Theorem lpi0 21463

Description: The zero ideal is always principal. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lpival.p	⊢ 𝑃 = (LPIdeal‘𝑅)
lpi0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
lpi0	⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ 𝑃)

Proof of Theorem lpi0

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		lpi0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3	1, 2	ring0cl 20350	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑅))
4		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
5	4, 2	rsp0 21345	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((RSpan‘𝑅)‘{ 0 }) = { 0 })
6	5	eqcomd 2775	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } = ((RSpan‘𝑅)‘{ 0 }))
7		sneq 4604	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 0 → {𝑔} = { 0 })
8	7	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 0 → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑔}) = ((RSpan‘𝑅)‘{ 0 }))
9	8	rspceeqv 3613	. . 3 ⊢ (( 0 ∈ (Base‘𝑅) ∧ { 0 } = ((RSpan‘𝑅)‘{ 0 })) → ∃𝑔 ∈ (Base‘𝑅){ 0 } = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑔}))
10	3, 6, 9	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∃𝑔 ∈ (Base‘𝑅){ 0 } = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑔}))
11		lpival.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (LPIdeal‘𝑅)
12	11, 4, 1	islpidl 21462	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ({ 0 } ∈ 𝑃 ↔ ∃𝑔 ∈ (Base‘𝑅){ 0 } = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑔})))
13	10, 12	mpbird 260	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095  {csn 4594  ‘cfv 6537  Basecbs 17269  0_gc0g 17492  Ringcrg 20315  RSpancrsp 21309  LPIdealclpidl 21457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-0g 17494  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-subg 19189  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-ring 20317  df-subrg 20655  df-lmod 20961  df-lss 21031  df-lsp 21071  df-sra 21272  df-rgmod 21273  df-rsp 21311  df-lpidl 21459

This theorem is referenced by:  drnglpir  21469  zringlpir  21586