Theorem cldmre 23051

Description: The closed sets of a topology comprise a Moore system on the points of the topology. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
cldmre	⊢ (𝐽 ∈ Top → (Clsd‘𝐽) ∈ (Moore‘𝑋))

Proof of Theorem cldmre

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	cldss2 23003	. . 3 ⊢ (Clsd‘𝐽) ⊆ 𝒫 𝑋
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (Clsd‘𝐽) ⊆ 𝒫 𝑋)
4	1	topcld 23008	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽))
5		intcld 23013	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ⊆ (Clsd‘𝐽)) → ∩ 𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽))
6	5	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝑥 ⊆ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∩ 𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽))
7	6	3adant1 1130	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ⊆ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∩ 𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽))
8	3, 4, 7	ismred 17621	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (Clsd‘𝐽) ∈ (Moore‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931   ⊆ wss 3933  ∅c0 4315  𝒫 cpw 4582  ∪ cuni 4889  ∩ cint 4928  ‘cfv 6542  Moorecmre 17601  Topctop 22866  Clsdccld 22989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3421  df-v 3466  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-op 4615  df-uni 4890  df-int 4929  df-iun 4975  df-iin 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-id 5560  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-fv 6550  df-mre 17605  df-top 22867  df-cld 22992

This theorem is referenced by:  mrccls  23052  cldmreon  23067  mreclatdemoBAD  23069