Theorem elico1 13318

Description: Membership in a closed-below, open-above interval of extended reals. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elico1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))

Proof of Theorem elico1

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ico 13281	. 2 ⊢ [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
2	1	elixx1 13284	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  (class class class)co 7370  ℝ^*cxr 11179   < clt 11180   ≤ cle 11181  [,)cico 13277

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-id 5529  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fv 6510  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-xr 11184  df-ico 13281

This theorem is referenced by:  elicod  13325  icogelb  13326  lbico1  13330  elico2  13340  icodisj  13406  ico01fl0  13753  addmodid  13856  leordtvallem2  23172  pnfnei  23181  mnfnei  23182  blval2  24523  metuel2  24526  iscfil2  25239  eliccelico  32874  elicoelioo  32875  xrdifh  32877  fsumrp0cl  33120  ply1degltel  33693  ply1degleel  33694  ply1degltdimlem  33806  xrge0iifcnv  34117  esumpcvgval  34262  dnizeq0  36703  relowlssretop  37645  tan2h  37892  iocinico  43598  rfcnpre3  45422  icoltub  45897  icoiccdif  45913  iccelpart  47822  icceuelpart  47825  bgoldbtbndlem1  48194  bgoldbtbndlem2  48195  bgoldbtbndlem3  48196  bgoldbtbnd  48198