Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  chtvalz Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem chtvalz 33641
Description: Value of the Chebyshev function for integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
chtvalz (𝑁 ∈ β„€ β†’ (ΞΈβ€˜π‘) = Σ𝑛 ∈ ((1...𝑁) ∩ β„™)(logβ€˜π‘›))
Distinct variable group:   𝑛,𝑁
Proof of Theorem chtvalz
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zre 12562 . . 3 (𝑁 ∈ β„€ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
2 chtval 26614 . . 3 (𝑁 ∈ ℝ β†’ (ΞΈβ€˜π‘) = Σ𝑛 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„™)(logβ€˜π‘›))
31, 2syl 17 . 2 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (ΞΈβ€˜π‘) = Σ𝑛 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„™)(logβ€˜π‘›))
4 nnz 12579 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„€)
5 ppisval 26608 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℝ β†’ ((0[,]𝑁) ∩ β„™) = ((2...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™))
61, 5syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„€ β†’ ((0[,]𝑁) ∩ β„™) = ((2...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™))
7 flid 13773 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (βŒŠβ€˜π‘) = 𝑁)
87oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (2...(βŒŠβ€˜π‘)) = (2...𝑁))
98ineq1d 4212 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„€ β†’ ((2...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™) = ((2...𝑁) ∩ β„™))
106, 9eqtrd 2773 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„€ β†’ ((0[,]𝑁) ∩ β„™) = ((2...𝑁) ∩ β„™))
114, 10syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((0[,]𝑁) ∩ β„™) = ((2...𝑁) ∩ β„™))
12 2nn 12285 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ β„•
13 nnuz 12865 . . . . . . . . . . . . 13 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
1412, 13eleqtri 2832 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)
15 fzss1 13540 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (2...𝑁) βŠ† (1...𝑁))
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (2...𝑁) βŠ† (1...𝑁)
17 ssdif0 4364 . . . . . . . . . . 11 ((2...𝑁) βŠ† (1...𝑁) ↔ ((2...𝑁) βˆ– (1...𝑁)) = βˆ…)
1816, 17mpbi 229 . . . . . . . . . 10 ((2...𝑁) βˆ– (1...𝑁)) = βˆ…
1918ineq1i 4209 . . . . . . . . 9 (((2...𝑁) βˆ– (1...𝑁)) ∩ β„™) = (βˆ… ∩ β„™)
20 0in 4394 . . . . . . . . 9 (βˆ… ∩ β„™) = βˆ…
2119, 20eqtri 2761 . . . . . . . 8 (((2...𝑁) βˆ– (1...𝑁)) ∩ β„™) = βˆ…
2221a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((2...𝑁) βˆ– (1...𝑁)) ∩ β„™) = βˆ…)
2313eleq2i 2826 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„• ↔ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
24 fzpred 13549 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (1...𝑁) = ({1} βˆͺ ((1 + 1)...𝑁)))
2523, 24sylbi 216 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„• β†’ (1...𝑁) = ({1} βˆͺ ((1 + 1)...𝑁)))
2625eqcomd 2739 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„• β†’ ({1} βˆͺ ((1 + 1)...𝑁)) = (1...𝑁))
27 1p1e2 12337 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + 1) = 2
2827oveq1i 7419 . . . . . . . . . . . 12 ((1 + 1)...𝑁) = (2...𝑁)
2928a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((1 + 1)...𝑁) = (2...𝑁))
3026, 29difeq12d 4124 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„• β†’ (({1} βˆͺ ((1 + 1)...𝑁)) βˆ– ((1 + 1)...𝑁)) = ((1...𝑁) βˆ– (2...𝑁)))
31 difun2 4481 . . . . . . . . . . 11 (({1} βˆͺ ((1 + 1)...𝑁)) βˆ– ((1 + 1)...𝑁)) = ({1} βˆ– ((1 + 1)...𝑁))
32 fzpreddisj 13550 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ ({1} ∩ ((1 + 1)...𝑁)) = βˆ…)
3323, 32sylbi 216 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„• β†’ ({1} ∩ ((1 + 1)...𝑁)) = βˆ…)
34 disjdif2 4480 . . . . . . . . . . . 12 (({1} ∩ ((1 + 1)...𝑁)) = βˆ… β†’ ({1} βˆ– ((1 + 1)...𝑁)) = {1})
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„• β†’ ({1} βˆ– ((1 + 1)...𝑁)) = {1})
3631, 35eqtrid 2785 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„• β†’ (({1} βˆͺ ((1 + 1)...𝑁)) βˆ– ((1 + 1)...𝑁)) = {1})
3730, 36eqtr3d 2775 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((1...𝑁) βˆ– (2...𝑁)) = {1})
3837ineq1d 4212 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((1...𝑁) βˆ– (2...𝑁)) ∩ β„™) = ({1} ∩ β„™))
39 incom 4202 . . . . . . . . 9 (β„™ ∩ {1}) = ({1} ∩ β„™)
40 1nprm 16616 . . . . . . . . . 10 Β¬ 1 ∈ β„™
41 disjsn 4716 . . . . . . . . . 10 ((β„™ ∩ {1}) = βˆ… ↔ Β¬ 1 ∈ β„™)
4240, 41mpbir 230 . . . . . . . . 9 (β„™ ∩ {1}) = βˆ…
4339, 42eqtr3i 2763 . . . . . . . 8 ({1} ∩ β„™) = βˆ…
4438, 43eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((1...𝑁) βˆ– (2...𝑁)) ∩ β„™) = βˆ…)
45 difininv 31755 . . . . . . 7 (((((2...𝑁) βˆ– (1...𝑁)) ∩ β„™) = βˆ… ∧ (((1...𝑁) βˆ– (2...𝑁)) ∩ β„™) = βˆ…) β†’ ((2...𝑁) ∩ β„™) = ((1...𝑁) ∩ β„™))
4622, 44, 45syl2anc 585 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((2...𝑁) ∩ β„™) = ((1...𝑁) ∩ β„™))
4711, 46eqtrd 2773 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((0[,]𝑁) ∩ β„™) = ((1...𝑁) ∩ β„™))
4847adantl 483 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((0[,]𝑁) ∩ β„™) = ((1...𝑁) ∩ β„™))
49 znnnlt1 12589 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (Β¬ 𝑁 ∈ β„• ↔ 𝑁 < 1))
5049biimpa 478 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 < 1)
51 incom 4202 . . . . . . 7 ((0[,]𝑁) ∩ β„™) = (β„™ ∩ (0[,]𝑁))
52 isprm3 16620 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„™ ↔ (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ βˆ€π‘– ∈ (2...(𝑛 βˆ’ 1)) Β¬ 𝑖 βˆ₯ 𝑛))
5352simplbi 499 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„™ β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
5453ssriv 3987 . . . . . . . . 9 β„™ βŠ† (β„€β‰₯β€˜2)
5512nnzi 12586 . . . . . . . . . 10 2 ∈ β„€
56 uzssico 31995 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ β„€ β†’ (β„€β‰₯β€˜2) βŠ† (2[,)+∞))
5755, 56ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (β„€β‰₯β€˜2) βŠ† (2[,)+∞)
5854, 57sstri 3992 . . . . . . . 8 β„™ βŠ† (2[,)+∞)
59 incom 4202 . . . . . . . . 9 ((0[,]𝑁) ∩ (2[,)+∞)) = ((2[,)+∞) ∩ (0[,]𝑁))
60 0xr 11261 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ*
6160a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 < 1) β†’ 0 ∈ ℝ*)
6212nnrei 12221 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
6362rexri 11272 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ*
6463a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 < 1) β†’ 2 ∈ ℝ*)
65 0le0 12313 . . . . . . . . . . . 12 0 ≀ 0
6665a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 < 1) β†’ 0 ≀ 0)
671adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 < 1) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
68 1red 11215 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 < 1) β†’ 1 ∈ ℝ)
6962a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 < 1) β†’ 2 ∈ ℝ)
70 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 < 1) β†’ 𝑁 < 1)
71 1lt2 12383 . . . . . . . . . . . . 13 1 < 2
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 < 1) β†’ 1 < 2)
7367, 68, 69, 70, 72lttrd 11375 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 < 1) β†’ 𝑁 < 2)
74 iccssico 13396 . . . . . . . . . . 11 (((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≀ 0 ∧ 𝑁 < 2)) β†’ (0[,]𝑁) βŠ† (0[,)2))
7561, 64, 66, 73, 74syl22anc 838 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 < 1) β†’ (0[,]𝑁) βŠ† (0[,)2))
76 pnfxr 11268 . . . . . . . . . . 11 +∞ ∈ ℝ*
77 icodisj 13453 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ ((0[,)2) ∩ (2[,)+∞)) = βˆ…)
7860, 63, 76, 77mp3an 1462 . . . . . . . . . 10 ((0[,)2) ∩ (2[,)+∞)) = βˆ…
79 ssdisj 4460 . . . . . . . . . 10 (((0[,]𝑁) βŠ† (0[,)2) ∧ ((0[,)2) ∩ (2[,)+∞)) = βˆ…) β†’ ((0[,]𝑁) ∩ (2[,)+∞)) = βˆ…)
8075, 78, 79sylancl 587 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 < 1) β†’ ((0[,]𝑁) ∩ (2[,)+∞)) = βˆ…)
8159, 80eqtr3id 2787 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 < 1) β†’ ((2[,)+∞) ∩ (0[,]𝑁)) = βˆ…)
82 ssdisj 4460 . . . . . . . 8 ((β„™ βŠ† (2[,)+∞) ∧ ((2[,)+∞) ∩ (0[,]𝑁)) = βˆ…) β†’ (β„™ ∩ (0[,]𝑁)) = βˆ…)
8358, 81, 82sylancr 588 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 < 1) β†’ (β„™ ∩ (0[,]𝑁)) = βˆ…)
8451, 83eqtrid 2785 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 < 1) β†’ ((0[,]𝑁) ∩ β„™) = βˆ…)
85 1zzd 12593 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 < 1) β†’ 1 ∈ β„€)
86 simpl 484 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 < 1) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
87 fzn 13517 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝑁 < 1 ↔ (1...𝑁) = βˆ…))
8887biimpa 478 . . . . . . . . 9 (((1 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑁 < 1) β†’ (1...𝑁) = βˆ…)
8985, 86, 70, 88syl21anc 837 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 < 1) β†’ (1...𝑁) = βˆ…)
9089ineq1d 4212 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 < 1) β†’ ((1...𝑁) ∩ β„™) = (βˆ… ∩ β„™))
9190, 20eqtrdi 2789 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 < 1) β†’ ((1...𝑁) ∩ β„™) = βˆ…)
9284, 91eqtr4d 2776 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 < 1) β†’ ((0[,]𝑁) ∩ β„™) = ((1...𝑁) ∩ β„™))
9350, 92syldan 592 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((0[,]𝑁) ∩ β„™) = ((1...𝑁) ∩ β„™))
94 exmidd 895 . . . 4 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (𝑁 ∈ β„• ∨ Β¬ 𝑁 ∈ β„•))
9548, 93, 94mpjaodan 958 . . 3 (𝑁 ∈ β„€ β†’ ((0[,]𝑁) ∩ β„™) = ((1...𝑁) ∩ β„™))
9695sumeq1d 15647 . 2 (𝑁 ∈ β„€ β†’ Σ𝑛 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„™)(logβ€˜π‘›) = Σ𝑛 ∈ ((1...𝑁) ∩ β„™)(logβ€˜π‘›))
973, 96eqtrd 2773 1 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (ΞΈβ€˜π‘) = Σ𝑛 ∈ ((1...𝑁) ∩ β„™)(logβ€˜π‘›))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  {csn 4629   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113  +∞cpnf 11245  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  β„•cn 12212  2c2 12267  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  [,)cico 13326  [,]cicc 13327  ...cfz 13484  βŒŠcfl 13755  Ξ£csu 15632   βˆ₯ cdvds 16197  β„™cprime 16608  logclog 26063  ΞΈccht 26595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-sum 15633  df-dvds 16198  df-prm 16609  df-cht 26601
This theorem is referenced by:  hgt750lemd  33660
  Copyright terms: Public domain W3C validator