Theorem elico1 12422

Description: Membership in a closed-below, open-above interval of extended reals. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elico1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))

Proof of Theorem elico1

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ico 12385	. 2 ⊢ [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
2	1	elixx1 12388	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   ∈ wcel 2145   class class class wbr 4786  (class class class)co 6792  ℝ^*cxr 10274   < clt 10275   ≤ cle 10276  [,)cico 12381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fv 6039  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-xr 10279  df-ico 12385

This theorem is referenced by:  elicod  12428  icogelb  12429  lbico1  12432  elico2  12441  icodisj  12503  ico01fl0  12827  addmodid  12925  leordtvallem2  21235  pnfnei  21244  mnfnei  21245  metustexhalf  22580  blval2  22586  metuel2  22589  iscfil2  23282  eliccelico  29876  elicoelioo  29877  xrdifh  29879  fsumrp0cl  30032  xrge0iifcnv  30316  esumpcvgval  30477  dnizeq0  32799  relowlssretop  33544  tan2h  33730  iocinico  38319  rfcnpre3  39710  icoltub  40249  icoiccdif  40265  iccelpart  41893  icceuelpart  41896  bgoldbtbndlem1  42217  bgoldbtbndlem2  42218  bgoldbtbndlem3  42219  bgoldbtbnd  42221