Theorem lpiss 21267

Description: Principal ideals are a subclass of ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lpival.p	⊢ 𝑃 = (LPIdeal‘𝑅)
lpiss.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
lpiss	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ⊆ 𝑈)

Proof of Theorem lpiss

Dummy variables 𝑔 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lpival.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (LPIdeal‘𝑅)
2		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
3		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4	1, 2, 3	islpidl 21263	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑎 ∈ 𝑃 ↔ ∃𝑔 ∈ (Base‘𝑅)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑔})))
5		snssi 4760	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ (Base‘𝑅) → {𝑔} ⊆ (Base‘𝑅))
6		lpiss.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
7	2, 3, 6	rspcl 21173	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑔} ⊆ (Base‘𝑅)) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑔}) ∈ 𝑈)
8	5, 7	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑔 ∈ (Base‘𝑅)) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑔}) ∈ 𝑈)
9		eleq1 2819	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑔}) → (𝑎 ∈ 𝑈 ↔ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑔}) ∈ 𝑈))
10	8, 9	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑔 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑔}) → 𝑎 ∈ 𝑈))
11	10	rexlimdva 3133	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∃𝑔 ∈ (Base‘𝑅)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑔}) → 𝑎 ∈ 𝑈))
12	4, 11	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑎 ∈ 𝑃 → 𝑎 ∈ 𝑈))
13	12	ssrdv 3940	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ⊆ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056   ⊆ wss 3902  {csn 4576  ‘cfv 6481  Basecbs 17120  Ringcrg 20152  LIdealclidl 21144  RSpancrsp 21145  LPIdealclpidl 21258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-subg 19036  df-mgp 20060  df-ur 20101  df-ring 20154  df-subrg 20486  df-lmod 20796  df-lss 20866  df-lsp 20906  df-sra 21108  df-rgmod 21109  df-lidl 21146  df-rsp 21147  df-lpidl 21260

This theorem is referenced by:  islpir2  21268  mxidlprm  33433