Theorem cldmre 23107

Description: The closed sets of a topology comprise a Moore system on the points of the topology. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
cldmre	⊢ (𝐽 ∈ Top → (Clsd‘𝐽) ∈ (Moore‘𝑋))

Proof of Theorem cldmre

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	cldss2 23059	. . 3 ⊢ (Clsd‘𝐽) ⊆ 𝒫 𝑋
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (Clsd‘𝐽) ⊆ 𝒫 𝑋)
4	1	topcld 23064	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽))
5		intcld 23069	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ⊆ (Clsd‘𝐽)) → ∩ 𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽))
6	5	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝑥 ⊆ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∩ 𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽))
7	6	3adant1 1130	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ⊆ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∩ 𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽))
8	3, 4, 7	ismred 17660	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (Clsd‘𝐽) ∈ (Moore‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  𝒫 cpw 4622  ∪ cuni 4931  ∩ cint 4970  ‘cfv 6573  Moorecmre 17640  Topctop 22920  Clsdccld 23045

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-fv 6581  df-mre 17644  df-top 22921  df-cld 23048

This theorem is referenced by:  mrccls  23108  cldmreon  23123  mreclatdemoBAD  23125