Theorem lsmsnidl 33719

Description: The product of the ring with a single element is a principal ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmsnpridl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
lsmsnpridl.2	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
lsmsnpridl.3	⊢ × = (LSSum‘𝐺)
lsmsnpridl.4	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
lsmsnpridl.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
lsmsnpridl.6	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lsmsnidl	⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑋}) ∈ (LPIdeal‘𝑅))

Proof of Theorem lsmsnidl

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmsnpridl.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		sneq 4599	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → {𝑦} = {𝑋})
3	2	fveq2d 6885	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝐾‘{𝑦}) = (𝐾‘{𝑋}))
4	3	eqeq2d 2774	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → ((𝐵 × {𝑋}) = (𝐾‘{𝑦}) ↔ (𝐵 × {𝑋}) = (𝐾‘{𝑋})))
5	4	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝑋) → ((𝐵 × {𝑋}) = (𝐾‘{𝑦}) ↔ (𝐵 × {𝑋}) = (𝐾‘{𝑋})))
6		lsmsnpridl.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		lsmsnpridl.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
8		lsmsnpridl.3	. . . 4 ⊢ × = (LSSum‘𝐺)
9		lsmsnpridl.4	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
10		lsmsnpridl.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
11	6, 7, 8, 9, 10, 1	lsmsnpridl 33718	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑋}) = (𝐾‘{𝑋}))
12	1, 5, 11	rspcedvd 3583	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝐵 × {𝑋}) = (𝐾‘{𝑦}))
13		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (LPIdeal‘𝑅) = (LPIdeal‘𝑅)
14	13, 9, 6	islpidl 21502	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝐵 × {𝑋}) ∈ (LPIdeal‘𝑅) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝐵 × {𝑋}) = (𝐾‘{𝑦})))
15	10, 14	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × {𝑋}) ∈ (LPIdeal‘𝑅) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝐵 × {𝑋}) = (𝐾‘{𝑦})))
16	12, 15	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑋}) ∈ (LPIdeal‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089  {csn 4589  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17273  LSSumclsm 19708  mulGrpcmgp 20220  Ringcrg 20319  RSpancrsp 21340  LPIdealclpidl 21497

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-sets 17228  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-ress 17295  df-plusg 17327  df-mulr 17328  df-sca 17330  df-vsca 17331  df-ip 17332  df-0g 17498  df-mgm 18702  df-sgrp 18781  df-mnd 18797  df-grp 19007  df-minusg 19008  df-sbg 19009  df-subg 19193  df-lsm 19710  df-mgp 20221  df-ur 20268  df-ring 20321  df-subrg 20678  df-lmod 20992  df-lss 21062  df-lsp 21102  df-sra 21303  df-rgmod 21304  df-rsp 21342  df-lpidl 21499

This theorem is used by:  mxidlprm  33762