Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsmsnidl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmsnidl 30987
 Description: The product of the ring with a single element is a principal ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmsnpridl.1 𝐵 = (Base‘𝑅)
lsmsnpridl.2 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
lsmsnpridl.3 × = (LSSum‘𝐺)
lsmsnpridl.4 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
lsmsnpridl.5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
lsmsnpridl.6 (𝜑𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
lsmsnidl (𝜑 → (𝐵 × {𝑋}) ∈ (LPIdeal‘𝑅))

Proof of Theorem lsmsnidl
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsmsnpridl.6 . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
2 sneq 4549 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑋 → {𝑦} = {𝑋})
32fveq2d 6656 . . . . 5 (𝑦 = 𝑋 → (𝐾‘{𝑦}) = (𝐾‘{𝑋}))
43eqeq2d 2833 . . . 4 (𝑦 = 𝑋 → ((𝐵 × {𝑋}) = (𝐾‘{𝑦}) ↔ (𝐵 × {𝑋}) = (𝐾‘{𝑋})))
54adantl 485 . . 3 ((𝜑𝑦 = 𝑋) → ((𝐵 × {𝑋}) = (𝐾‘{𝑦}) ↔ (𝐵 × {𝑋}) = (𝐾‘{𝑋})))
6 lsmsnpridl.1 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
7 lsmsnpridl.2 . . . 4 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
8 lsmsnpridl.3 . . . 4 × = (LSSum‘𝐺)
9 lsmsnpridl.4 . . . 4 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
10 lsmsnpridl.5 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
116, 7, 8, 9, 10, 1lsmsnpridl 30986 . . 3 (𝜑 → (𝐵 × {𝑋}) = (𝐾‘{𝑋}))
121, 5, 11rspcedvd 3601 . 2 (𝜑 → ∃𝑦𝐵 (𝐵 × {𝑋}) = (𝐾‘{𝑦}))
13 eqid 2822 . . . 4 (LPIdeal‘𝑅) = (LPIdeal‘𝑅)
1413, 9, 6islpidl 20010 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ((𝐵 × {𝑋}) ∈ (LPIdeal‘𝑅) ↔ ∃𝑦𝐵 (𝐵 × {𝑋}) = (𝐾‘{𝑦})))
1510, 14syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝐵 × {𝑋}) ∈ (LPIdeal‘𝑅) ↔ ∃𝑦𝐵 (𝐵 × {𝑋}) = (𝐾‘{𝑦})))
1612, 15mpbird 260 1 (𝜑 → (𝐵 × {𝑋}) ∈ (LPIdeal‘𝑅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3131  {csn 4539  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  Basecbs 16474  LSSumclsm 18750  mulGrpcmgp 19230  Ringcrg 19288  RSpancrsp 19934  LPIdealclpidl 20005 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-ip 16574  df-0g 16706  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-subg 18267  df-lsm 18752  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-subrg 19524  df-lmod 19627  df-lss 19695  df-lsp 19735  df-sra 19935  df-rgmod 19936  df-rsp 19938  df-lpidl 20007 This theorem is referenced by:  mxidlprm  31019
 Copyright terms: Public domain W3C validator