Theorem lpi1 20878

Description: The unit ideal is always principal. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lpival.p	⊢ 𝑃 = (LPIdeal‘𝑅)
lpi1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
lpi1	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ 𝑃)

Proof of Theorem lpi1

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lpi1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3	1, 2	ringidcl 20076	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
4		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
5	4, 1, 2	rsp1 20841	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((RSpan‘𝑅)‘{(1r‘𝑅)}) = 𝐵)
6	5	eqcomd 2738	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 = ((RSpan‘𝑅)‘{(1r‘𝑅)}))
7		sneq 4637	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = (1r‘𝑅) → {𝑔} = {(1r‘𝑅)})
8	7	fveq2d 6892	. . . 4 ⊢ (𝑔 = (1r‘𝑅) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑔}) = ((RSpan‘𝑅)‘{(1r‘𝑅)}))
9	8	rspceeqv 3632	. . 3 ⊢ (((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 = ((RSpan‘𝑅)‘{(1r‘𝑅)})) → ∃𝑔 ∈ 𝐵 𝐵 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑔}))
10	3, 6, 9	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∃𝑔 ∈ 𝐵 𝐵 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑔}))
11		lpival.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (LPIdeal‘𝑅)
12	11, 4, 1	islpidl 20876	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐵 ∈ 𝑃 ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐵 𝐵 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑔})))
13	10, 12	mpbird 256	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3070  {csn 4627  ‘cfv 6540  Basecbs 17140  1_rcur 19998  Ringcrg 20049  RSpancrsp 20776  LPIdealclpidl 20871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-lidl 20779  df-rsp 20780  df-lpidl 20873

This theorem is referenced by:  drnglpir  20883