Theorem lsmsnidl 33885

Description: The product of the ring with a single element is a principal ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmsnpridl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
lsmsnpridl.2	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
lsmsnpridl.3	⊢ × = (LSSum‘𝐺)
lsmsnpridl.4	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
lsmsnpridl.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
lsmsnpridl.6	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lsmsnidl	⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑋}) ∈ (LPIdeal‘𝑅))

Proof of Theorem lsmsnidl

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmsnpridl.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		sneq 4593	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → {𝑦} = {𝑋})
3	2	fveq2d 6877	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝐾‘{𝑦}) = (𝐾‘{𝑋}))
4	3	eqeq2d 2771	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → ((𝐵 × {𝑋}) = (𝐾‘{𝑦}) ↔ (𝐵 × {𝑋}) = (𝐾‘{𝑋})))
5	4	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝑋) → ((𝐵 × {𝑋}) = (𝐾‘{𝑦}) ↔ (𝐵 × {𝑋}) = (𝐾‘{𝑋})))
6		lsmsnpridl.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		lsmsnpridl.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
8		lsmsnpridl.3	. . . 4 ⊢ × = (LSSum‘𝐺)
9		lsmsnpridl.4	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
10		lsmsnpridl.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
11	6, 7, 8, 9, 10, 1	lsmsnpridl 33884	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑋}) = (𝐾‘{𝑋}))
12	1, 5, 11	rspcedvd 3578	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝐵 × {𝑋}) = (𝐾‘{𝑦}))
13		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (LPIdeal‘𝑅) = (LPIdeal‘𝑅)
14	13, 9, 6	islpidl 21610	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝐵 × {𝑋}) ∈ (LPIdeal‘𝑅) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝐵 × {𝑋}) = (𝐾‘{𝑦})))
15	10, 14	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × {𝑋}) ∈ (LPIdeal‘𝑅) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝐵 × {𝑋}) = (𝐾‘{𝑦})))
16	12, 15	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {𝑋}) ∈ (LPIdeal‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086  {csn 4583  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  Basecbs 17348  LSSumclsm 19809  mulGrpcmgp 20321  Ringcrg 20420  RSpancrsp 21446  LPIdealclpidl 21605

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-mulr 17403  df-sca 17405  df-vsca 17406  df-ip 17407  df-0g 17573  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-grp 19108  df-minusg 19109  df-sbg 19110  df-subg 19294  df-lsm 19811  df-mgp 20322  df-ur 20369  df-ring 20422  df-subrg 20783  df-lmod 21098  df-lss 21168  df-lsp 21208  df-sra 21409  df-rgmod 21410  df-rsp 21448  df-lpidl 21607

This theorem is used by:  mxidlprm  33928