Theorem lpigen 21668

Description: An ideal is principal iff it contains an element which right-divides all elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Wolf Lammen, 6-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lpigen.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
lpigen.p	⊢ 𝑃 = (LPIdeal‘𝑅)
lpigen.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
lpigen	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝐼 ∈ 𝑃 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝑥, ∥ ,𝑦

Proof of Theorem lpigen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lpigen.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (LPIdeal‘𝑅)
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
3		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4	1, 2, 3	islpidl 21658	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐼 ∈ 𝑃 ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑅)𝐼 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})))
5	4	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝐼 ∈ 𝑃 ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑅)𝐼 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})))
6		lpigen.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
7		lpigen.d	. . . . 5 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
8	3, 6, 2, 7	lidldvgen 21667	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦)))
9	8	3expa 1136	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦)))
10	9	rexbidva 3184	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝑅)𝐼 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦)))
11		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦)) → (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦))
12	3, 6	lidlss 21499	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
13	12	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
14	13	sseld 3908	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝑥 ∈ 𝐼 → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)))
15	14	adantrd 497	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)))
16	15	ancrd 561	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦))))
17	11, 16	impbid2 229	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦)))
18	17	rexbidv2 3182	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦))
19	5, 10, 18	3bitrd 308	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝐼 ∈ 𝑃 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3896  {csn 4584   class class class wbr 5102  ‘cfv 6543  Basecbs 17396  Ringcrg 20468  ∥_rcdsr 20593  LIdealclidl 21493  RSpancrsp 21494  LPIdealclpidl 21653

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-ip 17455  df-0g 17621  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-grp 19156  df-minusg 19157  df-sbg 19158  df-subg 19342  df-mgp 20370  df-ur 20417  df-ring 20470  df-dvdsr 20596  df-subrg 20831  df-lmod 21146  df-lss 21216  df-lsp 21256  df-sra 21457  df-rgmod 21458  df-lidl 21495  df-rsp 21496  df-lpidl 21655

This theorem is used by:  zringlpir  21782