Theorem lsmsnidl 33952

Description: The product of the ring with a single element is a principal ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmsnpridl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
lsmsnpridl.2	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
lsmsnpridl.3	⊢ × = (LSSum‘𝐺)
lsmsnpridl.4	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
lsmsnpridl.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
lsmsnpridl.6	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lsmsnidl	⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑋}) ∈ (LPIdeal‘𝑅))

Proof of Theorem lsmsnidl

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmsnpridl.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		sneq 4593	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → {𝑦} = {𝑋})
3	2	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝐾‘{𝑦}) = (𝐾‘{𝑋}))
4	3	eqeq2d 2771	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → ((𝐵 × {𝑋}) = (𝐾‘{𝑦}) ↔ (𝐵 × {𝑋}) = (𝐾‘{𝑋})))
5	4	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝑋) → ((𝐵 × {𝑋}) = (𝐾‘{𝑦}) ↔ (𝐵 × {𝑋}) = (𝐾‘{𝑋})))
6		lsmsnpridl.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		lsmsnpridl.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
8		lsmsnpridl.3	. . . 4 ⊢ × = (LSSum‘𝐺)
9		lsmsnpridl.4	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
10		lsmsnpridl.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
11	6, 7, 8, 9, 10, 1	lsmsnpridl 33951	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑋}) = (𝐾‘{𝑋}))
12	1, 5, 11	rspcedvd 3578	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝐵 × {𝑋}) = (𝐾‘{𝑦}))
13		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (LPIdeal‘𝑅) = (LPIdeal‘𝑅)
14	13, 9, 6	islpidl 21649	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝐵 × {𝑋}) ∈ (LPIdeal‘𝑅) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝐵 × {𝑋}) = (𝐾‘{𝑦})))
15	10, 14	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × {𝑋}) ∈ (LPIdeal‘𝑅) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝐵 × {𝑋}) = (𝐾‘{𝑦})))
16	12, 15	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑋}) ∈ (LPIdeal‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086  {csn 4583  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  LSSumclsm 19848  mulGrpcmgp 20360  Ringcrg 20459  RSpancrsp 21485  LPIdealclpidl 21644

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-subg 19333  df-lsm 19850  df-mgp 20361  df-ur 20408  df-ring 20461  df-subrg 20822  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-lsp 21247  df-sra 21448  df-rgmod 21449  df-rsp 21487  df-lpidl 21646

This theorem is used by:  mxidlprm  33995