Theorem elico1 13291

Description: Membership in a closed-below, open-above interval of extended reals. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elico1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))

Proof of Theorem elico1

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ico 13254	. 2 ⊢ [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
2	1	elixx1 13257	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5092  (class class class)co 7349  ℝ^*cxr 11148   < clt 11149   ≤ cle 11150  [,)cico 13250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-xr 11153  df-ico 13254

This theorem is referenced by:  elicod  13298  icogelb  13299  lbico1  13303  elico2  13313  icodisj  13379  ico01fl0  13723  addmodid  13826  leordtvallem2  23096  pnfnei  23105  mnfnei  23106  blval2  24448  metuel2  24451  iscfil2  25164  eliccelico  32720  elicoelioo  32721  xrdifh  32723  fsumrp0cl  32975  ply1degltel  33527  ply1degleel  33528  ply1degltdimlem  33589  xrge0iifcnv  33900  esumpcvgval  34045  dnizeq0  36453  relowlssretop  37341  tan2h  37596  iocinico  43189  rfcnpre3  45015  icoltub  45493  icoiccdif  45509  iccelpart  47421  icceuelpart  47424  bgoldbtbndlem1  47793  bgoldbtbndlem2  47794  bgoldbtbndlem3  47795  bgoldbtbnd  47797