MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lpigen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lpigen 21225
Description: An ideal is principal iff it contains an element which right-divides all elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Wolf Lammen, 6-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lpigen.u π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘…)
lpigen.p 𝑃 = (LPIdealβ€˜π‘…)
lpigen.d βˆ₯ = (βˆ₯rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
lpigen ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐼 ∈ 𝑃 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐼 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 π‘₯ βˆ₯ 𝑦))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑅,𝑦   π‘₯,𝐼,𝑦   π‘₯,π‘ˆ,𝑦   π‘₯,𝑃,𝑦   π‘₯, βˆ₯ ,𝑦

Proof of Theorem lpigen
StepHypRef Expression
1 lpigen.p . . . 4 𝑃 = (LPIdealβ€˜π‘…)
2 eqid 2728 . . . 4 (RSpanβ€˜π‘…) = (RSpanβ€˜π‘…)
3 eqid 2728 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
41, 2, 3islpidl 21215 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ (𝐼 ∈ 𝑃 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)𝐼 = ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{π‘₯})))
54adantr 480 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐼 ∈ 𝑃 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)𝐼 = ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{π‘₯})))
6 lpigen.u . . . . 5 π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘…)
7 lpigen.d . . . . 5 βˆ₯ = (βˆ₯rβ€˜π‘…)
83, 6, 2, 7lidldvgen 21224 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝐼 = ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{π‘₯}) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 π‘₯ βˆ₯ 𝑦)))
983expa 1116 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝐼 = ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{π‘₯}) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 π‘₯ βˆ₯ 𝑦)))
109rexbidva 3173 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)𝐼 = ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{π‘₯}) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)(π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 π‘₯ βˆ₯ 𝑦)))
11 simpr 484 . . . 4 ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 π‘₯ βˆ₯ 𝑦)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 π‘₯ βˆ₯ 𝑦))
123, 6lidlss 21108 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ π‘ˆ β†’ 𝐼 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
1312adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐼 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
1413sseld 3979 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)))
1514adantrd 491 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 π‘₯ βˆ₯ 𝑦) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)))
1615ancrd 551 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 π‘₯ βˆ₯ 𝑦) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 π‘₯ βˆ₯ 𝑦))))
1711, 16impbid2 225 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 π‘₯ βˆ₯ 𝑦)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 π‘₯ βˆ₯ 𝑦)))
1817rexbidv2 3171 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)(π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 π‘₯ βˆ₯ 𝑦) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐼 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 π‘₯ βˆ₯ 𝑦))
195, 10, 183bitrd 305 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐼 ∈ 𝑃 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐼 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 π‘₯ βˆ₯ 𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067   βŠ† wss 3947  {csn 4629   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6548  Basecbs 17180  Ringcrg 20173  βˆ₯rcdsr 20293  LIdealclidl 21102  RSpancrsp 21103  LPIdealclpidl 21210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-0g 17423  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-subg 19078  df-mgp 20075  df-ur 20122  df-ring 20175  df-dvdsr 20296  df-subrg 20508  df-lmod 20745  df-lss 20816  df-lsp 20856  df-sra 21058  df-rgmod 21059  df-lidl 21104  df-rsp 21105  df-lpidl 21212
This theorem is referenced by:  zringlpir  21393
  Copyright terms: Public domain W3C validator