Theorem lpirlnr 44384

Description: Left principal ideal rings are left Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lpirlnr	⊢ (𝑅 ∈ LPIR → 𝑅 ∈ LNoeR)

Proof of Theorem lpirlnr

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lpirring 21706	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ LPIR → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (LPIdeal‘𝑅) = (LPIdeal‘𝑅)
3		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
4		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5	2, 3, 4	islpidl 21700	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑎 ∈ (LPIdeal‘𝑅) ↔ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐})))
6	1, 5	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ LPIR → (𝑎 ∈ (LPIdeal‘𝑅) ↔ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐})))
7	6	biimpa 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ LPIR ∧ 𝑎 ∈ (LPIdeal‘𝑅)) → ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐}))
8		snelpwi 5419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 ∈ (Base‘𝑅) → {𝑐} ∈ 𝒫 (Base‘𝑅))
9	8	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ LPIR ∧ 𝑎 ∈ (LPIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → {𝑐} ∈ 𝒫 (Base‘𝑅))
10		snfi 9109	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑐} ∈ Fin
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ LPIR ∧ 𝑎 ∈ (LPIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → {𝑐} ∈ Fin)
12	9, 11	elind 4100	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ LPIR ∧ 𝑎 ∈ (LPIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → {𝑐} ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin))
13		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐}) = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐})
14		fveq2 6916	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = {𝑐} → ((RSpan‘𝑅)‘𝑏) = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐}))
15	14	rspceeqv 3602	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑐} ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) ∧ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐}) = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐})) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)((RSpan‘𝑅)‘{𝑐}) = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏))
16	12, 13, 15	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ LPIR ∧ 𝑎 ∈ (LPIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)((RSpan‘𝑅)‘{𝑐}) = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏))
17		eqeq1 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐}) → (𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏) ↔ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐}) = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏)))
18	17	rexbidv 3190	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐}) → (∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏) ↔ ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)((RSpan‘𝑅)‘{𝑐}) = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏)))
19	16, 18	syl5ibrcom 250	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ LPIR ∧ 𝑎 ∈ (LPIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐}) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏)))
20	19	rexlimdva 3167	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ LPIR ∧ 𝑎 ∈ (LPIdeal‘𝑅)) → (∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐}) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏)))
21	7, 20	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ LPIR ∧ 𝑎 ∈ (LPIdeal‘𝑅)) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏))
22	21	ralrimiva 3158	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ LPIR → ∀𝑎 ∈ (LPIdeal‘𝑅)∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏))
23		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
24	2, 23	islpir 21703	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ LPIR ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (LIdeal‘𝑅) = (LPIdeal‘𝑅)))
25	24	simprbi 503	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ LPIR → (LIdeal‘𝑅) = (LPIdeal‘𝑅))
26	22, 25	raleqtrrdv 3327	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ LPIR → ∀𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅)∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏))
27	4, 23, 3	islnr2 44381	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅)∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏)))
28	1, 26, 27	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝑅 ∈ LPIR → 𝑅 ∈ LNoeR)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   ∩ cin 4092  𝒫 cpw 4560  {csn 4588  ‘cfv 6566  Fincfn 9011  Basecbs 17431  Ringcrg 20510  LIdealclidl 21535  RSpancrsp 21536  LPIdealclpidl 21695  LPIRclpir 21696  LNoeRclnr 44376

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-0g 17662  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-subg 19383  df-mgp 20412  df-ur 20459  df-ring 20512  df-subrg 20873  df-lmod 21188  df-lss 21258  df-lsp 21298  df-sra 21499  df-rgmod 21500  df-lidl 21537  df-rsp 21538  df-lpidl 21697  df-lpir 21698  df-lfig 44336  df-lnm 44344  df-lnr 44377

This theorem is used by: (None)