Theorem ismred2 17661

Description: Properties that determine a Moore collection, using restricted intersection. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismred2.ss	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
ismred2.in	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑠) ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
ismred2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑠   𝐶,𝑠   𝑋,𝑠

Proof of Theorem ismred2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismred2.ss	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
2		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ∅ = ∅
3		rint0 5012	. . . 4 ⊢ (∅ = ∅ → (𝑋 ∩ ∩ ∅) = 𝑋)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑋 ∩ ∩ ∅) = 𝑋
5		0ss 4423	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ 𝐶
6		0ex 5325	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
7		sseq1 4034	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = ∅ → (𝑠 ⊆ 𝐶 ↔ ∅ ⊆ 𝐶))
8	7	anbi2d 629	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = ∅ → ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶) ↔ (𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐶)))
9		inteq 4973	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = ∅ → ∩ 𝑠 = ∩ ∅)
10	9	ineq2d 4241	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = ∅ → (𝑋 ∩ ∩ 𝑠) = (𝑋 ∩ ∩ ∅))
11	10	eleq1d 2829	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = ∅ → ((𝑋 ∩ ∩ 𝑠) ∈ 𝐶 ↔ (𝑋 ∩ ∩ ∅) ∈ 𝐶))
12	8, 11	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = ∅ → (((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑠) ∈ 𝐶) ↔ ((𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐶) → (𝑋 ∩ ∩ ∅) ∈ 𝐶)))
13		ismred2.in	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑠) ∈ 𝐶)
14	6, 12, 13	vtocl 3570	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐶) → (𝑋 ∩ ∩ ∅) ∈ 𝐶)
15	5, 14	mpan2 690	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ ∩ ∅) ∈ 𝐶)
16	4, 15	eqeltrrid 2849	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐶)
17		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑠 ≠ ∅) → 𝑠 ⊆ 𝐶)
18	1	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑠 ≠ ∅) → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
19	17, 18	sstrd 4019	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑠 ≠ ∅) → 𝑠 ⊆ 𝒫 𝑋)
20		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑠 ≠ ∅) → 𝑠 ≠ ∅)
21		rintn0 5132	. . . 4 ⊢ ((𝑠 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑠 ≠ ∅) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑠) = ∩ 𝑠)
22	19, 20, 21	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑠 ≠ ∅) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑠) = ∩ 𝑠)
23	13	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑠 ≠ ∅) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑠) ∈ 𝐶)
24	22, 23	eqeltrrd 2845	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑠 ≠ ∅) → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)
25	1, 16, 24	ismred 17660	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  𝒫 cpw 4622  ∩ cint 4970  ‘cfv 6573  Moorecmre 17640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fv 6581  df-mre 17644

This theorem is referenced by:  isacs1i  17715  mreacs  17716