MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icombl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icombl 25080
Description: A closed-below, open-above real interval is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
icombl ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) ∈ dom vol)

Proof of Theorem icombl
StepHypRef Expression
1 uncom 4153 . . . . 5 ((𝐵[,)+∞) ∪ (𝐴[,)𝐵)) = ((𝐴[,)𝐵) ∪ (𝐵[,)+∞))
2 rexr 11259 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
32ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4 simplr 767 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
5 pnfxr 11267 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
65a1i 11 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → +∞ ∈ ℝ*)
7 xrltle 13127 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵𝐴𝐵))
82, 7sylan 580 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵𝐴𝐵))
98imp 407 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴𝐵)
10 pnfge 13109 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≤ +∞)
114, 10syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≤ +∞)
12 icoun 13451 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐵𝐵 ≤ +∞)) → ((𝐴[,)𝐵) ∪ (𝐵[,)+∞)) = (𝐴[,)+∞))
133, 4, 6, 9, 11, 12syl32anc 1378 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴[,)𝐵) ∪ (𝐵[,)+∞)) = (𝐴[,)+∞))
141, 13eqtrid 2784 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵[,)+∞) ∪ (𝐴[,)𝐵)) = (𝐴[,)+∞))
15 ssun1 4172 . . . . . 6 (𝐵[,)+∞) ⊆ ((𝐵[,)+∞) ∪ (𝐴[,)𝐵))
1615, 14sseqtrid 4034 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵[,)+∞) ⊆ (𝐴[,)+∞))
17 incom 4201 . . . . . 6 ((𝐵[,)+∞) ∩ (𝐴[,)𝐵)) = ((𝐴[,)𝐵) ∩ (𝐵[,)+∞))
18 icodisj 13452 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝐴[,)𝐵) ∩ (𝐵[,)+∞)) = ∅)
195, 18mp3an3 1450 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,)𝐵) ∩ (𝐵[,)+∞)) = ∅)
203, 4, 19syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴[,)𝐵) ∩ (𝐵[,)+∞)) = ∅)
2117, 20eqtrid 2784 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵[,)+∞) ∩ (𝐴[,)𝐵)) = ∅)
22 uneqdifeq 4492 . . . . 5 (((𝐵[,)+∞) ⊆ (𝐴[,)+∞) ∧ ((𝐵[,)+∞) ∩ (𝐴[,)𝐵)) = ∅) → (((𝐵[,)+∞) ∪ (𝐴[,)𝐵)) = (𝐴[,)+∞) ↔ ((𝐴[,)+∞) ∖ (𝐵[,)+∞)) = (𝐴[,)𝐵)))
2316, 21, 22syl2anc 584 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (((𝐵[,)+∞) ∪ (𝐴[,)𝐵)) = (𝐴[,)+∞) ↔ ((𝐴[,)+∞) ∖ (𝐵[,)+∞)) = (𝐴[,)𝐵)))
2414, 23mpbid 231 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴[,)+∞) ∖ (𝐵[,)+∞)) = (𝐴[,)𝐵))
25 icombl1 25079 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴[,)+∞) ∈ dom vol)
2625ad2antrr 724 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴[,)+∞) ∈ dom vol)
27 xrleloe 13122 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ +∞ ↔ (𝐵 < +∞ ∨ 𝐵 = +∞)))
284, 6, 27syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 ≤ +∞ ↔ (𝐵 < +∞ ∨ 𝐵 = +∞)))
2911, 28mpbid 231 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 < +∞ ∨ 𝐵 = +∞))
30 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
31 xrre2 13148 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < +∞)) → 𝐵 ∈ ℝ)
3231expr 457 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 < +∞ → 𝐵 ∈ ℝ))
333, 4, 6, 30, 32syl31anc 1373 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 < +∞ → 𝐵 ∈ ℝ))
3433orim1d 964 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 < +∞ ∨ 𝐵 = +∞) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞)))
3529, 34mpd 15 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞))
36 icombl1 25079 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵[,)+∞) ∈ dom vol)
37 oveq1 7415 . . . . . . . 8 (𝐵 = +∞ → (𝐵[,)+∞) = (+∞[,)+∞))
38 pnfge 13109 . . . . . . . . . 10 (+∞ ∈ ℝ* → +∞ ≤ +∞)
395, 38ax-mp 5 . . . . . . . . 9 +∞ ≤ +∞
40 ico0 13369 . . . . . . . . . 10 ((+∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((+∞[,)+∞) = ∅ ↔ +∞ ≤ +∞))
415, 5, 40mp2an 690 . . . . . . . . 9 ((+∞[,)+∞) = ∅ ↔ +∞ ≤ +∞)
4239, 41mpbir 230 . . . . . . . 8 (+∞[,)+∞) = ∅
4337, 42eqtrdi 2788 . . . . . . 7 (𝐵 = +∞ → (𝐵[,)+∞) = ∅)
44 0mbl 25055 . . . . . . 7 ∅ ∈ dom vol
4543, 44eqeltrdi 2841 . . . . . 6 (𝐵 = +∞ → (𝐵[,)+∞) ∈ dom vol)
4636, 45jaoi 855 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞) → (𝐵[,)+∞) ∈ dom vol)
4735, 46syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵[,)+∞) ∈ dom vol)
48 difmbl 25059 . . . 4 (((𝐴[,)+∞) ∈ dom vol ∧ (𝐵[,)+∞) ∈ dom vol) → ((𝐴[,)+∞) ∖ (𝐵[,)+∞)) ∈ dom vol)
4926, 47, 48syl2anc 584 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴[,)+∞) ∖ (𝐵[,)+∞)) ∈ dom vol)
5024, 49eqeltrrd 2834 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴[,)𝐵) ∈ dom vol)
51 ico0 13369 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵𝐴))
522, 51sylan 580 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵𝐴))
53 simpr 485 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐵 ∈ ℝ*)
542adantr 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ ℝ*)
5553, 54xrlenltd 11279 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
5652, 55bitrd 278 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,)𝐵) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
5756biimpar 478 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴[,)𝐵) = ∅)
5857, 44eqeltrdi 2841 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴[,)𝐵) ∈ dom vol)
5950, 58pm2.61dan 811 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  cdif 3945  cun 3946  cin 3947  wss 3948  c0 4322   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  (class class class)co 7408  cr 11108  +∞cpnf 11244  *cxr 11246   < clt 11247  cle 11248  [,)cico 13325  volcvol 24979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xadd 13092  df-ioo 13327  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-xmet 20936  df-met 20937  df-ovol 24980  df-vol 24981
This theorem is referenced by:  ioombl  25081  volicoff  44701  voliooicof  44702  icoresmbl  45249  hoiprodcl  45253  hoiprodcl3  45286  hoidmvcl  45288  hsphoidmvle2  45291  hsphoidmvle  45292  hoidmv1lelem1  45297  hoidmv1lelem2  45298  hoidmv1lelem3  45299  hoidifhspdmvle  45326  volicorege0  45343  ovolval5lem1  45358
  Copyright terms: Public domain W3C validator