Theorem lpirlnr 43902

Description: Left principal ideal rings are left Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lpirlnr	⊢ (𝑅 ∈ LPIR → 𝑅 ∈ LNoeR)

Proof of Theorem lpirlnr

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lpirring 21549	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ LPIR → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (LPIdeal‘𝑅) = (LPIdeal‘𝑅)
3		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
4		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5	2, 3, 4	islpidl 21543	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑎 ∈ (LPIdeal‘𝑅) ↔ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐})))
6	1, 5	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ LPIR → (𝑎 ∈ (LPIdeal‘𝑅) ↔ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐})))
7	6	biimpa 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ LPIR ∧ 𝑎 ∈ (LPIdeal‘𝑅)) → ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐}))
8		snelpwi 5427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 ∈ (Base‘𝑅) → {𝑐} ∈ 𝒫 (Base‘𝑅))
9	8	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ LPIR ∧ 𝑎 ∈ (LPIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → {𝑐} ∈ 𝒫 (Base‘𝑅))
10		snfi 9047	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑐} ∈ Fin
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ LPIR ∧ 𝑎 ∈ (LPIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → {𝑐} ∈ Fin)
12	9, 11	elind 4153	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ LPIR ∧ 𝑎 ∈ (LPIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → {𝑐} ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin))
13		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐}) = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐})
14		fveq2 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = {𝑐} → ((RSpan‘𝑅)‘𝑏) = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐}))
15	14	rspceeqv 3606	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑐} ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) ∧ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐}) = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐})) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)((RSpan‘𝑅)‘{𝑐}) = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏))
16	12, 13, 15	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ LPIR ∧ 𝑎 ∈ (LPIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)((RSpan‘𝑅)‘{𝑐}) = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏))
17		eqeq1 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐}) → (𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏) ↔ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐}) = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏)))
18	17	rexbidv 3191	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐}) → (∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏) ↔ ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)((RSpan‘𝑅)‘{𝑐}) = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏)))
19	16, 18	syl5ibrcom 250	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ LPIR ∧ 𝑎 ∈ (LPIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐}) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏)))
20	19	rexlimdva 3168	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ LPIR ∧ 𝑎 ∈ (LPIdeal‘𝑅)) → (∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐}) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏)))
21	7, 20	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ LPIR ∧ 𝑎 ∈ (LPIdeal‘𝑅)) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏))
22	21	ralrimiva 3159	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ LPIR → ∀𝑎 ∈ (LPIdeal‘𝑅)∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏))
23		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
24	2, 23	islpir 21546	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ LPIR ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (LIdeal‘𝑅) = (LPIdeal‘𝑅)))
25	24	simprbi 503	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ LPIR → (LIdeal‘𝑅) = (LPIdeal‘𝑅))
26	22, 25	raleqtrrdv 3329	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ LPIR → ∀𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅)∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏))
27	4, 23, 3	islnr2 43899	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅)∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏)))
28	1, 26, 27	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝑅 ∈ LPIR → 𝑅 ∈ LNoeR)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ∃wrex 3091   ∩ cin 3905  𝒫 cpw 4564  {csn 4591  ‘cfv 6540  Fincfn 8949  Basecbs 17291  Ringcrg 20359  LIdealclidl 21380  RSpancrsp 21381  LPIdealclpidl 21538  LPIRclpir 21539  LNoeRclnr 43894

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ress 17313  df-plusg 17345  df-mulr 17346  df-sca 17348  df-vsca 17349  df-ip 17350  df-0g 17516  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-grp 19047  df-minusg 19048  df-sbg 19049  df-subg 19233  df-mgp 20261  df-ur 20308  df-ring 20361  df-subrg 20719  df-lmod 21033  df-lss 21103  df-lsp 21143  df-sra 21344  df-rgmod 21345  df-lidl 21382  df-rsp 21383  df-lpidl 21540  df-lpir 21541  df-lfig 43853  df-lnm 43861  df-lnr 43895

This theorem is used by: (None)