Theorem ioounsn 13615

Description: The union of an open interval with its upper endpoint is a left-open right-closed interval. (Contributed by Jon Pennant, 8-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ioounsn	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))

Proof of Theorem ioounsn

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2		iccid 13528	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵[,]𝐵) = {𝐵})
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵[,]𝐵) = {𝐵})
4	3	uneq2d 4166	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ (𝐵[,]𝐵)) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}))
5		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
6		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
7	1	xrleidd 13288	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝐵)
8		df-ioo 13487	. . . 4 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
9		df-icc 13490	. . . 4 ⊢ [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
10		xrlenlt 11381	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ 𝑤 ↔ ¬ 𝑤 < 𝐵))
11		df-ioc 13488	. . . 4 ⊢ (,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
12		simpl1 1210	. . . . . 6 ⊢ (((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝑤 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵)) → 𝑤 ∈ ℝ*)
13		simpl2 1211	. . . . . 6 ⊢ (((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝑤 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
14		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ (((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝑤 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵)) → 𝑤 < 𝐵)
15	12, 13, 14	xrltled 13286	. . . . 5 ⊢ (((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝑤 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵)) → 𝑤 ≤ 𝐵)
16	15	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑤 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵) → 𝑤 ≤ 𝐵))
17		xrltletr 13293	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑤) → 𝐴 < 𝑤))
18	8, 9, 10, 11, 16, 17	ixxun 13499	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵)) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ (𝐵[,]𝐵)) = (𝐴(,]𝐵))
19	5, 1, 1, 6, 7, 18	syl32anc 1405	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ (𝐵[,]𝐵)) = (𝐴(,]𝐵))
20	4, 19	eqtr3d 2797	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ∪ cun 4148  {csn 4584   class class class wbr 5102  (class class class)co 7424  ℝ^*cxr 11349   < clt 11350   ≤ cle 11351  (,)cioo 13483  (,]cioc 13484  [,]cicc 13486

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-ioo 13487  df-ioc 13488  df-icc 13490

This theorem is used by:  iocunico  44350  iocmbl  44352  limcicciooub  46783  limcresiooub  46788  ioccncflimc  47031  volioc  47118  fourierdlem33  47286  fourierdlem49  47301  fourierdlem93  47345  fouriersw  47377