MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icombl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icombl 24461
Description: A closed-below, open-above real interval is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
icombl ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) ∈ dom vol)

Proof of Theorem icombl
StepHypRef Expression
1 uncom 4067 . . . . 5 ((𝐵[,)+∞) ∪ (𝐴[,)𝐵)) = ((𝐴[,)𝐵) ∪ (𝐵[,)+∞))
2 rexr 10879 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
32ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4 simplr 769 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
5 pnfxr 10887 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
65a1i 11 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → +∞ ∈ ℝ*)
7 xrltle 12739 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵𝐴𝐵))
82, 7sylan 583 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵𝐴𝐵))
98imp 410 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴𝐵)
10 pnfge 12722 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≤ +∞)
114, 10syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≤ +∞)
12 icoun 13063 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐵𝐵 ≤ +∞)) → ((𝐴[,)𝐵) ∪ (𝐵[,)+∞)) = (𝐴[,)+∞))
133, 4, 6, 9, 11, 12syl32anc 1380 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴[,)𝐵) ∪ (𝐵[,)+∞)) = (𝐴[,)+∞))
141, 13syl5eq 2790 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵[,)+∞) ∪ (𝐴[,)𝐵)) = (𝐴[,)+∞))
15 ssun1 4086 . . . . . 6 (𝐵[,)+∞) ⊆ ((𝐵[,)+∞) ∪ (𝐴[,)𝐵))
1615, 14sseqtrid 3953 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵[,)+∞) ⊆ (𝐴[,)+∞))
17 incom 4115 . . . . . 6 ((𝐵[,)+∞) ∩ (𝐴[,)𝐵)) = ((𝐴[,)𝐵) ∩ (𝐵[,)+∞))
18 icodisj 13064 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝐴[,)𝐵) ∩ (𝐵[,)+∞)) = ∅)
195, 18mp3an3 1452 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,)𝐵) ∩ (𝐵[,)+∞)) = ∅)
203, 4, 19syl2anc 587 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴[,)𝐵) ∩ (𝐵[,)+∞)) = ∅)
2117, 20syl5eq 2790 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵[,)+∞) ∩ (𝐴[,)𝐵)) = ∅)
22 uneqdifeq 4404 . . . . 5 (((𝐵[,)+∞) ⊆ (𝐴[,)+∞) ∧ ((𝐵[,)+∞) ∩ (𝐴[,)𝐵)) = ∅) → (((𝐵[,)+∞) ∪ (𝐴[,)𝐵)) = (𝐴[,)+∞) ↔ ((𝐴[,)+∞) ∖ (𝐵[,)+∞)) = (𝐴[,)𝐵)))
2316, 21, 22syl2anc 587 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (((𝐵[,)+∞) ∪ (𝐴[,)𝐵)) = (𝐴[,)+∞) ↔ ((𝐴[,)+∞) ∖ (𝐵[,)+∞)) = (𝐴[,)𝐵)))
2414, 23mpbid 235 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴[,)+∞) ∖ (𝐵[,)+∞)) = (𝐴[,)𝐵))
25 icombl1 24460 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴[,)+∞) ∈ dom vol)
2625ad2antrr 726 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴[,)+∞) ∈ dom vol)
27 xrleloe 12734 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ +∞ ↔ (𝐵 < +∞ ∨ 𝐵 = +∞)))
284, 6, 27syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 ≤ +∞ ↔ (𝐵 < +∞ ∨ 𝐵 = +∞)))
2911, 28mpbid 235 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 < +∞ ∨ 𝐵 = +∞))
30 simpr 488 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
31 xrre2 12760 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < +∞)) → 𝐵 ∈ ℝ)
3231expr 460 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 < +∞ → 𝐵 ∈ ℝ))
333, 4, 6, 30, 32syl31anc 1375 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 < +∞ → 𝐵 ∈ ℝ))
3433orim1d 966 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 < +∞ ∨ 𝐵 = +∞) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞)))
3529, 34mpd 15 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞))
36 icombl1 24460 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵[,)+∞) ∈ dom vol)
37 oveq1 7220 . . . . . . . 8 (𝐵 = +∞ → (𝐵[,)+∞) = (+∞[,)+∞))
38 pnfge 12722 . . . . . . . . . 10 (+∞ ∈ ℝ* → +∞ ≤ +∞)
395, 38ax-mp 5 . . . . . . . . 9 +∞ ≤ +∞
40 ico0 12981 . . . . . . . . . 10 ((+∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((+∞[,)+∞) = ∅ ↔ +∞ ≤ +∞))
415, 5, 40mp2an 692 . . . . . . . . 9 ((+∞[,)+∞) = ∅ ↔ +∞ ≤ +∞)
4239, 41mpbir 234 . . . . . . . 8 (+∞[,)+∞) = ∅
4337, 42eqtrdi 2794 . . . . . . 7 (𝐵 = +∞ → (𝐵[,)+∞) = ∅)
44 0mbl 24436 . . . . . . 7 ∅ ∈ dom vol
4543, 44eqeltrdi 2846 . . . . . 6 (𝐵 = +∞ → (𝐵[,)+∞) ∈ dom vol)
4636, 45jaoi 857 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞) → (𝐵[,)+∞) ∈ dom vol)
4735, 46syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵[,)+∞) ∈ dom vol)
48 difmbl 24440 . . . 4 (((𝐴[,)+∞) ∈ dom vol ∧ (𝐵[,)+∞) ∈ dom vol) → ((𝐴[,)+∞) ∖ (𝐵[,)+∞)) ∈ dom vol)
4926, 47, 48syl2anc 587 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴[,)+∞) ∖ (𝐵[,)+∞)) ∈ dom vol)
5024, 49eqeltrrd 2839 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴[,)𝐵) ∈ dom vol)
51 ico0 12981 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵𝐴))
522, 51sylan 583 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵𝐴))
53 simpr 488 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐵 ∈ ℝ*)
542adantr 484 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ ℝ*)
5553, 54xrlenltd 10899 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
5652, 55bitrd 282 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,)𝐵) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
5756biimpar 481 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴[,)𝐵) = ∅)
5857, 44eqeltrdi 2846 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴[,)𝐵) ∈ dom vol)
5950, 58pm2.61dan 813 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 847  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  cdif 3863  cun 3864  cin 3865  wss 3866  c0 4237   class class class wbr 5053  dom cdm 5551  (class class class)co 7213  cr 10728  +∞cpnf 10864  *cxr 10866   < clt 10867  cle 10868  [,)cico 12937  volcvol 24360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-dju 9517  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xadd 12705  df-ioo 12939  df-ico 12941  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-seq 13575  df-exp 13636  df-hash 13897  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-clim 15049  df-rlim 15050  df-sum 15250  df-xmet 20356  df-met 20357  df-ovol 24361  df-vol 24362
This theorem is referenced by:  ioombl  24462  volicoff  43211  voliooicof  43212  icoresmbl  43756  hoiprodcl  43760  hoiprodcl3  43793  hoidmvcl  43795  hsphoidmvle2  43798  hsphoidmvle  43799  hoidmv1lelem1  43804  hoidmv1lelem2  43805  hoidmv1lelem3  43806  hoidifhspdmvle  43833  volicorege0  43850  ovolval5lem1  43865
  Copyright terms: Public domain W3C validator