MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioounsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioounsn 12510
Description: The union of an open interval with its upper endpoint is a left-open right-closed interval. (Contributed by Jon Pennant, 8-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
ioounsn ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))

Proof of Theorem ioounsn
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1167 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2 iccid 12429 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵[,]𝐵) = {𝐵})
31, 2syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → (𝐵[,]𝐵) = {𝐵})
43uneq2d 3931 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ (𝐵[,]𝐵)) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}))
5 simp1 1166 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
6 simp3 1168 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
71xrleidd 12192 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → 𝐵𝐵)
8 df-ioo 12388 . . . 4 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
9 df-icc 12391 . . . 4 [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)})
10 xrlenlt 10362 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐵𝑤 ↔ ¬ 𝑤 < 𝐵))
11 df-ioc 12389 . . . 4 (,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧𝑦)})
12 simpl1 1242 . . . . . 6 (((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝑤 < 𝐵𝐵𝐵)) → 𝑤 ∈ ℝ*)
13 simpl2 1244 . . . . . 6 (((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝑤 < 𝐵𝐵𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
14 simprl 787 . . . . . 6 (((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝑤 < 𝐵𝐵𝐵)) → 𝑤 < 𝐵)
1512, 13, 14xrltled 12190 . . . . 5 (((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝑤 < 𝐵𝐵𝐵)) → 𝑤𝐵)
1615ex 401 . . . 4 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑤 < 𝐵𝐵𝐵) → 𝑤𝐵))
17 xrltletr 12197 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵𝐵𝑤) → 𝐴 < 𝑤))
188, 9, 10, 11, 16, 17ixxun 12400 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐵)) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ (𝐵[,]𝐵)) = (𝐴(,]𝐵))
195, 1, 1, 6, 7, 18syl32anc 1497 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ (𝐵[,]𝐵)) = (𝐴(,]𝐵))
204, 19eqtr3d 2801 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  cun 3732  {csn 4336   class class class wbr 4811  (class class class)co 6846  *cxr 10331   < clt 10332  cle 10333  (,)cioo 12384  (,]cioc 12385  [,]cicc 12387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-op 4343  df-uni 4597  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-id 5187  df-po 5200  df-so 5201  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-er 7951  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-ioo 12388  df-ioc 12389  df-icc 12391
This theorem is referenced by:  iocunico  38498  iocmbl  38500  limcicciooub  40533  limcresiooub  40538  ioccncflimc  40762  volioc  40851  fourierdlem33  41020  fourierdlem49  41035  fourierdlem93  41079  fouriersw  41111
  Copyright terms: Public domain W3C validator