Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsmsnidl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmsnidl 33157
Description: The product of the ring with a single element is a principal ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmsnpridl.1 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
lsmsnpridl.2 𝐺 = (mulGrpβ€˜π‘…)
lsmsnpridl.3 Γ— = (LSSumβ€˜πΊ)
lsmsnpridl.4 𝐾 = (RSpanβ€˜π‘…)
lsmsnpridl.5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
lsmsnpridl.6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
lsmsnidl (πœ‘ β†’ (𝐡 Γ— {𝑋}) ∈ (LPIdealβ€˜π‘…))

Proof of Theorem lsmsnidl
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsmsnpridl.6 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
2 sneq 4634 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑋 β†’ {𝑦} = {𝑋})
32fveq2d 6896 . . . . 5 (𝑦 = 𝑋 β†’ (πΎβ€˜{𝑦}) = (πΎβ€˜{𝑋}))
43eqeq2d 2736 . . . 4 (𝑦 = 𝑋 β†’ ((𝐡 Γ— {𝑋}) = (πΎβ€˜{𝑦}) ↔ (𝐡 Γ— {𝑋}) = (πΎβ€˜{𝑋})))
54adantl 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 = 𝑋) β†’ ((𝐡 Γ— {𝑋}) = (πΎβ€˜{𝑦}) ↔ (𝐡 Γ— {𝑋}) = (πΎβ€˜{𝑋})))
6 lsmsnpridl.1 . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
7 lsmsnpridl.2 . . . 4 𝐺 = (mulGrpβ€˜π‘…)
8 lsmsnpridl.3 . . . 4 Γ— = (LSSumβ€˜πΊ)
9 lsmsnpridl.4 . . . 4 𝐾 = (RSpanβ€˜π‘…)
10 lsmsnpridl.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
116, 7, 8, 9, 10, 1lsmsnpridl 33156 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐡 Γ— {𝑋}) = (πΎβ€˜{𝑋}))
121, 5, 11rspcedvd 3603 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (𝐡 Γ— {𝑋}) = (πΎβ€˜{𝑦}))
13 eqid 2725 . . . 4 (LPIdealβ€˜π‘…) = (LPIdealβ€˜π‘…)
1413, 9, 6islpidl 21219 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((𝐡 Γ— {𝑋}) ∈ (LPIdealβ€˜π‘…) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (𝐡 Γ— {𝑋}) = (πΎβ€˜{𝑦})))
1510, 14syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐡 Γ— {𝑋}) ∈ (LPIdealβ€˜π‘…) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (𝐡 Γ— {𝑋}) = (πΎβ€˜{𝑦})))
1612, 15mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ (𝐡 Γ— {𝑋}) ∈ (LPIdealβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3060  {csn 4624  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  LSSumclsm 19593  mulGrpcmgp 20078  Ringcrg 20177  RSpancrsp 21107  LPIdealclpidl 21214
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-subg 19082  df-lsm 19595  df-mgp 20079  df-ur 20126  df-ring 20179  df-subrg 20512  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-lsp 20860  df-sra 21062  df-rgmod 21063  df-rsp 21109  df-lpidl 21216
This theorem is referenced by:  mxidlprm  33232
  Copyright terms: Public domain W3C validator