Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift2lem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmlift2lem9 31631
Description: Lemma for cvmlift2 31636. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift2.b 𝐵 = 𝐶
cvmlift2.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmlift2.g (𝜑𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
cvmlift2.p (𝜑𝑃𝐵)
cvmlift2.i (𝜑 → (𝐹𝑃) = (0𝐺0))
cvmlift2.h 𝐻 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
cvmlift2.k 𝐾 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻𝑥)))‘𝑦))
cvmlift2lem10.s 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑐𝑠 (∀𝑑 ∈ (𝑠 ∖ {𝑐})(𝑐𝑑) = ∅ ∧ (𝐹𝑐) ∈ ((𝐶t 𝑐)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
cvmlift2lem9.1 (𝜑 → (𝑋𝐺𝑌) ∈ 𝑀)
cvmlift2lem9.2 (𝜑𝑇 ∈ (𝑆𝑀))
cvmlift2lem9.3 (𝜑𝑈 ∈ II)
cvmlift2lem9.4 (𝜑𝑉 ∈ II)
cvmlift2lem9.5 (𝜑 → (II ↾t 𝑈) ∈ Conn)
cvmlift2lem9.6 (𝜑 → (II ↾t 𝑉) ∈ Conn)
cvmlift2lem9.7 (𝜑𝑋𝑈)
cvmlift2lem9.8 (𝜑𝑌𝑉)
cvmlift2lem9.9 (𝜑 → (𝑈 × 𝑉) ⊆ (𝐺𝑀))
cvmlift2lem9.10 (𝜑𝑍𝑉)
cvmlift2lem9.11 (𝜑 → (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑍})) Cn 𝐶))
cvmlift2lem9.w 𝑊 = (𝑏𝑇 (𝑋𝐾𝑌) ∈ 𝑏)
Assertion
Ref Expression
cvmlift2lem9 (𝜑 → (𝐾 ↾ (𝑈 × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)) Cn 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑏,𝑐,𝑑,𝑓,𝑘,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧,𝐹   𝜑,𝑏,𝑓,𝑥,𝑦,𝑧   𝑀,𝑏,𝑐,𝑑,𝑘,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑏,𝑓,𝑥,𝑦,𝑧   𝐽,𝑏,𝑐,𝑑,𝑓,𝑘,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧   𝑇,𝑏,𝑐,𝑑,𝑠   𝑧,𝑈   𝐺,𝑏,𝑐,𝑓,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑊,𝑐,𝑑   𝐻,𝑏,𝑐,𝑓,𝑥,𝑦,𝑧   𝑋,𝑏,𝑐,𝑑,𝑓,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑧,𝑍   𝐶,𝑏,𝑐,𝑑,𝑓,𝑘,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧   𝑃,𝑓,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑏,𝑐,𝑑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑌,𝑏,𝑐,𝑑,𝑓,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝐾,𝑏,𝑐,𝑑,𝑓,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑠,𝑐,𝑑)   𝐵(𝑓,𝑘,𝑠)   𝑃(𝑠,𝑏,𝑐,𝑑)   𝑆(𝑘,𝑠,𝑐,𝑑)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑘)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑓,𝑘,𝑠,𝑏,𝑐,𝑑)   𝐺(𝑠,𝑑)   𝐻(𝑘,𝑠,𝑑)   𝐾(𝑘,𝑠)   𝑀(𝑓)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑘,𝑠,𝑏,𝑐,𝑑)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑘,𝑠,𝑏)   𝑋(𝑠)   𝑌(𝑠)   𝑍(𝑥,𝑦,𝑓,𝑘,𝑠,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem cvmlift2lem9
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmlift2.b . 2 𝐵 = 𝐶
2 iitop 22903 . . 3 II ∈ Top
3 iiuni 22904 . . 3 (0[,]1) = II
42, 2, 3, 3txunii 21617 . 2 ((0[,]1) × (0[,]1)) = (II ×t II)
5 cvmlift2lem10.s . 2 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑐𝑠 (∀𝑑 ∈ (𝑠 ∖ {𝑐})(𝑐𝑑) = ∅ ∧ (𝐹𝑐) ∈ ((𝐶t 𝑐)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
6 cvmlift2.f . 2 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
7 cvmlift2.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
8 cvmlift2.p . . 3 (𝜑𝑃𝐵)
9 cvmlift2.i . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑃) = (0𝐺0))
10 cvmlift2.h . . 3 𝐻 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
11 cvmlift2.k . . 3 𝐾 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻𝑥)))‘𝑦))
121, 6, 7, 8, 9, 10, 11cvmlift2lem5 31627 . 2 (𝜑𝐾:((0[,]1) × (0[,]1))⟶𝐵)
131, 6, 7, 8, 9, 10, 11cvmlift2lem7 31629 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐾) = 𝐺)
1413, 7eqeltrd 2850 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐾) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
152, 2txtopi 21614 . . 3 (II ×t II) ∈ Top
1615a1i 11 . 2 (𝜑 → (II ×t II) ∈ Top)
17 cvmlift2lem9.3 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ II)
18 elssuni 4603 . . . . . 6 (𝑈 ∈ II → 𝑈 II)
1918, 3syl6sseqr 3801 . . . . 5 (𝑈 ∈ II → 𝑈 ⊆ (0[,]1))
2017, 19syl 17 . . . 4 (𝜑𝑈 ⊆ (0[,]1))
21 cvmlift2lem9.7 . . . 4 (𝜑𝑋𝑈)
2220, 21sseldd 3753 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (0[,]1))
23 cvmlift2lem9.4 . . . . 5 (𝜑𝑉 ∈ II)
24 elssuni 4603 . . . . . 6 (𝑉 ∈ II → 𝑉 II)
2524, 3syl6sseqr 3801 . . . . 5 (𝑉 ∈ II → 𝑉 ⊆ (0[,]1))
2623, 25syl 17 . . . 4 (𝜑𝑉 ⊆ (0[,]1))
27 cvmlift2lem9.8 . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
2826, 27sseldd 3753 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (0[,]1))
29 opelxpi 5288 . . 3 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0[,]1)) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)))
3022, 28, 29syl2anc 573 . 2 (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)))
31 cvmlift2lem9.2 . 2 (𝜑𝑇 ∈ (𝑆𝑀))
3212, 22, 28fovrnd 6953 . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝐾𝑌) ∈ 𝐵)
33 fvco3 6417 . . . . . . . 8 ((𝐾:((0[,]1) × (0[,]1))⟶𝐵 ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1))) → ((𝐹𝐾)‘⟨𝑋, 𝑌⟩) = (𝐹‘(𝐾‘⟨𝑋, 𝑌⟩)))
3412, 30, 33syl2anc 573 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝐾)‘⟨𝑋, 𝑌⟩) = (𝐹‘(𝐾‘⟨𝑋, 𝑌⟩)))
3513fveq1d 6334 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝐾)‘⟨𝑋, 𝑌⟩) = (𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩))
3634, 35eqtr3d 2807 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘(𝐾‘⟨𝑋, 𝑌⟩)) = (𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩))
37 df-ov 6796 . . . . . . 7 (𝑋𝐾𝑌) = (𝐾‘⟨𝑋, 𝑌⟩)
3837fveq2i 6335 . . . . . 6 (𝐹‘(𝑋𝐾𝑌)) = (𝐹‘(𝐾‘⟨𝑋, 𝑌⟩))
39 df-ov 6796 . . . . . 6 (𝑋𝐺𝑌) = (𝐺‘⟨𝑋, 𝑌⟩)
4036, 38, 393eqtr4g 2830 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹‘(𝑋𝐾𝑌)) = (𝑋𝐺𝑌))
41 cvmlift2lem9.1 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝐺𝑌) ∈ 𝑀)
4240, 41eqeltrd 2850 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘(𝑋𝐾𝑌)) ∈ 𝑀)
43 cvmlift2lem9.w . . . . 5 𝑊 = (𝑏𝑇 (𝑋𝐾𝑌) ∈ 𝑏)
445, 1, 43cvmsiota 31597 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ (𝑇 ∈ (𝑆𝑀) ∧ (𝑋𝐾𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘(𝑋𝐾𝑌)) ∈ 𝑀)) → (𝑊𝑇 ∧ (𝑋𝐾𝑌) ∈ 𝑊))
456, 31, 32, 42, 44syl13anc 1478 . . 3 (𝜑 → (𝑊𝑇 ∧ (𝑋𝐾𝑌) ∈ 𝑊))
4637eleq1i 2841 . . . 4 ((𝑋𝐾𝑌) ∈ 𝑊 ↔ (𝐾‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑊)
4746anbi2i 609 . . 3 ((𝑊𝑇 ∧ (𝑋𝐾𝑌) ∈ 𝑊) ↔ (𝑊𝑇 ∧ (𝐾‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑊))
4845, 47sylib 208 . 2 (𝜑 → (𝑊𝑇 ∧ (𝐾‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑊))
49 xpss12 5264 . . 3 ((𝑈 ⊆ (0[,]1) ∧ 𝑉 ⊆ (0[,]1)) → (𝑈 × 𝑉) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
5020, 26, 49syl2anc 573 . 2 (𝜑 → (𝑈 × 𝑉) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
51 snidg 4345 . . . . . . 7 (𝑚𝑈𝑚 ∈ {𝑚})
5251ad2antrl 707 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → 𝑚 ∈ {𝑚})
53 simprr 756 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → 𝑛𝑉)
54 ovres 6947 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ {𝑚} ∧ 𝑛𝑉) → (𝑚(𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉))𝑛) = (𝑚𝐾𝑛))
5552, 53, 54syl2anc 573 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (𝑚(𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉))𝑛) = (𝑚𝐾𝑛))
56 eqid 2771 . . . . . . . 8 ((II ×t II) ↾t ({𝑚} × 𝑉)) = ((II ×t II) ↾t ({𝑚} × 𝑉))
572a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → II ∈ Top)
58 snex 5036 . . . . . . . . . . 11 {𝑚} ∈ V
5958a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → {𝑚} ∈ V)
6023adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → 𝑉 ∈ II)
61 txrest 21655 . . . . . . . . . 10 (((II ∈ Top ∧ II ∈ Top) ∧ ({𝑚} ∈ V ∧ 𝑉 ∈ II)) → ((II ×t II) ↾t ({𝑚} × 𝑉)) = ((II ↾t {𝑚}) ×t (II ↾t 𝑉)))
6257, 57, 59, 60, 61syl22anc 1477 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → ((II ×t II) ↾t ({𝑚} × 𝑉)) = ((II ↾t {𝑚}) ×t (II ↾t 𝑉)))
63 iitopon 22902 . . . . . . . . . . . 12 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
6420sselda 3752 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚𝑈) → 𝑚 ∈ (0[,]1))
6564adantrr 696 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → 𝑚 ∈ (0[,]1))
66 restsn2 21196 . . . . . . . . . . . 12 ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝑚 ∈ (0[,]1)) → (II ↾t {𝑚}) = 𝒫 {𝑚})
6763, 65, 66sylancr 575 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (II ↾t {𝑚}) = 𝒫 {𝑚})
68 pwsn 4566 . . . . . . . . . . . 12 𝒫 {𝑚} = {∅, {𝑚}}
69 indisconn 21442 . . . . . . . . . . . 12 {∅, {𝑚}} ∈ Conn
7068, 69eqeltri 2846 . . . . . . . . . . 11 𝒫 {𝑚} ∈ Conn
7167, 70syl6eqel 2858 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (II ↾t {𝑚}) ∈ Conn)
72 cvmlift2lem9.6 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (II ↾t 𝑉) ∈ Conn)
7372adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (II ↾t 𝑉) ∈ Conn)
74 txconn 21713 . . . . . . . . . 10 (((II ↾t {𝑚}) ∈ Conn ∧ (II ↾t 𝑉) ∈ Conn) → ((II ↾t {𝑚}) ×t (II ↾t 𝑉)) ∈ Conn)
7571, 73, 74syl2anc 573 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → ((II ↾t {𝑚}) ×t (II ↾t 𝑉)) ∈ Conn)
7662, 75eqeltrd 2850 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → ((II ×t II) ↾t ({𝑚} × 𝑉)) ∈ Conn)
771, 6, 7, 8, 9, 10, 11cvmlift2lem6 31628 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (0[,]1)) → (𝐾 ↾ ({𝑚} × (0[,]1))) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑚} × (0[,]1))) Cn 𝐶))
7865, 77syldan 579 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (𝐾 ↾ ({𝑚} × (0[,]1))) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑚} × (0[,]1))) Cn 𝐶))
7926adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → 𝑉 ⊆ (0[,]1))
80 xpss2 5268 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑉 ⊆ (0[,]1) → ({𝑚} × 𝑉) ⊆ ({𝑚} × (0[,]1)))
8179, 80syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → ({𝑚} × 𝑉) ⊆ ({𝑚} × (0[,]1)))
8265snssd 4475 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → {𝑚} ⊆ (0[,]1))
83 xpss1 5267 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑚} ⊆ (0[,]1) → ({𝑚} × (0[,]1)) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → ({𝑚} × (0[,]1)) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
854restuni 21187 . . . . . . . . . . . . 13 (((II ×t II) ∈ Top ∧ ({𝑚} × (0[,]1)) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1))) → ({𝑚} × (0[,]1)) = ((II ×t II) ↾t ({𝑚} × (0[,]1))))
8615, 84, 85sylancr 575 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → ({𝑚} × (0[,]1)) = ((II ×t II) ↾t ({𝑚} × (0[,]1))))
8781, 86sseqtrd 3790 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → ({𝑚} × 𝑉) ⊆ ((II ×t II) ↾t ({𝑚} × (0[,]1))))
88 eqid 2771 . . . . . . . . . . . 12 ((II ×t II) ↾t ({𝑚} × (0[,]1))) = ((II ×t II) ↾t ({𝑚} × (0[,]1)))
8988cnrest 21310 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ↾ ({𝑚} × (0[,]1))) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑚} × (0[,]1))) Cn 𝐶) ∧ ({𝑚} × 𝑉) ⊆ ((II ×t II) ↾t ({𝑚} × (0[,]1)))) → ((𝐾 ↾ ({𝑚} × (0[,]1))) ↾ ({𝑚} × 𝑉)) ∈ ((((II ×t II) ↾t ({𝑚} × (0[,]1))) ↾t ({𝑚} × 𝑉)) Cn 𝐶))
9078, 87, 89syl2anc 573 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → ((𝐾 ↾ ({𝑚} × (0[,]1))) ↾ ({𝑚} × 𝑉)) ∈ ((((II ×t II) ↾t ({𝑚} × (0[,]1))) ↾t ({𝑚} × 𝑉)) Cn 𝐶))
9181resabs1d 5569 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → ((𝐾 ↾ ({𝑚} × (0[,]1))) ↾ ({𝑚} × 𝑉)) = (𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉)))
9215a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (II ×t II) ∈ Top)
93 ovex 6823 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,]1) ∈ V
9458, 93xpex 7109 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑚} × (0[,]1)) ∈ V
9594a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → ({𝑚} × (0[,]1)) ∈ V)
96 restabs 21190 . . . . . . . . . . . 12 (((II ×t II) ∈ Top ∧ ({𝑚} × 𝑉) ⊆ ({𝑚} × (0[,]1)) ∧ ({𝑚} × (0[,]1)) ∈ V) → (((II ×t II) ↾t ({𝑚} × (0[,]1))) ↾t ({𝑚} × 𝑉)) = ((II ×t II) ↾t ({𝑚} × 𝑉)))
9792, 81, 95, 96syl3anc 1476 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (((II ×t II) ↾t ({𝑚} × (0[,]1))) ↾t ({𝑚} × 𝑉)) = ((II ×t II) ↾t ({𝑚} × 𝑉)))
9897oveq1d 6808 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → ((((II ×t II) ↾t ({𝑚} × (0[,]1))) ↾t ({𝑚} × 𝑉)) Cn 𝐶) = (((II ×t II) ↾t ({𝑚} × 𝑉)) Cn 𝐶))
9990, 91, 983eltr3d 2864 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑚} × 𝑉)) Cn 𝐶))
100 cvmtop1 31580 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐶 ∈ Top)
1016, 100syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ Top)
102101adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → 𝐶 ∈ Top)
1031toptopon 20942 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ Top ↔ 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵))
104102, 103sylib 208 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → 𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵))
105 df-ima 5262 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 “ ({𝑚} × 𝑉)) = ran (𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉))
106 simprl 754 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → 𝑚𝑈)
107106snssd 4475 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → {𝑚} ⊆ 𝑈)
108 xpss1 5267 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑚} ⊆ 𝑈 → ({𝑚} × 𝑉) ⊆ (𝑈 × 𝑉))
109 imass2 5642 . . . . . . . . . . . . 13 (({𝑚} × 𝑉) ⊆ (𝑈 × 𝑉) → (𝐾 “ ({𝑚} × 𝑉)) ⊆ (𝐾 “ (𝑈 × 𝑉)))
110107, 108, 1093syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (𝐾 “ ({𝑚} × 𝑉)) ⊆ (𝐾 “ (𝑈 × 𝑉)))
111 cvmlift2lem9.9 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑈 × 𝑉) ⊆ (𝐺𝑀))
112 imaco 5784 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾𝐹) “ 𝑀) = (𝐾 “ (𝐹𝑀))
113 cnvco 5446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹𝐾) = (𝐾𝐹)
11413cnveqd 5436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑(𝐹𝐾) = 𝐺)
115113, 114syl5eqr 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐾𝐹) = 𝐺)
116115imaeq1d 5606 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐾𝐹) “ 𝑀) = (𝐺𝑀))
117112, 116syl5eqr 2819 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐾 “ (𝐹𝑀)) = (𝐺𝑀))
118111, 117sseqtr4d 3791 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑈 × 𝑉) ⊆ (𝐾 “ (𝐹𝑀)))
119 ffun 6188 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾:((0[,]1) × (0[,]1))⟶𝐵 → Fun 𝐾)
12012, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → Fun 𝐾)
121 fdm 6191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾:((0[,]1) × (0[,]1))⟶𝐵 → dom 𝐾 = ((0[,]1) × (0[,]1)))
12212, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → dom 𝐾 = ((0[,]1) × (0[,]1)))
12350, 122sseqtr4d 3791 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑈 × 𝑉) ⊆ dom 𝐾)
124 funimass3 6476 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Fun 𝐾 ∧ (𝑈 × 𝑉) ⊆ dom 𝐾) → ((𝐾 “ (𝑈 × 𝑉)) ⊆ (𝐹𝑀) ↔ (𝑈 × 𝑉) ⊆ (𝐾 “ (𝐹𝑀))))
125120, 123, 124syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐾 “ (𝑈 × 𝑉)) ⊆ (𝐹𝑀) ↔ (𝑈 × 𝑉) ⊆ (𝐾 “ (𝐹𝑀))))
126118, 125mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐾 “ (𝑈 × 𝑉)) ⊆ (𝐹𝑀))
127126adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (𝐾 “ (𝑈 × 𝑉)) ⊆ (𝐹𝑀))
128110, 127sstrd 3762 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (𝐾 “ ({𝑚} × 𝑉)) ⊆ (𝐹𝑀))
129105, 128syl5eqssr 3799 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → ran (𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉)) ⊆ (𝐹𝑀))
130 cnvimass 5626 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹𝑀) ⊆ dom 𝐹
131 cvmcn 31582 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽))
1326, 131syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽))
133 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐽 = 𝐽
1341, 133cnf 21271 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽) → 𝐹:𝐵 𝐽)
135 fdm 6191 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝐵 𝐽 → dom 𝐹 = 𝐵)
136132, 134, 1353syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐵)
137130, 136syl5sseq 3802 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝑀) ⊆ 𝐵)
138137adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (𝐹𝑀) ⊆ 𝐵)
139 cnrest2 21311 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ ran (𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉)) ⊆ (𝐹𝑀) ∧ (𝐹𝑀) ⊆ 𝐵) → ((𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑚} × 𝑉)) Cn 𝐶) ↔ (𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑚} × 𝑉)) Cn (𝐶t (𝐹𝑀)))))
140104, 129, 138, 139syl3anc 1476 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → ((𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑚} × 𝑉)) Cn 𝐶) ↔ (𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑚} × 𝑉)) Cn (𝐶t (𝐹𝑀)))))
14199, 140mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑚} × 𝑉)) Cn (𝐶t (𝐹𝑀))))
1425cvmsss 31587 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ (𝑆𝑀) → 𝑇𝐶)
14331, 142syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇𝐶)
14445simpld 482 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊𝑇)
145143, 144sseldd 3753 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊𝐶)
146 elssuni 4603 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊𝑇𝑊 𝑇)
147144, 146syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 𝑇)
1485cvmsuni 31589 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ (𝑆𝑀) → 𝑇 = (𝐹𝑀))
14931, 148syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 𝑇 = (𝐹𝑀))
150147, 149sseqtrd 3790 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ⊆ (𝐹𝑀))
1515cvmsrcl 31584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ (𝑆𝑀) → 𝑀𝐽)
15231, 151syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀𝐽)
153 cnima 21290 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (𝐶 Cn 𝐽) ∧ 𝑀𝐽) → (𝐹𝑀) ∈ 𝐶)
154132, 152, 153syl2anc 573 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ 𝐶)
155 restopn2 21202 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ Top ∧ (𝐹𝑀) ∈ 𝐶) → (𝑊 ∈ (𝐶t (𝐹𝑀)) ↔ (𝑊𝐶𝑊 ⊆ (𝐹𝑀))))
156101, 154, 155syl2anc 573 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑊 ∈ (𝐶t (𝐹𝑀)) ↔ (𝑊𝐶𝑊 ⊆ (𝐹𝑀))))
157145, 150, 156mpbir2and 692 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ (𝐶t (𝐹𝑀)))
158157adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → 𝑊 ∈ (𝐶t (𝐹𝑀)))
1595cvmscld 31593 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑇 ∈ (𝑆𝑀) ∧ 𝑊𝑇) → 𝑊 ∈ (Clsd‘(𝐶t (𝐹𝑀))))
1606, 31, 144, 159syl3anc 1476 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ (Clsd‘(𝐶t (𝐹𝑀))))
161160adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → 𝑊 ∈ (Clsd‘(𝐶t (𝐹𝑀))))
162 cvmlift2lem9.10 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑍𝑉)
163162adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → 𝑍𝑉)
164 opelxpi 5288 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ {𝑚} ∧ 𝑍𝑉) → ⟨𝑚, 𝑍⟩ ∈ ({𝑚} × 𝑉))
16552, 163, 164syl2anc 573 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → ⟨𝑚, 𝑍⟩ ∈ ({𝑚} × 𝑉))
16681, 84sstrd 3762 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → ({𝑚} × 𝑉) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
1674restuni 21187 . . . . . . . . . 10 (((II ×t II) ∈ Top ∧ ({𝑚} × 𝑉) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1))) → ({𝑚} × 𝑉) = ((II ×t II) ↾t ({𝑚} × 𝑉)))
16815, 166, 167sylancr 575 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → ({𝑚} × 𝑉) = ((II ×t II) ↾t ({𝑚} × 𝑉)))
169165, 168eleqtrd 2852 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → ⟨𝑚, 𝑍⟩ ∈ ((II ×t II) ↾t ({𝑚} × 𝑉)))
170 df-ov 6796 . . . . . . . . . 10 (𝑚(𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉))𝑍) = ((𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉))‘⟨𝑚, 𝑍⟩)
171 ovres 6947 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ {𝑚} ∧ 𝑍𝑉) → (𝑚(𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉))𝑍) = (𝑚𝐾𝑍))
17252, 163, 171syl2anc 573 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (𝑚(𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉))𝑍) = (𝑚𝐾𝑍))
173 snidg 4345 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑍𝑉𝑍 ∈ {𝑍})
174162, 173syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑍 ∈ {𝑍})
175174adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → 𝑍 ∈ {𝑍})
176 ovres 6947 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚𝑈𝑍 ∈ {𝑍}) → (𝑚(𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍}))𝑍) = (𝑚𝐾𝑍))
177106, 175, 176syl2anc 573 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (𝑚(𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍}))𝑍) = (𝑚𝐾𝑍))
178172, 177eqtr4d 2808 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (𝑚(𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉))𝑍) = (𝑚(𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍}))𝑍))
179170, 178syl5eqr 2819 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → ((𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉))‘⟨𝑚, 𝑍⟩) = (𝑚(𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍}))𝑍))
180 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . 13 ((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑍})) = ((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑍}))
1812a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → II ∈ Top)
182 snex 5036 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑍} ∈ V
183182a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → {𝑍} ∈ V)
184 txrest 21655 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((II ∈ Top ∧ II ∈ Top) ∧ (𝑈 ∈ II ∧ {𝑍} ∈ V)) → ((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑍})) = ((II ↾t 𝑈) ×t (II ↾t {𝑍})))
185181, 181, 17, 183, 184syl22anc 1477 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑍})) = ((II ↾t 𝑈) ×t (II ↾t {𝑍})))
186 cvmlift2lem9.5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (II ↾t 𝑈) ∈ Conn)
18726, 162sseldd 3753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑍 ∈ (0[,]1))
188 restsn2 21196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝑍 ∈ (0[,]1)) → (II ↾t {𝑍}) = 𝒫 {𝑍})
18963, 187, 188sylancr 575 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (II ↾t {𝑍}) = 𝒫 {𝑍})
190 pwsn 4566 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝒫 {𝑍} = {∅, {𝑍}}
191 indisconn 21442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {∅, {𝑍}} ∈ Conn
192190, 191eqeltri 2846 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝒫 {𝑍} ∈ Conn
193189, 192syl6eqel 2858 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (II ↾t {𝑍}) ∈ Conn)
194 txconn 21713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((II ↾t 𝑈) ∈ Conn ∧ (II ↾t {𝑍}) ∈ Conn) → ((II ↾t 𝑈) ×t (II ↾t {𝑍})) ∈ Conn)
195186, 193, 194syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((II ↾t 𝑈) ×t (II ↾t {𝑍})) ∈ Conn)
196185, 195eqeltrd 2850 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑍})) ∈ Conn)
197 cvmlift2lem9.11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑍})) Cn 𝐶))
198101, 103sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵))
199 df-ima 5262 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 “ (𝑈 × {𝑍})) = ran (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍}))
200162snssd 4475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → {𝑍} ⊆ 𝑉)
201 xpss2 5268 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ({𝑍} ⊆ 𝑉 → (𝑈 × {𝑍}) ⊆ (𝑈 × 𝑉))
202 imass2 5642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑈 × {𝑍}) ⊆ (𝑈 × 𝑉) → (𝐾 “ (𝑈 × {𝑍})) ⊆ (𝐾 “ (𝑈 × 𝑉)))
203200, 201, 2023syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐾 “ (𝑈 × {𝑍})) ⊆ (𝐾 “ (𝑈 × 𝑉)))
204203, 126sstrd 3762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐾 “ (𝑈 × {𝑍})) ⊆ (𝐹𝑀))
205199, 204syl5eqssr 3799 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ran (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍})) ⊆ (𝐹𝑀))
206 cnrest2 21311 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ ran (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍})) ⊆ (𝐹𝑀) ∧ (𝐹𝑀) ⊆ 𝐵) → ((𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑍})) Cn 𝐶) ↔ (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑍})) Cn (𝐶t (𝐹𝑀)))))
207198, 205, 137, 206syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑍})) Cn 𝐶) ↔ (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑍})) Cn (𝐶t (𝐹𝑀)))))
208197, 207mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍})) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑍})) Cn (𝐶t (𝐹𝑀))))
209 opelxpi 5288 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋𝑈𝑍 ∈ {𝑍}) → ⟨𝑋, 𝑍⟩ ∈ (𝑈 × {𝑍}))
21021, 174, 209syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑍⟩ ∈ (𝑈 × {𝑍}))
211187snssd 4475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → {𝑍} ⊆ (0[,]1))
212 xpss12 5264 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ⊆ (0[,]1) ∧ {𝑍} ⊆ (0[,]1)) → (𝑈 × {𝑍}) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
21320, 211, 212syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑈 × {𝑍}) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
2144restuni 21187 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((II ×t II) ∈ Top ∧ (𝑈 × {𝑍}) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1))) → (𝑈 × {𝑍}) = ((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑍})))
21515, 213, 214sylancr 575 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑈 × {𝑍}) = ((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑍})))
216210, 215eleqtrd 2852 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑍⟩ ∈ ((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑍})))
217 df-ov 6796 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋(𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍}))𝑍) = ((𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍}))‘⟨𝑋, 𝑍⟩)
218 ovres 6947 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋𝑈𝑍 ∈ {𝑍}) → (𝑋(𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍}))𝑍) = (𝑋𝐾𝑍))
21921, 174, 218syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑋(𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍}))𝑍) = (𝑋𝐾𝑍))
220 snidg 4345 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑋𝑈𝑋 ∈ {𝑋})
22121, 220syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑋 ∈ {𝑋})
222 ovres 6947 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋 ∈ {𝑋} ∧ 𝑍𝑉) → (𝑋(𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉))𝑍) = (𝑋𝐾𝑍))
223221, 162, 222syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑋(𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉))𝑍) = (𝑋𝐾𝑍))
224219, 223eqtr4d 2808 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑋(𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍}))𝑍) = (𝑋(𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉))𝑍))
225217, 224syl5eqr 2819 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍}))‘⟨𝑋, 𝑍⟩) = (𝑋(𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉))𝑍))
226 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((II ×t II) ↾t ({𝑋} × 𝑉)) = ((II ×t II) ↾t ({𝑋} × 𝑉))
227 snex 5036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 {𝑋} ∈ V
228227a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → {𝑋} ∈ V)
229 txrest 21655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((II ∈ Top ∧ II ∈ Top) ∧ ({𝑋} ∈ V ∧ 𝑉 ∈ II)) → ((II ×t II) ↾t ({𝑋} × 𝑉)) = ((II ↾t {𝑋}) ×t (II ↾t 𝑉)))
230181, 181, 228, 23, 229syl22anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((II ×t II) ↾t ({𝑋} × 𝑉)) = ((II ↾t {𝑋}) ×t (II ↾t 𝑉)))
231 restsn2 21196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → (II ↾t {𝑋}) = 𝒫 {𝑋})
23263, 22, 231sylancr 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (II ↾t {𝑋}) = 𝒫 {𝑋})
233 pwsn 4566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝒫 {𝑋} = {∅, {𝑋}}
234 indisconn 21442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 {∅, {𝑋}} ∈ Conn
235233, 234eqeltri 2846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝒫 {𝑋} ∈ Conn
236232, 235syl6eqel 2858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (II ↾t {𝑋}) ∈ Conn)
237 txconn 21713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((II ↾t {𝑋}) ∈ Conn ∧ (II ↾t 𝑉) ∈ Conn) → ((II ↾t {𝑋}) ×t (II ↾t 𝑉)) ∈ Conn)
238236, 72, 237syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((II ↾t {𝑋}) ×t (II ↾t 𝑉)) ∈ Conn)
239230, 238eqeltrd 2850 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((II ×t II) ↾t ({𝑋} × 𝑉)) ∈ Conn)
2401, 6, 7, 8, 9, 10, 11cvmlift2lem6 31628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝐾 ↾ ({𝑋} × (0[,]1))) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑋} × (0[,]1))) Cn 𝐶))
24122, 240mpdan 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐾 ↾ ({𝑋} × (0[,]1))) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑋} × (0[,]1))) Cn 𝐶))
242 xpss2 5268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑉 ⊆ (0[,]1) → ({𝑋} × 𝑉) ⊆ ({𝑋} × (0[,]1)))
24323, 25, 2423syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ({𝑋} × 𝑉) ⊆ ({𝑋} × (0[,]1)))
24422snssd 4475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → {𝑋} ⊆ (0[,]1))
245 xpss1 5267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ({𝑋} ⊆ (0[,]1) → ({𝑋} × (0[,]1)) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
246244, 245syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ({𝑋} × (0[,]1)) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
2474restuni 21187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((II ×t II) ∈ Top ∧ ({𝑋} × (0[,]1)) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1))) → ({𝑋} × (0[,]1)) = ((II ×t II) ↾t ({𝑋} × (0[,]1))))
24815, 246, 247sylancr 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ({𝑋} × (0[,]1)) = ((II ×t II) ↾t ({𝑋} × (0[,]1))))
249243, 248sseqtrd 3790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ({𝑋} × 𝑉) ⊆ ((II ×t II) ↾t ({𝑋} × (0[,]1))))
250 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((II ×t II) ↾t ({𝑋} × (0[,]1))) = ((II ×t II) ↾t ({𝑋} × (0[,]1)))
251250cnrest 21310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐾 ↾ ({𝑋} × (0[,]1))) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑋} × (0[,]1))) Cn 𝐶) ∧ ({𝑋} × 𝑉) ⊆ ((II ×t II) ↾t ({𝑋} × (0[,]1)))) → ((𝐾 ↾ ({𝑋} × (0[,]1))) ↾ ({𝑋} × 𝑉)) ∈ ((((II ×t II) ↾t ({𝑋} × (0[,]1))) ↾t ({𝑋} × 𝑉)) Cn 𝐶))
252241, 249, 251syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝐾 ↾ ({𝑋} × (0[,]1))) ↾ ({𝑋} × 𝑉)) ∈ ((((II ×t II) ↾t ({𝑋} × (0[,]1))) ↾t ({𝑋} × 𝑉)) Cn 𝐶))
253243resabs1d 5569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝐾 ↾ ({𝑋} × (0[,]1))) ↾ ({𝑋} × 𝑉)) = (𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉)))
254227, 93xpex 7109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ({𝑋} × (0[,]1)) ∈ V
255254a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ({𝑋} × (0[,]1)) ∈ V)
256 restabs 21190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((II ×t II) ∈ Top ∧ ({𝑋} × 𝑉) ⊆ ({𝑋} × (0[,]1)) ∧ ({𝑋} × (0[,]1)) ∈ V) → (((II ×t II) ↾t ({𝑋} × (0[,]1))) ↾t ({𝑋} × 𝑉)) = ((II ×t II) ↾t ({𝑋} × 𝑉)))
25716, 243, 255, 256syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((II ×t II) ↾t ({𝑋} × (0[,]1))) ↾t ({𝑋} × 𝑉)) = ((II ×t II) ↾t ({𝑋} × 𝑉)))
258257oveq1d 6808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((((II ×t II) ↾t ({𝑋} × (0[,]1))) ↾t ({𝑋} × 𝑉)) Cn 𝐶) = (((II ×t II) ↾t ({𝑋} × 𝑉)) Cn 𝐶))
259252, 253, 2583eltr3d 2864 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑋} × 𝑉)) Cn 𝐶))
260 df-ima 5262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐾 “ ({𝑋} × 𝑉)) = ran (𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉))
26121snssd 4475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑈)
262 xpss1 5267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ({𝑋} ⊆ 𝑈 → ({𝑋} × 𝑉) ⊆ (𝑈 × 𝑉))
263 imass2 5642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (({𝑋} × 𝑉) ⊆ (𝑈 × 𝑉) → (𝐾 “ ({𝑋} × 𝑉)) ⊆ (𝐾 “ (𝑈 × 𝑉)))
264261, 262, 2633syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐾 “ ({𝑋} × 𝑉)) ⊆ (𝐾 “ (𝑈 × 𝑉)))
265264, 126sstrd 3762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐾 “ ({𝑋} × 𝑉)) ⊆ (𝐹𝑀))
266260, 265syl5eqssr 3799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ran (𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉)) ⊆ (𝐹𝑀))
267 cnrest2 21311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐶 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ ran (𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉)) ⊆ (𝐹𝑀) ∧ (𝐹𝑀) ⊆ 𝐵) → ((𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑋} × 𝑉)) Cn 𝐶) ↔ (𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑋} × 𝑉)) Cn (𝐶t (𝐹𝑀)))))
268198, 266, 137, 267syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑋} × 𝑉)) Cn 𝐶) ↔ (𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑋} × 𝑉)) Cn (𝐶t (𝐹𝑀)))))
269259, 268mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑋} × 𝑉)) Cn (𝐶t (𝐹𝑀))))
270 opelxpi 5288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 ∈ {𝑋} ∧ 𝑌𝑉) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ({𝑋} × 𝑉))
271221, 27, 270syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ({𝑋} × 𝑉))
272261, 262syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ({𝑋} × 𝑉) ⊆ (𝑈 × 𝑉))
273272, 50sstrd 3762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ({𝑋} × 𝑉) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1)))
2744restuni 21187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((II ×t II) ∈ Top ∧ ({𝑋} × 𝑉) ⊆ ((0[,]1) × (0[,]1))) → ({𝑋} × 𝑉) = ((II ×t II) ↾t ({𝑋} × 𝑉)))
27515, 273, 274sylancr 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ({𝑋} × 𝑉) = ((II ×t II) ↾t ({𝑋} × 𝑉)))
276271, 275eleqtrd 2852 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((II ×t II) ↾t ({𝑋} × 𝑉)))
277 df-ov 6796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑋(𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉))𝑌) = ((𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉))‘⟨𝑋, 𝑌⟩)
278 ovres 6947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 ∈ {𝑋} ∧ 𝑌𝑉) → (𝑋(𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉))𝑌) = (𝑋𝐾𝑌))
279221, 27, 278syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑋(𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉))𝑌) = (𝑋𝐾𝑌))
280277, 279syl5eqr 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉))‘⟨𝑋, 𝑌⟩) = (𝑋𝐾𝑌))
28145simprd 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑋𝐾𝑌) ∈ 𝑊)
282280, 281eqeltrd 2850 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉))‘⟨𝑋, 𝑌⟩) ∈ 𝑊)
283226, 239, 269, 157, 160, 276, 282conncn 21450 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉)): ((II ×t II) ↾t ({𝑋} × 𝑉))⟶𝑊)
284275feq2d 6171 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉)):({𝑋} × 𝑉)⟶𝑊 ↔ (𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉)): ((II ×t II) ↾t ({𝑋} × 𝑉))⟶𝑊))
285283, 284mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉)):({𝑋} × 𝑉)⟶𝑊)
286285, 221, 162fovrnd 6953 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋(𝐾 ↾ ({𝑋} × 𝑉))𝑍) ∈ 𝑊)
287225, 286eqeltrd 2850 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍}))‘⟨𝑋, 𝑍⟩) ∈ 𝑊)
288180, 196, 208, 157, 160, 216, 287conncn 21450 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍})): ((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑍}))⟶𝑊)
289215feq2d 6171 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍})):(𝑈 × {𝑍})⟶𝑊 ↔ (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍})): ((II ×t II) ↾t (𝑈 × {𝑍}))⟶𝑊))
290288, 289mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍})):(𝑈 × {𝑍})⟶𝑊)
291290adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍})):(𝑈 × {𝑍})⟶𝑊)
292291, 106, 175fovrnd 6953 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (𝑚(𝐾 ↾ (𝑈 × {𝑍}))𝑍) ∈ 𝑊)
293179, 292eqeltrd 2850 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → ((𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉))‘⟨𝑚, 𝑍⟩) ∈ 𝑊)
29456, 76, 141, 158, 161, 169, 293conncn 21450 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉)): ((II ×t II) ↾t ({𝑚} × 𝑉))⟶𝑊)
295168feq2d 6171 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → ((𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉)):({𝑚} × 𝑉)⟶𝑊 ↔ (𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉)): ((II ×t II) ↾t ({𝑚} × 𝑉))⟶𝑊))
296294, 295mpbird 247 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉)):({𝑚} × 𝑉)⟶𝑊)
297296, 52, 53fovrnd 6953 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (𝑚(𝐾 ↾ ({𝑚} × 𝑉))𝑛) ∈ 𝑊)
29855, 297eqeltrrd 2851 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑈𝑛𝑉)) → (𝑚𝐾𝑛) ∈ 𝑊)
299298ralrimivva 3120 . . 3 (𝜑 → ∀𝑚𝑈𝑛𝑉 (𝑚𝐾𝑛) ∈ 𝑊)
300 funimassov 6958 . . . 4 ((Fun 𝐾 ∧ (𝑈 × 𝑉) ⊆ dom 𝐾) → ((𝐾 “ (𝑈 × 𝑉)) ⊆ 𝑊 ↔ ∀𝑚𝑈𝑛𝑉 (𝑚𝐾𝑛) ∈ 𝑊))
301120, 123, 300syl2anc 573 . . 3 (𝜑 → ((𝐾 “ (𝑈 × 𝑉)) ⊆ 𝑊 ↔ ∀𝑚𝑈𝑛𝑉 (𝑚𝐾𝑛) ∈ 𝑊))
302299, 301mpbird 247 . 2 (𝜑 → (𝐾 “ (𝑈 × 𝑉)) ⊆ 𝑊)
3031, 4, 5, 6, 12, 14, 16, 30, 31, 48, 50, 302cvmlift2lem9a 31623 1 (𝜑 → (𝐾 ↾ (𝑈 × 𝑉)) ∈ (((II ×t II) ↾t (𝑈 × 𝑉)) Cn 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  {crab 3065  Vcvv 3351  cdif 3720  cin 3722  wss 3723  c0 4063  𝒫 cpw 4297  {csn 4316  {cpr 4318  cop 4322   cuni 4574  cmpt 4863   × cxp 5247  ccnv 5248  dom cdm 5249  ran crn 5250  cres 5251  cima 5252  ccom 5253  Fun wfun 6025  wf 6027  cfv 6031  crio 6753  (class class class)co 6793  cmpt2 6795  0cc0 10138  1c1 10139  [,]cicc 12383  t crest 16289  Topctop 20918  TopOnctopon 20935  Clsdccld 21041   Cn ccn 21249  Conncconn 21435   ×t ctx 21584  Homeochmeo 21777  IIcii 22898   CovMap ccvm 31575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-ec 7898  df-map 8011  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-fi 8473  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-sum 14625  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-nei 21123  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-cmp 21411  df-conn 21436  df-lly 21490  df-nlly 21491  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-ii 22900  df-htpy 22989  df-phtpy 22990  df-phtpc 23011  df-pconn 31541  df-sconn 31542  df-cvm 31576
This theorem is referenced by:  cvmlift2lem10  31632
  Copyright terms: Public domain W3C validator