MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lpigen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lpigen 21318
Description: An ideal is principal iff it contains an element which right-divides all elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Wolf Lammen, 6-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lpigen.u 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
lpigen.p 𝑃 = (LPIdeal‘𝑅)
lpigen.d = (∥r𝑅)
Assertion
Ref Expression
lpigen ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → (𝐼𝑃 ↔ ∃𝑥𝐼𝑦𝐼 𝑥 𝑦))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝑥, ,𝑦

Proof of Theorem lpigen
StepHypRef Expression
1 lpigen.p . . . 4 𝑃 = (LPIdeal‘𝑅)
2 eqid 2726 . . . 4 (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
3 eqid 2726 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
41, 2, 3islpidl 21308 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (𝐼𝑃 ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑅)𝐼 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})))
54adantr 479 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → (𝐼𝑃 ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑅)𝐼 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})))
6 lpigen.u . . . . 5 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
7 lpigen.d . . . . 5 = (∥r𝑅)
83, 6, 2, 7lidldvgen 21317 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ↔ (𝑥𝐼 ∧ ∀𝑦𝐼 𝑥 𝑦)))
983expa 1115 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ↔ (𝑥𝐼 ∧ ∀𝑦𝐼 𝑥 𝑦)))
109rexbidva 3167 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝑅)𝐼 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(𝑥𝐼 ∧ ∀𝑦𝐼 𝑥 𝑦)))
11 simpr 483 . . . 4 ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑥𝐼 ∧ ∀𝑦𝐼 𝑥 𝑦)) → (𝑥𝐼 ∧ ∀𝑦𝐼 𝑥 𝑦))
123, 6lidlss 21195 . . . . . . . 8 (𝐼𝑈𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
1312adantl 480 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
1413sseld 3978 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → (𝑥𝐼𝑥 ∈ (Base‘𝑅)))
1514adantrd 490 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → ((𝑥𝐼 ∧ ∀𝑦𝐼 𝑥 𝑦) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)))
1615ancrd 550 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → ((𝑥𝐼 ∧ ∀𝑦𝐼 𝑥 𝑦) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑥𝐼 ∧ ∀𝑦𝐼 𝑥 𝑦))))
1711, 16impbid2 225 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑥𝐼 ∧ ∀𝑦𝐼 𝑥 𝑦)) ↔ (𝑥𝐼 ∧ ∀𝑦𝐼 𝑥 𝑦)))
1817rexbidv2 3165 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(𝑥𝐼 ∧ ∀𝑦𝐼 𝑥 𝑦) ↔ ∃𝑥𝐼𝑦𝐼 𝑥 𝑦))
195, 10, 183bitrd 304 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → (𝐼𝑃 ↔ ∃𝑥𝐼𝑦𝐼 𝑥 𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  wrex 3060  wss 3947  {csn 4624   class class class wbr 5144  cfv 6544  Basecbs 17206  Ringcrg 20210  rcdsr 20330  LIdealclidl 21189  RSpancrsp 21190  LPIdealclpidl 21303
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4907  df-int 4948  df-iun 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-nn 12257  df-2 12319  df-3 12320  df-4 12321  df-5 12322  df-6 12323  df-7 12324  df-8 12325  df-sets 17159  df-slot 17177  df-ndx 17189  df-base 17207  df-ress 17236  df-plusg 17272  df-mulr 17273  df-sca 17275  df-vsca 17276  df-ip 17277  df-0g 17449  df-mgm 18626  df-sgrp 18705  df-mnd 18721  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-subg 19111  df-mgp 20112  df-ur 20159  df-ring 20212  df-dvdsr 20333  df-subrg 20547  df-lmod 20832  df-lss 20903  df-lsp 20943  df-sra 21145  df-rgmod 21146  df-lidl 21191  df-rsp 21192  df-lpidl 21305
This theorem is referenced by:  zringlpir  21451
  Copyright terms: Public domain W3C validator