Theorem lpirlnr 40942

Description: Left principal ideal rings are left Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lpirlnr	⊢ (𝑅 ∈ LPIR → 𝑅 ∈ LNoeR)

Proof of Theorem lpirlnr

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lpirring 20523	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ LPIR → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (LPIdeal‘𝑅) = (LPIdeal‘𝑅)
3		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
4		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5	2, 3, 4	islpidl 20517	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑎 ∈ (LPIdeal‘𝑅) ↔ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐})))
6	1, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ LPIR → (𝑎 ∈ (LPIdeal‘𝑅) ↔ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐})))
7	6	biimpa 477	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ LPIR ∧ 𝑎 ∈ (LPIdeal‘𝑅)) → ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐}))
8		snelpwi 5360	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 ∈ (Base‘𝑅) → {𝑐} ∈ 𝒫 (Base‘𝑅))
9	8	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ LPIR ∧ 𝑎 ∈ (LPIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → {𝑐} ∈ 𝒫 (Base‘𝑅))
10		snfi 8834	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑐} ∈ Fin
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ LPIR ∧ 𝑎 ∈ (LPIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → {𝑐} ∈ Fin)
12	9, 11	elind 4128	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ LPIR ∧ 𝑎 ∈ (LPIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → {𝑐} ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin))
13		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐}) = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐})
14		fveq2 6774	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = {𝑐} → ((RSpan‘𝑅)‘𝑏) = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐}))
15	14	rspceeqv 3575	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑐} ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) ∧ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐}) = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐})) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)((RSpan‘𝑅)‘{𝑐}) = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏))
16	12, 13, 15	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ LPIR ∧ 𝑎 ∈ (LPIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)((RSpan‘𝑅)‘{𝑐}) = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏))
17		eqeq1 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐}) → (𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏) ↔ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐}) = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏)))
18	17	rexbidv 3226	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐}) → (∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏) ↔ ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)((RSpan‘𝑅)‘{𝑐}) = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏)))
19	16, 18	syl5ibrcom 246	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ LPIR ∧ 𝑎 ∈ (LPIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐}) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏)))
20	19	rexlimdva 3213	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ LPIR ∧ 𝑎 ∈ (LPIdeal‘𝑅)) → (∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐}) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏)))
21	7, 20	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ LPIR ∧ 𝑎 ∈ (LPIdeal‘𝑅)) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏))
22	21	ralrimiva 3103	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ LPIR → ∀𝑎 ∈ (LPIdeal‘𝑅)∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏))
23		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
24	2, 23	islpir 20520	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ LPIR ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (LIdeal‘𝑅) = (LPIdeal‘𝑅)))
25	24	simprbi 497	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ LPIR → (LIdeal‘𝑅) = (LPIdeal‘𝑅))
26	25	raleqdv 3348	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ LPIR → (∀𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅)∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏) ↔ ∀𝑎 ∈ (LPIdeal‘𝑅)∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏)))
27	22, 26	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ LPIR → ∀𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅)∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏))
28	4, 23, 3	islnr2 40939	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅)∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏)))
29	1, 27, 28	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝑅 ∈ LPIR → 𝑅 ∈ LNoeR)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065   ∩ cin 3886  𝒫 cpw 4533  {csn 4561  ‘cfv 6433  Fincfn 8733  Basecbs 16912  Ringcrg 19783  LIdealclidl 20432  RSpancrsp 20433  LPIdealclpidl 20512  LPIRclpir 20513  LNoeRclnr 40934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-subrg 20022  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-lidl 20436  df-rsp 20437  df-lpidl 20514  df-lpir 20515  df-lfig 40893  df-lnm 40901  df-lnr 40935

This theorem is referenced by: (None)