Theorem lpigen 21468

Description: An ideal is principal iff it contains an element which right-divides all elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Wolf Lammen, 6-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lpigen.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
lpigen.p	⊢ 𝑃 = (LPIdeal‘𝑅)
lpigen.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
lpigen	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝐼 ∈ 𝑃 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝑥, ∥ ,𝑦

Proof of Theorem lpigen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lpigen.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (LPIdeal‘𝑅)
2		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
3		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4	1, 2, 3	islpidl 21458	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐼 ∈ 𝑃 ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑅)𝐼 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})))
5	4	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝐼 ∈ 𝑃 ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑅)𝐼 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})))
6		lpigen.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
7		lpigen.d	. . . . 5 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
8	3, 6, 2, 7	lidldvgen 21467	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦)))
9	8	3expa 1134	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ↔ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦)))
10	9	rexbidva 3193	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝑅)𝐼 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦)))
11		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦)) → (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦))
12	3, 6	lidlss 21310	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
13	12	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
14	13	sseld 3944	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝑥 ∈ 𝐼 → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)))
15	14	adantrd 496	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)))
16	15	ancrd 560	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦))))
17	11, 16	impbid2 229	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦)))
18	17	rexbidv2 3191	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦))
19	5, 10, 18	3bitrd 308	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝐼 ∈ 𝑃 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐼 ∀𝑦 ∈ 𝐼 𝑥 ∥ 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  ∃wrex 3095   ⊆ wss 3913  {csn 4591   class class class wbr 5110  ‘cfv 6534  Basecbs 17265  Ringcrg 20311  ∥_rcdsr 20432  LIdealclidl 21304  RSpancrsp 21305  LPIdealclpidl 21453

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-0g 17490  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-sbg 19001  df-subg 19185  df-mgp 20213  df-ur 20260  df-ring 20313  df-dvdsr 20435  df-subrg 20651  df-lmod 20957  df-lss 21027  df-lsp 21067  df-sra 21268  df-rgmod 21269  df-lidl 21306  df-rsp 21307  df-lpidl 21455

This theorem is referenced by:  zringlpir  21582