Theorem lpirlnr 43959

Description: Left principal ideal rings are left Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lpirlnr	⊢ (𝑅 ∈ LPIR → 𝑅 ∈ LNoeR)

Proof of Theorem lpirlnr

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lpirring 21563	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ LPIR → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (LPIdeal‘𝑅) = (LPIdeal‘𝑅)
3		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
4		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5	2, 3, 4	islpidl 21557	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑎 ∈ (LPIdeal‘𝑅) ↔ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐})))
6	1, 5	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ LPIR → (𝑎 ∈ (LPIdeal‘𝑅) ↔ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐})))
7	6	biimpa 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ LPIR ∧ 𝑎 ∈ (LPIdeal‘𝑅)) → ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐}))
8		snelpwi 5419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 ∈ (Base‘𝑅) → {𝑐} ∈ 𝒫 (Base‘𝑅))
9	8	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ LPIR ∧ 𝑎 ∈ (LPIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → {𝑐} ∈ 𝒫 (Base‘𝑅))
10		snfi 9051	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑐} ∈ Fin
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ LPIR ∧ 𝑎 ∈ (LPIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → {𝑐} ∈ Fin)
12	9, 11	elind 4146	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ LPIR ∧ 𝑎 ∈ (LPIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → {𝑐} ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin))
13		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐}) = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐})
14		fveq2 6879	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = {𝑐} → ((RSpan‘𝑅)‘𝑏) = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐}))
15	14	rspceeqv 3599	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑐} ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin) ∧ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐}) = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐})) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)((RSpan‘𝑅)‘{𝑐}) = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏))
16	12, 13, 15	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ LPIR ∧ 𝑎 ∈ (LPIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)((RSpan‘𝑅)‘{𝑐}) = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏))
17		eqeq1 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐}) → (𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏) ↔ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐}) = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏)))
18	17	rexbidv 3186	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐}) → (∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏) ↔ ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)((RSpan‘𝑅)‘{𝑐}) = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏)))
19	16, 18	syl5ibrcom 250	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ LPIR ∧ 𝑎 ∈ (LPIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐}) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏)))
20	19	rexlimdva 3163	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ LPIR ∧ 𝑎 ∈ (LPIdeal‘𝑅)) → (∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑐}) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏)))
21	7, 20	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ LPIR ∧ 𝑎 ∈ (LPIdeal‘𝑅)) → ∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏))
22	21	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ LPIR → ∀𝑎 ∈ (LPIdeal‘𝑅)∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏))
23		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
24	2, 23	islpir 21560	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ LPIR ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (LIdeal‘𝑅) = (LPIdeal‘𝑅)))
25	24	simprbi 503	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ LPIR → (LIdeal‘𝑅) = (LPIdeal‘𝑅))
26	22, 25	raleqtrrdv 3323	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ LPIR → ∀𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅)∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏))
27	4, 23, 3	islnr2 43956	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅)∃𝑏 ∈ (𝒫 (Base‘𝑅) ∩ Fin)𝑎 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑏)))
28	1, 26, 27	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝑅 ∈ LPIR → 𝑅 ∈ LNoeR)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ∩ cin 3898  𝒫 cpw 4557  {csn 4584  ‘cfv 6533  Fincfn 8953  Basecbs 17302  Ringcrg 20373  LIdealclidl 21394  RSpancrsp 21395  LPIdealclpidl 21552  LPIRclpir 21553  LNoeRclnr 43951

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-sca 17359  df-vsca 17360  df-ip 17361  df-0g 17527  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-subg 19247  df-mgp 20275  df-ur 20322  df-ring 20375  df-subrg 20733  df-lmod 21047  df-lss 21117  df-lsp 21157  df-sra 21358  df-rgmod 21359  df-lidl 21396  df-rsp 21397  df-lpidl 21554  df-lpir 21555  df-lfig 43910  df-lnm 43918  df-lnr 43952

This theorem is used by: (None)