Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1lpir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1lpir 24344
 Description: The ring of polynomials over a division ring has the principal ideal property. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ply1lpir.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
Assertion
Ref Expression
ply1lpir (𝑅 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ LPIR)

Proof of Theorem ply1lpir
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 drngring 19117 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
2 ply1lpir.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
32ply1ring 19985 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
41, 3syl 17 . 2 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ Ring)
5 eqid 2825 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
6 eqid 2825 . . . . . . . . 9 (LIdeal‘𝑃) = (LIdeal‘𝑃)
75, 6lidlss 19578 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑃) → 𝑖 ⊆ (Base‘𝑃))
87adantl 475 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑃)) → 𝑖 ⊆ (Base‘𝑃))
9 eqid 2825 . . . . . . . 8 (idlGen1p𝑅) = (idlGen1p𝑅)
102, 9, 6ig1pcl 24341 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑃)) → ((idlGen1p𝑅)‘𝑖) ∈ 𝑖)
118, 10sseldd 3828 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑃)) → ((idlGen1p𝑅)‘𝑖) ∈ (Base‘𝑃))
12 eqid 2825 . . . . . . 7 (RSpan‘𝑃) = (RSpan‘𝑃)
132, 9, 6, 12ig1prsp 24343 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑃)) → 𝑖 = ((RSpan‘𝑃)‘{((idlGen1p𝑅)‘𝑖)}))
14 sneq 4409 . . . . . . . 8 (𝑗 = ((idlGen1p𝑅)‘𝑖) → {𝑗} = {((idlGen1p𝑅)‘𝑖)})
1514fveq2d 6441 . . . . . . 7 (𝑗 = ((idlGen1p𝑅)‘𝑖) → ((RSpan‘𝑃)‘{𝑗}) = ((RSpan‘𝑃)‘{((idlGen1p𝑅)‘𝑖)}))
1615rspceeqv 3544 . . . . . 6 ((((idlGen1p𝑅)‘𝑖) ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑖 = ((RSpan‘𝑃)‘{((idlGen1p𝑅)‘𝑖)})) → ∃𝑗 ∈ (Base‘𝑃)𝑖 = ((RSpan‘𝑃)‘{𝑗}))
1711, 13, 16syl2anc 579 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (Base‘𝑃)𝑖 = ((RSpan‘𝑃)‘{𝑗}))
184adantr 474 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑃)) → 𝑃 ∈ Ring)
19 eqid 2825 . . . . . . 7 (LPIdeal‘𝑃) = (LPIdeal‘𝑃)
2019, 12, 5islpidl 19614 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Ring → (𝑖 ∈ (LPIdeal‘𝑃) ↔ ∃𝑗 ∈ (Base‘𝑃)𝑖 = ((RSpan‘𝑃)‘{𝑗})))
2118, 20syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑃)) → (𝑖 ∈ (LPIdeal‘𝑃) ↔ ∃𝑗 ∈ (Base‘𝑃)𝑖 = ((RSpan‘𝑃)‘{𝑗})))
2217, 21mpbird 249 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑃)) → 𝑖 ∈ (LPIdeal‘𝑃))
2322ex 403 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑃) → 𝑖 ∈ (LPIdeal‘𝑃)))
2423ssrdv 3833 . 2 (𝑅 ∈ DivRing → (LIdeal‘𝑃) ⊆ (LPIdeal‘𝑃))
2519, 6islpir2 19619 . 2 (𝑃 ∈ LPIR ↔ (𝑃 ∈ Ring ∧ (LIdeal‘𝑃) ⊆ (LPIdeal‘𝑃)))
264, 24, 25sylanbrc 578 1 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ LPIR)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  ∃wrex 3118   ⊆ wss 3798  {csn 4399  ‘cfv 6127  Basecbs 16229  Ringcrg 18908  DivRingcdr 19110  LIdealclidl 19538  RSpancrsp 19539  LPIdealclpidl 19609  LPIRclpir 19610  Poly1cpl1 19914  idlGen1pcig1p 24295 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337  ax-addf 10338  ax-mulf 10339 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-ofr 7163  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-supp 7565  df-tpos 7622  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-2o 7832  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-pm 8130  df-ixp 8182  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-fsupp 8551  df-sup 8623  df-inf 8624  df-oi 8691  df-card 9085  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-seq 13103  df-hash 13418  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-starv 16327  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-ip 16330  df-tset 16331  df-ple 16332  df-ds 16334  df-unif 16335  df-0g 16462  df-gsum 16463  df-mre 16606  df-mrc 16607  df-acs 16609  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-mhm 17695  df-submnd 17696  df-grp 17786  df-minusg 17787  df-sbg 17788  df-mulg 17902  df-subg 17949  df-ghm 18016  df-cntz 18107  df-cmn 18555  df-abl 18556  df-mgp 18851  df-ur 18863  df-ring 18910  df-cring 18911  df-oppr 18984  df-dvdsr 19002  df-unit 19003  df-invr 19033  df-drng 19112  df-subrg 19141  df-lmod 19228  df-lss 19296  df-lsp 19338  df-sra 19540  df-rgmod 19541  df-lidl 19542  df-rsp 19543  df-lpidl 19611  df-lpir 19612  df-rlreg 19651  df-ascl 19682  df-psr 19724  df-mvr 19725  df-mpl 19726  df-opsr 19728  df-psr1 19917  df-vr1 19918  df-ply1 19919  df-coe1 19920  df-cnfld 20114  df-mdeg 24221  df-deg1 24222  df-mon1 24296  df-uc1p 24297  df-q1p 24298  df-r1p 24299  df-ig1p 24300 This theorem is referenced by:  ply1pid  24345
 Copyright terms: Public domain W3C validator