MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icombl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icombl 24912
Description: A closed-below, open-above real interval is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
icombl ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) ∈ dom vol)

Proof of Theorem icombl
StepHypRef Expression
1 uncom 4111 . . . . 5 ((𝐵[,)+∞) ∪ (𝐴[,)𝐵)) = ((𝐴[,)𝐵) ∪ (𝐵[,)+∞))
2 rexr 11197 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
32ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4 simplr 767 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
5 pnfxr 11205 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
65a1i 11 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → +∞ ∈ ℝ*)
7 xrltle 13060 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵𝐴𝐵))
82, 7sylan 580 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵𝐴𝐵))
98imp 407 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴𝐵)
10 pnfge 13043 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ≤ +∞)
114, 10syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≤ +∞)
12 icoun 13384 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐵𝐵 ≤ +∞)) → ((𝐴[,)𝐵) ∪ (𝐵[,)+∞)) = (𝐴[,)+∞))
133, 4, 6, 9, 11, 12syl32anc 1378 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴[,)𝐵) ∪ (𝐵[,)+∞)) = (𝐴[,)+∞))
141, 13eqtrid 2788 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵[,)+∞) ∪ (𝐴[,)𝐵)) = (𝐴[,)+∞))
15 ssun1 4130 . . . . . 6 (𝐵[,)+∞) ⊆ ((𝐵[,)+∞) ∪ (𝐴[,)𝐵))
1615, 14sseqtrid 3994 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵[,)+∞) ⊆ (𝐴[,)+∞))
17 incom 4159 . . . . . 6 ((𝐵[,)+∞) ∩ (𝐴[,)𝐵)) = ((𝐴[,)𝐵) ∩ (𝐵[,)+∞))
18 icodisj 13385 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝐴[,)𝐵) ∩ (𝐵[,)+∞)) = ∅)
195, 18mp3an3 1450 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,)𝐵) ∩ (𝐵[,)+∞)) = ∅)
203, 4, 19syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴[,)𝐵) ∩ (𝐵[,)+∞)) = ∅)
2117, 20eqtrid 2788 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵[,)+∞) ∩ (𝐴[,)𝐵)) = ∅)
22 uneqdifeq 4448 . . . . 5 (((𝐵[,)+∞) ⊆ (𝐴[,)+∞) ∧ ((𝐵[,)+∞) ∩ (𝐴[,)𝐵)) = ∅) → (((𝐵[,)+∞) ∪ (𝐴[,)𝐵)) = (𝐴[,)+∞) ↔ ((𝐴[,)+∞) ∖ (𝐵[,)+∞)) = (𝐴[,)𝐵)))
2316, 21, 22syl2anc 584 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (((𝐵[,)+∞) ∪ (𝐴[,)𝐵)) = (𝐴[,)+∞) ↔ ((𝐴[,)+∞) ∖ (𝐵[,)+∞)) = (𝐴[,)𝐵)))
2414, 23mpbid 231 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴[,)+∞) ∖ (𝐵[,)+∞)) = (𝐴[,)𝐵))
25 icombl1 24911 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴[,)+∞) ∈ dom vol)
2625ad2antrr 724 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴[,)+∞) ∈ dom vol)
27 xrleloe 13055 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ +∞ ↔ (𝐵 < +∞ ∨ 𝐵 = +∞)))
284, 6, 27syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 ≤ +∞ ↔ (𝐵 < +∞ ∨ 𝐵 = +∞)))
2911, 28mpbid 231 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 < +∞ ∨ 𝐵 = +∞))
30 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
31 xrre2 13081 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < +∞)) → 𝐵 ∈ ℝ)
3231expr 457 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 < +∞ → 𝐵 ∈ ℝ))
333, 4, 6, 30, 32syl31anc 1373 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 < +∞ → 𝐵 ∈ ℝ))
3433orim1d 964 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 < +∞ ∨ 𝐵 = +∞) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞)))
3529, 34mpd 15 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞))
36 icombl1 24911 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵[,)+∞) ∈ dom vol)
37 oveq1 7360 . . . . . . . 8 (𝐵 = +∞ → (𝐵[,)+∞) = (+∞[,)+∞))
38 pnfge 13043 . . . . . . . . . 10 (+∞ ∈ ℝ* → +∞ ≤ +∞)
395, 38ax-mp 5 . . . . . . . . 9 +∞ ≤ +∞
40 ico0 13302 . . . . . . . . . 10 ((+∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((+∞[,)+∞) = ∅ ↔ +∞ ≤ +∞))
415, 5, 40mp2an 690 . . . . . . . . 9 ((+∞[,)+∞) = ∅ ↔ +∞ ≤ +∞)
4239, 41mpbir 230 . . . . . . . 8 (+∞[,)+∞) = ∅
4337, 42eqtrdi 2792 . . . . . . 7 (𝐵 = +∞ → (𝐵[,)+∞) = ∅)
44 0mbl 24887 . . . . . . 7 ∅ ∈ dom vol
4543, 44eqeltrdi 2846 . . . . . 6 (𝐵 = +∞ → (𝐵[,)+∞) ∈ dom vol)
4636, 45jaoi 855 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞) → (𝐵[,)+∞) ∈ dom vol)
4735, 46syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵[,)+∞) ∈ dom vol)
48 difmbl 24891 . . . 4 (((𝐴[,)+∞) ∈ dom vol ∧ (𝐵[,)+∞) ∈ dom vol) → ((𝐴[,)+∞) ∖ (𝐵[,)+∞)) ∈ dom vol)
4926, 47, 48syl2anc 584 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴[,)+∞) ∖ (𝐵[,)+∞)) ∈ dom vol)
5024, 49eqeltrrd 2839 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴[,)𝐵) ∈ dom vol)
51 ico0 13302 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵𝐴))
522, 51sylan 580 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵𝐴))
53 simpr 485 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐵 ∈ ℝ*)
542adantr 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ ℝ*)
5553, 54xrlenltd 11217 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
5652, 55bitrd 278 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,)𝐵) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
5756biimpar 478 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴[,)𝐵) = ∅)
5857, 44eqeltrdi 2846 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴[,)𝐵) ∈ dom vol)
5950, 58pm2.61dan 811 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  cdif 3905  cun 3906  cin 3907  wss 3908  c0 4280   class class class wbr 5103  dom cdm 5631  (class class class)co 7353  cr 11046  +∞cpnf 11182  *cxr 11184   < clt 11185  cle 11186  [,)cico 13258  volcvol 24811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-inf2 9573  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-pre-sup 11125
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7613  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-2o 8409  df-er 8644  df-map 8763  df-pm 8764  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9374  df-inf 9375  df-oi 9442  df-dju 9833  df-card 9871  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11809  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12410  df-z 12496  df-uz 12760  df-q 12866  df-rp 12908  df-xadd 13026  df-ioo 13260  df-ico 13262  df-icc 13263  df-fz 13417  df-fzo 13560  df-fl 13689  df-seq 13899  df-exp 13960  df-hash 14223  df-cj 14976  df-re 14977  df-im 14978  df-sqrt 15112  df-abs 15113  df-clim 15362  df-rlim 15363  df-sum 15563  df-xmet 20774  df-met 20775  df-ovol 24812  df-vol 24813
This theorem is referenced by:  ioombl  24913  volicoff  44168  voliooicof  44169  icoresmbl  44716  hoiprodcl  44720  hoiprodcl3  44753  hoidmvcl  44755  hsphoidmvle2  44758  hsphoidmvle  44759  hoidmv1lelem1  44764  hoidmv1lelem2  44765  hoidmv1lelem3  44766  hoidifhspdmvle  44793  volicorege0  44810  ovolval5lem1  44825
  Copyright terms: Public domain W3C validator