Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsmsnidl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmsnidl 33015
Description: The product of the ring with a single element is a principal ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmsnpridl.1 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
lsmsnpridl.2 𝐺 = (mulGrpβ€˜π‘…)
lsmsnpridl.3 Γ— = (LSSumβ€˜πΊ)
lsmsnpridl.4 𝐾 = (RSpanβ€˜π‘…)
lsmsnpridl.5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
lsmsnpridl.6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
lsmsnidl (πœ‘ β†’ (𝐡 Γ— {𝑋}) ∈ (LPIdealβ€˜π‘…))

Proof of Theorem lsmsnidl
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsmsnpridl.6 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
2 sneq 4633 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑋 β†’ {𝑦} = {𝑋})
32fveq2d 6889 . . . . 5 (𝑦 = 𝑋 β†’ (πΎβ€˜{𝑦}) = (πΎβ€˜{𝑋}))
43eqeq2d 2737 . . . 4 (𝑦 = 𝑋 β†’ ((𝐡 Γ— {𝑋}) = (πΎβ€˜{𝑦}) ↔ (𝐡 Γ— {𝑋}) = (πΎβ€˜{𝑋})))
54adantl 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 = 𝑋) β†’ ((𝐡 Γ— {𝑋}) = (πΎβ€˜{𝑦}) ↔ (𝐡 Γ— {𝑋}) = (πΎβ€˜{𝑋})))
6 lsmsnpridl.1 . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
7 lsmsnpridl.2 . . . 4 𝐺 = (mulGrpβ€˜π‘…)
8 lsmsnpridl.3 . . . 4 Γ— = (LSSumβ€˜πΊ)
9 lsmsnpridl.4 . . . 4 𝐾 = (RSpanβ€˜π‘…)
10 lsmsnpridl.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
116, 7, 8, 9, 10, 1lsmsnpridl 33014 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐡 Γ— {𝑋}) = (πΎβ€˜{𝑋}))
121, 5, 11rspcedvd 3608 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (𝐡 Γ— {𝑋}) = (πΎβ€˜{𝑦}))
13 eqid 2726 . . . 4 (LPIdealβ€˜π‘…) = (LPIdealβ€˜π‘…)
1413, 9, 6islpidl 21178 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((𝐡 Γ— {𝑋}) ∈ (LPIdealβ€˜π‘…) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (𝐡 Γ— {𝑋}) = (πΎβ€˜{𝑦})))
1510, 14syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐡 Γ— {𝑋}) ∈ (LPIdealβ€˜π‘…) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (𝐡 Γ— {𝑋}) = (πΎβ€˜{𝑦})))
1612, 15mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ (𝐡 Γ— {𝑋}) ∈ (LPIdealβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3064  {csn 4623  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  LSSumclsm 19554  mulGrpcmgp 20039  Ringcrg 20138  RSpancrsp 21066  LPIdealclpidl 21173
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-lsm 19556  df-mgp 20040  df-ur 20087  df-ring 20140  df-subrg 20471  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-rsp 21068  df-lpidl 21175
This theorem is referenced by:  mxidlprm  33092
  Copyright terms: Public domain W3C validator