MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1lpir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1lpir 25687
Description: The ring of polynomials over a division ring has the principal ideal property. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ply1lpir.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
Assertion
Ref Expression
ply1lpir (𝑅 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ LPIR)

Proof of Theorem ply1lpir
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 drngring 20314 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
2 ply1lpir.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
32ply1ring 21761 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
41, 3syl 17 . 2 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ Ring)
5 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
6 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (LIdeal‘𝑃) = (LIdeal‘𝑃)
75, 6lidlss 20825 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑃) → 𝑖 ⊆ (Base‘𝑃))
87adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑃)) → 𝑖 ⊆ (Base‘𝑃))
9 eqid 2732 . . . . . . . 8 (idlGen1p𝑅) = (idlGen1p𝑅)
102, 9, 6ig1pcl 25684 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑃)) → ((idlGen1p𝑅)‘𝑖) ∈ 𝑖)
118, 10sseldd 3982 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑃)) → ((idlGen1p𝑅)‘𝑖) ∈ (Base‘𝑃))
12 eqid 2732 . . . . . . 7 (RSpan‘𝑃) = (RSpan‘𝑃)
132, 9, 6, 12ig1prsp 25686 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑃)) → 𝑖 = ((RSpan‘𝑃)‘{((idlGen1p𝑅)‘𝑖)}))
14 sneq 4637 . . . . . . . 8 (𝑗 = ((idlGen1p𝑅)‘𝑖) → {𝑗} = {((idlGen1p𝑅)‘𝑖)})
1514fveq2d 6892 . . . . . . 7 (𝑗 = ((idlGen1p𝑅)‘𝑖) → ((RSpan‘𝑃)‘{𝑗}) = ((RSpan‘𝑃)‘{((idlGen1p𝑅)‘𝑖)}))
1615rspceeqv 3632 . . . . . 6 ((((idlGen1p𝑅)‘𝑖) ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑃)‘{((idlGen1p𝑅)‘𝑖)})) → ∃𝑗 ∈ (Base‘𝑃)𝑖 = ((RSpan‘𝑃)‘{𝑗}))
1711, 13, 16syl2anc 584 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (Base‘𝑃)𝑖 = ((RSpan‘𝑃)‘{𝑗}))
184adantr 481 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑃)) → 𝑃 ∈ Ring)
19 eqid 2732 . . . . . . 7 (LPIdeal‘𝑃) = (LPIdeal‘𝑃)
2019, 12, 5islpidl 20876 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Ring → (𝑖 ∈ (LPIdeal‘𝑃) ↔ ∃𝑗 ∈ (Base‘𝑃)𝑖 = ((RSpan‘𝑃)‘{𝑗})))
2118, 20syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑃)) → (𝑖 ∈ (LPIdeal‘𝑃) ↔ ∃𝑗 ∈ (Base‘𝑃)𝑖 = ((RSpan‘𝑃)‘{𝑗})))
2217, 21mpbird 256 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑃)) → 𝑖 ∈ (LPIdeal‘𝑃))
2322ex 413 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑃) → 𝑖 ∈ (LPIdeal‘𝑃)))
2423ssrdv 3987 . 2 (𝑅 ∈ DivRing → (LIdeal‘𝑃) ⊆ (LPIdeal‘𝑃))
2519, 6islpir2 20881 . 2 (𝑃 ∈ LPIR ↔ (𝑃 ∈ Ring ∧ (LIdeal‘𝑃) ⊆ (LPIdeal‘𝑃)))
264, 24, 25sylanbrc 583 1 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ LPIR)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3070  wss 3947  {csn 4627  cfv 6540  Basecbs 17140  Ringcrg 20049  DivRingcdr 20307  LIdealclidl 20775  RSpancrsp 20776  LPIdealclpidl 20871  LPIRclpir 20872  Poly1cpl1 21692  idlGen1pcig1p 25638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-drng 20309  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-lidl 20779  df-rsp 20780  df-lpidl 20873  df-lpir 20874  df-rlreg 20891  df-cnfld 20937  df-ascl 21401  df-psr 21453  df-mvr 21454  df-mpl 21455  df-opsr 21457  df-psr1 21695  df-vr1 21696  df-ply1 21697  df-coe1 21698  df-mdeg 25561  df-deg1 25562  df-mon1 25639  df-uc1p 25640  df-q1p 25641  df-r1p 25642  df-ig1p 25643
This theorem is referenced by:  ply1pid  25688
  Copyright terms: Public domain W3C validator