Theorem cldmre 22971

Description: The closed sets of a topology comprise a Moore system on the points of the topology. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
cldmre	⊢ (𝐽 ∈ Top → (Clsd‘𝐽) ∈ (Moore‘𝑋))

Proof of Theorem cldmre

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	cldss2 22923	. . 3 ⊢ (Clsd‘𝐽) ⊆ 𝒫 𝑋
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (Clsd‘𝐽) ⊆ 𝒫 𝑋)
4	1	topcld 22928	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽))
5		intcld 22933	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ⊆ (Clsd‘𝐽)) → ∩ 𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽))
6	5	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝑥 ⊆ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∩ 𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽))
7	6	3adant1 1130	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ⊆ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∩ 𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽))
8	3, 4, 7	ismred 17569	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (Clsd‘𝐽) ∈ (Moore‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2927   ⊆ wss 3922  ∅c0 4304  𝒫 cpw 4571  ∪ cuni 4879  ∩ cint 4918  ‘cfv 6519  Moorecmre 17549  Topctop 22786  Clsdccld 22909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-ral 3047  df-rex 3056  df-rab 3412  df-v 3457  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-op 4604  df-uni 4880  df-int 4919  df-iun 4965  df-iin 4966  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5541  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-fv 6527  df-mre 17553  df-top 22787  df-cld 22912

This theorem is referenced by:  mrccls  22972  cldmreon  22987  mreclatdemoBAD  22989