Theorem intcld 22918

Description: The intersection of a set of closed sets is closed. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
intcld	⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ⊆ (Clsd‘𝐽)) → ∩ 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem intcld

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intiin 5056	. 2 ⊢ ∩ 𝐴 = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥
2		dfss3 3966	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ (Clsd‘𝐽) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽))
3		iincld 22917	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽)) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽))
4	2, 3	sylan2b 593	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ⊆ (Clsd‘𝐽)) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽))
5	1, 4	eqeltrid 2832	1 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ⊆ (Clsd‘𝐽)) → ∩ 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935  ∀wral 3056   ⊆ wss 3944  ∅c0 4318  ∩ cint 4944  ∩ ciin 4992  ‘cfv 6542  Clsdccld 22894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rab 3428  df-v 3471  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-fv 6550  df-top 22770  df-cld 22897

This theorem is referenced by:  incld  22921  clscld  22925  cldmre  22956