Theorem ismred2 16866

Description: Properties that determine a Moore collection, using restricted intersection. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismred2.ss	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
ismred2.in	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑠) ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
ismred2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑠   𝐶,𝑠   𝑋,𝑠

Proof of Theorem ismred2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismred2.ss	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
2		eqid 2798	. . . 4 ⊢ ∅ = ∅
3		rint0 4878	. . . 4 ⊢ (∅ = ∅ → (𝑋 ∩ ∩ ∅) = 𝑋)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑋 ∩ ∩ ∅) = 𝑋
5		0ss 4304	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ 𝐶
6		0ex 5175	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
7		sseq1 3940	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = ∅ → (𝑠 ⊆ 𝐶 ↔ ∅ ⊆ 𝐶))
8	7	anbi2d 631	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = ∅ → ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶) ↔ (𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐶)))
9		inteq 4841	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = ∅ → ∩ 𝑠 = ∩ ∅)
10	9	ineq2d 4139	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = ∅ → (𝑋 ∩ ∩ 𝑠) = (𝑋 ∩ ∩ ∅))
11	10	eleq1d 2874	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = ∅ → ((𝑋 ∩ ∩ 𝑠) ∈ 𝐶 ↔ (𝑋 ∩ ∩ ∅) ∈ 𝐶))
12	8, 11	imbi12d 348	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = ∅ → (((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑠) ∈ 𝐶) ↔ ((𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐶) → (𝑋 ∩ ∩ ∅) ∈ 𝐶)))
13		ismred2.in	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑠) ∈ 𝐶)
14	6, 12, 13	vtocl 3507	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐶) → (𝑋 ∩ ∩ ∅) ∈ 𝐶)
15	5, 14	mpan2 690	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ ∩ ∅) ∈ 𝐶)
16	4, 15	eqeltrrid 2895	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐶)
17		simp2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑠 ≠ ∅) → 𝑠 ⊆ 𝐶)
18	1	3ad2ant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑠 ≠ ∅) → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
19	17, 18	sstrd 3925	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑠 ≠ ∅) → 𝑠 ⊆ 𝒫 𝑋)
20		simp3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑠 ≠ ∅) → 𝑠 ≠ ∅)
21		rintn0 4994	. . . 4 ⊢ ((𝑠 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑠 ≠ ∅) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑠) = ∩ 𝑠)
22	19, 20, 21	syl2anc 587	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑠 ≠ ∅) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑠) = ∩ 𝑠)
23	13	3adant3 1129	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑠 ≠ ∅) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑠) ∈ 𝐶)
24	22, 23	eqeltrrd 2891	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑠 ≠ ∅) → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)
25	1, 16, 24	ismred 16865	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  𝒫 cpw 4497  ∩ cint 4838  ‘cfv 6324  Moorecmre 16845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fv 6332  df-mre 16849

This theorem is referenced by:  isacs1i  16920  mreacs  16921