Theorem lpigen 21368

Description: An ideal is principal iff it contains an element which right-divides all elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Wolf Lammen, 6-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lpigen.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
lpigen.p	⊢ 𝑃 = (LPIdeal‘𝑅)
lpigen.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
lpigen	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝐼 ∈ 𝑃 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝑥, ∥ ,𝑦

Proof of Theorem lpigen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lpigen.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (LPIdeal‘𝑅)
2		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
3		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4	1, 2, 3	islpidl 21358	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐼 ∈ 𝑃 ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑅)𝐼 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})))
5	4	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝐼 ∈ 𝑃 ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑅)𝐼 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})))
6		lpigen.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
7		lpigen.d	. . . . 5 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
8	3, 6, 2, 7	lidldvgen 21367	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦)))
9	8	3expa 1118	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦)))
10	9	rexbidva 3183	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝑅)𝐼 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦)))
11		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦)) → (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦))
12	3, 6	lidlss 21245	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
13	12	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
14	13	sseld 4007	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝑥 ∈ 𝐼 → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)))
15	14	adantrd 491	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)))
16	15	ancrd 551	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦))))
17	11, 16	impbid2 226	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦)))
18	17	rexbidv2 3181	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦))
19	5, 10, 18	3bitrd 305	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝐼 ∈ 𝑃 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   ⊆ wss 3976  {csn 4648   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  Basecbs 17258  Ringcrg 20260  ∥_rcdsr 20380  LIdealclidl 21239  RSpancrsp 21240  LPIdealclpidl 21353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-subg 19163  df-mgp 20162  df-ur 20209  df-ring 20262  df-dvdsr 20383  df-subrg 20597  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lsp 20993  df-sra 21195  df-rgmod 21196  df-lidl 21241  df-rsp 21242  df-lpidl 21355

This theorem is referenced by:  zringlpir  21501