MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioounsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioounsn 13237
Description: The union of an open interval with its upper endpoint is a left-open right-closed interval. (Contributed by Jon Pennant, 8-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
ioounsn ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))

Proof of Theorem ioounsn
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1135 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2 iccid 13152 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵[,]𝐵) = {𝐵})
31, 2syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → (𝐵[,]𝐵) = {𝐵})
43uneq2d 4100 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ (𝐵[,]𝐵)) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}))
5 simp1 1134 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
6 simp3 1136 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
71xrleidd 12914 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → 𝐵𝐵)
8 df-ioo 13111 . . . 4 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
9 df-icc 13114 . . . 4 [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)})
10 xrlenlt 11068 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐵𝑤 ↔ ¬ 𝑤 < 𝐵))
11 df-ioc 13112 . . . 4 (,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧𝑦)})
12 simpl1 1189 . . . . . 6 (((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝑤 < 𝐵𝐵𝐵)) → 𝑤 ∈ ℝ*)
13 simpl2 1190 . . . . . 6 (((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝑤 < 𝐵𝐵𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
14 simprl 767 . . . . . 6 (((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝑤 < 𝐵𝐵𝐵)) → 𝑤 < 𝐵)
1512, 13, 14xrltled 12912 . . . . 5 (((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝑤 < 𝐵𝐵𝐵)) → 𝑤𝐵)
1615ex 412 . . . 4 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑤 < 𝐵𝐵𝐵) → 𝑤𝐵))
17 xrltletr 12919 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵𝐵𝑤) → 𝐴 < 𝑤))
188, 9, 10, 11, 16, 17ixxun 13123 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵𝐵)) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ (𝐵[,]𝐵)) = (𝐴(,]𝐵))
195, 1, 1, 6, 7, 18syl32anc 1376 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ (𝐵[,]𝐵)) = (𝐴(,]𝐵))
204, 19eqtr3d 2775 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴(,]𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1537  wcel 2101  cun 3887  {csn 4564   class class class wbr 5077  (class class class)co 7295  *cxr 11036   < clt 11037  cle 11038  (,)cioo 13107  (,]cioc 13108  [,]cicc 13110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-cnex 10955  ax-resscn 10956  ax-pre-lttri 10973  ax-pre-lttrn 10974
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-id 5491  df-po 5505  df-so 5506  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-er 8518  df-en 8754  df-dom 8755  df-sdom 8756  df-pnf 11039  df-mnf 11040  df-xr 11041  df-ltxr 11042  df-le 11043  df-ioo 13111  df-ioc 13112  df-icc 13114
This theorem is referenced by:  iocunico  41066  iocmbl  41068  limcicciooub  43213  limcresiooub  43218  ioccncflimc  43461  volioc  43548  fourierdlem33  43716  fourierdlem49  43731  fourierdlem93  43775  fouriersw  43807
  Copyright terms: Public domain W3C validator