Theorem lsmsnidl 31722

Description: The product of the ring with a single element is a principal ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmsnpridl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
lsmsnpridl.2	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
lsmsnpridl.3	⊢ × = (LSSum‘𝐺)
lsmsnpridl.4	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
lsmsnpridl.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
lsmsnpridl.6	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lsmsnidl	⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑋}) ∈ (LPIdeal‘𝑅))

Proof of Theorem lsmsnidl

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmsnpridl.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		sneq 4580	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → {𝑦} = {𝑋})
3	2	fveq2d 6815	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝐾‘{𝑦}) = (𝐾‘{𝑋}))
4	3	eqeq2d 2747	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → ((𝐵 × {𝑋}) = (𝐾‘{𝑦}) ↔ (𝐵 × {𝑋}) = (𝐾‘{𝑋})))
5	4	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝑋) → ((𝐵 × {𝑋}) = (𝐾‘{𝑦}) ↔ (𝐵 × {𝑋}) = (𝐾‘{𝑋})))
6		lsmsnpridl.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		lsmsnpridl.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
8		lsmsnpridl.3	. . . 4 ⊢ × = (LSSum‘𝐺)
9		lsmsnpridl.4	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
10		lsmsnpridl.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
11	6, 7, 8, 9, 10, 1	lsmsnpridl 31721	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑋}) = (𝐾‘{𝑋}))
12	1, 5, 11	rspcedvd 3571	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝐵 × {𝑋}) = (𝐾‘{𝑦}))
13		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (LPIdeal‘𝑅) = (LPIdeal‘𝑅)
14	13, 9, 6	islpidl 20597	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝐵 × {𝑋}) ∈ (LPIdeal‘𝑅) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝐵 × {𝑋}) = (𝐾‘{𝑦})))
15	10, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × {𝑋}) ∈ (LPIdeal‘𝑅) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝐵 × {𝑋}) = (𝐾‘{𝑦})))
16	12, 15	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑋}) ∈ (LPIdeal‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∃wrex 3070  {csn 4570  ‘cfv 6465  (class class class)co 7316  Basecbs 16986  LSSumclsm 19312  mulGrpcmgp 19792  Ringcrg 19855  RSpancrsp 20513  LPIdealclpidl 20592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pow 5302  ax-pr 5366  ax-un 7629  ax-cnex 11006  ax-resscn 11007  ax-1cn 11008  ax-icn 11009  ax-addcl 11010  ax-addrcl 11011  ax-mulcl 11012  ax-mulrcl 11013  ax-mulcom 11014  ax-addass 11015  ax-mulass 11016  ax-distr 11017  ax-i2m1 11018  ax-1ne0 11019  ax-1rid 11020  ax-rnegex 11021  ax-rrecex 11022  ax-cnre 11023  ax-pre-lttri 11024  ax-pre-lttrn 11025  ax-pre-ltadd 11026  ax-pre-mulgt0 11027

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4471  df-pw 4546  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4850  df-int 4892  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-tr 5204  df-id 5506  df-eprel 5512  df-po 5520  df-so 5521  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7273  df-ov 7319  df-oprab 7320  df-mpo 7321  df-om 7759  df-1st 7877  df-2nd 7878  df-frecs 8145  df-wrecs 8176  df-recs 8250  df-rdg 8289  df-er 8547  df-en 8783  df-dom 8784  df-sdom 8785  df-pnf 11090  df-mnf 11091  df-xr 11092  df-ltxr 11093  df-le 11094  df-sub 11286  df-neg 11287  df-nn 12053  df-2 12115  df-3 12116  df-4 12117  df-5 12118  df-6 12119  df-7 12120  df-8 12121  df-sets 16939  df-slot 16957  df-ndx 16969  df-base 16987  df-ress 17016  df-plusg 17049  df-mulr 17050  df-sca 17052  df-vsca 17053  df-ip 17054  df-0g 17226  df-mgm 18400  df-sgrp 18449  df-mnd 18460  df-grp 18653  df-minusg 18654  df-sbg 18655  df-subg 18825  df-lsm 19314  df-mgp 19793  df-ur 19810  df-ring 19857  df-subrg 20101  df-lmod 20205  df-lss 20274  df-lsp 20314  df-sra 20514  df-rgmod 20515  df-rsp 20517  df-lpidl 20594

This theorem is referenced by:  mxidlprm  31775