Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  chtvalz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chtvalz 33282
Description: Value of the Chebyshev function for integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
chtvalz (𝑁 ∈ β„€ β†’ (ΞΈβ€˜π‘) = Σ𝑛 ∈ ((1...𝑁) ∩ β„™)(logβ€˜π‘›))
Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem chtvalz
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zre 12510 . . 3 (𝑁 ∈ β„€ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
2 chtval 26475 . . 3 (𝑁 ∈ ℝ β†’ (ΞΈβ€˜π‘) = Σ𝑛 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„™)(logβ€˜π‘›))
31, 2syl 17 . 2 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (ΞΈβ€˜π‘) = Σ𝑛 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„™)(logβ€˜π‘›))
4 nnz 12527 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„€)
5 ppisval 26469 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℝ β†’ ((0[,]𝑁) ∩ β„™) = ((2...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™))
61, 5syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„€ β†’ ((0[,]𝑁) ∩ β„™) = ((2...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™))
7 flid 13720 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (βŒŠβ€˜π‘) = 𝑁)
87oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (2...(βŒŠβ€˜π‘)) = (2...𝑁))
98ineq1d 4176 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„€ β†’ ((2...(βŒŠβ€˜π‘)) ∩ β„™) = ((2...𝑁) ∩ β„™))
106, 9eqtrd 2777 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„€ β†’ ((0[,]𝑁) ∩ β„™) = ((2...𝑁) ∩ β„™))
114, 10syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((0[,]𝑁) ∩ β„™) = ((2...𝑁) ∩ β„™))
12 2nn 12233 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ β„•
13 nnuz 12813 . . . . . . . . . . . . 13 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
1412, 13eleqtri 2836 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)
15 fzss1 13487 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (2...𝑁) βŠ† (1...𝑁))
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (2...𝑁) βŠ† (1...𝑁)
17 ssdif0 4328 . . . . . . . . . . 11 ((2...𝑁) βŠ† (1...𝑁) ↔ ((2...𝑁) βˆ– (1...𝑁)) = βˆ…)
1816, 17mpbi 229 . . . . . . . . . 10 ((2...𝑁) βˆ– (1...𝑁)) = βˆ…
1918ineq1i 4173 . . . . . . . . 9 (((2...𝑁) βˆ– (1...𝑁)) ∩ β„™) = (βˆ… ∩ β„™)
20 0in 4358 . . . . . . . . 9 (βˆ… ∩ β„™) = βˆ…
2119, 20eqtri 2765 . . . . . . . 8 (((2...𝑁) βˆ– (1...𝑁)) ∩ β„™) = βˆ…
2221a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((2...𝑁) βˆ– (1...𝑁)) ∩ β„™) = βˆ…)
2313eleq2i 2830 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„• ↔ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
24 fzpred 13496 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (1...𝑁) = ({1} βˆͺ ((1 + 1)...𝑁)))
2523, 24sylbi 216 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„• β†’ (1...𝑁) = ({1} βˆͺ ((1 + 1)...𝑁)))
2625eqcomd 2743 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„• β†’ ({1} βˆͺ ((1 + 1)...𝑁)) = (1...𝑁))
27 1p1e2 12285 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + 1) = 2
2827oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . 12 ((1 + 1)...𝑁) = (2...𝑁)
2928a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((1 + 1)...𝑁) = (2...𝑁))
3026, 29difeq12d 4088 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„• β†’ (({1} βˆͺ ((1 + 1)...𝑁)) βˆ– ((1 + 1)...𝑁)) = ((1...𝑁) βˆ– (2...𝑁)))
31 difun2 4445 . . . . . . . . . . 11 (({1} βˆͺ ((1 + 1)...𝑁)) βˆ– ((1 + 1)...𝑁)) = ({1} βˆ– ((1 + 1)...𝑁))
32 fzpreddisj 13497 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ ({1} ∩ ((1 + 1)...𝑁)) = βˆ…)
3323, 32sylbi 216 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„• β†’ ({1} ∩ ((1 + 1)...𝑁)) = βˆ…)
34 disjdif2 4444 . . . . . . . . . . . 12 (({1} ∩ ((1 + 1)...𝑁)) = βˆ… β†’ ({1} βˆ– ((1 + 1)...𝑁)) = {1})
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„• β†’ ({1} βˆ– ((1 + 1)...𝑁)) = {1})
3631, 35eqtrid 2789 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„• β†’ (({1} βˆͺ ((1 + 1)...𝑁)) βˆ– ((1 + 1)...𝑁)) = {1})
3730, 36eqtr3d 2779 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((1...𝑁) βˆ– (2...𝑁)) = {1})
3837ineq1d 4176 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((1...𝑁) βˆ– (2...𝑁)) ∩ β„™) = ({1} ∩ β„™))
39 incom 4166 . . . . . . . . 9 (β„™ ∩ {1}) = ({1} ∩ β„™)
40 1nprm 16562 . . . . . . . . . 10 Β¬ 1 ∈ β„™
41 disjsn 4677 . . . . . . . . . 10 ((β„™ ∩ {1}) = βˆ… ↔ Β¬ 1 ∈ β„™)
4240, 41mpbir 230 . . . . . . . . 9 (β„™ ∩ {1}) = βˆ…
4339, 42eqtr3i 2767 . . . . . . . 8 ({1} ∩ β„™) = βˆ…
4438, 43eqtrdi 2793 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((1...𝑁) βˆ– (2...𝑁)) ∩ β„™) = βˆ…)
45 difininv 31486 . . . . . . 7 (((((2...𝑁) βˆ– (1...𝑁)) ∩ β„™) = βˆ… ∧ (((1...𝑁) βˆ– (2...𝑁)) ∩ β„™) = βˆ…) β†’ ((2...𝑁) ∩ β„™) = ((1...𝑁) ∩ β„™))
4622, 44, 45syl2anc 585 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((2...𝑁) ∩ β„™) = ((1...𝑁) ∩ β„™))
4711, 46eqtrd 2777 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((0[,]𝑁) ∩ β„™) = ((1...𝑁) ∩ β„™))
4847adantl 483 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((0[,]𝑁) ∩ β„™) = ((1...𝑁) ∩ β„™))
49 znnnlt1 12537 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (Β¬ 𝑁 ∈ β„• ↔ 𝑁 < 1))
5049biimpa 478 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 < 1)
51 incom 4166 . . . . . . 7 ((0[,]𝑁) ∩ β„™) = (β„™ ∩ (0[,]𝑁))
52 isprm3 16566 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„™ ↔ (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ βˆ€π‘– ∈ (2...(𝑛 βˆ’ 1)) Β¬ 𝑖 βˆ₯ 𝑛))
5352simplbi 499 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„™ β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
5453ssriv 3953 . . . . . . . . 9 β„™ βŠ† (β„€β‰₯β€˜2)
5512nnzi 12534 . . . . . . . . . 10 2 ∈ β„€
56 uzssico 31729 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ β„€ β†’ (β„€β‰₯β€˜2) βŠ† (2[,)+∞))
5755, 56ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (β„€β‰₯β€˜2) βŠ† (2[,)+∞)
5854, 57sstri 3958 . . . . . . . 8 β„™ βŠ† (2[,)+∞)
59 incom 4166 . . . . . . . . 9 ((0[,]𝑁) ∩ (2[,)+∞)) = ((2[,)+∞) ∩ (0[,]𝑁))
60 0xr 11209 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ*
6160a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 < 1) β†’ 0 ∈ ℝ*)
6212nnrei 12169 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
6362rexri 11220 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ*
6463a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 < 1) β†’ 2 ∈ ℝ*)
65 0le0 12261 . . . . . . . . . . . 12 0 ≀ 0
6665a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 < 1) β†’ 0 ≀ 0)
671adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 < 1) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
68 1red 11163 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 < 1) β†’ 1 ∈ ℝ)
6962a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 < 1) β†’ 2 ∈ ℝ)
70 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 < 1) β†’ 𝑁 < 1)
71 1lt2 12331 . . . . . . . . . . . . 13 1 < 2
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 < 1) β†’ 1 < 2)
7367, 68, 69, 70, 72lttrd 11323 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 < 1) β†’ 𝑁 < 2)
74 iccssico 13343 . . . . . . . . . . 11 (((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ*) ∧ (0 ≀ 0 ∧ 𝑁 < 2)) β†’ (0[,]𝑁) βŠ† (0[,)2))
7561, 64, 66, 73, 74syl22anc 838 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 < 1) β†’ (0[,]𝑁) βŠ† (0[,)2))
76 pnfxr 11216 . . . . . . . . . . 11 +∞ ∈ ℝ*
77 icodisj 13400 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ ((0[,)2) ∩ (2[,)+∞)) = βˆ…)
7860, 63, 76, 77mp3an 1462 . . . . . . . . . 10 ((0[,)2) ∩ (2[,)+∞)) = βˆ…
79 ssdisj 4424 . . . . . . . . . 10 (((0[,]𝑁) βŠ† (0[,)2) ∧ ((0[,)2) ∩ (2[,)+∞)) = βˆ…) β†’ ((0[,]𝑁) ∩ (2[,)+∞)) = βˆ…)
8075, 78, 79sylancl 587 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 < 1) β†’ ((0[,]𝑁) ∩ (2[,)+∞)) = βˆ…)
8159, 80eqtr3id 2791 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 < 1) β†’ ((2[,)+∞) ∩ (0[,]𝑁)) = βˆ…)
82 ssdisj 4424 . . . . . . . 8 ((β„™ βŠ† (2[,)+∞) ∧ ((2[,)+∞) ∩ (0[,]𝑁)) = βˆ…) β†’ (β„™ ∩ (0[,]𝑁)) = βˆ…)
8358, 81, 82sylancr 588 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 < 1) β†’ (β„™ ∩ (0[,]𝑁)) = βˆ…)
8451, 83eqtrid 2789 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 < 1) β†’ ((0[,]𝑁) ∩ β„™) = βˆ…)
85 1zzd 12541 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 < 1) β†’ 1 ∈ β„€)
86 simpl 484 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 < 1) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
87 fzn 13464 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝑁 < 1 ↔ (1...𝑁) = βˆ…))
8887biimpa 478 . . . . . . . . 9 (((1 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑁 < 1) β†’ (1...𝑁) = βˆ…)
8985, 86, 70, 88syl21anc 837 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 < 1) β†’ (1...𝑁) = βˆ…)
9089ineq1d 4176 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 < 1) β†’ ((1...𝑁) ∩ β„™) = (βˆ… ∩ β„™))
9190, 20eqtrdi 2793 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 < 1) β†’ ((1...𝑁) ∩ β„™) = βˆ…)
9284, 91eqtr4d 2780 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑁 < 1) β†’ ((0[,]𝑁) ∩ β„™) = ((1...𝑁) ∩ β„™))
9350, 92syldan 592 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((0[,]𝑁) ∩ β„™) = ((1...𝑁) ∩ β„™))
94 exmidd 895 . . . 4 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (𝑁 ∈ β„• ∨ Β¬ 𝑁 ∈ β„•))
9548, 93, 94mpjaodan 958 . . 3 (𝑁 ∈ β„€ β†’ ((0[,]𝑁) ∩ β„™) = ((1...𝑁) ∩ β„™))
9695sumeq1d 15593 . 2 (𝑁 ∈ β„€ β†’ Σ𝑛 ∈ ((0[,]𝑁) ∩ β„™)(logβ€˜π‘›) = Σ𝑛 ∈ ((1...𝑁) ∩ β„™)(logβ€˜π‘›))
973, 96eqtrd 2777 1 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (ΞΈβ€˜π‘) = Σ𝑛 ∈ ((1...𝑁) ∩ β„™)(logβ€˜π‘›))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065   βˆ– cdif 3912   βˆͺ cun 3913   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  {csn 4591   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061  +∞cpnf 11193  β„*cxr 11195   < clt 11196   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392  β„•cn 12160  2c2 12215  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  [,)cico 13273  [,]cicc 13274  ...cfz 13431  βŒŠcfl 13702  Ξ£csu 15577   βˆ₯ cdvds 16143  β„™cprime 16554  logclog 25926  ΞΈccht 26456
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-sum 15578  df-dvds 16144  df-prm 16555  df-cht 26462
This theorem is referenced by:  hgt750lemd  33301
  Copyright terms: Public domain W3C validator