MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lpiss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lpiss 20509
Description: Principal ideals are a subclass of ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lpival.p 𝑃 = (LPIdeal‘𝑅)
lpiss.u 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
lpiss (𝑅 ∈ Ring → 𝑃𝑈)

Proof of Theorem lpiss
Dummy variables 𝑔 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lpival.p . . . 4 𝑃 = (LPIdeal‘𝑅)
2 eqid 2738 . . . 4 (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
3 eqid 2738 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
41, 2, 3islpidl 20505 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (𝑎𝑃 ↔ ∃𝑔 ∈ (Base‘𝑅)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑔})))
5 snssi 4742 . . . . . 6 (𝑔 ∈ (Base‘𝑅) → {𝑔} ⊆ (Base‘𝑅))
6 lpiss.u . . . . . . 7 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
72, 3, 6rspcl 20481 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑔} ⊆ (Base‘𝑅)) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑔}) ∈ 𝑈)
85, 7sylan2 593 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑔 ∈ (Base‘𝑅)) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑔}) ∈ 𝑈)
9 eleq1 2826 . . . . 5 (𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑔}) → (𝑎𝑈 ↔ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑔}) ∈ 𝑈))
108, 9syl5ibrcom 246 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑔 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑔}) → 𝑎𝑈))
1110rexlimdva 3211 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (∃𝑔 ∈ (Base‘𝑅)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑔}) → 𝑎𝑈))
124, 11sylbid 239 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (𝑎𝑃𝑎𝑈))
1312ssrdv 3927 1 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wrex 3065  wss 3887  {csn 4562  cfv 6427  Basecbs 16900  Ringcrg 19771  LIdealclidl 20420  RSpancrsp 20421  LPIdealclpidl 20500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579  ax-cnex 10915  ax-resscn 10916  ax-1cn 10917  ax-icn 10918  ax-addcl 10919  ax-addrcl 10920  ax-mulcl 10921  ax-mulrcl 10922  ax-mulcom 10923  ax-addass 10924  ax-mulass 10925  ax-distr 10926  ax-i2m1 10927  ax-1ne0 10928  ax-1rid 10929  ax-rnegex 10930  ax-rrecex 10931  ax-cnre 10932  ax-pre-lttri 10933  ax-pre-lttrn 10934  ax-pre-ltadd 10935  ax-pre-mulgt0 10936
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6263  df-on 6264  df-lim 6265  df-suc 6266  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7704  df-1st 7821  df-2nd 7822  df-frecs 8085  df-wrecs 8116  df-recs 8190  df-rdg 8229  df-er 8486  df-en 8722  df-dom 8723  df-sdom 8724  df-pnf 10999  df-mnf 11000  df-xr 11001  df-ltxr 11002  df-le 11003  df-sub 11195  df-neg 11196  df-nn 11962  df-2 12024  df-3 12025  df-4 12026  df-5 12027  df-6 12028  df-7 12029  df-8 12030  df-sets 16853  df-slot 16871  df-ndx 16883  df-base 16901  df-ress 16930  df-plusg 16963  df-mulr 16964  df-sca 16966  df-vsca 16967  df-ip 16968  df-0g 17140  df-mgm 18314  df-sgrp 18363  df-mnd 18374  df-grp 18568  df-minusg 18569  df-sbg 18570  df-subg 18740  df-mgp 19709  df-ur 19726  df-ring 19773  df-subrg 20010  df-lmod 20113  df-lss 20182  df-lsp 20222  df-sra 20422  df-rgmod 20423  df-lidl 20424  df-rsp 20425  df-lpidl 20502
This theorem is referenced by:  islpir2  20510  mxidlprm  31626
  Copyright terms: Public domain W3C validator