Theorem chtvalz 34622

Description: Value of the Chebyshev function for integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
chtvalz	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (θ‘𝑁) = Σ𝑛 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑛))

Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem chtvalz

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12614	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		chtval 27167	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (θ‘𝑁) = Σ𝑛 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑛))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (θ‘𝑁) = Σ𝑛 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑛))
4		nnz 12631	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
5		ppisval 27161	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ))
6	1, 5	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ))
7		flid 13844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘𝑁) = 𝑁)
8	7	oveq2d 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2...(⌊‘𝑁)) = (2...𝑁))
9	8	ineq1d 4226	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) = ((2...𝑁) ∩ ℙ))
10	6, 9	eqtrd 2774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((2...𝑁) ∩ ℙ))
11	4, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((2...𝑁) ∩ ℙ))
12		2nn 12336	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ
13		nnuz 12918	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
14	12, 13	eleqtri 2836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
15		fzss1 13599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘1) → (2...𝑁) ⊆ (1...𝑁))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2...𝑁) ⊆ (1...𝑁)
17		ssdif0 4371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2...𝑁) ⊆ (1...𝑁) ↔ ((2...𝑁) ∖ (1...𝑁)) = ∅)
18	16, 17	mpbi 230	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2...𝑁) ∖ (1...𝑁)) = ∅
19	18	ineq1i 4223	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2...𝑁) ∖ (1...𝑁)) ∩ ℙ) = (∅ ∩ ℙ)
20		0in 4402	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∩ ℙ) = ∅
21	19, 20	eqtri 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (((2...𝑁) ∖ (1...𝑁)) ∩ ℙ) = ∅
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2...𝑁) ∖ (1...𝑁)) ∩ ℙ) = ∅)
23	13	eleq2i 2830	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
24		fzpred 13608	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → (1...𝑁) = ({1} ∪ ((1 + 1)...𝑁)))
25	23, 24	sylbi 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) = ({1} ∪ ((1 + 1)...𝑁)))
26	25	eqcomd 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ({1} ∪ ((1 + 1)...𝑁)) = (1...𝑁))
27		1p1e2 12388	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 + 1) = 2
28	27	oveq1i 7440	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 + 1)...𝑁) = (2...𝑁)
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + 1)...𝑁) = (2...𝑁))
30	26, 29	difeq12d 4136	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (({1} ∪ ((1 + 1)...𝑁)) ∖ ((1 + 1)...𝑁)) = ((1...𝑁) ∖ (2...𝑁)))
31		difun2 4486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({1} ∪ ((1 + 1)...𝑁)) ∖ ((1 + 1)...𝑁)) = ({1} ∖ ((1 + 1)...𝑁))
32		fzpreddisj 13609	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → ({1} ∩ ((1 + 1)...𝑁)) = ∅)
33	23, 32	sylbi 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ({1} ∩ ((1 + 1)...𝑁)) = ∅)
34		disjdif2 4485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (({1} ∩ ((1 + 1)...𝑁)) = ∅ → ({1} ∖ ((1 + 1)...𝑁)) = {1})
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ({1} ∖ ((1 + 1)...𝑁)) = {1})
36	31, 35	eqtrid 2786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (({1} ∪ ((1 + 1)...𝑁)) ∖ ((1 + 1)...𝑁)) = {1})
37	30, 36	eqtr3d 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1...𝑁) ∖ (2...𝑁)) = {1})
38	37	ineq1d 4226	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1...𝑁) ∖ (2...𝑁)) ∩ ℙ) = ({1} ∩ ℙ))
39		incom 4216	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℙ ∩ {1}) = ({1} ∩ ℙ)
40		1nprm 16712	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ 1 ∈ ℙ
41		disjsn 4715	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℙ ∩ {1}) = ∅ ↔ ¬ 1 ∈ ℙ)
42	40, 41	mpbir 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℙ ∩ {1}) = ∅
43	39, 42	eqtr3i 2764	. . . . . . . 8 ⊢ ({1} ∩ ℙ) = ∅
44	38, 43	eqtrdi 2790	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1...𝑁) ∖ (2...𝑁)) ∩ ℙ) = ∅)
45		difininv 32544	. . . . . . 7 ⊢ (((((2...𝑁) ∖ (1...𝑁)) ∩ ℙ) = ∅ ∧ (((1...𝑁) ∖ (2...𝑁)) ∩ ℙ) = ∅) → ((2...𝑁) ∩ ℙ) = ((1...𝑁) ∩ ℙ))
46	22, 44, 45	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2...𝑁) ∩ ℙ) = ((1...𝑁) ∩ ℙ))
47	11, 46	eqtrd 2774	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((1...𝑁) ∩ ℙ))
48	47	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((1...𝑁) ∩ ℙ))
49		znnnlt1 12641	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 < 1))
50	49	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 < 1)
51		incom 4216	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = (ℙ ∩ (0[,]𝑁))
52		isprm3 16716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ ↔ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑖 ∈ (2...(𝑛 − 1)) ¬ 𝑖 ∥ 𝑛))
53	52	simplbi 497	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2))
54	53	ssriv 3998	. . . . . . . . 9 ⊢ ℙ ⊆ (ℤ≥‘2)
55	12	nnzi 12638	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
56		uzssico 32792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℤ → (ℤ≥‘2) ⊆ (2[,)+∞))
57	55, 56	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘2) ⊆ (2[,)+∞)
58	54, 57	sstri 4004	. . . . . . . 8 ⊢ ℙ ⊆ (2[,)+∞)
59		incom 4216	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0[,]𝑁) ∩ (2[,)+∞)) = ((2[,)+∞) ∩ (0[,]𝑁))
60		0xr 11305	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ*
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 0 ∈ ℝ*)
62	12	nnrei 12272	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
63	62	rexri 11316	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ*
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 2 ∈ ℝ*)
65		0le0 12364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ 0
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 0 ≤ 0)
67	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 𝑁 ∈ ℝ)
68		1red 11259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 1 ∈ ℝ)
69	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 2 ∈ ℝ)
70		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 𝑁 < 1)
71		1lt2 12434	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 < 2
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 1 < 2)
73	67, 68, 69, 70, 72	lttrd 11419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 𝑁 < 2)
74		iccssico 13455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 0 ∧ 𝑁 < 2)) → (0[,]𝑁) ⊆ (0[,)2))
75	61, 64, 66, 73, 74	syl22anc 839	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → (0[,]𝑁) ⊆ (0[,)2))
76		pnfxr 11312	. . . . . . . . . . 11 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
77		icodisj 13512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((0[,)2) ∩ (2[,)+∞)) = ∅)
78	60, 63, 76, 77	mp3an 1460	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0[,)2) ∩ (2[,)+∞)) = ∅
79		ssdisj 4465	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((0[,]𝑁) ⊆ (0[,)2) ∧ ((0[,)2) ∩ (2[,)+∞)) = ∅) → ((0[,]𝑁) ∩ (2[,)+∞)) = ∅)
80	75, 78, 79	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → ((0[,]𝑁) ∩ (2[,)+∞)) = ∅)
81	59, 80	eqtr3id 2788	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → ((2[,)+∞) ∩ (0[,]𝑁)) = ∅)
82		ssdisj 4465	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℙ ⊆ (2[,)+∞) ∧ ((2[,)+∞) ∩ (0[,]𝑁)) = ∅) → (ℙ ∩ (0[,]𝑁)) = ∅)
83	58, 81, 82	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → (ℙ ∩ (0[,]𝑁)) = ∅)
84	51, 83	eqtrid 2786	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ∅)
85		1zzd 12645	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 1 ∈ ℤ)
86		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 𝑁 ∈ ℤ)
87		fzn 13576	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 1 ↔ (1...𝑁) = ∅))
88	87	biimpa 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 1) → (1...𝑁) = ∅)
89	85, 86, 70, 88	syl21anc 838	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → (1...𝑁) = ∅)
90	89	ineq1d 4226	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → ((1...𝑁) ∩ ℙ) = (∅ ∩ ℙ))
91	90, 20	eqtrdi 2790	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → ((1...𝑁) ∩ ℙ) = ∅)
92	84, 91	eqtr4d 2777	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((1...𝑁) ∩ ℙ))
93	50, 92	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ) → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((1...𝑁) ∩ ℙ))
94		exmidd 895	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℕ))
95	48, 93, 94	mpjaodan 960	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((1...𝑁) ∩ ℙ))
96	95	sumeq1d 15732	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → Σ𝑛 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑛) = Σ𝑛 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑛))
97	3, 96	eqtrd 2774	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (θ‘𝑁) = Σ𝑛 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑛))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ∀wral 3058   ∖ cdif 3959   ∪ cun 3960   ∩ cin 3961   ⊆ wss 3962  ∅c0 4338  {csn 4630   class class class wbr 5147  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  ℝcr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155  +∞cpnf 11289  ℝ^*cxr 11291   < clt 11292   ≤ cle 11293   − cmin 11489  ℕcn 12263  2c2 12318  ℤcz 12610  ℤ_≥cuz 12875  [,)cico 13385  [,]cicc 13386  ...cfz 13543  ⌊cfl 13826  Σcsu 15718   ∥ cdvds 16286  ℙcprime 16704  logclog 26610  θccht 27148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-sum 15719  df-dvds 16287  df-prm 16705  df-cht 27154

This theorem is referenced by:  hgt750lemd  34641