MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lpi0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lpi0 21209
Description: The zero ideal is always principal. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lpival.p 𝑃 = (LPIdealβ€˜π‘…)
lpi0.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
lpi0 (𝑅 ∈ Ring β†’ { 0 } ∈ 𝑃)

Proof of Theorem lpi0
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
2 lpi0.z . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘…)
31, 2ring0cl 20196 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4 eqid 2728 . . . . 5 (RSpanβ€˜π‘…) = (RSpanβ€˜π‘…)
54, 2rsp0 21127 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{ 0 }) = { 0 })
65eqcomd 2734 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ { 0 } = ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{ 0 }))
7 sneq 4634 . . . . 5 (𝑔 = 0 β†’ {𝑔} = { 0 })
87fveq2d 6895 . . . 4 (𝑔 = 0 β†’ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{𝑔}) = ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{ 0 }))
98rspceeqv 3630 . . 3 (( 0 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ { 0 } = ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{ 0 })) β†’ βˆƒπ‘” ∈ (Baseβ€˜π‘…){ 0 } = ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{𝑔}))
103, 6, 9syl2anc 583 . 2 (𝑅 ∈ Ring β†’ βˆƒπ‘” ∈ (Baseβ€˜π‘…){ 0 } = ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{𝑔}))
11 lpival.p . . 3 𝑃 = (LPIdealβ€˜π‘…)
1211, 4, 1islpidl 21208 . 2 (𝑅 ∈ Ring β†’ ({ 0 } ∈ 𝑃 ↔ βˆƒπ‘” ∈ (Baseβ€˜π‘…){ 0 } = ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{𝑔})))
1310, 12mpbird 257 1 (𝑅 ∈ Ring β†’ { 0 } ∈ 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆƒwrex 3066  {csn 4624  β€˜cfv 6542  Basecbs 17173  0gc0g 17414  Ringcrg 20166  RSpancrsp 21096  LPIdealclpidl 21203
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-0g 17416  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-grp 18886  df-minusg 18887  df-subg 19071  df-cmn 19730  df-abl 19731  df-mgp 20068  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-subrg 20501  df-lmod 20738  df-lss 20809  df-lsp 20849  df-sra 21051  df-rgmod 21052  df-rsp 21098  df-lpidl 21205
This theorem is referenced by:  drnglpir  21215  zringlpir  21386
  Copyright terms: Public domain W3C validator