Theorem chtvalz 35145

Description: Value of the Chebyshev function for integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
chtvalz	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (θ‘𝑁) = Σ𝑛 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑛))

Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem chtvalz

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12623	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		chtval 27354	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (θ‘𝑁) = Σ𝑛 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑛))
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (θ‘𝑁) = Σ𝑛 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑛))
4		nnz 12640	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
5		ppisval 27348	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ))
6	1, 5	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ))
7		flid 13873	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘𝑁) = 𝑁)
8	7	oveq2d 7433	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2...(⌊‘𝑁)) = (2...𝑁))
9	8	ineq1d 4168	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) = ((2...𝑁) ∩ ℙ))
10	6, 9	eqtrd 2797	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((2...𝑁) ∩ ℙ))
11	4, 10	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((2...𝑁) ∩ ℙ))
12		2nn 12342	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ
13		nnuz 12930	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
14	12, 13	eleqtri 2860	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
15		fzss1 13622	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘1) → (2...𝑁) ⊆ (1...𝑁))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2...𝑁) ⊆ (1...𝑁)
17		ssdif0 4317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2...𝑁) ⊆ (1...𝑁) ↔ ((2...𝑁) ∖ (1...𝑁)) = ∅)
18	16, 17	mpbi 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2...𝑁) ∖ (1...𝑁)) = ∅
19	18	ineq1i 4165	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2...𝑁) ∖ (1...𝑁)) ∩ ℙ) = (∅ ∩ ℙ)
20		0in 4350	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∩ ℙ) = ∅
21	19, 20	eqtri 2785	. . . . . . . 8 ⊢ (((2...𝑁) ∖ (1...𝑁)) ∩ ℙ) = ∅
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2...𝑁) ∖ (1...𝑁)) ∩ ℙ) = ∅)
23	13	eleq2i 2854	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
24		fzpred 13631	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → (1...𝑁) = ({1} ∪ ((1 + 1)...𝑁)))
25	23, 24	sylbi 220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) = ({1} ∪ ((1 + 1)...𝑁)))
26	25	eqcomd 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ({1} ∪ ((1 + 1)...𝑁)) = (1...𝑁))
27		1p1e2 12392	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 + 1) = 2
28	27	oveq1i 7427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 + 1)...𝑁) = (2...𝑁)
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + 1)...𝑁) = (2...𝑁))
30	26, 29	difeq12d 4078	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (({1} ∪ ((1 + 1)...𝑁)) ∖ ((1 + 1)...𝑁)) = ((1...𝑁) ∖ (2...𝑁)))
31		difun2 4440	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({1} ∪ ((1 + 1)...𝑁)) ∖ ((1 + 1)...𝑁)) = ({1} ∖ ((1 + 1)...𝑁))
32		fzpreddisj 13632	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → ({1} ∩ ((1 + 1)...𝑁)) = ∅)
33	23, 32	sylbi 220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ({1} ∩ ((1 + 1)...𝑁)) = ∅)
34		disjdif2 4439	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (({1} ∩ ((1 + 1)...𝑁)) = ∅ → ({1} ∖ ((1 + 1)...𝑁)) = {1})
35	33, 34	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ({1} ∖ ((1 + 1)...𝑁)) = {1})
36	31, 35	eqtrid 2809	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (({1} ∪ ((1 + 1)...𝑁)) ∖ ((1 + 1)...𝑁)) = {1})
37	30, 36	eqtr3d 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1...𝑁) ∖ (2...𝑁)) = {1})
38	37	ineq1d 4168	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1...𝑁) ∖ (2...𝑁)) ∩ ℙ) = ({1} ∩ ℙ))
39		incom 4158	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℙ ∩ {1}) = ({1} ∩ ℙ)
40		1nprm 16775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ 1 ∈ ℙ
41		disjsn 4675	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℙ ∩ {1}) = ∅ ↔ ¬ 1 ∈ ℙ)
42	40, 41	mpbir 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℙ ∩ {1}) = ∅
43	39, 42	eqtr3i 2787	. . . . . . . 8 ⊢ ({1} ∩ ℙ) = ∅
44	38, 43	eqtrdi 2813	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1...𝑁) ∖ (2...𝑁)) ∩ ℙ) = ∅)
45		difininv 33000	. . . . . . 7 ⊢ (((((2...𝑁) ∖ (1...𝑁)) ∩ ℙ) = ∅ ∧ (((1...𝑁) ∖ (2...𝑁)) ∩ ℙ) = ∅) → ((2...𝑁) ∩ ℙ) = ((1...𝑁) ∩ ℙ))
46	22, 44, 45	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2...𝑁) ∩ ℙ) = ((1...𝑁) ∩ ℙ))
47	11, 46	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((1...𝑁) ∩ ℙ))
48	47	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((1...𝑁) ∩ ℙ))
49		znnnlt1 12649	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 < 1))
50	49	biimpa 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 < 1)
51		incom 4158	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = (ℙ ∩ (0[,]𝑁))
52		isprm3 16779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ ↔ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑖 ∈ (2...(𝑛 − 1)) ¬ 𝑖 ∥ 𝑛))
53	52	simplbi 502	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2))
54	53	ssriv 3938	. . . . . . . . 9 ⊢ ℙ ⊆ (ℤ≥‘2)
55	12	nnzi 12646	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
56		uzssico 33263	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℤ → (ℤ≥‘2) ⊆ (2[,)+∞))
57	55, 56	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘2) ⊆ (2[,)+∞)
58	54, 57	sstri 3943	. . . . . . . 8 ⊢ ℙ ⊆ (2[,)+∞)
59		incom 4158	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0[,]𝑁) ∩ (2[,)+∞)) = ((2[,)+∞) ∩ (0[,]𝑁))
60		0xr 11284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ*
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 0 ∈ ℝ*)
62	12	nnrei 12270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
63	62	rexri 11295	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ*
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 2 ∈ ℝ*)
65		0le0 12370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ 0
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 0 ≤ 0)
67	1	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 𝑁 ∈ ℝ)
68		1red 11237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 1 ∈ ℝ)
69	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 2 ∈ ℝ)
70		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 𝑁 < 1)
71		1lt2 12441	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 < 2
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 1 < 2)
73	67, 68, 69, 70, 72	lttrd 11399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 𝑁 < 2)
74		iccssico 13475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 0 ∧ 𝑁 < 2)) → (0[,]𝑁) ⊆ (0[,)2))
75	61, 64, 66, 73, 74	syl22anc 852	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → (0[,]𝑁) ⊆ (0[,)2))
76		pnfxr 11291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
77		icodisj 13533	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((0[,)2) ∩ (2[,)+∞)) = ∅)
78	60, 63, 76, 77	mp3an 1490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0[,)2) ∩ (2[,)+∞)) = ∅
79		ssdisj 4416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((0[,]𝑁) ⊆ (0[,)2) ∧ ((0[,)2) ∩ (2[,)+∞)) = ∅) → ((0[,]𝑁) ∩ (2[,)+∞)) = ∅)
80	75, 78, 79	sylancl 598	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → ((0[,]𝑁) ∩ (2[,)+∞)) = ∅)
81	59, 80	eqtr3id 2811	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → ((2[,)+∞) ∩ (0[,]𝑁)) = ∅)
82		ssdisj 4416	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℙ ⊆ (2[,)+∞) ∧ ((2[,)+∞) ∩ (0[,]𝑁)) = ∅) → (ℙ ∩ (0[,]𝑁)) = ∅)
83	58, 81, 82	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → (ℙ ∩ (0[,]𝑁)) = ∅)
84	51, 83	eqtrid 2809	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ∅)
85		1zzd 12653	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 1 ∈ ℤ)
86		simpl 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 𝑁 ∈ ℤ)
87		fzn 13598	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 1 ↔ (1...𝑁) = ∅))
88	87	biimpa 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 1) → (1...𝑁) = ∅)
89	85, 86, 70, 88	syl21anc 851	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → (1...𝑁) = ∅)
90	89	ineq1d 4168	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → ((1...𝑁) ∩ ℙ) = (∅ ∩ ℙ))
91	90, 20	eqtrdi 2813	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → ((1...𝑁) ∩ ℙ) = ∅)
92	84, 91	eqtr4d 2800	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((1...𝑁) ∩ ℙ))
93	50, 92	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ) → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((1...𝑁) ∩ ℙ))
94		exmidd 909	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℕ))
95	48, 93, 94	mpjaodan 973	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((1...𝑁) ∩ ℙ))
96	95	sumeq1d 15791	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → Σ𝑛 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑛) = Σ𝑛 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑛))
97	3, 96	eqtrd 2797	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (θ‘𝑁) = Σ𝑛 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑛))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078   ∖ cdif 3899   ∪ cun 3900   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  {csn 4587   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℝcr 11127  0cc0 11128  1c1 11129   + caddc 11131  +∞cpnf 11268  ℝ^*cxr 11270   < clt 11271   ≤ cle 11272   − cmin 11469  ℕcn 12261  2c2 12323  ℤcz 12619  ℤ_≥cuz 12891  [,)cico 13404  [,]cicc 13405  ...cfz 13565  ⌊cfl 13855  Σcsu 15777   ∥ cdvds 16348  ℙcprime 16767  logclog 26799  θccht 27335

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-inf 9417  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-rp 13047  df-ico 13408  df-icc 13409  df-fz 13566  df-fl 13857  df-seq 14070  df-exp 14130  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-sum 15778  df-dvds 16349  df-prm 16768  df-cht 27341

This theorem is used by:  hgt750lemd  35164