Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  chtvalz Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem chtvalz 33629
Description: Value of the Chebyshev function for integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
chtvalz (𝑁 ∈ β„€ β†’ (ΞΈβ€˜π‘) = Σ𝑛 ∈ ((1...𝑁) ∩ β„™)(logβ€˜π‘›))
Distinct variable group:   𝑛,𝑁
Proof of Theorem chtvalz
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zre 12558 . . 3 (𝑁 ∈ β„€ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
2 chtval 26603 . . 3 (𝑁 ∈ ℝ β†’ (ΞΈβ€˜π‘) = Σ𝑛 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„™)(logβ€˜π‘›))
31, 2syl 17 . 2 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (ΞΈβ€˜π‘) = Σ𝑛 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„™)(logβ€˜π‘›))
4 nnz 12575 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„€)
5 ppisval 26597 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℝ β†’ ((0[,]𝑁) ∩ β„™) = ((2...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™))
61, 5syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„€ β†’ ((0[,]𝑁) ∩ β„™) = ((2...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™))
7 flid 13769 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (βŒŠβ€˜π‘) = 𝑁)
87oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (2...(βŒŠβ€˜π‘)) = (2...𝑁))
98ineq1d 4210 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„€ β†’ ((2...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™) = ((2...𝑁) ∩ β„™))
106, 9eqtrd 2772 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„€ β†’ ((0[,]𝑁) ∩ β„™) = ((2...𝑁) ∩ β„™))
114, 10syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((0[,]𝑁) ∩ β„™) = ((2...𝑁) ∩ β„™))
12 2nn 12281 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ β„•
13 nnuz 12861 . . . . . . . . . . . . 13 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
1412, 13eleqtri 2831 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)
15 fzss1 13536 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (2...𝑁) βŠ† (1...𝑁))
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (2...𝑁) βŠ† (1...𝑁)
17 ssdif0 4362 . . . . . . . . . . 11 ((2...𝑁) βŠ† (1...𝑁) ↔ ((2...𝑁) βˆ– (1...𝑁)) = βˆ…)
1816, 17mpbi 229 . . . . . . . . . 10 ((2...𝑁) βˆ– (1...𝑁)) = βˆ…
1918ineq1i 4207 . . . . . . . . 9 (((2...𝑁) βˆ– (1...𝑁)) ∩ β„™) = (βˆ… ∩ β„™)
20 0in 4392 . . . . . . . . 9 (βˆ… ∩ β„™) = βˆ…
2119, 20eqtri 2760 . . . . . . . 8 (((2...𝑁) βˆ– (1...𝑁)) ∩ β„™) = βˆ…
2221a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((2...𝑁) βˆ– (1...𝑁)) ∩ β„™) = βˆ…)
2313eleq2i 2825 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„• ↔ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
24 fzpred 13545 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (1...𝑁) = ({1} βˆͺ ((1 + 1)...𝑁)))
2523, 24sylbi 216 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„• β†’ (1...𝑁) = ({1} βˆͺ ((1 + 1)...𝑁)))
2625eqcomd 2738 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„• β†’ ({1} βˆͺ ((1 + 1)...𝑁)) = (1...𝑁))
27 1p1e2 12333 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + 1) = 2
2827oveq1i 7415 . . . . . . . . . . . 12 ((1 + 1)...𝑁) = (2...𝑁)
2928a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((1 + 1)...𝑁) = (2...𝑁))
3026, 29difeq12d 4122 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„• β†’ (({1} βˆͺ ((1 + 1)...𝑁)) βˆ– ((1 + 1)...𝑁)) = ((1...𝑁) βˆ– (2...𝑁)))
31 difun2 4479 . . . . . . . . . . 11 (({1} βˆͺ ((1 + 1)...𝑁)) βˆ– ((1 + 1)...𝑁)) = ({1} βˆ– ((1 + 1)...𝑁))
32 fzpreddisj 13546 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ ({1} ∩ ((1 + 1)...𝑁)) = βˆ…)
3323, 32sylbi 216 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„• β†’ ({1} ∩ ((1 + 1)...𝑁)) = βˆ…)
34 disjdif2 4478 . . . . . . . . . . . 12 (({1} ∩ ((1 + 1)...𝑁)) = βˆ… β†’ ({1} βˆ– ((1 + 1)...𝑁)) = {1})
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„• β†’ ({1} βˆ– ((1 + 1)...𝑁)) = {1})
3631, 35eqtrid 2784 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„• β†’ (({1} βˆͺ ((1 + 1)...𝑁)) βˆ– ((1 + 1)...𝑁)) = {1})
3730, 36eqtr3d 2774 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((1...𝑁) βˆ– (2...𝑁)) = {1})
3837ineq1d 4210 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((1...𝑁) βˆ– (2...𝑁)) ∩ β„™) = ({1} ∩ β„™))
39 incom 4200 . . . . . . . . 9 (β„™ ∩ {1}) = ({1} ∩ β„™)
40 1nprm 16612 . . . . . . . . . 10 Β¬ 1 ∈ β„™
41 disjsn 4714 . . . . . . . . . 10 ((β„™ ∩ {1}) = βˆ… ↔ Β¬ 1 ∈ β„™)
4240, 41mpbir 230 . . . . . . . . 9 (β„™ ∩ {1}) = βˆ…
4339, 42eqtr3i 2762 . . . . . . . 8 ({1} ∩ β„™) = βˆ…
4438, 43eqtrdi 2788 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((1...𝑁) βˆ– (2...𝑁)) ∩ β„™) = βˆ…)
45 difininv 31742 . . . . . . 7 (((((2...𝑁) βˆ– (1...𝑁)) ∩ β„™) = βˆ… ∧ (((1...𝑁) βˆ– (2...𝑁)) ∩ β„™) = βˆ…) β†’ ((2...𝑁) ∩ β„™) = ((1...𝑁) ∩ β„™))
4622, 44, 45syl2anc 584 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((2...𝑁) ∩ β„™) = ((1...𝑁) ∩ β„™))
4711, 46eqtrd 2772 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((0[,]𝑁) ∩ β„™) = ((1...𝑁) ∩ β„™))
4847adantl 482 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((0[,]𝑁) ∩ β„™) = ((1...𝑁) ∩ β„™))
49 znnnlt1 12585 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (Β¬ 𝑁 ∈ β„• ↔ 𝑁 < 1))
5049biimpa 477 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 < 1)
51 incom 4200 . . . . . . 7 ((0[,]𝑁) ∩ β„™) = (β„™ ∩ (0[,]𝑁))
52 isprm3 16616 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„™ ↔ (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ βˆ€π‘– ∈ (2...(𝑛 βˆ’ 1)) Β¬ 𝑖 βˆ₯ 𝑛))
5352simplbi 498 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„™ β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
5453ssriv 3985 . . . . . . . . 9 β„™ βŠ† (β„€β‰₯β€˜2)
5512nnzi 12582 . . . . . . . . . 10 2 ∈ β„€
56 uzssico 31982 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ β„€ β†’ (β„€β‰₯β€˜2) βŠ† (2[,)+∞))
5755, 56ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (β„€β‰₯β€˜2) βŠ† (2[,)+∞)
5854, 57sstri 3990 . . . . . . . 8 β„™ βŠ† (2[,)+∞)
59 incom 4200 . . . . . . . . 9 ((0[,]𝑁) ∩ (2[,)+∞)) = ((2[,)+∞) ∩ (0[,]𝑁))
60 0xr 11257 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ*
6160a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 < 1) β†’ 0 ∈ ℝ*)
6212nnrei 12217 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
6362rexri 11268 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ*
6463a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 < 1) β†’ 2 ∈ ℝ*)
65 0le0 12309 . . . . . . . . . . . 12 0 ≀ 0
6665a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 < 1) β†’ 0 ≀ 0)
671adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 < 1) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
68 1red 11211 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 < 1) β†’ 1 ∈ ℝ)
6962a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 < 1) β†’ 2 ∈ ℝ)
70 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 < 1) β†’ 𝑁 < 1)
71 1lt2 12379 . . . . . . . . . . . . 13 1 < 2
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 < 1) β†’ 1 < 2)
7367, 68, 69, 70, 72lttrd 11371 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 < 1) β†’ 𝑁 < 2)
74 iccssico 13392 . . . . . . . . . . 11 (((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≀ 0 ∧ 𝑁 < 2)) β†’ (0[,]𝑁) βŠ† (0[,)2))
7561, 64, 66, 73, 74syl22anc 837 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 < 1) β†’ (0[,]𝑁) βŠ† (0[,)2))
76 pnfxr 11264 . . . . . . . . . . 11 +∞ ∈ ℝ*
77 icodisj 13449 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ ((0[,)2) ∩ (2[,)+∞)) = βˆ…)
7860, 63, 76, 77mp3an 1461 . . . . . . . . . 10 ((0[,)2) ∩ (2[,)+∞)) = βˆ…
79 ssdisj 4458 . . . . . . . . . 10 (((0[,]𝑁) βŠ† (0[,)2) ∧ ((0[,)2) ∩ (2[,)+∞)) = βˆ…) β†’ ((0[,]𝑁) ∩ (2[,)+∞)) = βˆ…)
8075, 78, 79sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 < 1) β†’ ((0[,]𝑁) ∩ (2[,)+∞)) = βˆ…)
8159, 80eqtr3id 2786 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 < 1) β†’ ((2[,)+∞) ∩ (0[,]𝑁)) = βˆ…)
82 ssdisj 4458 . . . . . . . 8 ((β„™ βŠ† (2[,)+∞) ∧ ((2[,)+∞) ∩ (0[,]𝑁)) = βˆ…) β†’ (β„™ ∩ (0[,]𝑁)) = βˆ…)
8358, 81, 82sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 < 1) β†’ (β„™ ∩ (0[,]𝑁)) = βˆ…)
8451, 83eqtrid 2784 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 < 1) β†’ ((0[,]𝑁) ∩ β„™) = βˆ…)
85 1zzd 12589 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 < 1) β†’ 1 ∈ β„€)
86 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 < 1) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
87 fzn 13513 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝑁 < 1 ↔ (1...𝑁) = βˆ…))
8887biimpa 477 . . . . . . . . 9 (((1 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑁 < 1) β†’ (1...𝑁) = βˆ…)
8985, 86, 70, 88syl21anc 836 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 < 1) β†’ (1...𝑁) = βˆ…)
9089ineq1d 4210 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 < 1) β†’ ((1...𝑁) ∩ β„™) = (βˆ… ∩ β„™))
9190, 20eqtrdi 2788 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 < 1) β†’ ((1...𝑁) ∩ β„™) = βˆ…)
9284, 91eqtr4d 2775 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 < 1) β†’ ((0[,]𝑁) ∩ β„™) = ((1...𝑁) ∩ β„™))
9350, 92syldan 591 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((0[,]𝑁) ∩ β„™) = ((1...𝑁) ∩ β„™))
94 exmidd 894 . . . 4 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (𝑁 ∈ β„• ∨ Β¬ 𝑁 ∈ β„•))
9548, 93, 94mpjaodan 957 . . 3 (𝑁 ∈ β„€ β†’ ((0[,]𝑁) ∩ β„™) = ((1...𝑁) ∩ β„™))
9695sumeq1d 15643 . 2 (𝑁 ∈ β„€ β†’ Σ𝑛 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„™)(logβ€˜π‘›) = Σ𝑛 ∈ ((1...𝑁) ∩ β„™)(logβ€˜π‘›))
973, 96eqtrd 2772 1 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (ΞΈβ€˜π‘) = Σ𝑛 ∈ ((1...𝑁) ∩ β„™)(logβ€˜π‘›))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   βˆ– cdif 3944   βˆͺ cun 3945   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  {csn 4627   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109  +∞cpnf 11241  β„*cxr 11243   < clt 11244   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440  β„•cn 12208  2c2 12263  β„€cz 12554  β„€β‰₯cuz 12818  [,)cico 13322  [,]cicc 13323  ...cfz 13480  βŒŠcfl 13751  Ξ£csu 15628   βˆ₯ cdvds 16193  β„™cprime 16604  logclog 26054  ΞΈccht 26584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-sum 15629  df-dvds 16194  df-prm 16605  df-cht 26590
This theorem is referenced by:  hgt750lemd  33648
  Copyright terms: Public domain W3C validator