Theorem lpigen 19579

Description: An ideal is principal iff it contains an element which right-divides all elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Wolf Lammen, 6-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lpigen.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
lpigen.p	⊢ 𝑃 = (LPIdeal‘𝑅)
lpigen.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
lpigen	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝐼 ∈ 𝑃 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝑥, ∥ ,𝑦

Proof of Theorem lpigen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lpigen.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (LPIdeal‘𝑅)
2		eqid 2799	. . . 4 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
3		eqid 2799	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4	1, 2, 3	islpidl 19569	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐼 ∈ 𝑃 ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑅)𝐼 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})))
5	4	adantr 473	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝐼 ∈ 𝑃 ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑅)𝐼 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})))
6		lpigen.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
7		lpigen.d	. . . . 5 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
8	3, 6, 2, 7	lidldvgen 19578	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦)))
9	8	3expa 1148	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦)))
10	9	rexbidva 3230	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝑅)𝐼 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦)))
11		simpr 478	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦)) → (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦))
12	3, 6	lidlss 19533	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
13	12	adantl 474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
14	13	sseld 3797	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝑥 ∈ 𝐼 → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)))
15	14	adantrd 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)))
16	15	ancrd 548	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦))))
17	11, 16	impbid2 218	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦)))
18	17	rexbidv2 3229	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦))
19	5, 10, 18	3bitrd 297	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝐼 ∈ 𝑃 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  ∀wral 3089  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3769  {csn 4368   class class class wbr 4843  ‘cfv 6101  Basecbs 16184  Ringcrg 18863  ∥_rcdsr 18954  LIdealclidl 19493  RSpancrsp 19494  LPIdealclpidl 19564

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-ip 16285  df-0g 16417  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-grp 17741  df-minusg 17742  df-sbg 17743  df-subg 17904  df-mgp 18806  df-ur 18818  df-ring 18865  df-dvdsr 18957  df-subrg 19096  df-lmod 19183  df-lss 19251  df-lsp 19293  df-sra 19495  df-rgmod 19496  df-lidl 19497  df-rsp 19498  df-lpidl 19566

This theorem is referenced by:  zringlpir  20159