Theorem lpirlnr 43107

Description: Left principal ideal rings are left Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lpirlnr	⊢ (𝑅 ∈ LPIR → 𝑅 ∈ LNoeR)

Proof of Theorem lpirlnr

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lpirring 21222	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ LPIR → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (LPIdeal‘𝑅) = (LPIdeal‘𝑅)
3		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
4		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5	2, 3, 4	islpidl 21216	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑎 ∈ (LPIdeal‘𝑅) ↔ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐})))
6	1, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ LPIR → (𝑎 ∈ (LPIdeal‘𝑅) ↔ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐})))
7	6	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ LPIR ∧ 𝑎 ∈ (LPIdeal‘𝑅)) → ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐}))
8		snelpwi 5382	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 ∈ (Base‘𝑅) → {𝑐} ∈ 𝒫 (Base‘𝑅))
9	8	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ LPIR ∧ 𝑎 ∈ (LPIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → {𝑐} ∈ 𝒫 (Base‘𝑅))
10		snfi 8959	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑐} ∈ Fin
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ LPIR ∧ 𝑎 ∈ (LPIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → {𝑐} ∈ Fin)
12	9, 11	elind 4147	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ LPIR ∧ 𝑎 ∈ (LPIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → {𝑐} ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin))
13		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐}) = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐})
14		fveq2 6816	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = {𝑐} → ((RSpan‘𝑅)‘𝑏) = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐}))
15	14	rspceeqv 3597	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑐} ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) ∧ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐}) = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐})) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)((RSpan‘𝑅)‘{𝑐}) = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏))
16	12, 13, 15	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ LPIR ∧ 𝑎 ∈ (LPIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)((RSpan‘𝑅)‘{𝑐}) = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏))
17		eqeq1 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐}) → (𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏) ↔ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐}) = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏)))
18	17	rexbidv 3153	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐}) → (∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏) ↔ ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)((RSpan‘𝑅)‘{𝑐}) = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏)))
19	16, 18	syl5ibrcom 247	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ LPIR ∧ 𝑎 ∈ (LPIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐}) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏)))
20	19	rexlimdva 3130	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ LPIR ∧ 𝑎 ∈ (LPIdeal‘𝑅)) → (∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐}) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏)))
21	7, 20	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ LPIR ∧ 𝑎 ∈ (LPIdeal‘𝑅)) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏))
22	21	ralrimiva 3121	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ LPIR → ∀𝑎 ∈ (LPIdeal‘𝑅)∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏))
23		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
24	2, 23	islpir 21219	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ LPIR ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (LIdeal‘𝑅) = (LPIdeal‘𝑅)))
25	24	simprbi 496	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ LPIR → (LIdeal‘𝑅) = (LPIdeal‘𝑅))
26	22, 25	raleqtrrdv 3293	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ LPIR → ∀𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅)∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏))
27	4, 23, 3	islnr2 43104	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅)∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏)))
28	1, 26, 27	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝑅 ∈ LPIR → 𝑅 ∈ LNoeR)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ∩ cin 3898  𝒫 cpw 4547  {csn 4573  ‘cfv 6476  Fincfn 8863  Basecbs 17107  Ringcrg 20105  LIdealclidl 21097  RSpancrsp 21098  LPIdealclpidl 21211  LPIRclpir 21212  LNoeRclnr 43099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5214  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-cnex 11053  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4895  df-iun 4940  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-om 7791  df-1st 7915  df-2nd 7916  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-er 8616  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-fin 8867  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-nn 12117  df-2 12179  df-3 12180  df-4 12181  df-5 12182  df-6 12183  df-7 12184  df-8 12185  df-sets 17062  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17108  df-ress 17129  df-plusg 17161  df-mulr 17162  df-sca 17164  df-vsca 17165  df-ip 17166  df-0g 17332  df-mgm 18501  df-sgrp 18580  df-mnd 18596  df-grp 18802  df-minusg 18803  df-sbg 18804  df-subg 18989  df-mgp 20013  df-ur 20054  df-ring 20107  df-subrg 20439  df-lmod 20749  df-lss 20819  df-lsp 20859  df-sra 21061  df-rgmod 21062  df-lidl 21099  df-rsp 21100  df-lpidl 21213  df-lpir 21214  df-lfig 43058  df-lnm 43066  df-lnr 43100

This theorem is referenced by: (None)