐵})
43uneq2d 4142 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ (𝐵[,]𝐵)) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}))
5 simp1 1130 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
6 simp3 1132 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
71xrleidd 12538 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → 𝐵𝐵)
8 df-ioo 12735 . . . 4 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
9 df-icc 12738 . . . 4 [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)})
10 xrlenlt 10698 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐵𝑤 ↔ ¬ 𝑤 < 𝐵))
11 df-ioc 12736 . . . 4 (,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧𝑦)})
12 simpl1 1185 . . . . . 6 (((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝑤 < 𝐵𝐵𝐵)) → 𝑤 ∈ ℝ*)
13 simpl2 1186 . . . . . 6 (((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝑤 < 𝐵𝐵𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
14 simprl 767 . . . . . 6 (((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝑤 < 𝐵𝐵𝐵)) → 𝑤 < 𝐵)
1512, 13, 14xrltled 12536 . . . . 5 (((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝑤 < 𝐵𝐵𝐵)) → 𝑤𝐵)
1615ex 413 . . . 4 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑤 < 𝐵𝐵𝐵) → 𝑤𝐵))
17 xrltletr 12543 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵𝐵𝑤) → 𝐴 < 𝑤))
188, 9, 10, 11, 16, 17ixxun 12747 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐵)) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ (𝐵[,]𝐵)) = (𝐴(,]𝐵))
195, 1, 1, 6, 7, 18syl32anc 1372 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ (𝐵[,]𝐵)) = (𝐴(,]𝐵))
204, 19eqtr3d 2862 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2106  cun 3937  {csn 4563   class class class wbr 5062  (class class class)co 7151  *cxr 10666   < clt 10667  cle 10668  (,)cioo 12731  (,]cioc 12732  [,]cicc 12734
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-ext 2796  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-id 5458  df-po 5472  df-so 5473  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-ioo 12735  df-ioc 12736  df-icc 12738
This theorem is referenced by:  iocunico  39679  iocmbl  39681  limcicciooub  41780  limcresiooub  41785  ioccncflimc  42030  volioc  42119  fourierdlem33  42288  fourierdlem49  42303  fourierdlem93  42347  fouriersw  42379
  Copyright terms: Public domain W3C validator