MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icombl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icombl 24951
Description: A closed-below, open-above real interval is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
icombl ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) ∈ dom vol)

Proof of Theorem icombl
StepHypRef Expression
1 uncom 4117 . . . . 5 ((𝐵[,)+∞) ∪ (𝐴[,)𝐵)) = ((𝐴[,)𝐵) ∪ (𝐵[,)+∞))
2 rexr 11209 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
32ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4 simplr 768 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
5 pnfxr 11217 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
65a1i 11 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → +∞ ∈ ℝ*)
7 xrltle 13077 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵𝐴𝐵))
82, 7sylan 581 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵𝐴𝐵))
98imp 408 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴𝐵)
10 pnfge 13059 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≤ +∞)
114, 10syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≤ +∞)
12 icoun 13401 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐵𝐵 ≤ +∞)) → ((𝐴[,)𝐵) ∪ (𝐵[,)+∞)) = (𝐴[,)+∞))
133, 4, 6, 9, 11, 12syl32anc 1379 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴[,)𝐵) ∪ (𝐵[,)+∞)) = (𝐴[,)+∞))
141, 13eqtrid 2785 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵[,)+∞) ∪ (𝐴[,)𝐵)) = (𝐴[,)+∞))
15 ssun1 4136 . . . . . 6 (𝐵[,)+∞) ⊆ ((𝐵[,)+∞) ∪ (𝐴[,)𝐵))
1615, 14sseqtrid 4000 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵[,)+∞) ⊆ (𝐴[,)+∞))
17 incom 4165 . . . . . 6 ((𝐵[,)+∞) ∩ (𝐴[,)𝐵)) = ((𝐴[,)𝐵) ∩ (𝐵[,)+∞))
18 icodisj 13402 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝐴[,)𝐵) ∩ (𝐵[,)+∞)) = ∅)
195, 18mp3an3 1451 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,)𝐵) ∩ (𝐵[,)+∞)) = ∅)
203, 4, 19syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴[,)𝐵) ∩ (𝐵[,)+∞)) = ∅)
2117, 20eqtrid 2785 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵[,)+∞) ∩ (𝐴[,)𝐵)) = ∅)
22 uneqdifeq 4454 . . . . 5 (((𝐵[,)+∞) ⊆ (𝐴[,)+∞) ∧ ((𝐵[,)+∞) ∩ (𝐴[,)𝐵)) = ∅) → (((𝐵[,)+∞) ∪ (𝐴[,)𝐵)) = (𝐴[,)+∞) ↔ ((𝐴[,)+∞) ∖ (𝐵[,)+∞)) = (𝐴[,)𝐵)))
2316, 21, 22syl2anc 585 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (((𝐵[,)+∞) ∪ (𝐴[,)𝐵)) = (𝐴[,)+∞) ↔ ((𝐴[,)+∞) ∖ (𝐵[,)+∞)) = (𝐴[,)𝐵)))
2414, 23mpbid 231 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴[,)+∞) ∖ (𝐵[,)+∞)) = (𝐴[,)𝐵))
25 icombl1 24950 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴[,)+∞) ∈ dom vol)
2625ad2antrr 725 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴[,)+∞) ∈ dom vol)
27 xrleloe 13072 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ +∞ ↔ (𝐵 < +∞ ∨ 𝐵 = +∞)))
284, 6, 27syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 ≤ +∞ ↔ (𝐵 < +∞ ∨ 𝐵 = +∞)))
2911, 28mpbid 231 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 < +∞ ∨ 𝐵 = +∞))
30 simpr 486 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
31 xrre2 13098 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < +∞)) → 𝐵 ∈ ℝ)
3231expr 458 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 < +∞ → 𝐵 ∈ ℝ))
333, 4, 6, 30, 32syl31anc 1374 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 < +∞ → 𝐵 ∈ ℝ))
3433orim1d 965 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 < +∞ ∨ 𝐵 = +∞) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞)))
3529, 34mpd 15 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞))
36 icombl1 24950 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵[,)+∞) ∈ dom vol)
37 oveq1 7368 . . . . . . . 8 (𝐵 = +∞ → (𝐵[,)+∞) = (+∞[,)+∞))
38 pnfge 13059 . . . . . . . . . 10 (+∞ ∈ ℝ* → +∞ ≤ +∞)
395, 38ax-mp 5 . . . . . . . . 9 +∞ ≤ +∞
40 ico0 13319 . . . . . . . . . 10 ((+∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((+∞[,)+∞) = ∅ ↔ +∞ ≤ +∞))
415, 5, 40mp2an 691 . . . . . . . . 9 ((+∞[,)+∞) = ∅ ↔ +∞ ≤ +∞)
4239, 41mpbir 230 . . . . . . . 8 (+∞[,)+∞) = ∅
4337, 42eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (𝐵 = +∞ → (𝐵[,)+∞) = ∅)
44 0mbl 24926 . . . . . . 7 ∅ ∈ dom vol
4543, 44eqeltrdi 2842 . . . . . 6 (𝐵 = +∞ → (𝐵[,)+∞) ∈ dom vol)
4636, 45jaoi 856 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞) → (𝐵[,)+∞) ∈ dom vol)
4735, 46syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵[,)+∞) ∈ dom vol)
48 difmbl 24930 . . . 4 (((𝐴[,)+∞) ∈ dom vol ∧ (𝐵[,)+∞) ∈ dom vol) → ((𝐴[,)+∞) ∖ (𝐵[,)+∞)) ∈ dom vol)
4926, 47, 48syl2anc 585 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴[,)+∞) ∖ (𝐵[,)+∞)) ∈ dom vol)
5024, 49eqeltrrd 2835 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴[,)𝐵) ∈ dom vol)
51 ico0 13319 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵𝐴))
522, 51sylan 581 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵𝐴))
53 simpr 486 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐵 ∈ ℝ*)
542adantr 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ ℝ*)
5553, 54xrlenltd 11229 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
5652, 55bitrd 279 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,)𝐵) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
5756biimpar 479 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴[,)𝐵) = ∅)
5857, 44eqeltrdi 2842 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴[,)𝐵) ∈ dom vol)
5950, 58pm2.61dan 812 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  cdif 3911  cun 3912  cin 3913  wss 3914  c0 4286   class class class wbr 5109  dom cdm 5637  (class class class)co 7361  cr 11058  +∞cpnf 11194  *cxr 11196   < clt 11197  cle 11198  [,)cico 13275  volcvol 24850
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-dju 9845  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xadd 13042  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-rlim 15380  df-sum 15580  df-xmet 20812  df-met 20813  df-ovol 24851  df-vol 24852
This theorem is referenced by:  ioombl  24952  volicoff  44326  voliooicof  44327  icoresmbl  44874  hoiprodcl  44878  hoiprodcl3  44911  hoidmvcl  44913  hsphoidmvle2  44916  hsphoidmvle  44917  hoidmv1lelem1  44922  hoidmv1lelem2  44923  hoidmv1lelem3  44924  hoidifhspdmvle  44951  volicorege0  44968  ovolval5lem1  44983
  Copyright terms: Public domain W3C validator