Theorem elico1 13335

Description: Membership in a closed-below, open-above interval of extended reals. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elico1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))

Proof of Theorem elico1

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ico 13298	. 2 ⊢ [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
2	1	elixx1 13301	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7361  ℝ^*cxr 11172   < clt 11173   ≤ cle 11174  [,)cico 13294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fv 6501  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-xr 11177  df-ico 13298

This theorem is referenced by:  elicod  13342  icogelb  13343  lbico1  13347  elico2  13357  icodisj  13423  ico01fl0  13772  addmodid  13875  leordtvallem2  23189  pnfnei  23198  mnfnei  23199  blval2  24540  metuel2  24543  iscfil2  25246  eliccelico  32868  elicoelioo  32869  xrdifh  32871  fsumrp0cl  33099  ply1degltel  33672  ply1degleel  33673  ply1degltdimlem  33785  xrge0iifcnv  34096  esumpcvgval  34241  dnizeq0  36754  relowlssretop  37696  tan2h  37950  iocinico  43661  rfcnpre3  45485  icoltub  45959  icoiccdif  45975  iccelpart  47908  icceuelpart  47911  bgoldbtbndlem1  48296  bgoldbtbndlem2  48297  bgoldbtbndlem3  48298  bgoldbtbnd  48300