Theorem chtvalz 34607

Description: Value of the Chebyshev function for integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
chtvalz	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (θ‘𝑁) = Σ𝑛 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑛))

Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem chtvalz

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12590	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		chtval 27070	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (θ‘𝑁) = Σ𝑛 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑛))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (θ‘𝑁) = Σ𝑛 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑛))
4		nnz 12607	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
5		ppisval 27064	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ))
6	1, 5	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ))
7		flid 13823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘𝑁) = 𝑁)
8	7	oveq2d 7419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2...(⌊‘𝑁)) = (2...𝑁))
9	8	ineq1d 4194	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) = ((2...𝑁) ∩ ℙ))
10	6, 9	eqtrd 2770	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((2...𝑁) ∩ ℙ))
11	4, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((2...𝑁) ∩ ℙ))
12		2nn 12311	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ
13		nnuz 12893	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
14	12, 13	eleqtri 2832	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
15		fzss1 13578	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘1) → (2...𝑁) ⊆ (1...𝑁))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2...𝑁) ⊆ (1...𝑁)
17		ssdif0 4341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2...𝑁) ⊆ (1...𝑁) ↔ ((2...𝑁) ∖ (1...𝑁)) = ∅)
18	16, 17	mpbi 230	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2...𝑁) ∖ (1...𝑁)) = ∅
19	18	ineq1i 4191	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2...𝑁) ∖ (1...𝑁)) ∩ ℙ) = (∅ ∩ ℙ)
20		0in 4372	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∩ ℙ) = ∅
21	19, 20	eqtri 2758	. . . . . . . 8 ⊢ (((2...𝑁) ∖ (1...𝑁)) ∩ ℙ) = ∅
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2...𝑁) ∖ (1...𝑁)) ∩ ℙ) = ∅)
23	13	eleq2i 2826	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
24		fzpred 13587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → (1...𝑁) = ({1} ∪ ((1 + 1)...𝑁)))
25	23, 24	sylbi 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) = ({1} ∪ ((1 + 1)...𝑁)))
26	25	eqcomd 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ({1} ∪ ((1 + 1)...𝑁)) = (1...𝑁))
27		1p1e2 12363	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 + 1) = 2
28	27	oveq1i 7413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 + 1)...𝑁) = (2...𝑁)
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + 1)...𝑁) = (2...𝑁))
30	26, 29	difeq12d 4102	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (({1} ∪ ((1 + 1)...𝑁)) ∖ ((1 + 1)...𝑁)) = ((1...𝑁) ∖ (2...𝑁)))
31		difun2 4456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({1} ∪ ((1 + 1)...𝑁)) ∖ ((1 + 1)...𝑁)) = ({1} ∖ ((1 + 1)...𝑁))
32		fzpreddisj 13588	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → ({1} ∩ ((1 + 1)...𝑁)) = ∅)
33	23, 32	sylbi 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ({1} ∩ ((1 + 1)...𝑁)) = ∅)
34		disjdif2 4455	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (({1} ∩ ((1 + 1)...𝑁)) = ∅ → ({1} ∖ ((1 + 1)...𝑁)) = {1})
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ({1} ∖ ((1 + 1)...𝑁)) = {1})
36	31, 35	eqtrid 2782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (({1} ∪ ((1 + 1)...𝑁)) ∖ ((1 + 1)...𝑁)) = {1})
37	30, 36	eqtr3d 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1...𝑁) ∖ (2...𝑁)) = {1})
38	37	ineq1d 4194	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1...𝑁) ∖ (2...𝑁)) ∩ ℙ) = ({1} ∩ ℙ))
39		incom 4184	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℙ ∩ {1}) = ({1} ∩ ℙ)
40		1nprm 16696	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ 1 ∈ ℙ
41		disjsn 4687	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℙ ∩ {1}) = ∅ ↔ ¬ 1 ∈ ℙ)
42	40, 41	mpbir 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℙ ∩ {1}) = ∅
43	39, 42	eqtr3i 2760	. . . . . . . 8 ⊢ ({1} ∩ ℙ) = ∅
44	38, 43	eqtrdi 2786	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1...𝑁) ∖ (2...𝑁)) ∩ ℙ) = ∅)
45		difininv 32444	. . . . . . 7 ⊢ (((((2...𝑁) ∖ (1...𝑁)) ∩ ℙ) = ∅ ∧ (((1...𝑁) ∖ (2...𝑁)) ∩ ℙ) = ∅) → ((2...𝑁) ∩ ℙ) = ((1...𝑁) ∩ ℙ))
46	22, 44, 45	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2...𝑁) ∩ ℙ) = ((1...𝑁) ∩ ℙ))
47	11, 46	eqtrd 2770	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((1...𝑁) ∩ ℙ))
48	47	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((1...𝑁) ∩ ℙ))
49		znnnlt1 12617	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 < 1))
50	49	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 < 1)
51		incom 4184	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = (ℙ ∩ (0[,]𝑁))
52		isprm3 16700	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ ↔ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑖 ∈ (2...(𝑛 − 1)) ¬ 𝑖 ∥ 𝑛))
53	52	simplbi 497	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2))
54	53	ssriv 3962	. . . . . . . . 9 ⊢ ℙ ⊆ (ℤ≥‘2)
55	12	nnzi 12614	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
56		uzssico 32707	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℤ → (ℤ≥‘2) ⊆ (2[,)+∞))
57	55, 56	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘2) ⊆ (2[,)+∞)
58	54, 57	sstri 3968	. . . . . . . 8 ⊢ ℙ ⊆ (2[,)+∞)
59		incom 4184	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0[,]𝑁) ∩ (2[,)+∞)) = ((2[,)+∞) ∩ (0[,]𝑁))
60		0xr 11280	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ*
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 0 ∈ ℝ*)
62	12	nnrei 12247	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
63	62	rexri 11291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ*
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 2 ∈ ℝ*)
65		0le0 12339	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ 0
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 0 ≤ 0)
67	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 𝑁 ∈ ℝ)
68		1red 11234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 1 ∈ ℝ)
69	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 2 ∈ ℝ)
70		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 𝑁 < 1)
71		1lt2 12409	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 < 2
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 1 < 2)
73	67, 68, 69, 70, 72	lttrd 11394	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 𝑁 < 2)
74		iccssico 13433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 0 ∧ 𝑁 < 2)) → (0[,]𝑁) ⊆ (0[,)2))
75	61, 64, 66, 73, 74	syl22anc 838	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → (0[,]𝑁) ⊆ (0[,)2))
76		pnfxr 11287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
77		icodisj 13491	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((0[,)2) ∩ (2[,)+∞)) = ∅)
78	60, 63, 76, 77	mp3an 1463	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0[,)2) ∩ (2[,)+∞)) = ∅
79		ssdisj 4435	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((0[,]𝑁) ⊆ (0[,)2) ∧ ((0[,)2) ∩ (2[,)+∞)) = ∅) → ((0[,]𝑁) ∩ (2[,)+∞)) = ∅)
80	75, 78, 79	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → ((0[,]𝑁) ∩ (2[,)+∞)) = ∅)
81	59, 80	eqtr3id 2784	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → ((2[,)+∞) ∩ (0[,]𝑁)) = ∅)
82		ssdisj 4435	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℙ ⊆ (2[,)+∞) ∧ ((2[,)+∞) ∩ (0[,]𝑁)) = ∅) → (ℙ ∩ (0[,]𝑁)) = ∅)
83	58, 81, 82	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → (ℙ ∩ (0[,]𝑁)) = ∅)
84	51, 83	eqtrid 2782	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ∅)
85		1zzd 12621	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 1 ∈ ℤ)
86		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 𝑁 ∈ ℤ)
87		fzn 13555	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 1 ↔ (1...𝑁) = ∅))
88	87	biimpa 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 1) → (1...𝑁) = ∅)
89	85, 86, 70, 88	syl21anc 837	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → (1...𝑁) = ∅)
90	89	ineq1d 4194	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → ((1...𝑁) ∩ ℙ) = (∅ ∩ ℙ))
91	90, 20	eqtrdi 2786	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → ((1...𝑁) ∩ ℙ) = ∅)
92	84, 91	eqtr4d 2773	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((1...𝑁) ∩ ℙ))
93	50, 92	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ) → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((1...𝑁) ∩ ℙ))
94		exmidd 895	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℕ))
95	48, 93, 94	mpjaodan 960	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((1...𝑁) ∩ ℙ))
96	95	sumeq1d 15714	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → Σ𝑛 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑛) = Σ𝑛 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑛))
97	3, 96	eqtrd 2770	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (θ‘𝑁) = Σ𝑛 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑛))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051   ∖ cdif 3923   ∪ cun 3924   ∩ cin 3925   ⊆ wss 3926  ∅c0 4308  {csn 4601   class class class wbr 5119  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130  +∞cpnf 11264  ℝ^*cxr 11266   < clt 11267   ≤ cle 11268   − cmin 11464  ℕcn 12238  2c2 12293  ℤcz 12586  ℤ_≥cuz 12850  [,)cico 13362  [,]cicc 13363  ...cfz 13522  ⌊cfl 13805  Σcsu 15700   ∥ cdvds 16270  ℙcprime 16688  logclog 26513  θccht 27051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9452  df-inf 9453  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13007  df-ico 13366  df-icc 13367  df-fz 13523  df-fl 13807  df-seq 14018  df-exp 14078  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-sum 15701  df-dvds 16271  df-prm 16689  df-cht 27057

This theorem is referenced by:  hgt750lemd  34626