Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  chtvalz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chtvalz 34475
Description: Value of the Chebyshev function for integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
chtvalz (𝑁 ∈ ℤ → (θ‘𝑁) = Σ𝑛 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑛))
Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem chtvalz
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zre 12614 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
2 chtval 27138 . . 3 (𝑁 ∈ ℝ → (θ‘𝑁) = Σ𝑛 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑛))
31, 2syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (θ‘𝑁) = Σ𝑛 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑛))
4 nnz 12631 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
5 ppisval 27132 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℝ → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ))
61, 5syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((2...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ))
7 flid 13828 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘𝑁) = 𝑁)
87oveq2d 7440 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (2...(⌊‘𝑁)) = (2...𝑁))
98ineq1d 4212 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → ((2...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) = ((2...𝑁) ∩ ℙ))
106, 9eqtrd 2766 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((2...𝑁) ∩ ℙ))
114, 10syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((2...𝑁) ∩ ℙ))
12 2nn 12337 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ
13 nnuz 12917 . . . . . . . . . . . . 13 ℕ = (ℤ‘1)
1412, 13eleqtri 2824 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ (ℤ‘1)
15 fzss1 13594 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ (ℤ‘1) → (2...𝑁) ⊆ (1...𝑁))
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (2...𝑁) ⊆ (1...𝑁)
17 ssdif0 4366 . . . . . . . . . . 11 ((2...𝑁) ⊆ (1...𝑁) ↔ ((2...𝑁) ∖ (1...𝑁)) = ∅)
1816, 17mpbi 229 . . . . . . . . . 10 ((2...𝑁) ∖ (1...𝑁)) = ∅
1918ineq1i 4209 . . . . . . . . 9 (((2...𝑁) ∖ (1...𝑁)) ∩ ℙ) = (∅ ∩ ℙ)
20 0in 4398 . . . . . . . . 9 (∅ ∩ ℙ) = ∅
2119, 20eqtri 2754 . . . . . . . 8 (((2...𝑁) ∖ (1...𝑁)) ∩ ℙ) = ∅
2221a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (((2...𝑁) ∖ (1...𝑁)) ∩ ℙ) = ∅)
2313eleq2i 2818 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
24 fzpred 13603 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → (1...𝑁) = ({1} ∪ ((1 + 1)...𝑁)))
2523, 24sylbi 216 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) = ({1} ∪ ((1 + 1)...𝑁)))
2625eqcomd 2732 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ({1} ∪ ((1 + 1)...𝑁)) = (1...𝑁))
27 1p1e2 12389 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + 1) = 2
2827oveq1i 7434 . . . . . . . . . . . 12 ((1 + 1)...𝑁) = (2...𝑁)
2928a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 + 1)...𝑁) = (2...𝑁))
3026, 29difeq12d 4122 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (({1} ∪ ((1 + 1)...𝑁)) ∖ ((1 + 1)...𝑁)) = ((1...𝑁) ∖ (2...𝑁)))
31 difun2 4485 . . . . . . . . . . 11 (({1} ∪ ((1 + 1)...𝑁)) ∖ ((1 + 1)...𝑁)) = ({1} ∖ ((1 + 1)...𝑁))
32 fzpreddisj 13604 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → ({1} ∩ ((1 + 1)...𝑁)) = ∅)
3323, 32sylbi 216 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → ({1} ∩ ((1 + 1)...𝑁)) = ∅)
34 disjdif2 4484 . . . . . . . . . . . 12 (({1} ∩ ((1 + 1)...𝑁)) = ∅ → ({1} ∖ ((1 + 1)...𝑁)) = {1})
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ({1} ∖ ((1 + 1)...𝑁)) = {1})
3631, 35eqtrid 2778 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (({1} ∪ ((1 + 1)...𝑁)) ∖ ((1 + 1)...𝑁)) = {1})
3730, 36eqtr3d 2768 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((1...𝑁) ∖ (2...𝑁)) = {1})
3837ineq1d 4212 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (((1...𝑁) ∖ (2...𝑁)) ∩ ℙ) = ({1} ∩ ℙ))
39 incom 4202 . . . . . . . . 9 (ℙ ∩ {1}) = ({1} ∩ ℙ)
40 1nprm 16680 . . . . . . . . . 10 ¬ 1 ∈ ℙ
41 disjsn 4720 . . . . . . . . . 10 ((ℙ ∩ {1}) = ∅ ↔ ¬ 1 ∈ ℙ)
4240, 41mpbir 230 . . . . . . . . 9 (ℙ ∩ {1}) = ∅
4339, 42eqtr3i 2756 . . . . . . . 8 ({1} ∩ ℙ) = ∅
4438, 43eqtrdi 2782 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (((1...𝑁) ∖ (2...𝑁)) ∩ ℙ) = ∅)
45 difininv 32444 . . . . . . 7 (((((2...𝑁) ∖ (1...𝑁)) ∩ ℙ) = ∅ ∧ (((1...𝑁) ∖ (2...𝑁)) ∩ ℙ) = ∅) → ((2...𝑁) ∩ ℙ) = ((1...𝑁) ∩ ℙ))
4622, 44, 45syl2anc 582 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((2...𝑁) ∩ ℙ) = ((1...𝑁) ∩ ℙ))
4711, 46eqtrd 2766 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((1...𝑁) ∩ ℙ))
4847adantl 480 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((1...𝑁) ∩ ℙ))
49 znnnlt1 12641 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 < 1))
5049biimpa 475 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 < 1)
51 incom 4202 . . . . . . 7 ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = (ℙ ∩ (0[,]𝑁))
52 isprm3 16684 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℙ ↔ (𝑛 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑖 ∈ (2...(𝑛 − 1)) ¬ 𝑖𝑛))
5352simplbi 496 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ (ℤ‘2))
5453ssriv 3983 . . . . . . . . 9 ℙ ⊆ (ℤ‘2)
5512nnzi 12638 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℤ
56 uzssico 32686 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℤ → (ℤ‘2) ⊆ (2[,)+∞))
5755, 56ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (ℤ‘2) ⊆ (2[,)+∞)
5854, 57sstri 3989 . . . . . . . 8 ℙ ⊆ (2[,)+∞)
59 incom 4202 . . . . . . . . 9 ((0[,]𝑁) ∩ (2[,)+∞)) = ((2[,)+∞) ∩ (0[,]𝑁))
60 0xr 11311 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ*
6160a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 0 ∈ ℝ*)
6212nnrei 12273 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
6362rexri 11322 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ*
6463a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 2 ∈ ℝ*)
65 0le0 12365 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ 0
6665a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 0 ≤ 0)
671adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 𝑁 ∈ ℝ)
68 1red 11265 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 1 ∈ ℝ)
6962a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 2 ∈ ℝ)
70 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 𝑁 < 1)
71 1lt2 12435 . . . . . . . . . . . . 13 1 < 2
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 1 < 2)
7367, 68, 69, 70, 72lttrd 11425 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 𝑁 < 2)
74 iccssico 13450 . . . . . . . . . . 11 (((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 0 ∧ 𝑁 < 2)) → (0[,]𝑁) ⊆ (0[,)2))
7561, 64, 66, 73, 74syl22anc 837 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → (0[,]𝑁) ⊆ (0[,)2))
76 pnfxr 11318 . . . . . . . . . . 11 +∞ ∈ ℝ*
77 icodisj 13507 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((0[,)2) ∩ (2[,)+∞)) = ∅)
7860, 63, 76, 77mp3an 1458 . . . . . . . . . 10 ((0[,)2) ∩ (2[,)+∞)) = ∅
79 ssdisj 4464 . . . . . . . . . 10 (((0[,]𝑁) ⊆ (0[,)2) ∧ ((0[,)2) ∩ (2[,)+∞)) = ∅) → ((0[,]𝑁) ∩ (2[,)+∞)) = ∅)
8075, 78, 79sylancl 584 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → ((0[,]𝑁) ∩ (2[,)+∞)) = ∅)
8159, 80eqtr3id 2780 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → ((2[,)+∞) ∩ (0[,]𝑁)) = ∅)
82 ssdisj 4464 . . . . . . . 8 ((ℙ ⊆ (2[,)+∞) ∧ ((2[,)+∞) ∩ (0[,]𝑁)) = ∅) → (ℙ ∩ (0[,]𝑁)) = ∅)
8358, 81, 82sylancr 585 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → (ℙ ∩ (0[,]𝑁)) = ∅)
8451, 83eqtrid 2778 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ∅)
85 1zzd 12645 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 1 ∈ ℤ)
86 simpl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → 𝑁 ∈ ℤ)
87 fzn 13571 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 1 ↔ (1...𝑁) = ∅))
8887biimpa 475 . . . . . . . . 9 (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < 1) → (1...𝑁) = ∅)
8985, 86, 70, 88syl21anc 836 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → (1...𝑁) = ∅)
9089ineq1d 4212 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → ((1...𝑁) ∩ ℙ) = (∅ ∩ ℙ))
9190, 20eqtrdi 2782 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → ((1...𝑁) ∩ ℙ) = ∅)
9284, 91eqtr4d 2769 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 1) → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((1...𝑁) ∩ ℙ))
9350, 92syldan 589 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ) → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((1...𝑁) ∩ ℙ))
94 exmidd 893 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℕ))
9548, 93, 94mpjaodan 956 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → ((0[,]𝑁) ∩ ℙ) = ((1...𝑁) ∩ ℙ))
9695sumeq1d 15705 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → Σ𝑛 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑛) = Σ𝑛 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑛))
973, 96eqtrd 2766 1 (𝑁 ∈ ℤ → (θ‘𝑁) = Σ𝑛 ∈ ((1...𝑁) ∩ ℙ)(log‘𝑛))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  cdif 3944  cun 3945  cin 3946  wss 3947  c0 4325  {csn 4633   class class class wbr 5153  cfv 6554  (class class class)co 7424  cr 11157  0cc0 11158  1c1 11159   + caddc 11161  +∞cpnf 11295  *cxr 11297   < clt 11298  cle 11299  cmin 11494  cn 12264  2c2 12319  cz 12610  cuz 12874  [,)cico 13380  [,]cicc 13381  ...cfz 13538  cfl 13810  Σcsu 15690  cdvds 16256  cprime 16672  logclog 26581  θccht 27119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9485  df-inf 9486  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-rp 13029  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13539  df-fl 13812  df-seq 14022  df-exp 14082  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-sum 15691  df-dvds 16257  df-prm 16673  df-cht 27125
This theorem is referenced by:  hgt750lemd  34494
  Copyright terms: Public domain W3C validator