Theorem lpi0 21376

Description: The zero ideal is always principal. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lpival.p	⊢ 𝑃 = (LPIdeal‘𝑅)
lpi0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
lpi0	⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ 𝑃)

Proof of Theorem lpi0

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		lpi0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3	1, 2	ring0cl 20296	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑅))
4		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
5	4, 2	rsp0 21288	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((RSpan‘𝑅)‘{ 0 }) = { 0 })
6	5	eqcomd 2767	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } = ((RSpan‘𝑅)‘{ 0 }))
7		sneq 4591	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 0 → {𝑔} = { 0 })
8	7	fveq2d 6867	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 0 → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑔}) = ((RSpan‘𝑅)‘{ 0 }))
9	8	rspceeqv 3604	. . 3 ⊢ (( 0 ∈ (Base‘𝑅) ∧ { 0 } = ((RSpan‘𝑅)‘{ 0 })) → ∃𝑔 ∈ (Base‘𝑅){ 0 } = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑔}))
10	3, 6, 9	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∃𝑔 ∈ (Base‘𝑅){ 0 } = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑔}))
11		lpival.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (LPIdeal‘𝑅)
12	11, 4, 1	islpidl 21375	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ({ 0 } ∈ 𝑃 ↔ ∃𝑔 ∈ (Base‘𝑅){ 0 } = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑔})))
13	10, 12	mpbird 259	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∃wrex 3085  {csn 4581  ‘cfv 6517  Basecbs 17228  0_gc0g 17451  Ringcrg 20262  RSpancrsp 21257  LPIdealclpidl 21370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-0g 17453  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-grp 18961  df-minusg 18962  df-subg 19148  df-cmn 19805  df-abl 19806  df-mgp 20170  df-rng 20182  df-ur 20211  df-ring 20264  df-subrg 20599  df-lmod 20909  df-lss 20979  df-lsp 21019  df-sra 21220  df-rgmod 21221  df-rsp 21259  df-lpidl 21372

This theorem is referenced by:  drnglpir  21382  zringlpir  21499