Theorem islpidl 21298

Description: Property of being a principal ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lpival.p	⊢ 𝑃 = (LPIdeal‘𝑅)
lpival.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
lpival.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
islpidl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐼 ∈ 𝑃 ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐵 𝐼 = (𝐾‘{𝑔})))

Distinct variable groups:   𝑅,𝑔   𝑃,𝑔   𝐵,𝑔   𝑔,𝐾   𝑔,𝐼

Proof of Theorem islpidl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lpival.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (LPIdeal‘𝑅)
2		lpival.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
3		lpival.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	1, 2, 3	lpival 21297	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 = ∪ 𝑔 ∈ 𝐵 {(𝐾‘{𝑔})})
5	4	eleq2d 2819	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐼 ∈ 𝑃 ↔ 𝐼 ∈ ∪ 𝑔 ∈ 𝐵 {(𝐾‘{𝑔})}))
6		eliun 4975	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ∪ 𝑔 ∈ 𝐵 {(𝐾‘{𝑔})} ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐵 𝐼 ∈ {(𝐾‘{𝑔})})
7		fvex 6899	. . . . 5 ⊢ (𝐾‘{𝑔}) ∈ V
8	7	elsn2 4645	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ {(𝐾‘{𝑔})} ↔ 𝐼 = (𝐾‘{𝑔}))
9	8	rexbii 3082	. . 3 ⊢ (∃𝑔 ∈ 𝐵 𝐼 ∈ {(𝐾‘{𝑔})} ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐵 𝐼 = (𝐾‘{𝑔}))
10	6, 9	bitri 275	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ ∪ 𝑔 ∈ 𝐵 {(𝐾‘{𝑔})} ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐵 𝐼 = (𝐾‘{𝑔}))
11	5, 10	bitrdi 287	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐼 ∈ 𝑃 ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐵 𝐼 = (𝐾‘{𝑔})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3059  {csn 4606  ∪ ciun 4971  ‘cfv 6541  Basecbs 17230  Ringcrg 20199  RSpancrsp 21180  LPIdealclpidl 21293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-id 5558  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fv 6549  df-lpidl 21295

This theorem is referenced by:  lpi0  21299  lpi1  21300  lpiss  21302  lpigen  21308  ply1lpir  26158  lpirlidllpi  33342  lsmsnidl  33367  mxidlirred  33440  lpirlnr  43107