Theorem ply1lpir 25920

Description: The ring of polynomials over a division ring has the principal ideal property. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1lpir.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1lpir	⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ LPIR)

Proof of Theorem ply1lpir

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngring 20507	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		ply1lpir.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1ring 21990	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ Ring)
5		eqid 2732	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
6		eqid 2732	. . . . . . . . 9 ⊢ (LIdeal‘𝑃) = (LIdeal‘𝑃)
7	5, 6	lidlss 20978	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑃) → 𝑖 ⊆ (Base‘𝑃))
8	7	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑃)) → 𝑖 ⊆ (Base‘𝑃))
9		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (idlGen1p‘𝑅) = (idlGen1p‘𝑅)
10	2, 9, 6	ig1pcl 25917	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑃)) → ((idlGen1p‘𝑅)‘𝑖) ∈ 𝑖)
11	8, 10	sseldd 3983	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑃)) → ((idlGen1p‘𝑅)‘𝑖) ∈ (Base‘𝑃))
12		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (RSpan‘𝑃) = (RSpan‘𝑃)
13	2, 9, 6, 12	ig1prsp 25919	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑃)) → 𝑖 = ((RSpan‘𝑃)‘{((idlGen1p‘𝑅)‘𝑖)}))
14		sneq 4638	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = ((idlGen1p‘𝑅)‘𝑖) → {𝑗} = {((idlGen1p‘𝑅)‘𝑖)})
15	14	fveq2d 6895	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = ((idlGen1p‘𝑅)‘𝑖) → ((RSpan‘𝑃)‘{𝑗}) = ((RSpan‘𝑃)‘{((idlGen1p‘𝑅)‘𝑖)}))
16	15	rspceeqv 3633	. . . . . 6 ⊢ ((((idlGen1p‘𝑅)‘𝑖) ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑃)‘{((idlGen1p‘𝑅)‘𝑖)})) → ∃𝑗 ∈ (Base‘𝑃)𝑖 = ((RSpan‘𝑃)‘{𝑗}))
17	11, 13, 16	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (Base‘𝑃)𝑖 = ((RSpan‘𝑃)‘{𝑗}))
18	4	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑃)) → 𝑃 ∈ Ring)
19		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (LPIdeal‘𝑃) = (LPIdeal‘𝑃)
20	19, 12, 5	islpidl 21084	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (𝑖 ∈ (LPIdeal‘𝑃) ↔ ∃𝑗 ∈ (Base‘𝑃)𝑖 = ((RSpan‘𝑃)‘{𝑗})))
21	18, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑃)) → (𝑖 ∈ (LPIdeal‘𝑃) ↔ ∃𝑗 ∈ (Base‘𝑃)𝑖 = ((RSpan‘𝑃)‘{𝑗})))
22	17, 21	mpbird 256	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑃)) → 𝑖 ∈ (LPIdeal‘𝑃))
23	22	ex 413	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑃) → 𝑖 ∈ (LPIdeal‘𝑃)))
24	23	ssrdv 3988	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (LIdeal‘𝑃) ⊆ (LPIdeal‘𝑃))
25	19, 6	islpir2 21089	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ LPIR ↔ (𝑃 ∈ Ring ∧ (LIdeal‘𝑃) ⊆ (LPIdeal‘𝑃)))
26	4, 24, 25	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ LPIR)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3948  {csn 4628  ‘cfv 6543  Basecbs 17148  Ringcrg 20127  DivRingcdr 20500  LIdealclidl 20928  RSpancrsp 20929  LPIdealclpidl 21079  LPIRclpir 21080  Poly₁cpl1 21920  idlGen_1pcig1p 25871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-prds 17397  df-pws 17399  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-drng 20502  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lsp 20727  df-sra 20930  df-rgmod 20931  df-lidl 20932  df-rsp 20933  df-lpidl 21081  df-lpir 21082  df-rlreg 21099  df-cnfld 21145  df-ascl 21629  df-psr 21681  df-mvr 21682  df-mpl 21683  df-opsr 21685  df-psr1 21923  df-vr1 21924  df-ply1 21925  df-coe1 21926  df-mdeg 25794  df-deg1 25795  df-mon1 25872  df-uc1p 25873  df-q1p 25874  df-r1p 25875  df-ig1p 25876

This theorem is referenced by:  ply1pid  25921