Theorem ismred2 17654

Description: Properties that determine a Moore collection, using restricted intersection. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismred2.ss	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
ismred2.in	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑠) ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
ismred2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑠   𝐶,𝑠   𝑋,𝑠

Proof of Theorem ismred2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismred2.ss	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
2		eqid 2769	. . . 4 ⊢ ∅ = ∅
3		rint0 4957	. . . 4 ⊢ (∅ = ∅ → (𝑋 ∩ ∩ ∅) = 𝑋)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑋 ∩ ∩ ∅) = 𝑋
5		0ss 4364	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ 𝐶
6		0ex 5272	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
7		sseq1 3970	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = ∅ → (𝑠 ⊆ 𝐶 ↔ ∅ ⊆ 𝐶))
8	7	anbi2d 641	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = ∅ → ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶) ↔ (𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐶)))
9		inteq 4919	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = ∅ → ∩ 𝑠 = ∩ ∅)
10	9	ineq2d 4181	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = ∅ → (𝑋 ∩ ∩ 𝑠) = (𝑋 ∩ ∩ ∅))
11	10	eleq1d 2854	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = ∅ → ((𝑋 ∩ ∩ 𝑠) ∈ 𝐶 ↔ (𝑋 ∩ ∩ ∅) ∈ 𝐶))
12	8, 11	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = ∅ → (((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑠) ∈ 𝐶) ↔ ((𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐶) → (𝑋 ∩ ∩ ∅) ∈ 𝐶)))
13		ismred2.in	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑠) ∈ 𝐶)
14	6, 12, 13	vtocl 3534	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐶) → (𝑋 ∩ ∩ ∅) ∈ 𝐶)
15	5, 14	mpan2 703	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ ∩ ∅) ∈ 𝐶)
16	4, 15	eqeltrrid 2874	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐶)
17		simp2 1153	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑠 ≠ ∅) → 𝑠 ⊆ 𝐶)
18	1	3ad2ant1 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑠 ≠ ∅) → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
19	17, 18	sstrd 3955	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑠 ≠ ∅) → 𝑠 ⊆ 𝒫 𝑋)
20		simp3 1154	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑠 ≠ ∅) → 𝑠 ≠ ∅)
21		rintn0 5079	. . . 4 ⊢ ((𝑠 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑠 ≠ ∅) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑠) = ∩ 𝑠)
22	19, 20, 21	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑠 ≠ ∅) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑠) = ∩ 𝑠)
23	13	3adant3 1148	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑠 ≠ ∅) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑠) ∈ 𝐶)
24	22, 23	eqeltrrd 2870	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑠 ≠ ∅) → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)
25	1, 16, 24	ismred 17653	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294  𝒫 cpw 4567  ∩ cint 4916  ‘cfv 6537  Moorecmre 17633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-mre 17637

This theorem is referenced by:  isacs1i  17712  mreacs  17713