MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfconn2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dfconn2 22914
Description: An alternate definition of connectedness. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfconn2 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝐽 ∈ Conn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 ((π‘₯ β‰  βˆ… ∧ 𝑦 β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…) β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) β‰  𝑋)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐽   π‘₯,𝑋,𝑦
Proof of Theorem dfconn2
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . . . . 6 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
2 simpll 765 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Conn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (π‘₯ β‰  βˆ… ∧ 𝑦 β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)) β†’ 𝐽 ∈ Conn)
3 simplrl 775 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Conn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (π‘₯ β‰  βˆ… ∧ 𝑦 β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)
4 simpr1 1194 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Conn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (π‘₯ β‰  βˆ… ∧ 𝑦 β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)) β†’ π‘₯ β‰  βˆ…)
5 simplrr 776 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Conn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (π‘₯ β‰  βˆ… ∧ 𝑦 β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐽)
6 simpr2 1195 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Conn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (π‘₯ β‰  βˆ… ∧ 𝑦 β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)) β†’ 𝑦 β‰  βˆ…)
7 simpr3 1196 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Conn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (π‘₯ β‰  βˆ… ∧ 𝑦 β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)) β†’ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7conndisj 22911 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Conn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) ∧ (π‘₯ β‰  βˆ… ∧ 𝑦 β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)) β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) β‰  βˆͺ 𝐽)
98ex 413 . . . 4 ((𝐽 ∈ Conn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ ((π‘₯ β‰  βˆ… ∧ 𝑦 β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…) β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) β‰  βˆͺ 𝐽))
109ralrimivva 3200 . . 3 (𝐽 ∈ Conn β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 ((π‘₯ β‰  βˆ… ∧ 𝑦 β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…) β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) β‰  βˆͺ 𝐽))
11 topontop 22406 . . . 4 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
121cldopn 22526 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∈ 𝐽)
1312adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∈ 𝐽)
14 df-3an 1089 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ β‰  βˆ… ∧ 𝑦 β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…) ↔ ((π‘₯ β‰  βˆ… ∧ 𝑦 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…))
15 ineq2 4205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) β†’ (π‘₯ ∩ 𝑦) = (π‘₯ ∩ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯)))
16 disjdif 4470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∩ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯)) = βˆ…
1715, 16eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) β†’ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)
1817biantrud 532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) β†’ ((π‘₯ β‰  βˆ… ∧ 𝑦 β‰  βˆ…) ↔ ((π‘₯ β‰  βˆ… ∧ 𝑦 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…)))
19 neeq1 3003 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) β†’ (𝑦 β‰  βˆ… ↔ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) β‰  βˆ…))
2019anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) β†’ ((π‘₯ β‰  βˆ… ∧ 𝑦 β‰  βˆ…) ↔ (π‘₯ β‰  βˆ… ∧ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) β‰  βˆ…)))
2118, 20bitr3d 280 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) β†’ (((π‘₯ β‰  βˆ… ∧ 𝑦 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…) ↔ (π‘₯ β‰  βˆ… ∧ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) β‰  βˆ…)))
2214, 21bitrid 282 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) β†’ ((π‘₯ β‰  βˆ… ∧ 𝑦 β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…) ↔ (π‘₯ β‰  βˆ… ∧ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) β‰  βˆ…)))
23 uneq2 4156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) = (π‘₯ βˆͺ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯)))
24 undif2 4475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ βˆͺ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯)) = (π‘₯ βˆͺ βˆͺ 𝐽)
2523, 24eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) = (π‘₯ βˆͺ βˆͺ 𝐽))
2625neeq1d 3000 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) β†’ ((π‘₯ βˆͺ 𝑦) β‰  βˆͺ 𝐽 ↔ (π‘₯ βˆͺ βˆͺ 𝐽) β‰  βˆͺ 𝐽))
2722, 26imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) β†’ (((π‘₯ β‰  βˆ… ∧ 𝑦 β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…) β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) β‰  βˆͺ 𝐽) ↔ ((π‘₯ β‰  βˆ… ∧ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) β‰  βˆ…) β†’ (π‘₯ βˆͺ βˆͺ 𝐽) β‰  βˆͺ 𝐽)))
2827rspcv 3608 . . . . . . . . . . . . 13 ((βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) ∈ 𝐽 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 ((π‘₯ β‰  βˆ… ∧ 𝑦 β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…) β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) β‰  βˆͺ 𝐽) β†’ ((π‘₯ β‰  βˆ… ∧ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) β‰  βˆ…) β†’ (π‘₯ βˆͺ βˆͺ 𝐽) β‰  βˆͺ 𝐽)))
2913, 28syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 ((π‘₯ β‰  βˆ… ∧ 𝑦 β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…) β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) β‰  βˆͺ 𝐽) β†’ ((π‘₯ β‰  βˆ… ∧ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) β‰  βˆ…) β†’ (π‘₯ βˆͺ βˆͺ 𝐽) β‰  βˆͺ 𝐽)))
301cldss 22524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝐽)
3130adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝐽)
32 ssequn1 4179 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝐽 ↔ (π‘₯ βˆͺ βˆͺ 𝐽) = βˆͺ 𝐽)
3331, 32sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (π‘₯ βˆͺ βˆͺ 𝐽) = βˆͺ 𝐽)
34 ssdif0 4362 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆͺ 𝐽 βŠ† π‘₯ ↔ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) = βˆ…)
35 idd 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (βˆͺ 𝐽 βŠ† π‘₯ β†’ βˆͺ 𝐽 βŠ† π‘₯))
3635, 31jctild 526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (βˆͺ 𝐽 βŠ† π‘₯ β†’ (π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 βŠ† π‘₯)))
37 eqss 3996 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = βˆͺ 𝐽 ↔ (π‘₯ βŠ† βˆͺ 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 βŠ† π‘₯))
3836, 37syl6ibr 251 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (βˆͺ 𝐽 βŠ† π‘₯ β†’ π‘₯ = βˆͺ 𝐽))
3934, 38biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ ((βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) = βˆ… β†’ π‘₯ = βˆͺ 𝐽))
4033, 39embantd 59 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (((π‘₯ βˆͺ βˆͺ 𝐽) = βˆͺ 𝐽 β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) = βˆ…) β†’ π‘₯ = βˆͺ 𝐽))
4140orim2d 965 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ ((π‘₯ = βˆ… ∨ ((π‘₯ βˆͺ βˆͺ 𝐽) = βˆͺ 𝐽 β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) = βˆ…)) β†’ (π‘₯ = βˆ… ∨ π‘₯ = βˆͺ 𝐽)))
42 impexp 451 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ β‰  βˆ… ∧ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) β‰  βˆ…) β†’ (π‘₯ βˆͺ βˆͺ 𝐽) β‰  βˆͺ 𝐽) ↔ (π‘₯ β‰  βˆ… β†’ ((βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) β‰  βˆ… β†’ (π‘₯ βˆͺ βˆͺ 𝐽) β‰  βˆͺ 𝐽)))
43 df-ne 2941 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ β‰  βˆ… ↔ Β¬ π‘₯ = βˆ…)
44 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) β‰  βˆ… β†’ (π‘₯ βˆͺ βˆͺ 𝐽) β‰  βˆͺ 𝐽) β†’ ((βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) β‰  βˆ… β†’ (π‘₯ βˆͺ βˆͺ 𝐽) β‰  βˆͺ 𝐽))
4544necon4d 2964 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) β‰  βˆ… β†’ (π‘₯ βˆͺ βˆͺ 𝐽) β‰  βˆͺ 𝐽) β†’ ((π‘₯ βˆͺ βˆͺ 𝐽) = βˆͺ 𝐽 β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) = βˆ…))
46 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘₯ βˆͺ βˆͺ 𝐽) = βˆͺ 𝐽 β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) = βˆ…) β†’ ((π‘₯ βˆͺ βˆͺ 𝐽) = βˆͺ 𝐽 β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) = βˆ…))
4746necon3d 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘₯ βˆͺ βˆͺ 𝐽) = βˆͺ 𝐽 β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) = βˆ…) β†’ ((βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) β‰  βˆ… β†’ (π‘₯ βˆͺ βˆͺ 𝐽) β‰  βˆͺ 𝐽))
4845, 47impbii 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) β‰  βˆ… β†’ (π‘₯ βˆͺ βˆͺ 𝐽) β‰  βˆͺ 𝐽) ↔ ((π‘₯ βˆͺ βˆͺ 𝐽) = βˆͺ 𝐽 β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) = βˆ…))
4943, 48imbi12i 350 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ β‰  βˆ… β†’ ((βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) β‰  βˆ… β†’ (π‘₯ βˆͺ βˆͺ 𝐽) β‰  βˆͺ 𝐽)) ↔ (Β¬ π‘₯ = βˆ… β†’ ((π‘₯ βˆͺ βˆͺ 𝐽) = βˆͺ 𝐽 β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) = βˆ…)))
50 pm4.64 847 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Β¬ π‘₯ = βˆ… β†’ ((π‘₯ βˆͺ βˆͺ 𝐽) = βˆͺ 𝐽 β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) = βˆ…)) ↔ (π‘₯ = βˆ… ∨ ((π‘₯ βˆͺ βˆͺ 𝐽) = βˆͺ 𝐽 β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) = βˆ…)))
5149, 50bitri 274 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ β‰  βˆ… β†’ ((βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) β‰  βˆ… β†’ (π‘₯ βˆͺ βˆͺ 𝐽) β‰  βˆͺ 𝐽)) ↔ (π‘₯ = βˆ… ∨ ((π‘₯ βˆͺ βˆͺ 𝐽) = βˆͺ 𝐽 β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) = βˆ…)))
5242, 51bitri 274 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ β‰  βˆ… ∧ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) β‰  βˆ…) β†’ (π‘₯ βˆͺ βˆͺ 𝐽) β‰  βˆͺ 𝐽) ↔ (π‘₯ = βˆ… ∨ ((π‘₯ βˆͺ βˆͺ 𝐽) = βˆͺ 𝐽 β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) = βˆ…)))
53 vex 3478 . . . . . . . . . . . . . 14 π‘₯ ∈ V
5453elpr 4650 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ {βˆ…, βˆͺ 𝐽} ↔ (π‘₯ = βˆ… ∨ π‘₯ = βˆͺ 𝐽))
5541, 52, 543imtr4g 295 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (((π‘₯ β‰  βˆ… ∧ (βˆͺ 𝐽 βˆ– π‘₯) β‰  βˆ…) β†’ (π‘₯ βˆͺ βˆͺ 𝐽) β‰  βˆͺ 𝐽) β†’ π‘₯ ∈ {βˆ…, βˆͺ 𝐽}))
5629, 55syld 47 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 ((π‘₯ β‰  βˆ… ∧ 𝑦 β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…) β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) β‰  βˆͺ 𝐽) β†’ π‘₯ ∈ {βˆ…, βˆͺ 𝐽}))
5756ex 413 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ Top β†’ (π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 ((π‘₯ β‰  βˆ… ∧ 𝑦 β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…) β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) β‰  βˆͺ 𝐽) β†’ π‘₯ ∈ {βˆ…, βˆͺ 𝐽})))
5857com23 86 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ Top β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 ((π‘₯ β‰  βˆ… ∧ 𝑦 β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…) β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) β‰  βˆͺ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ π‘₯ ∈ {βˆ…, βˆͺ 𝐽})))
5958imim2d 57 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ Top β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐽 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 ((π‘₯ β‰  βˆ… ∧ 𝑦 β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…) β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) β‰  βˆͺ 𝐽)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐽 β†’ (π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ π‘₯ ∈ {βˆ…, βˆͺ 𝐽}))))
60 elin 3963 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (𝐽 ∩ (Clsdβ€˜π½)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜π½)))
6160imbi1i 349 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ (𝐽 ∩ (Clsdβ€˜π½)) β†’ π‘₯ ∈ {βˆ…, βˆͺ 𝐽}) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ π‘₯ ∈ {βˆ…, βˆͺ 𝐽}))
62 impexp 451 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ π‘₯ ∈ {βˆ…, βˆͺ 𝐽}) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐽 β†’ (π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ π‘₯ ∈ {βˆ…, βˆͺ 𝐽})))
6361, 62bitri 274 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ (𝐽 ∩ (Clsdβ€˜π½)) β†’ π‘₯ ∈ {βˆ…, βˆͺ 𝐽}) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐽 β†’ (π‘₯ ∈ (Clsdβ€˜π½) β†’ π‘₯ ∈ {βˆ…, βˆͺ 𝐽})))
6459, 63syl6ibr 251 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐽 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 ((π‘₯ β‰  βˆ… ∧ 𝑦 β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…) β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) β‰  βˆͺ 𝐽)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐽 ∩ (Clsdβ€˜π½)) β†’ π‘₯ ∈ {βˆ…, βˆͺ 𝐽})))
6564alimdv 1919 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top β†’ (βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐽 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 ((π‘₯ β‰  βˆ… ∧ 𝑦 β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…) β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) β‰  βˆͺ 𝐽)) β†’ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ (𝐽 ∩ (Clsdβ€˜π½)) β†’ π‘₯ ∈ {βˆ…, βˆͺ 𝐽})))
66 df-ral 3062 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 ((π‘₯ β‰  βˆ… ∧ 𝑦 β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…) β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) β‰  βˆͺ 𝐽) ↔ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐽 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 ((π‘₯ β‰  βˆ… ∧ 𝑦 β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…) β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) β‰  βˆͺ 𝐽)))
67 dfss2 3967 . . . . . 6 ((𝐽 ∩ (Clsdβ€˜π½)) βŠ† {βˆ…, βˆͺ 𝐽} ↔ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ (𝐽 ∩ (Clsdβ€˜π½)) β†’ π‘₯ ∈ {βˆ…, βˆͺ 𝐽}))
6865, 66, 673imtr4g 295 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 ((π‘₯ β‰  βˆ… ∧ 𝑦 β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…) β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) β‰  βˆͺ 𝐽) β†’ (𝐽 ∩ (Clsdβ€˜π½)) βŠ† {βˆ…, βˆͺ 𝐽}))
691isconn2 22909 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Conn ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ∩ (Clsdβ€˜π½)) βŠ† {βˆ…, βˆͺ 𝐽}))
7069baib 536 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top β†’ (𝐽 ∈ Conn ↔ (𝐽 ∩ (Clsdβ€˜π½)) βŠ† {βˆ…, βˆͺ 𝐽}))
7168, 70sylibrd 258 . . . 4 (𝐽 ∈ Top β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 ((π‘₯ β‰  βˆ… ∧ 𝑦 β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…) β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) β‰  βˆͺ 𝐽) β†’ 𝐽 ∈ Conn))
7211, 71syl 17 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 ((π‘₯ β‰  βˆ… ∧ 𝑦 β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…) β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) β‰  βˆͺ 𝐽) β†’ 𝐽 ∈ Conn))
7310, 72impbid2 225 . 2 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝐽 ∈ Conn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 ((π‘₯ β‰  βˆ… ∧ 𝑦 β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…) β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) β‰  βˆͺ 𝐽)))
74 toponuni 22407 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
7574neeq2d 3001 . . . 4 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ ((π‘₯ βˆͺ 𝑦) β‰  𝑋 ↔ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) β‰  βˆͺ 𝐽))
7675imbi2d 340 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (((π‘₯ β‰  βˆ… ∧ 𝑦 β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…) β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) β‰  𝑋) ↔ ((π‘₯ β‰  βˆ… ∧ 𝑦 β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…) β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) β‰  βˆͺ 𝐽)))
77762ralbidv 3218 . 2 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 ((π‘₯ β‰  βˆ… ∧ 𝑦 β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…) β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) β‰  𝑋) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 ((π‘₯ β‰  βˆ… ∧ 𝑦 β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…) β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) β‰  βˆͺ 𝐽)))
7873, 77bitr4d 281 1 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝐽 ∈ Conn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 ((π‘₯ β‰  βˆ… ∧ 𝑦 β‰  βˆ… ∧ (π‘₯ ∩ 𝑦) = βˆ…) β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) β‰  𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087  βˆ€wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061   βˆ– cdif 3944   βˆͺ cun 3945   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  {cpr 4629  βˆͺ cuni 4907  β€˜cfv 6540  Topctop 22386  TopOnctopon 22403  Clsdccld 22511  Conncconn 22906
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-fv 6548  df-top 22387  df-topon 22404  df-cld 22514  df-conn 22907
This theorem is referenced by:  connsuba  22915  pconnconn  34210
  Copyright terms: Public domain W3C validator