Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  chtvalz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chtvalz 31517
Description: Value of the Chebyshev function for integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
chtvalz (𝑁 ∈ ℤ → (θ‘𝑁) = Σ𝑛 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑛))
Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem chtvalz
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zre 11833 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
2 chtval 25369 . . 3 (𝑁 ∈ ℝ → (θ‘𝑁) = Σ𝑛 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑛))
31, 2syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (θ‘𝑁) = Σ𝑛 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑛))
4 nnz 11853 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
5 ppisval 25363 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℝ → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ))
61, 5syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ))
7 flid 13028 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘𝑁) = 𝑁)
87oveq2d 7032 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (2...(⌊‘𝑁)) = (2...𝑁))
98ineq1d 4108 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → ((2...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) = ((2...𝑁) ∩ ℙ))
106, 9eqtrd 2831 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((2...𝑁) ∩ ℙ))
114, 10syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((2...𝑁) ∩ ℙ))
12 2nn 11558 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ
13 nnuz 12130 . . . . . . . . . . . . 13 ℕ = (ℤ‘1)
1412, 13eleqtri 2881 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ (ℤ‘1)
15 fzss1 12796 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ (ℤ‘1) → (2...𝑁) ⊆ (1...𝑁))
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (2...𝑁) ⊆ (1...𝑁)
17 ssdif0 4243 . . . . . . . . . . 11 ((2...𝑁) ⊆ (1...𝑁) ↔ ((2...𝑁) ∖ (1...𝑁)) = ∅)
1816, 17mpbi 231 . . . . . . . . . 10 ((2...𝑁) ∖ (1...𝑁)) = ∅
1918ineq1i 4105 . . . . . . . . 9 (((2...𝑁) ∖ (1...𝑁)) ∩ ℙ) = (∅ ∩ ℙ)
20 0in 4267 . . . . . . . . 9 (∅ ∩ ℙ) = ∅
2119, 20eqtri 2819 . . . . . . . 8 (((2...𝑁) ∖ (1...𝑁)) ∩ ℙ) = ∅
2221a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (((2...𝑁) ∖ (1...𝑁)) ∩ ℙ) = ∅)
2313eleq2i 2874 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
24 fzpred 12805 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → (1...𝑁) = ({1} ∪ ((1 + 1)...𝑁)))
2523, 24sylbi 218 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) = ({1} ∪ ((1 + 1)...𝑁)))
2625eqcomd 2801 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ({1} ∪ ((1 + 1)...𝑁)) = (1...𝑁))
27 1p1e2 11610 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + 1) = 2
2827oveq1i 7026 . . . . . . . . . . . 12 ((1 + 1)...𝑁) = (2...𝑁)
2928a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + 1)...𝑁) = (2...𝑁))
3026, 29difeq12d 4021 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (({1} ∪ ((1 + 1)...𝑁)) ∖ ((1 + 1)...𝑁)) = ((1...𝑁) ∖ (2...𝑁)))
31 difun2 4343 . . . . . . . . . . 11 (({1} ∪ ((1 + 1)...𝑁)) ∖ ((1 + 1)...𝑁)) = ({1} ∖ ((1 + 1)...𝑁))
32 fzpreddisj 12806 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → ({1} ∩ ((1 + 1)...𝑁)) = ∅)
3323, 32sylbi 218 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → ({1} ∩ ((1 + 1)...𝑁)) = ∅)
34 disjdif2 4342 . . . . . . . . . . . 12 (({1} ∩ ((1 + 1)...𝑁)) = ∅ → ({1} ∖ ((1 + 1)...𝑁)) = {1})
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ({1} ∖ ((1 + 1)...𝑁)) = {1})
3631, 35syl5eq 2843 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (({1} ∪ ((1 + 1)...𝑁)) ∖ ((1 + 1)...𝑁)) = {1})
3730, 36eqtr3d 2833 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((1...𝑁) ∖ (2...𝑁)) = {1})
3837ineq1d 4108 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (((1...𝑁) ∖ (2...𝑁)) ∩ ℙ) = ({1} ∩ ℙ))
39 incom 4099 . . . . . . . . 9 (ℙ ∩ {1}) = ({1} ∩ ℙ)
40 1nprm 15852 . . . . . . . . . 10 ¬ 1 ∈ ℙ
41 disjsn 4554 . . . . . . . . . 10 ((ℙ ∩ {1}) = ∅ ↔ ¬ 1 ∈ ℙ)
4240, 41mpbir 232 . . . . . . . . 9 (ℙ ∩ {1}) = ∅
4339, 42eqtr3i 2821 . . . . . . . 8 ({1} ∩ ℙ) = ∅
4438, 43syl6eq 2847 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (((1...𝑁) ∖ (2...𝑁)) ∩ ℙ) = ∅)
45 difininv 29968 . . . . . . 7 (((((2...𝑁) ∖ (1...𝑁)) ∩ ℙ) = ∅ ∧ (((1...𝑁) ∖ (2...𝑁)) ∩ ℙ) = ∅) → ((2...𝑁) ∩ ℙ) = ((1...𝑁) ∩ ℙ))
4622, 44, 45syl2anc 584 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((2...𝑁) ∩ ℙ) = ((1...𝑁) ∩ ℙ))
4711, 46eqtrd 2831 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((1...𝑁) ∩ ℙ))
4847adantl 482 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((1...𝑁) ∩ ℙ))
49 znnnlt1 11858 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 < 1))
5049biimpa 477 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 < 1)
51 incom 4099 . . . . . . 7 ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = (ℙ ∩ (0[,]𝑁))
52 isprm3 15856 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℙ ↔ (𝑛 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑖 ∈ (2...(𝑛 − 1)) ¬ 𝑖𝑛))
5352simplbi 498 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ (ℤ‘2))
5453ssriv 3893 . . . . . . . . 9 ℙ ⊆ (ℤ‘2)
5512nnzi 11855 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℤ
56 uzssico 30195 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℤ → (ℤ‘2) ⊆ (2[,)+∞))
5755, 56ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (ℤ‘2) ⊆ (2[,)+∞)
5854, 57sstri 3898 . . . . . . . 8 ℙ ⊆ (2[,)+∞)
59 incom 4099 . . . . . . . . 9 ((0[,]𝑁) ∩ (2[,)+∞)) = ((2[,)+∞) ∩ (0[,]𝑁))
60 0xr 10534 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ*
6160a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 0 ∈ ℝ*)
6212nnrei 11495 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
6362rexri 10546 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ*
6463a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 2 ∈ ℝ*)
65 0le0 11586 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ 0
6665a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 0 ≤ 0)
671adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 𝑁 ∈ ℝ)
68 1red 10488 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 1 ∈ ℝ)
6962a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 2 ∈ ℝ)
70 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 𝑁 < 1)
71 1lt2 11656 . . . . . . . . . . . . 13 1 < 2
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 1 < 2)
7367, 68, 69, 70, 72lttrd 10648 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 𝑁 < 2)
74 iccssico 12658 . . . . . . . . . . 11 (((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 0 ∧ 𝑁 < 2)) → (0[,]𝑁) ⊆ (0[,)2))
7561, 64, 66, 73, 74syl22anc 835 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → (0[,]𝑁) ⊆ (0[,)2))
76 pnfxr 10541 . . . . . . . . . . 11 +∞ ∈ ℝ*
77 icodisj 12712 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((0[,)2) ∩ (2[,)+∞)) = ∅)
7860, 63, 76, 77mp3an 1453 . . . . . . . . . 10 ((0[,)2) ∩ (2[,)+∞)) = ∅
79 ssdisj 4323 . . . . . . . . . 10 (((0[,]𝑁) ⊆ (0[,)2) ∧ ((0[,)2) ∩ (2[,)+∞)) = ∅) → ((0[,]𝑁) ∩ (2[,)+∞)) = ∅)
8075, 78, 79sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → ((0[,]𝑁) ∩ (2[,)+∞)) = ∅)
8159, 80syl5eqr 2845 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → ((2[,)+∞) ∩ (0[,]𝑁)) = ∅)
82 ssdisj 4323 . . . . . . . 8 ((ℙ ⊆ (2[,)+∞) ∧ ((2[,)+∞) ∩ (0[,]𝑁)) = ∅) → (ℙ ∩ (0[,]𝑁)) = ∅)
8358, 81, 82sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → (ℙ ∩ (0[,]𝑁)) = ∅)
8451, 83syl5eq 2843 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ∅)
85 1zzd 11862 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 1 ∈ ℤ)
86 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 𝑁 ∈ ℤ)
87 fzn 12773 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 1 ↔ (1...𝑁) = ∅))
8887biimpa 477 . . . . . . . . 9 (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 1) → (1...𝑁) = ∅)
8985, 86, 70, 88syl21anc 834 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → (1...𝑁) = ∅)
9089ineq1d 4108 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → ((1...𝑁) ∩ ℙ) = (∅ ∩ ℙ))
9190, 20syl6eq 2847 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → ((1...𝑁) ∩ ℙ) = ∅)
9284, 91eqtr4d 2834 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((1...𝑁) ∩ ℙ))
9350, 92syldan 591 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ) → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((1...𝑁) ∩ ℙ))
94 exmidd 890 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℕ))
9548, 93, 94mpjaodan 953 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((1...𝑁) ∩ ℙ))
9695sumeq1d 14891 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → Σ𝑛 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑛) = Σ𝑛 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑛))
973, 96eqtrd 2831 1 (𝑁 ∈ ℤ → (θ‘𝑁) = Σ𝑛 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑛))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081  wral 3105  cdif 3856  cun 3857  cin 3858  wss 3859  c0 4211  {csn 4472   class class class wbr 4962  cfv 6225  (class class class)co 7016  cr 10382  0cc0 10383  1c1 10384   + caddc 10386  +∞cpnf 10518  *cxr 10520   < clt 10521  cle 10522  cmin 10717  cn 11486  2c2 11540  cz 11829  cuz 12093  [,)cico 12590  [,]cicc 12591  ...cfz 12742  cfl 13010  Σcsu 14876  cdvds 15440  cprime 15844  logclog 24819  θccht 25350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-sup 8752  df-inf 8753  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-rp 12240  df-ico 12594  df-icc 12595  df-fz 12743  df-fl 13012  df-seq 13220  df-exp 13280  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-sum 14877  df-dvds 15441  df-prm 15845  df-cht 25356
This theorem is referenced by:  hgt750lemd  31536
  Copyright terms: Public domain W3C validator