Theorem lpigen 20893

Description: An ideal is principal iff it contains an element which right-divides all elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Wolf Lammen, 6-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lpigen.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
lpigen.p	⊢ 𝑃 = (LPIdeal‘𝑅)
lpigen.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
lpigen	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝐼 ∈ 𝑃 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝑥, ∥ ,𝑦

Proof of Theorem lpigen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lpigen.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (LPIdeal‘𝑅)
2		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
3		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4	1, 2, 3	islpidl 20883	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐼 ∈ 𝑃 ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑅)𝐼 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})))
5	4	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝐼 ∈ 𝑃 ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑅)𝐼 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})))
6		lpigen.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
7		lpigen.d	. . . . 5 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
8	3, 6, 2, 7	lidldvgen 20892	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦)))
9	8	3expa 1118	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦)))
10	9	rexbidva 3176	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝑅)𝐼 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦)))
11		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦)) → (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦))
12	3, 6	lidlss 20832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
13	12	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
14	13	sseld 3981	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝑥 ∈ 𝐼 → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)))
15	14	adantrd 492	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)))
16	15	ancrd 552	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦))))
17	11, 16	impbid2 225	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦)))
18	17	rexbidv2 3174	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦))
19	5, 10, 18	3bitrd 304	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝐼 ∈ 𝑃 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3948  {csn 4628   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  Basecbs 17143  Ringcrg 20055  ∥_rcdsr 20167  LIdealclidl 20782  RSpancrsp 20783  LPIdealclpidl 20878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-subg 19002  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-dvdsr 20170  df-subrg 20316  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-lsp 20582  df-sra 20784  df-rgmod 20785  df-lidl 20786  df-rsp 20787  df-lpidl 20880

This theorem is referenced by:  zringlpir  21036