Theorem chtvalz 34606

Description: Value of the Chebyshev function for integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
chtvalz	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (θ‘𝑁) = Σ𝑛 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑛))

Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem chtvalz

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12643	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		chtval 27171	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (θ‘𝑁) = Σ𝑛 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑛))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (θ‘𝑁) = Σ𝑛 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑛))
4		nnz 12660	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
5		ppisval 27165	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ))
6	1, 5	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ))
7		flid 13859	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘𝑁) = 𝑁)
8	7	oveq2d 7464	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2...(⌊‘𝑁)) = (2...𝑁))
9	8	ineq1d 4240	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) = ((2...𝑁) ∩ ℙ))
10	6, 9	eqtrd 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((2...𝑁) ∩ ℙ))
11	4, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((2...𝑁) ∩ ℙ))
12		2nn 12366	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ
13		nnuz 12946	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
14	12, 13	eleqtri 2842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
15		fzss1 13623	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘1) → (2...𝑁) ⊆ (1...𝑁))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2...𝑁) ⊆ (1...𝑁)
17		ssdif0 4389	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2...𝑁) ⊆ (1...𝑁) ↔ ((2...𝑁) ∖ (1...𝑁)) = ∅)
18	16, 17	mpbi 230	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2...𝑁) ∖ (1...𝑁)) = ∅
19	18	ineq1i 4237	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2...𝑁) ∖ (1...𝑁)) ∩ ℙ) = (∅ ∩ ℙ)
20		0in 4420	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∩ ℙ) = ∅
21	19, 20	eqtri 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (((2...𝑁) ∖ (1...𝑁)) ∩ ℙ) = ∅
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((2...𝑁) ∖ (1...𝑁)) ∩ ℙ) = ∅)
23	13	eleq2i 2836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
24		fzpred 13632	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → (1...𝑁) = ({1} ∪ ((1 + 1)...𝑁)))
25	23, 24	sylbi 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) = ({1} ∪ ((1 + 1)...𝑁)))
26	25	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ({1} ∪ ((1 + 1)...𝑁)) = (1...𝑁))
27		1p1e2 12418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 + 1) = 2
28	27	oveq1i 7458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 + 1)...𝑁) = (2...𝑁)
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + 1)...𝑁) = (2...𝑁))
30	26, 29	difeq12d 4150	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (({1} ∪ ((1 + 1)...𝑁)) ∖ ((1 + 1)...𝑁)) = ((1...𝑁) ∖ (2...𝑁)))
31		difun2 4504	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({1} ∪ ((1 + 1)...𝑁)) ∖ ((1 + 1)...𝑁)) = ({1} ∖ ((1 + 1)...𝑁))
32		fzpreddisj 13633	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → ({1} ∩ ((1 + 1)...𝑁)) = ∅)
33	23, 32	sylbi 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ({1} ∩ ((1 + 1)...𝑁)) = ∅)
34		disjdif2 4503	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (({1} ∩ ((1 + 1)...𝑁)) = ∅ → ({1} ∖ ((1 + 1)...𝑁)) = {1})
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ({1} ∖ ((1 + 1)...𝑁)) = {1})
36	31, 35	eqtrid 2792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (({1} ∪ ((1 + 1)...𝑁)) ∖ ((1 + 1)...𝑁)) = {1})
37	30, 36	eqtr3d 2782	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1...𝑁) ∖ (2...𝑁)) = {1})
38	37	ineq1d 4240	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1...𝑁) ∖ (2...𝑁)) ∩ ℙ) = ({1} ∩ ℙ))
39		incom 4230	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℙ ∩ {1}) = ({1} ∩ ℙ)
40		1nprm 16726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ 1 ∈ ℙ
41		disjsn 4736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℙ ∩ {1}) = ∅ ↔ ¬ 1 ∈ ℙ)
42	40, 41	mpbir 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℙ ∩ {1}) = ∅
43	39, 42	eqtr3i 2770	. . . . . . . 8 ⊢ ({1} ∩ ℙ) = ∅
44	38, 43	eqtrdi 2796	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((1...𝑁) ∖ (2...𝑁)) ∩ ℙ) = ∅)
45		difininv 32547	. . . . . . 7 ⊢ (((((2...𝑁) ∖ (1...𝑁)) ∩ ℙ) = ∅ ∧ (((1...𝑁) ∖ (2...𝑁)) ∩ ℙ) = ∅) → ((2...𝑁) ∩ ℙ) = ((1...𝑁) ∩ ℙ))
46	22, 44, 45	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2...𝑁) ∩ ℙ) = ((1...𝑁) ∩ ℙ))
47	11, 46	eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((1...𝑁) ∩ ℙ))
48	47	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((1...𝑁) ∩ ℙ))
49		znnnlt1 12670	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 < 1))
50	49	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 < 1)
51		incom 4230	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = (ℙ ∩ (0[,]𝑁))
52		isprm3 16730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ ↔ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑖 ∈ (2...(𝑛 − 1)) ¬ 𝑖 ∥ 𝑛))
53	52	simplbi 497	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2))
54	53	ssriv 4012	. . . . . . . . 9 ⊢ ℙ ⊆ (ℤ≥‘2)
55	12	nnzi 12667	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
56		uzssico 32789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℤ → (ℤ≥‘2) ⊆ (2[,)+∞))
57	55, 56	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘2) ⊆ (2[,)+∞)
58	54, 57	sstri 4018	. . . . . . . 8 ⊢ ℙ ⊆ (2[,)+∞)
59		incom 4230	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0[,]𝑁) ∩ (2[,)+∞)) = ((2[,)+∞) ∩ (0[,]𝑁))
60		0xr 11337	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ*
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 0 ∈ ℝ*)
62	12	nnrei 12302	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
63	62	rexri 11348	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ*
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 2 ∈ ℝ*)
65		0le0 12394	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ 0
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 0 ≤ 0)
67	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 𝑁 ∈ ℝ)
68		1red 11291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 1 ∈ ℝ)
69	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 2 ∈ ℝ)
70		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 𝑁 < 1)
71		1lt2 12464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 < 2
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 1 < 2)
73	67, 68, 69, 70, 72	lttrd 11451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 𝑁 < 2)
74		iccssico 13479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 0 ∧ 𝑁 < 2)) → (0[,]𝑁) ⊆ (0[,)2))
75	61, 64, 66, 73, 74	syl22anc 838	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → (0[,]𝑁) ⊆ (0[,)2))
76		pnfxr 11344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
77		icodisj 13536	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((0[,)2) ∩ (2[,)+∞)) = ∅)
78	60, 63, 76, 77	mp3an 1461	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0[,)2) ∩ (2[,)+∞)) = ∅
79		ssdisj 4483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((0[,]𝑁) ⊆ (0[,)2) ∧ ((0[,)2) ∩ (2[,)+∞)) = ∅) → ((0[,]𝑁) ∩ (2[,)+∞)) = ∅)
80	75, 78, 79	sylancl 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → ((0[,]𝑁) ∩ (2[,)+∞)) = ∅)
81	59, 80	eqtr3id 2794	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → ((2[,)+∞) ∩ (0[,]𝑁)) = ∅)
82		ssdisj 4483	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℙ ⊆ (2[,)+∞) ∧ ((2[,)+∞) ∩ (0[,]𝑁)) = ∅) → (ℙ ∩ (0[,]𝑁)) = ∅)
83	58, 81, 82	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → (ℙ ∩ (0[,]𝑁)) = ∅)
84	51, 83	eqtrid 2792	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ∅)
85		1zzd 12674	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 1 ∈ ℤ)
86		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 𝑁 ∈ ℤ)
87		fzn 13600	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 1 ↔ (1...𝑁) = ∅))
88	87	biimpa 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 1) → (1...𝑁) = ∅)
89	85, 86, 70, 88	syl21anc 837	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → (1...𝑁) = ∅)
90	89	ineq1d 4240	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → ((1...𝑁) ∩ ℙ) = (∅ ∩ ℙ))
91	90, 20	eqtrdi 2796	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → ((1...𝑁) ∩ ℙ) = ∅)
92	84, 91	eqtr4d 2783	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((1...𝑁) ∩ ℙ))
93	50, 92	syldan 590	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ) → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((1...𝑁) ∩ ℙ))
94		exmidd 894	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℕ))
95	48, 93, 94	mpjaodan 959	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((1...𝑁) ∩ ℙ))
96	95	sumeq1d 15748	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → Σ𝑛 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑛) = Σ𝑛 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑛))
97	3, 96	eqtrd 2780	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (θ‘𝑁) = Σ𝑛 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑛))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067   ∖ cdif 3973   ∪ cun 3974   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  {csn 4648   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187  +∞cpnf 11321  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11520  ℕcn 12293  2c2 12348  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903  [,)cico 13409  [,]cicc 13410  ...cfz 13567  ⌊cfl 13841  Σcsu 15734   ∥ cdvds 16302  ℙcprime 16718  logclog 26614  θccht 27152

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-sum 15735  df-dvds 16303  df-prm 16719  df-cht 27158

This theorem is referenced by:  hgt750lemd  34625