MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elico1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elico1 12773
Description: Membership in a closed-below, open-above interval of extended reals. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
elico1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)))

Proof of Theorem elico1
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ico 12736 . 2 [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
21elixx1 12739 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1082  wcel 2108   class class class wbr 5057  (class class class)co 7148  *cxr 10666   < clt 10667  cle 10668  [,)cico 12732
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ral 3141  df-rex 3142  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fv 6356  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-xr 10671  df-ico 12736
This theorem is referenced by:  elicod  12779  icogelb  12780  lbico1  12783  elico2  12792  icodisj  12854  ico01fl0  13181  addmodid  13279  leordtvallem2  21811  pnfnei  21820  mnfnei  21821  blval2  23164  metuel2  23167  iscfil2  23861  eliccelico  30492  elicoelioo  30493  xrdifh  30495  fsumrp0cl  30675  xrge0iifcnv  31169  esumpcvgval  31330  dnizeq0  33807  relowlssretop  34636  tan2h  34876  iocinico  39808  rfcnpre3  41280  icoltub  41773  icoiccdif  41789  iccelpart  43583  icceuelpart  43586  bgoldbtbndlem1  43960  bgoldbtbndlem2  43961  bgoldbtbndlem3  43962  bgoldbtbnd  43964
  Copyright terms: Public domain W3C validator