Theorem intcld 23388

Description: The intersection of a set of closed sets is closed. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
intcld	⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ⊆ (Clsd‘𝐽)) → ∩ 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem intcld

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intiin 5021	. 2 ⊢ ∩ 𝐴 = ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥
2		dfss3 3902	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ (Clsd‘𝐽) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽))
3		iincld 23387	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽)) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽))
4	2, 3	sylan2b 606	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ⊆ (Clsd‘𝐽)) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽))
5	1, 4	eqeltrid 2868	1 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ⊆ (Clsd‘𝐽)) → ∩ 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281  ∩ cint 4910  ∩ ciin 4955  ‘cfv 6558  Clsdccld 23364

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-fv 6566  df-top 23242  df-cld 23367

This theorem is used by:  incld  23391  clscld  23395  cldmre  23426