Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift2lem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmlift2lem9 35295
Description: Lemma for cvmlift2 35300. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift2.b 𝐵 = 𝐶
cvmlift2.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmlift2.g (𝜑𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
cvmlift2.p (𝜑𝑃𝐵)
cvmlift2.i (𝜑 → (𝐹𝑃) = (0𝐺0))
cvmlift2.h 𝐻 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
cvmlift2.k 𝐾 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻𝑥)))‘𝑦))
cvmlift2lem10.s 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑐𝑠 (∀𝑑 ∈ (𝑠 ∖ {𝑐})(𝑐𝑑) = ∅ ∧ (𝐹𝑐) ∈ ((𝐶t 𝑐)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
cvmlift2lem9.1 (𝜑 → (𝑋𝐺𝑌) ∈ 𝑀)
cvmlift2lem9.2 (𝜑𝑇 ∈ (𝑆𝑀))
cvmlift2lem9.3 (𝜑𝑈 ∈ II)
cvmlift2lem9.4 (𝜑𝑉 ∈ II)
cvmlift2lem9.5 (𝜑 → (II ↾t 𝑈) ∈ Conn)
cvmlift2lem9.6 (𝜑 → (II ↾t 𝑉) ∈ Conn)
cvmlift2lem9.7 (𝜑𝑋𝑈)
cvmlift2lem9.8 (𝜑𝑌𝑉)
cvmlift2lem9.9 (𝜑 → (𝑈 × 𝑉) ⊆ (𝐺𝑀))
cvmlift2lem9.10 (𝜑𝑍𝑉)
cvmlift2lem9.11 (𝜑 → (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑍})) Cn 𝐶))
cvmlift2lem9.w 𝑊 = (𝑏𝑇 (𝑋𝐾𝑌) ∈ 𝑏)
Assertion
Ref Expression
cvmlift2lem9 (𝜑 → (𝐾 ↾ (𝑈 × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)) Cn 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑏,𝑐,𝑑,𝑓,𝑘,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧,𝐹   𝜑,𝑏,𝑓,𝑥,𝑦,𝑧   𝑀,𝑏,𝑐,𝑑,𝑘,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑏,𝑓,𝑥,𝑦,𝑧   𝐽,𝑏,𝑐,𝑑,𝑓,𝑘,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧   𝑇,𝑏,𝑐,𝑑,𝑠   𝑧,𝑈   𝐺,𝑏,𝑐,𝑓,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑊,𝑐,𝑑   𝐻,𝑏,𝑐,𝑓,𝑥,𝑦,𝑧   𝑋,𝑏,𝑐,𝑑,𝑓,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑧,𝑍   𝐶,𝑏,𝑐,𝑑,𝑓,𝑘,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧   𝑃,𝑓,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑏,𝑐,𝑑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑌,𝑏,𝑐,𝑑,𝑓,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝐾,𝑏,𝑐,𝑑,𝑓,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑠,𝑐,𝑑)   𝐵(𝑓,𝑘,𝑠)   𝑃(𝑠,𝑏,𝑐,𝑑)   𝑆(𝑘,𝑠,𝑐,𝑑)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑘)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑓,𝑘,𝑠,𝑏,𝑐,𝑑)   𝐺(𝑠,𝑑)   𝐻(𝑘,𝑠,𝑑)   𝐾(𝑘,𝑠)   𝑀(𝑓)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑘,𝑠,𝑏,𝑐,𝑑)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑘,𝑠,𝑏)   𝑋(𝑠)   𝑌(𝑠)   𝑍(𝑥,𝑦,𝑓,𝑘,𝑠,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem cvmlift2lem9
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmlift2.b . 2 𝐵 = 𝐶
2 iitop 24919 . . 3 II ∈ Top
3 iiuni 24920 . . 3 (0[,]1) = II
42, 2, 3, 3txunii 23616 . 2 ((0[,]1) × (0[,]1)) = (II ×t II)
5 cvmlift2lem10.s . 2 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑐𝑠 (∀𝑑 ∈ (𝑠 ∖ {𝑐})(𝑐𝑑) = ∅ ∧ (𝐹𝑐) ∈ ((𝐶t 𝑐)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
6 cvmlift2.f . 2 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
7 cvmlift2.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
8 cvmlift2.p . . 3 (𝜑𝑃𝐵)
9 cvmlift2.i . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑃) = (0𝐺0))
10 cvmlift2.h . . 3 𝐻 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
11 cvmlift2.k . . 3 𝐾 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻𝑥)))‘𝑦))
121, 6, 7, 8, 9, 10, 11cvmlift2lem5 35291 . 2 (𝜑𝐾:((0[,]1) × (0[,]1))⟶𝐵)
131, 6, 7, 8, 9, 10, 11cvmlift2lem7 35293 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐾) = 𝐺)
1413, 7eqeltrd 2838 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐾) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
152, 2txtopi 23613 . . 3 (II ×t II) ∈ Top
1615a1i 11 . 2 (𝜑 → (II ×t II) ∈ Top)
17 cvmlift2lem9.3 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ II)
18 elssuni 4941 . . . . . 6 (𝑈 ∈ II → 𝑈 II)
1918, 3sseqtrrdi 4046 . . . . 5 (𝑈 ∈ II → 𝑈 ⊆ (0[,]1))
2017, 19syl 17 . . . 4 (𝜑𝑈 ⊆ (0[,]1))
21 cvmlift2lem9.7 . . . 4 (𝜑𝑋𝑈)
2220, 21sseldd 3995 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (0[,]1))
23 cvmlift2lem9.4 . . . . 5 (𝜑𝑉 ∈ II)
24 elssuni 4941 . . . . . 6 (𝑉 ∈ II → 𝑉 II)
2524, 3sseqtrrdi 4046 . . . . 5 (𝑉 ∈ II → 𝑉 ⊆ (0[,]1))
2623, 25syl 17 . . . 4 (𝜑𝑉 ⊆ (0[,]1))
27 cvmlift2lem9.8 . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
2826, 27sseldd 3995 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (0[,]1))
29 opelxpi 5725 . . 3 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0[,]1)) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)))
3022, 28, 29syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)))
31 cvmlift2lem9.2 . 2 (𝜑𝑇 ∈ (𝑆𝑀))
3212, 22, 28fovcdmd 7604 . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝐾𝑌) ∈ 𝐵)
33 fvco3 7007 . . . . . . . 8 ((𝐾:((0[,]1) × (0[,]1))⟶𝐵 ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1))) → ((𝐹𝐾)‘⟨𝑋, 𝑌⟩) = (𝐹‘(𝐾‘⟨𝑋, 𝑌⟩)))
3412, 30, 33syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝐾)‘⟨𝑋, 𝑌⟩) = (𝐹‘(𝐾‘⟨𝑋, 𝑌⟩)))
3513fveq1d 6908 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝐾)‘⟨𝑋, 𝑌⟩) = (𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩))
3634, 35eqtr3d 2776 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘(𝐾‘⟨𝑋, 𝑌⟩)) = (𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩))
37 df-ov 7433 . . . . . . 7 (𝑋𝐾𝑌) = (𝐾‘⟨𝑋, 𝑌⟩)
3837fveq2i 6909 . . . . . 6 (𝐹‘(𝑋𝐾𝑌)) = (𝐹‘(𝐾‘⟨𝑋, 𝑌⟩))
39 df-ov 7433 . . . . . 6 (𝑋𝐺𝑌) = (𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩)
4036, 38, 393eqtr4g 2799 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹‘(𝑋𝐾𝑌)) = (𝑋𝐺𝑌))
41 cvmlift2lem9.1 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝐺𝑌) ∈ 𝑀)
4240, 41eqeltrd 2838 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘(𝑋𝐾𝑌)) ∈ 𝑀)
43 cvmlift2lem9.w . . . . 5 𝑊 = (𝑏𝑇 (𝑋𝐾𝑌) ∈ 𝑏)
445, 1, 43cvmsiota 35261 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ (𝑇 ∈ (𝑆𝑀) ∧ (𝑋𝐾𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘(𝑋𝐾𝑌)) ∈ 𝑀)) → (𝑊𝑇 ∧ (𝑋𝐾𝑌) ∈ 𝑊))
456, 31, 32, 42, 44syl13anc 1371 . . 3 (𝜑 → (𝑊𝑇 ∧ (𝑋𝐾𝑌) ∈ 𝑊))
4637eleq1i 2829 . . . 4 ((𝑋𝐾𝑌) ∈ 𝑊 ↔ (𝐾‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑊)
4746anbi2i 623 . . 3 ((𝑊𝑇 ∧ (𝑋𝐾𝑌) ∈ 𝑊) ↔ (𝑊𝑇 ∧ (𝐾‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑊))
4845, 47sylib 218 . 2 (𝜑 → (𝑊𝑇 ∧ (𝐾‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑊))
49 xpss12 5703 . . 3 ((𝑈 ⊆ (0[,]1) ∧ 𝑉 ⊆ (0[,]1)) → (𝑈 × 𝑉) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
5020, 26, 49syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝑈 × 𝑉) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
51 snidg 4664 . . . . . . 7 (𝑚𝑈𝑚 ∈ {𝑚})
5251ad2antrl 728 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → 𝑚 ∈ {𝑚})
53 simprr 773 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → 𝑛𝑉)
54 ovres 7598 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ {𝑚} ∧ 𝑛𝑉) → (𝑚(𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉))𝑛) = (𝑚𝐾𝑛))
5552, 53, 54syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (𝑚(𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉))𝑛) = (𝑚𝐾𝑛))
56 eqid 2734 . . . . . . . 8 ((II ×t II) ↾t ({𝑚} × 𝑉)) = ((II ×t II) ↾t ({𝑚} × 𝑉))
572a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → II ∈ Top)
58 snex 5441 . . . . . . . . . . 11 {𝑚} ∈ V
5958a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → {𝑚} ∈ V)
6023adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → 𝑉 ∈ II)
61 txrest 23654 . . . . . . . . . 10 (((II ∈ Top ∧ II ∈ Top) ∧ ({𝑚} ∈ V ∧ 𝑉 ∈ II)) → ((II ×t II) ↾t ({𝑚} × 𝑉)) = ((II ↾t {𝑚}) ×t (II ↾t 𝑉)))
6257, 57, 59, 60, 61syl22anc 839 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → ((II ×t II) ↾t ({𝑚} × 𝑉)) = ((II ↾t {𝑚}) ×t (II ↾t 𝑉)))
63 iitopon 24918 . . . . . . . . . . . 12 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
6420sselda 3994 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚𝑈) → 𝑚 ∈ (0[,]1))
6564adantrr 717 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → 𝑚 ∈ (0[,]1))
66 restsn2 23194 . . . . . . . . . . . 12 ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝑚 ∈ (0[,]1)) → (II ↾t {𝑚}) = 𝒫 {𝑚})
6763, 65, 66sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (II ↾t {𝑚}) = 𝒫 {𝑚})
68 pwsn 4904 . . . . . . . . . . . 12 𝒫 {𝑚} = {∅, {𝑚}}
69 indisconn 23441 . . . . . . . . . . . 12 {∅, {𝑚}} ∈ Conn
7068, 69eqeltri 2834 . . . . . . . . . . 11 𝒫 {𝑚} ∈ Conn
7167, 70eqeltrdi 2846 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (II ↾t {𝑚}) ∈ Conn)
72 cvmlift2lem9.6 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (II ↾t 𝑉) ∈ Conn)
7372adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (II ↾t 𝑉) ∈ Conn)
74 txconn 23712 . . . . . . . . . 10 (((II ↾t {𝑚}) ∈ Conn ∧ (II ↾t 𝑉) ∈ Conn) → ((II ↾t {𝑚}) ×t (II ↾t 𝑉)) ∈ Conn)
7571, 73, 74syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → ((II ↾t {𝑚}) ×t (II ↾t 𝑉)) ∈ Conn)
7662, 75eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → ((II ×t II) ↾t ({𝑚} × 𝑉)) ∈ Conn)
771, 6, 7, 8, 9, 10, 11cvmlift2lem6 35292 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (0[,]1)) → (𝐾 ↾ ({𝑚} × (0[,]1))) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑚} × (0[,]1))) Cn 𝐶))
7865, 77syldan 591 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (𝐾 ↾ ({𝑚} × (0[,]1))) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑚} × (0[,]1))) Cn 𝐶))
7926adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → 𝑉 ⊆ (0[,]1))
80 xpss2 5708 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑉 ⊆ (0[,]1) → ({𝑚} × 𝑉) ⊆ ({𝑚} × (0[,]1)))
8179, 80syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → ({𝑚} × 𝑉) ⊆ ({𝑚} × (0[,]1)))
8265snssd 4813 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → {𝑚} ⊆ (0[,]1))
83 xpss1 5707 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑚} ⊆ (0[,]1) → ({𝑚} × (0[,]1)) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → ({𝑚} × (0[,]1)) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
854restuni 23185 . . . . . . . . . . . . 13 (((II ×t II) ∈ Top ∧ ({𝑚} × (0[,]1)) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1))) → ({𝑚} × (0[,]1)) = ((II ×t II) ↾t ({𝑚} × (0[,]1))))
8615, 84, 85sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → ({𝑚} × (0[,]1)) = ((II ×t II) ↾t ({𝑚} × (0[,]1))))
8781, 86sseqtrd 4035 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → ({𝑚} × 𝑉) ⊆ ((II ×t II) ↾t ({𝑚} × (0[,]1))))
88 eqid 2734 . . . . . . . . . . . 12 ((II ×t II) ↾t ({𝑚} × (0[,]1))) = ((II ×t II) ↾t ({𝑚} × (0[,]1)))
8988cnrest 23308 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ↾ ({𝑚} × (0[,]1))) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑚} × (0[,]1))) Cn 𝐶) ∧ ({𝑚} × 𝑉) ⊆ ((II ×t II) ↾t ({𝑚} × (0[,]1)))) → ((𝐾 ↾ ({𝑚} × (0[,]1))) ↾ ({𝑚} × 𝑉)) ∈ ((((II ×t II) ↾t ({𝑚} × (0[,]1))) ↾t ({𝑚} × 𝑉)) Cn 𝐶))
9078, 87, 89syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → ((𝐾 ↾ ({𝑚} × (0[,]1))) ↾ ({𝑚} × 𝑉)) ∈ ((((II ×t II) ↾t ({𝑚} × (0[,]1))) ↾t ({𝑚} × 𝑉)) Cn 𝐶))
9181resabs1d 6027 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → ((𝐾 ↾ ({𝑚} × (0[,]1))) ↾ ({𝑚} × 𝑉)) = (𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉)))
9215a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (II ×t II) ∈ Top)
93 ovex 7463 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,]1) ∈ V
9458, 93xpex 7771 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑚} × (0[,]1)) ∈ V
9594a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → ({𝑚} × (0[,]1)) ∈ V)
96 restabs 23188 . . . . . . . . . . . 12 (((II ×t II) ∈ Top ∧ ({𝑚} × 𝑉) ⊆ ({𝑚} × (0[,]1)) ∧ ({𝑚} × (0[,]1)) ∈ V) → (((II ×t II) ↾t ({𝑚} × (0[,]1))) ↾t ({𝑚} × 𝑉)) = ((II ×t II) ↾t ({𝑚} × 𝑉)))
9792, 81, 95, 96syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (((II ×t II) ↾t ({𝑚} × (0[,]1))) ↾t ({𝑚} × 𝑉)) = ((II ×t II) ↾t ({𝑚} × 𝑉)))
9897oveq1d 7445 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → ((((II ×t II) ↾t ({𝑚} × (0[,]1))) ↾t ({𝑚} × 𝑉)) Cn 𝐶) = (((II ×t II) ↾t ({𝑚} × 𝑉)) Cn 𝐶))
9990, 91, 983eltr3d 2852 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑚} × 𝑉)) Cn 𝐶))
100 cvmtop1 35244 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐶 ∈ Top)
1016, 100syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ Top)
102101adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → 𝐶 ∈ Top)
1031toptopon 22938 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ Top ↔ 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵))
104102, 103sylib 218 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵))
105 df-ima 5701 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 “ ({𝑚} × 𝑉)) = ran (𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉))
106 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → 𝑚𝑈)
107106snssd 4813 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → {𝑚} ⊆ 𝑈)
108 xpss1 5707 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑚} ⊆ 𝑈 → ({𝑚} × 𝑉) ⊆ (𝑈 × 𝑉))
109 imass2 6122 . . . . . . . . . . . . 13 (({𝑚} × 𝑉) ⊆ (𝑈 × 𝑉) → (𝐾 “ ({𝑚} × 𝑉)) ⊆ (𝐾 “ (𝑈 × 𝑉)))
110107, 108, 1093syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (𝐾 “ ({𝑚} × 𝑉)) ⊆ (𝐾 “ (𝑈 × 𝑉)))
111 cvmlift2lem9.9 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑈 × 𝑉) ⊆ (𝐺𝑀))
112 imaco 6272 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾𝐹) “ 𝑀) = (𝐾 “ (𝐹𝑀))
113 cnvco 5898 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹𝐾) = (𝐾𝐹)
11413cnveqd 5888 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑(𝐹𝐾) = 𝐺)
115113, 114eqtr3id 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐾𝐹) = 𝐺)
116115imaeq1d 6078 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐾𝐹) “ 𝑀) = (𝐺𝑀))
117112, 116eqtr3id 2788 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐾 “ (𝐹𝑀)) = (𝐺𝑀))
118111, 117sseqtrrd 4036 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑈 × 𝑉) ⊆ (𝐾 “ (𝐹𝑀)))
11912ffund 6740 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → Fun 𝐾)
12012fdmd 6746 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → dom 𝐾 = ((0[,]1) × (0[,]1)))
12150, 120sseqtrrd 4036 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑈 × 𝑉) ⊆ dom 𝐾)
122 funimass3 7073 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Fun 𝐾 ∧ (𝑈 × 𝑉) ⊆ dom 𝐾) → ((𝐾 “ (𝑈 × 𝑉)) ⊆ (𝐹𝑀) ↔ (𝑈 × 𝑉) ⊆ (𝐾 “ (𝐹𝑀))))
123119, 121, 122syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐾 “ (𝑈 × 𝑉)) ⊆ (𝐹𝑀) ↔ (𝑈 × 𝑉) ⊆ (𝐾 “ (𝐹𝑀))))
124118, 123mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐾 “ (𝑈 × 𝑉)) ⊆ (𝐹𝑀))
125124adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (𝐾 “ (𝑈 × 𝑉)) ⊆ (𝐹𝑀))
126110, 125sstrd 4005 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (𝐾 “ ({𝑚} × 𝑉)) ⊆ (𝐹𝑀))
127105, 126eqsstrrid 4044 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → ran (𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉)) ⊆ (𝐹𝑀))
128 cnvimass 6101 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹𝑀) ⊆ dom 𝐹
129 cvmcn 35246 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽))
1306, 129syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽))
131 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐽 = 𝐽
1321, 131cnf 23269 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽) → 𝐹:𝐵 𝐽)
133 fdm 6745 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝐵 𝐽 → dom 𝐹 = 𝐵)
134130, 132, 1333syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐵)
135128, 134sseqtrid 4047 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝑀) ⊆ 𝐵)
136135adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (𝐹𝑀) ⊆ 𝐵)
137 cnrest2 23309 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ ran (𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉)) ⊆ (𝐹𝑀) ∧ (𝐹𝑀) ⊆ 𝐵) → ((𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑚} × 𝑉)) Cn 𝐶) ↔ (𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑚} × 𝑉)) Cn (𝐶t (𝐹𝑀)))))
138104, 127, 136, 137syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → ((𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑚} × 𝑉)) Cn 𝐶) ↔ (𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑚} × 𝑉)) Cn (𝐶t (𝐹𝑀)))))
13999, 138mpbid 232 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑚} × 𝑉)) Cn (𝐶t (𝐹𝑀))))
1405cvmsss 35251 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ (𝑆𝑀) → 𝑇𝐶)
14131, 140syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇𝐶)
14245simpld 494 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊𝑇)
143141, 142sseldd 3995 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊𝐶)
144 elssuni 4941 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊𝑇𝑊 𝑇)
145142, 144syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 𝑇)
1465cvmsuni 35253 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ (𝑆𝑀) → 𝑇 = (𝐹𝑀))
14731, 146syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 𝑇 = (𝐹𝑀))
148145, 147sseqtrd 4035 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ⊆ (𝐹𝑀))
1495cvmsrcl 35248 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ (𝑆𝑀) → 𝑀𝐽)
15031, 149syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀𝐽)
151 cnima 23288 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽) ∧ 𝑀𝐽) → (𝐹𝑀) ∈ 𝐶)
152130, 150, 151syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ 𝐶)
153 restopn2 23200 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ Top ∧ (𝐹𝑀) ∈ 𝐶) → (𝑊 ∈ (𝐶t (𝐹𝑀)) ↔ (𝑊𝐶𝑊 ⊆ (𝐹𝑀))))
154101, 152, 153syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑊 ∈ (𝐶t (𝐹𝑀)) ↔ (𝑊𝐶𝑊 ⊆ (𝐹𝑀))))
155143, 148, 154mpbir2and 713 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ (𝐶t (𝐹𝑀)))
156155adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → 𝑊 ∈ (𝐶t (𝐹𝑀)))
1575cvmscld 35257 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑇 ∈ (𝑆𝑀) ∧ 𝑊𝑇) → 𝑊 ∈ (Clsd‘(𝐶t (𝐹𝑀))))
1586, 31, 142, 157syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ (Clsd‘(𝐶t (𝐹𝑀))))
159158adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → 𝑊 ∈ (Clsd‘(𝐶t (𝐹𝑀))))
160 cvmlift2lem9.10 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑍𝑉)
161160adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → 𝑍𝑉)
162 opelxpi 5725 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ {𝑚} ∧ 𝑍𝑉) → ⟨𝑚, 𝑍⟩ ∈ ({𝑚} × 𝑉))
16352, 161, 162syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → ⟨𝑚, 𝑍⟩ ∈ ({𝑚} × 𝑉))
16481, 84sstrd 4005 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → ({𝑚} × 𝑉) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
1654restuni 23185 . . . . . . . . . 10 (((II ×t II) ∈ Top ∧ ({𝑚} × 𝑉) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1))) → ({𝑚} × 𝑉) = ((II ×t II) ↾t ({𝑚} × 𝑉)))
16615, 164, 165sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → ({𝑚} × 𝑉) = ((II ×t II) ↾t ({𝑚} × 𝑉)))
167163, 166eleqtrd 2840 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → ⟨𝑚, 𝑍⟩ ∈ ((II ×t II) ↾t ({𝑚} × 𝑉)))
168 df-ov 7433 . . . . . . . . . 10 (𝑚(𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉))𝑍) = ((𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉))‘⟨𝑚, 𝑍⟩)
169 ovres 7598 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ {𝑚} ∧ 𝑍𝑉) → (𝑚(𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉))𝑍) = (𝑚𝐾𝑍))
17052, 161, 169syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (𝑚(𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉))𝑍) = (𝑚𝐾𝑍))
171 snidg 4664 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑍𝑉𝑍 ∈ {𝑍})
172160, 171syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑍 ∈ {𝑍})
173172adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → 𝑍 ∈ {𝑍})
174 ovres 7598 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚𝑈𝑍 ∈ {𝑍}) → (𝑚(𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍}))𝑍) = (𝑚𝐾𝑍))
175106, 173, 174syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (𝑚(𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍}))𝑍) = (𝑚𝐾𝑍))
176170, 175eqtr4d 2777 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (𝑚(𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉))𝑍) = (𝑚(𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍}))𝑍))
177168, 176eqtr3id 2788 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → ((𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉))‘⟨𝑚, 𝑍⟩) = (𝑚(𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍}))𝑍))
178 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . 13 ((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑍})) = ((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑍}))
1792a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → II ∈ Top)
180 snex 5441 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑍} ∈ V
181180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → {𝑍} ∈ V)
182 txrest 23654 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((II ∈ Top ∧ II ∈ Top) ∧ (𝑈 ∈ II ∧ {𝑍} ∈ V)) → ((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑍})) = ((II ↾t 𝑈) ×t (II ↾t {𝑍})))
183179, 179, 17, 181, 182syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑍})) = ((II ↾t 𝑈) ×t (II ↾t {𝑍})))
184 cvmlift2lem9.5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (II ↾t 𝑈) ∈ Conn)
18526, 160sseldd 3995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑍 ∈ (0[,]1))
186 restsn2 23194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝑍 ∈ (0[,]1)) → (II ↾t {𝑍}) = 𝒫 {𝑍})
18763, 185, 186sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (II ↾t {𝑍}) = 𝒫 {𝑍})
188 pwsn 4904 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝒫 {𝑍} = {∅, {𝑍}}
189 indisconn 23441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {∅, {𝑍}} ∈ Conn
190188, 189eqeltri 2834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝒫 {𝑍} ∈ Conn
191187, 190eqeltrdi 2846 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (II ↾t {𝑍}) ∈ Conn)
192 txconn 23712 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((II ↾t 𝑈) ∈ Conn ∧ (II ↾t {𝑍}) ∈ Conn) → ((II ↾t 𝑈) ×t (II ↾t {𝑍})) ∈ Conn)
193184, 191, 192syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((II ↾t 𝑈) ×t (II ↾t {𝑍})) ∈ Conn)
194183, 193eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑍})) ∈ Conn)
195 cvmlift2lem9.11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑍})) Cn 𝐶))
196101, 103sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵))
197 df-ima 5701 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 “ (𝑈 × {𝑍})) = ran (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍}))
198160snssd 4813 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → {𝑍} ⊆ 𝑉)
199 xpss2 5708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ({𝑍} ⊆ 𝑉 → (𝑈 × {𝑍}) ⊆ (𝑈 × 𝑉))
200 imass2 6122 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑈 × {𝑍}) ⊆ (𝑈 × 𝑉) → (𝐾 “ (𝑈 × {𝑍})) ⊆ (𝐾 “ (𝑈 × 𝑉)))
201198, 199, 2003syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐾 “ (𝑈 × {𝑍})) ⊆ (𝐾 “ (𝑈 × 𝑉)))
202201, 124sstrd 4005 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐾 “ (𝑈 × {𝑍})) ⊆ (𝐹𝑀))
203197, 202eqsstrrid 4044 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ran (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍})) ⊆ (𝐹𝑀))
204 cnrest2 23309 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ ran (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍})) ⊆ (𝐹𝑀) ∧ (𝐹𝑀) ⊆ 𝐵) → ((𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑍})) Cn 𝐶) ↔ (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑍})) Cn (𝐶t (𝐹𝑀)))))
205196, 203, 135, 204syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑍})) Cn 𝐶) ↔ (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑍})) Cn (𝐶t (𝐹𝑀)))))
206195, 205mpbid 232 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑍})) Cn (𝐶t (𝐹𝑀))))
207 opelxpi 5725 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋𝑈𝑍 ∈ {𝑍}) → ⟨𝑋, 𝑍⟩ ∈ (𝑈 × {𝑍}))
20821, 172, 207syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑍⟩ ∈ (𝑈 × {𝑍}))
209185snssd 4813 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → {𝑍} ⊆ (0[,]1))
210 xpss12 5703 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ⊆ (0[,]1) ∧ {𝑍} ⊆ (0[,]1)) → (𝑈 × {𝑍}) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
21120, 209, 210syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑈 × {𝑍}) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
2124restuni 23185 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((II ×t II) ∈ Top ∧ (𝑈 × {𝑍}) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1))) → (𝑈 × {𝑍}) = ((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑍})))
21315, 211, 212sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑈 × {𝑍}) = ((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑍})))
214208, 213eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑍⟩ ∈ ((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑍})))
215 df-ov 7433 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋(𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍}))𝑍) = ((𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍}))‘⟨𝑋, 𝑍⟩)
216 ovres 7598 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋𝑈𝑍 ∈ {𝑍}) → (𝑋(𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍}))𝑍) = (𝑋𝐾𝑍))
21721, 172, 216syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑋(𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍}))𝑍) = (𝑋𝐾𝑍))
218 snidg 4664 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑋𝑈𝑋 ∈ {𝑋})
21921, 218syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑋 ∈ {𝑋})
220 ovres 7598 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋 ∈ {𝑋} ∧ 𝑍𝑉) → (𝑋(𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉))𝑍) = (𝑋𝐾𝑍))
221219, 160, 220syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑋(𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉))𝑍) = (𝑋𝐾𝑍))
222217, 221eqtr4d 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑋(𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍}))𝑍) = (𝑋(𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉))𝑍))
223215, 222eqtr3id 2788 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍}))‘⟨𝑋, 𝑍⟩) = (𝑋(𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉))𝑍))
224 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((II ×t II) ↾t ({𝑋} × 𝑉)) = ((II ×t II) ↾t ({𝑋} × 𝑉))
225 snex 5441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 {𝑋} ∈ V
226225a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → {𝑋} ∈ V)
227 txrest 23654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((II ∈ Top ∧ II ∈ Top) ∧ ({𝑋} ∈ V ∧ 𝑉 ∈ II)) → ((II ×t II) ↾t ({𝑋} × 𝑉)) = ((II ↾t {𝑋}) ×t (II ↾t 𝑉)))
228179, 179, 226, 23, 227syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((II ×t II) ↾t ({𝑋} × 𝑉)) = ((II ↾t {𝑋}) ×t (II ↾t 𝑉)))
229 restsn2 23194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → (II ↾t {𝑋}) = 𝒫 {𝑋})
23063, 22, 229sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (II ↾t {𝑋}) = 𝒫 {𝑋})
231 pwsn 4904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝒫 {𝑋} = {∅, {𝑋}}
232 indisconn 23441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 {∅, {𝑋}} ∈ Conn
233231, 232eqeltri 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝒫 {𝑋} ∈ Conn
234230, 233eqeltrdi 2846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (II ↾t {𝑋}) ∈ Conn)
235 txconn 23712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((II ↾t {𝑋}) ∈ Conn ∧ (II ↾t 𝑉) ∈ Conn) → ((II ↾t {𝑋}) ×t (II ↾t 𝑉)) ∈ Conn)
236234, 72, 235syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((II ↾t {𝑋}) ×t (II ↾t 𝑉)) ∈ Conn)
237228, 236eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((II ×t II) ↾t ({𝑋} × 𝑉)) ∈ Conn)
2381, 6, 7, 8, 9, 10, 11cvmlift2lem6 35292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝐾 ↾ ({𝑋} × (0[,]1))) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑋} × (0[,]1))) Cn 𝐶))
23922, 238mpdan 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐾 ↾ ({𝑋} × (0[,]1))) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑋} × (0[,]1))) Cn 𝐶))
240 xpss2 5708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑉 ⊆ (0[,]1) → ({𝑋} × 𝑉) ⊆ ({𝑋} × (0[,]1)))
24123, 25, 2403syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ({𝑋} × 𝑉) ⊆ ({𝑋} × (0[,]1)))
24222snssd 4813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → {𝑋} ⊆ (0[,]1))
243 xpss1 5707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ({𝑋} ⊆ (0[,]1) → ({𝑋} × (0[,]1)) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
244242, 243syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ({𝑋} × (0[,]1)) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
2454restuni 23185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((II ×t II) ∈ Top ∧ ({𝑋} × (0[,]1)) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1))) → ({𝑋} × (0[,]1)) = ((II ×t II) ↾t ({𝑋} × (0[,]1))))
24615, 244, 245sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ({𝑋} × (0[,]1)) = ((II ×t II) ↾t ({𝑋} × (0[,]1))))
247241, 246sseqtrd 4035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ({𝑋} × 𝑉) ⊆ ((II ×t II) ↾t ({𝑋} × (0[,]1))))
248 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((II ×t II) ↾t ({𝑋} × (0[,]1))) = ((II ×t II) ↾t ({𝑋} × (0[,]1)))
249248cnrest 23308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐾 ↾ ({𝑋} × (0[,]1))) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑋} × (0[,]1))) Cn 𝐶) ∧ ({𝑋} × 𝑉) ⊆ ((II ×t II) ↾t ({𝑋} × (0[,]1)))) → ((𝐾 ↾ ({𝑋} × (0[,]1))) ↾ ({𝑋} × 𝑉)) ∈ ((((II ×t II) ↾t ({𝑋} × (0[,]1))) ↾t ({𝑋} × 𝑉)) Cn 𝐶))
250239, 247, 249syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝐾 ↾ ({𝑋} × (0[,]1))) ↾ ({𝑋} × 𝑉)) ∈ ((((II ×t II) ↾t ({𝑋} × (0[,]1))) ↾t ({𝑋} × 𝑉)) Cn 𝐶))
251241resabs1d 6027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝐾 ↾ ({𝑋} × (0[,]1))) ↾ ({𝑋} × 𝑉)) = (𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉)))
252225, 93xpex 7771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ({𝑋} × (0[,]1)) ∈ V
253252a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ({𝑋} × (0[,]1)) ∈ V)
254 restabs 23188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((II ×t II) ∈ Top ∧ ({𝑋} × 𝑉) ⊆ ({𝑋} × (0[,]1)) ∧ ({𝑋} × (0[,]1)) ∈ V) → (((II ×t II) ↾t ({𝑋} × (0[,]1))) ↾t ({𝑋} × 𝑉)) = ((II ×t II) ↾t ({𝑋} × 𝑉)))
25516, 241, 253, 254syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((II ×t II) ↾t ({𝑋} × (0[,]1))) ↾t ({𝑋} × 𝑉)) = ((II ×t II) ↾t ({𝑋} × 𝑉)))
256255oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((((II ×t II) ↾t ({𝑋} × (0[,]1))) ↾t ({𝑋} × 𝑉)) Cn 𝐶) = (((II ×t II) ↾t ({𝑋} × 𝑉)) Cn 𝐶))
257250, 251, 2563eltr3d 2852 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑋} × 𝑉)) Cn 𝐶))
258 df-ima 5701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐾 “ ({𝑋} × 𝑉)) = ran (𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉))
25921snssd 4813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑈)
260 xpss1 5707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ({𝑋} ⊆ 𝑈 → ({𝑋} × 𝑉) ⊆ (𝑈 × 𝑉))
261 imass2 6122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (({𝑋} × 𝑉) ⊆ (𝑈 × 𝑉) → (𝐾 “ ({𝑋} × 𝑉)) ⊆ (𝐾 “ (𝑈 × 𝑉)))
262259, 260, 2613syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐾 “ ({𝑋} × 𝑉)) ⊆ (𝐾 “ (𝑈 × 𝑉)))
263262, 124sstrd 4005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐾 “ ({𝑋} × 𝑉)) ⊆ (𝐹𝑀))
264258, 263eqsstrrid 4044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ran (𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉)) ⊆ (𝐹𝑀))
265 cnrest2 23309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ ran (𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉)) ⊆ (𝐹𝑀) ∧ (𝐹𝑀) ⊆ 𝐵) → ((𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑋} × 𝑉)) Cn 𝐶) ↔ (𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑋} × 𝑉)) Cn (𝐶t (𝐹𝑀)))))
266196, 264, 135, 265syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑋} × 𝑉)) Cn 𝐶) ↔ (𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑋} × 𝑉)) Cn (𝐶t (𝐹𝑀)))))
267257, 266mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑋} × 𝑉)) Cn (𝐶t (𝐹𝑀))))
268 opelxpi 5725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 ∈ {𝑋} ∧ 𝑌𝑉) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ({𝑋} × 𝑉))
269219, 27, 268syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ({𝑋} × 𝑉))
270259, 260syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ({𝑋} × 𝑉) ⊆ (𝑈 × 𝑉))
271270, 50sstrd 4005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ({𝑋} × 𝑉) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
2724restuni 23185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((II ×t II) ∈ Top ∧ ({𝑋} × 𝑉) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1))) → ({𝑋} × 𝑉) = ((II ×t II) ↾t ({𝑋} × 𝑉)))
27315, 271, 272sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ({𝑋} × 𝑉) = ((II ×t II) ↾t ({𝑋} × 𝑉)))
274269, 273eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((II ×t II) ↾t ({𝑋} × 𝑉)))
275 df-ov 7433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑋(𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉))𝑌) = ((𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉))‘⟨𝑋, 𝑌⟩)
276 ovres 7598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 ∈ {𝑋} ∧ 𝑌𝑉) → (𝑋(𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉))𝑌) = (𝑋𝐾𝑌))
277219, 27, 276syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑋(𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉))𝑌) = (𝑋𝐾𝑌))
278275, 277eqtr3id 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉))‘⟨𝑋, 𝑌⟩) = (𝑋𝐾𝑌))
27945simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑋𝐾𝑌) ∈ 𝑊)
280278, 279eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉))‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑊)
281224, 237, 267, 155, 158, 274, 280conncn 23449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉)): ((II ×t II) ↾t ({𝑋} × 𝑉))⟶𝑊)
282273feq2d 6722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉)):({𝑋} × 𝑉)⟶𝑊 ↔ (𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉)): ((II ×t II) ↾t ({𝑋} × 𝑉))⟶𝑊))
283281, 282mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉)):({𝑋} × 𝑉)⟶𝑊)
284283, 219, 160fovcdmd 7604 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋(𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉))𝑍) ∈ 𝑊)
285223, 284eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍}))‘⟨𝑋, 𝑍⟩) ∈ 𝑊)
286178, 194, 206, 155, 158, 214, 285conncn 23449 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍})): ((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑍}))⟶𝑊)
287213feq2d 6722 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍})):(𝑈 × {𝑍})⟶𝑊 ↔ (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍})): ((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑍}))⟶𝑊))
288286, 287mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍})):(𝑈 × {𝑍})⟶𝑊)
289288adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍})):(𝑈 × {𝑍})⟶𝑊)
290289, 106, 173fovcdmd 7604 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (𝑚(𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍}))𝑍) ∈ 𝑊)
291177, 290eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → ((𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉))‘⟨𝑚, 𝑍⟩) ∈ 𝑊)
29256, 76, 139, 156, 159, 167, 291conncn 23449 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉)): ((II ×t II) ↾t ({𝑚} × 𝑉))⟶𝑊)
293166feq2d 6722 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → ((𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉)):({𝑚} × 𝑉)⟶𝑊 ↔ (𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉)): ((II ×t II) ↾t ({𝑚} × 𝑉))⟶𝑊))
294292, 293mpbird 257 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉)):({𝑚} × 𝑉)⟶𝑊)
295294, 52, 53fovcdmd 7604 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (𝑚(𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉))𝑛) ∈ 𝑊)
29655, 295eqeltrrd 2839 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (𝑚𝐾𝑛) ∈ 𝑊)
297296ralrimivva 3199 . . 3 (𝜑 → ∀𝑚𝑈𝑛𝑉 (𝑚𝐾𝑛) ∈ 𝑊)
298 funimassov 7609 . . . 4 ((Fun 𝐾 ∧ (𝑈 × 𝑉) ⊆ dom 𝐾) → ((𝐾 “ (𝑈 × 𝑉)) ⊆ 𝑊 ↔ ∀𝑚𝑈𝑛𝑉 (𝑚𝐾𝑛) ∈ 𝑊))
299119, 121, 298syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((𝐾 “ (𝑈 × 𝑉)) ⊆ 𝑊 ↔ ∀𝑚𝑈𝑛𝑉 (𝑚𝐾𝑛) ∈ 𝑊))
300297, 299mpbird 257 . 2 (𝜑 → (𝐾 “ (𝑈 × 𝑉)) ⊆ 𝑊)
3011, 4, 5, 6, 12, 14, 16, 30, 31, 48, 50, 300cvmlift2lem9a 35287 1 (𝜑 → (𝐾 ↾ (𝑈 × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)) Cn 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  {crab 3432  Vcvv 3477  cdif 3959  cin 3961  wss 3962  c0 4338  𝒫 cpw 4604  {csn 4630  {cpr 4632  cop 4636   cuni 4911  cmpt 5230   × cxp 5686  ccnv 5687  dom cdm 5688  ran crn 5689  cres 5690  cima 5691  ccom 5692  Fun wfun 6556  wf 6558  cfv 6562  crio 7386  (class class class)co 7430  cmpo 7432  0cc0 11152  1c1 11153  [,]cicc 13386  t crest 17466  Topctop 22914  TopOnctopon 22931  Clsdccld 23039   Cn ccn 23247  Conncconn 23434   ×t ctx 23583  Homeochmeo 23776  IIcii 24914   CovMap ccvm 35239
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-ec 8745  df-map 8866  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-sum 15719  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-cmp 23410  df-conn 23435  df-lly 23489  df-nlly 23490  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-ii 24916  df-cncf 24917  df-htpy 25015  df-phtpy 25016  df-phtpc 25037  df-pconn 35205  df-sconn 35206  df-cvm 35240
This theorem is referenced by:  cvmlift2lem10  35296
  Copyright terms: Public domain W3C validator