Theorem lpi0 20601

Description: The zero ideal is always principal. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lpival.p	⊢ 𝑃 = (LPIdeal‘𝑅)
lpi0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
lpi0	⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ 𝑃)

Proof of Theorem lpi0

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		lpi0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3	1, 2	ring0cl 19883	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑅))
4		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
5	4, 2	rsp0 20579	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((RSpan‘𝑅)‘{ 0 }) = { 0 })
6	5	eqcomd 2743	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } = ((RSpan‘𝑅)‘{ 0 }))
7		sneq 4581	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 0 → {𝑔} = { 0 })
8	7	fveq2d 6816	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 0 → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑔}) = ((RSpan‘𝑅)‘{ 0 }))
9	8	rspceeqv 3584	. . 3 ⊢ (( 0 ∈ (Base‘𝑅) ∧ { 0 } = ((RSpan‘𝑅)‘{ 0 })) → ∃𝑔 ∈ (Base‘𝑅){ 0 } = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑔}))
10	3, 6, 9	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∃𝑔 ∈ (Base‘𝑅){ 0 } = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑔}))
11		lpival.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (LPIdeal‘𝑅)
12	11, 4, 1	islpidl 20600	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ({ 0 } ∈ 𝑃 ↔ ∃𝑔 ∈ (Base‘𝑅){ 0 } = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑔})))
13	10, 12	mpbird 256	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∃wrex 3071  {csn 4571  ‘cfv 6466  Basecbs 16989  0_gc0g 17227  Ringcrg 19858  RSpancrsp 20516  LPIdealclpidl 20595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7630  ax-cnex 11007  ax-resscn 11008  ax-1cn 11009  ax-icn 11010  ax-addcl 11011  ax-addrcl 11012  ax-mulcl 11013  ax-mulrcl 11014  ax-mulcom 11015  ax-addass 11016  ax-mulass 11017  ax-distr 11018  ax-i2m1 11019  ax-1ne0 11020  ax-1rid 11021  ax-rnegex 11022  ax-rrecex 11023  ax-cnre 11024  ax-pre-lttri 11025  ax-pre-lttrn 11026  ax-pre-ltadd 11027  ax-pre-mulgt0 11028

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-int 4893  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5563  df-we 5565  df-xp 5614  df-rel 5615  df-cnv 5616  df-co 5617  df-dm 5618  df-rn 5619  df-res 5620  df-ima 5621  df-pred 6225  df-ord 6292  df-on 6293  df-lim 6294  df-suc 6295  df-iota 6418  df-fun 6468  df-fn 6469  df-f 6470  df-f1 6471  df-fo 6472  df-f1o 6473  df-fv 6474  df-riota 7274  df-ov 7320  df-oprab 7321  df-mpo 7322  df-om 7760  df-2nd 7879  df-frecs 8146  df-wrecs 8177  df-recs 8251  df-rdg 8290  df-er 8548  df-en 8784  df-dom 8785  df-sdom 8786  df-pnf 11091  df-mnf 11092  df-xr 11093  df-ltxr 11094  df-le 11095  df-sub 11287  df-neg 11288  df-nn 12054  df-2 12116  df-3 12117  df-4 12118  df-5 12119  df-6 12120  df-7 12121  df-8 12122  df-sets 16942  df-slot 16960  df-ndx 16972  df-base 16990  df-ress 17019  df-plusg 17052  df-mulr 17053  df-sca 17055  df-vsca 17056  df-ip 17057  df-0g 17229  df-mgm 18403  df-sgrp 18452  df-mnd 18463  df-grp 18656  df-subg 18828  df-mgp 19796  df-ur 19813  df-ring 19860  df-subrg 20104  df-lmod 20208  df-lss 20277  df-lsp 20317  df-sra 20517  df-rgmod 20518  df-rsp 20520  df-lpidl 20597

This theorem is referenced by:  drnglpir  20607  zringlpir  20772