Theorem lpiss 21218

Description: Principal ideals are a subclass of ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lpival.p	⊢ 𝑃 = (LPIdeal‘𝑅)
lpiss.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
lpiss	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ⊆ 𝑈)

Proof of Theorem lpiss

Dummy variables 𝑔 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lpival.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (LPIdeal‘𝑅)
2		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
3		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4	1, 2, 3	islpidl 21214	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑎 ∈ 𝑃 ↔ ∃𝑔 ∈ (Base‘𝑅)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑔})))
5		snssi 4812	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ (Base‘𝑅) → {𝑔} ⊆ (Base‘𝑅))
6		lpiss.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
7	2, 3, 6	rspcl 21130	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑔} ⊆ (Base‘𝑅)) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑔}) ∈ 𝑈)
8	5, 7	sylan2 592	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑔 ∈ (Base‘𝑅)) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑔}) ∈ 𝑈)
9		eleq1 2817	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑔}) → (𝑎 ∈ 𝑈 ↔ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑔}) ∈ 𝑈))
10	8, 9	syl5ibrcom 246	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑔 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑔}) → 𝑎 ∈ 𝑈))
11	10	rexlimdva 3152	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∃𝑔 ∈ (Base‘𝑅)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑔}) → 𝑎 ∈ 𝑈))
12	4, 11	sylbid 239	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑎 ∈ 𝑃 → 𝑎 ∈ 𝑈))
13	12	ssrdv 3986	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ⊆ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∃wrex 3067   ⊆ wss 3947  {csn 4629  ‘cfv 6548  Basecbs 17179  Ringcrg 20172  LIdealclidl 21101  RSpancrsp 21102  LPIdealclpidl 21209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-subg 19077  df-mgp 20074  df-ur 20121  df-ring 20174  df-subrg 20507  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-lsp 20855  df-sra 21057  df-rgmod 21058  df-lidl 21103  df-rsp 21104  df-lpidl 21211

This theorem is referenced by:  islpir2  21219  mxidlprm  33183