Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lpirlnr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lpirlnr 42572
Description: Left principal ideal rings are left Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
lpirlnr (𝑅 ∈ LPIR β†’ 𝑅 ∈ LNoeR)

Proof of Theorem lpirlnr
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lpirring 21228 . 2 (𝑅 ∈ LPIR β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 eqid 2728 . . . . . . . 8 (LPIdealβ€˜π‘…) = (LPIdealβ€˜π‘…)
3 eqid 2728 . . . . . . . 8 (RSpanβ€˜π‘…) = (RSpanβ€˜π‘…)
4 eqid 2728 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
52, 3, 4islpidl 21222 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ (π‘Ž ∈ (LPIdealβ€˜π‘…) ↔ βˆƒπ‘ ∈ (Baseβ€˜π‘…)π‘Ž = ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{𝑐})))
61, 5syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ LPIR β†’ (π‘Ž ∈ (LPIdealβ€˜π‘…) ↔ βˆƒπ‘ ∈ (Baseβ€˜π‘…)π‘Ž = ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{𝑐})))
76biimpa 475 . . . . 5 ((𝑅 ∈ LPIR ∧ π‘Ž ∈ (LPIdealβ€˜π‘…)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (Baseβ€˜π‘…)π‘Ž = ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{𝑐}))
8 snelpwi 5449 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…) β†’ {𝑐} ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘…))
98adantl 480 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ LPIR ∧ π‘Ž ∈ (LPIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ {𝑐} ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘…))
10 snfi 9075 . . . . . . . . . 10 {𝑐} ∈ Fin
1110a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ LPIR ∧ π‘Ž ∈ (LPIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ {𝑐} ∈ Fin)
129, 11elind 4196 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ LPIR ∧ π‘Ž ∈ (LPIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ {𝑐} ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin))
13 eqid 2728 . . . . . . . 8 ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{𝑐}) = ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{𝑐})
14 fveq2 6902 . . . . . . . . 9 (𝑏 = {𝑐} β†’ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜π‘) = ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{𝑐}))
1514rspceeqv 3633 . . . . . . . 8 (({𝑐} ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin) ∧ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{𝑐}) = ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{𝑐})) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin)((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{𝑐}) = ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜π‘))
1612, 13, 15sylancl 584 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ LPIR ∧ π‘Ž ∈ (LPIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin)((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{𝑐}) = ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜π‘))
17 eqeq1 2732 . . . . . . . 8 (π‘Ž = ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{𝑐}) β†’ (π‘Ž = ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜π‘) ↔ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{𝑐}) = ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜π‘)))
1817rexbidv 3176 . . . . . . 7 (π‘Ž = ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{𝑐}) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin)π‘Ž = ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜π‘) ↔ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin)((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{𝑐}) = ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜π‘)))
1916, 18syl5ibrcom 246 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ LPIR ∧ π‘Ž ∈ (LPIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝑐 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (π‘Ž = ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{𝑐}) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin)π‘Ž = ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜π‘)))
2019rexlimdva 3152 . . . . 5 ((𝑅 ∈ LPIR ∧ π‘Ž ∈ (LPIdealβ€˜π‘…)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (Baseβ€˜π‘…)π‘Ž = ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{𝑐}) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin)π‘Ž = ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜π‘)))
217, 20mpd 15 . . . 4 ((𝑅 ∈ LPIR ∧ π‘Ž ∈ (LPIdealβ€˜π‘…)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin)π‘Ž = ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜π‘))
2221ralrimiva 3143 . . 3 (𝑅 ∈ LPIR β†’ βˆ€π‘Ž ∈ (LPIdealβ€˜π‘…)βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin)π‘Ž = ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜π‘))
23 eqid 2728 . . . . . 6 (LIdealβ€˜π‘…) = (LIdealβ€˜π‘…)
242, 23islpir 21225 . . . . 5 (𝑅 ∈ LPIR ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (LIdealβ€˜π‘…) = (LPIdealβ€˜π‘…)))
2524simprbi 495 . . . 4 (𝑅 ∈ LPIR β†’ (LIdealβ€˜π‘…) = (LPIdealβ€˜π‘…))
2625raleqdv 3323 . . 3 (𝑅 ∈ LPIR β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ (LIdealβ€˜π‘…)βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin)π‘Ž = ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜π‘) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ (LPIdealβ€˜π‘…)βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin)π‘Ž = ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜π‘)))
2722, 26mpbird 256 . 2 (𝑅 ∈ LPIR β†’ βˆ€π‘Ž ∈ (LIdealβ€˜π‘…)βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin)π‘Ž = ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜π‘))
284, 23, 3islnr2 42569 . 2 (𝑅 ∈ LNoeR ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (LIdealβ€˜π‘…)βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∩ Fin)π‘Ž = ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜π‘)))
291, 27, 28sylanbrc 581 1 (𝑅 ∈ LPIR β†’ 𝑅 ∈ LNoeR)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067   ∩ cin 3948  π’« cpw 4606  {csn 4632  β€˜cfv 6553  Fincfn 8970  Basecbs 17187  Ringcrg 20180  LIdealclidl 21109  RSpancrsp 21110  LPIdealclpidl 21217  LPIRclpir 21218  LNoeRclnr 42564
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-subg 19085  df-mgp 20082  df-ur 20129  df-ring 20182  df-subrg 20515  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-lsp 20863  df-sra 21065  df-rgmod 21066  df-lidl 21111  df-rsp 21112  df-lpidl 21219  df-lpir 21220  df-lfig 42523  df-lnm 42531  df-lnr 42565
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator