Theorem islpidl 21655

Description: Property of being a principal ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lpival.p	⊢ 𝑃 = (LPIdeal‘𝑅)
lpival.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
lpival.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
islpidl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐼 ∈ 𝑃 ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐵 𝐼 = (𝐾‘{𝑔})))

Distinct variable groups:   𝑅,𝑔   𝑃,𝑔   𝐵,𝑔   𝑔,𝐾   𝑔,𝐼

Proof of Theorem islpidl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lpival.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (LPIdeal‘𝑅)
2		lpival.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
3		lpival.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	1, 2, 3	lpival 21654	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 = ∪ 𝑔 ∈ 𝐵 {(𝐾‘{𝑔})})
5	4	eleq2d 2846	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐼 ∈ 𝑃 ↔ 𝐼 ∈ ∪ 𝑔 ∈ 𝐵 {(𝐾‘{𝑔})}))
6		eliun 4954	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ∪ 𝑔 ∈ 𝐵 {(𝐾‘{𝑔})} ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐵 𝐼 ∈ {(𝐾‘{𝑔})})
7		fvex 6899	. . . . 5 ⊢ (𝐾‘{𝑔}) ∈ V
8	7	elsn2 4622	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ {(𝐾‘{𝑔})} ↔ 𝐼 = (𝐾‘{𝑔}))
9	8	rexbii 3109	. . 3 ⊢ (∃𝑔 ∈ 𝐵 𝐼 ∈ {(𝐾‘{𝑔})} ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐵 𝐼 = (𝐾‘{𝑔}))
10	6, 9	bitri 278	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ ∪ 𝑔 ∈ 𝐵 {(𝐾‘{𝑔})} ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐵 𝐼 = (𝐾‘{𝑔}))
11	5, 10	bitrdi 290	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐼 ∈ 𝑃 ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐵 𝐼 = (𝐾‘{𝑔})))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086  {csn 4584  ∪ ciun 4950  ‘cfv 6539  Basecbs 17393  Ringcrg 20465  RSpancrsp 21491  LPIdealclpidl 21650

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fv 6547  df-lpidl 21652

This theorem is used by:  lpi0  21656  lpi1  21657  lpiss  21659  lpigen  21665  ply1lpir  26506  lpirlidllpi  33976  lsmsnidl  33999  mxidlirred  34044  lpirlnr  44213