Theorem chtvalz 31158

Description: Value of the Chebyshev function for integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
chtvalz	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (θ‘𝑁) = Σ𝑛 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑛))

Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem chtvalz

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 11628	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		chtval 25127	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (θ‘𝑁) = Σ𝑛 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑛))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (θ‘𝑁) = Σ𝑛 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑛))
4		nnz 11646	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
5		ppisval 25121	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ))
6	1, 5	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ))
7		flid 12817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘𝑁) = 𝑁)
8	7	oveq2d 6858	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2...(⌊‘𝑁)) = (2...𝑁))
9	8	ineq1d 3975	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) = ((2...𝑁) ∩ ℙ))
10	6, 9	eqtrd 2799	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((2...𝑁) ∩ ℙ))
11	4, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((2...𝑁) ∩ ℙ))
12		2nn 11345	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ
13		nnuz 11923	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
14	12, 13	eleqtri 2842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
15		fzss1 12587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘1) → (2...𝑁) ⊆ (1...𝑁))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2...𝑁) ⊆ (1...𝑁)
17		ssdif0 4106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2...𝑁) ⊆ (1...𝑁) ↔ ((2...𝑁) ∖ (1...𝑁)) = ∅)
18	16, 17	mpbi 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2...𝑁) ∖ (1...𝑁)) = ∅
19	18	ineq1i 3972	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2...𝑁) ∖ (1...𝑁)) ∩ ℙ) = (∅ ∩ ℙ)
20		0in 4131	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∩ ℙ) = ∅
21	19, 20	eqtri 2787	. . . . . . . 8 ⊢ (((2...𝑁) ∖ (1...𝑁)) ∩ ℙ) = ∅
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2...𝑁) ∖ (1...𝑁)) ∩ ℙ) = ∅)
23	13	eleq2i 2836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
24		fzpred 12596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → (1...𝑁) = ({1} ∪ ((1 + 1)...𝑁)))
25	23, 24	sylbi 208	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) = ({1} ∪ ((1 + 1)...𝑁)))
26	25	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ({1} ∪ ((1 + 1)...𝑁)) = (1...𝑁))
27		1p1e2 11404	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 + 1) = 2
28	27	oveq1i 6852	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 + 1)...𝑁) = (2...𝑁)
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + 1)...𝑁) = (2...𝑁))
30	26, 29	difeq12d 3891	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (({1} ∪ ((1 + 1)...𝑁)) ∖ ((1 + 1)...𝑁)) = ((1...𝑁) ∖ (2...𝑁)))
31		difun2 4208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({1} ∪ ((1 + 1)...𝑁)) ∖ ((1 + 1)...𝑁)) = ({1} ∖ ((1 + 1)...𝑁))
32		fzpreddisj 12597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → ({1} ∩ ((1 + 1)...𝑁)) = ∅)
33	23, 32	sylbi 208	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ({1} ∩ ((1 + 1)...𝑁)) = ∅)
34		disjdif2 4207	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (({1} ∩ ((1 + 1)...𝑁)) = ∅ → ({1} ∖ ((1 + 1)...𝑁)) = {1})
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ({1} ∖ ((1 + 1)...𝑁)) = {1})
36	31, 35	syl5eq 2811	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (({1} ∪ ((1 + 1)...𝑁)) ∖ ((1 + 1)...𝑁)) = {1})
37	30, 36	eqtr3d 2801	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1...𝑁) ∖ (2...𝑁)) = {1})
38	37	ineq1d 3975	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1...𝑁) ∖ (2...𝑁)) ∩ ℙ) = ({1} ∩ ℙ))
39		incom 3967	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℙ ∩ {1}) = ({1} ∩ ℙ)
40		1nprm 15672	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ 1 ∈ ℙ
41		disjsn 4402	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℙ ∩ {1}) = ∅ ↔ ¬ 1 ∈ ℙ)
42	40, 41	mpbir 222	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℙ ∩ {1}) = ∅
43	39, 42	eqtr3i 2789	. . . . . . . 8 ⊢ ({1} ∩ ℙ) = ∅
44	38, 43	syl6eq 2815	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1...𝑁) ∖ (2...𝑁)) ∩ ℙ) = ∅)
45		difininv 29803	. . . . . . 7 ⊢ (((((2...𝑁) ∖ (1...𝑁)) ∩ ℙ) = ∅ ∧ (((1...𝑁) ∖ (2...𝑁)) ∩ ℙ) = ∅) → ((2...𝑁) ∩ ℙ) = ((1...𝑁) ∩ ℙ))
46	22, 44, 45	syl2anc 579	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2...𝑁) ∩ ℙ) = ((1...𝑁) ∩ ℙ))
47	11, 46	eqtrd 2799	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((1...𝑁) ∩ ℙ))
48	47	adantl 473	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((1...𝑁) ∩ ℙ))
49		znnnlt1 11651	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 < 1))
50	49	biimpa 468	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 < 1)
51		incom 3967	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = (ℙ ∩ (0[,]𝑁))
52		isprm3 15676	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ ↔ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑖 ∈ (2...(𝑛 − 1)) ¬ 𝑖 ∥ 𝑛))
53	52	simplbi 491	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2))
54	53	ssriv 3765	. . . . . . . . 9 ⊢ ℙ ⊆ (ℤ≥‘2)
55	12	nnzi 11648	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
56		uzssico 29995	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℤ → (ℤ≥‘2) ⊆ (2[,)+∞))
57	55, 56	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘2) ⊆ (2[,)+∞)
58	54, 57	sstri 3770	. . . . . . . 8 ⊢ ℙ ⊆ (2[,)+∞)
59		incom 3967	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0[,]𝑁) ∩ (2[,)+∞)) = ((2[,)+∞) ∩ (0[,]𝑁))
60		0xr 10340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ*
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 0 ∈ ℝ*)
62	12	nnrei 11284	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
63	62	rexri 10351	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ*
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 2 ∈ ℝ*)
65		0le0 11380	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ 0
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 0 ≤ 0)
67	1	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 𝑁 ∈ ℝ)
68		1red 10294	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 1 ∈ ℝ)
69	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 2 ∈ ℝ)
70		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 𝑁 < 1)
71		1lt2 11449	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 < 2
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 1 < 2)
73	67, 68, 69, 70, 72	lttrd 10452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 𝑁 < 2)
74		iccssico 12447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 0 ∧ 𝑁 < 2)) → (0[,]𝑁) ⊆ (0[,)2))
75	61, 64, 66, 73, 74	syl22anc 867	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → (0[,]𝑁) ⊆ (0[,)2))
76		pnfxr 10346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
77		icodisj 12502	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((0[,)2) ∩ (2[,)+∞)) = ∅)
78	60, 63, 76, 77	mp3an 1585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0[,)2) ∩ (2[,)+∞)) = ∅
79		ssdisj 4188	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((0[,]𝑁) ⊆ (0[,)2) ∧ ((0[,)2) ∩ (2[,)+∞)) = ∅) → ((0[,]𝑁) ∩ (2[,)+∞)) = ∅)
80	75, 78, 79	sylancl 580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → ((0[,]𝑁) ∩ (2[,)+∞)) = ∅)
81	59, 80	syl5eqr 2813	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → ((2[,)+∞) ∩ (0[,]𝑁)) = ∅)
82		ssdisj 4188	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℙ ⊆ (2[,)+∞) ∧ ((2[,)+∞) ∩ (0[,]𝑁)) = ∅) → (ℙ ∩ (0[,]𝑁)) = ∅)
83	58, 81, 82	sylancr 581	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → (ℙ ∩ (0[,]𝑁)) = ∅)
84	51, 83	syl5eq 2811	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ∅)
85		1zzd 11655	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 1 ∈ ℤ)
86		simpl 474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 𝑁 ∈ ℤ)
87		fzn 12564	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 1 ↔ (1...𝑁) = ∅))
88	87	biimpa 468	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 1) → (1...𝑁) = ∅)
89	85, 86, 70, 88	syl21anc 866	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → (1...𝑁) = ∅)
90	89	ineq1d 3975	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → ((1...𝑁) ∩ ℙ) = (∅ ∩ ℙ))
91	90, 20	syl6eq 2815	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → ((1...𝑁) ∩ ℙ) = ∅)
92	84, 91	eqtr4d 2802	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((1...𝑁) ∩ ℙ))
93	50, 92	syldan 585	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ) → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((1...𝑁) ∩ ℙ))
94		exmidd 919	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℕ))
95	48, 93, 94	mpjaodan 981	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((1...𝑁) ∩ ℙ))
96	95	sumeq1d 14716	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → Σ𝑛 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑛) = Σ𝑛 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑛))
97	3, 96	eqtrd 2799	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (θ‘𝑁) = Σ𝑛 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑛))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1652   ∈ wcel 2155  ∀wral 3055   ∖ cdif 3729   ∪ cun 3730   ∩ cin 3731   ⊆ wss 3732  ∅c0 4079  {csn 4334   class class class wbr 4809  ‘cfv 6068  (class class class)co 6842  ℝcr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192  +∞cpnf 10325  ℝ^*cxr 10327   < clt 10328   ≤ cle 10329   − cmin 10520  ℕcn 11274  2c2 11327  ℤcz 11624  ℤ_≥cuz 11886  [,)cico 12379  [,]cicc 12380  ...cfz 12533  ⌊cfl 12799  Σcsu 14701   ∥ cdvds 15265  ℙcprime 15665  logclog 24592  θccht 25108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-sup 8555  df-inf 8556  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-rp 12029  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-sum 14702  df-dvds 15266  df-prm 15666  df-cht 25114

This theorem is referenced by:  hgt750lemd  31177