Theorem ismred2 17361

Description: Properties that determine a Moore collection, using restricted intersection. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismred2.ss	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
ismred2.in	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑠) ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
ismred2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑠   𝐶,𝑠   𝑋,𝑠

Proof of Theorem ismred2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismred2.ss	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
2		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ∅ = ∅
3		rint0 4928	. . . 4 ⊢ (∅ = ∅ → (𝑋 ∩ ∩ ∅) = 𝑋)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑋 ∩ ∩ ∅) = 𝑋
5		0ss 4336	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ 𝐶
6		0ex 5240	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
7		sseq1 3951	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = ∅ → (𝑠 ⊆ 𝐶 ↔ ∅ ⊆ 𝐶))
8	7	anbi2d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = ∅ → ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶) ↔ (𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐶)))
9		inteq 4889	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = ∅ → ∩ 𝑠 = ∩ ∅)
10	9	ineq2d 4152	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = ∅ → (𝑋 ∩ ∩ 𝑠) = (𝑋 ∩ ∩ ∅))
11	10	eleq1d 2821	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = ∅ → ((𝑋 ∩ ∩ 𝑠) ∈ 𝐶 ↔ (𝑋 ∩ ∩ ∅) ∈ 𝐶))
12	8, 11	imbi12d 345	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = ∅ → (((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑠) ∈ 𝐶) ↔ ((𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐶) → (𝑋 ∩ ∩ ∅) ∈ 𝐶)))
13		ismred2.in	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑠) ∈ 𝐶)
14	6, 12, 13	vtocl 3503	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐶) → (𝑋 ∩ ∩ ∅) ∈ 𝐶)
15	5, 14	mpan2 689	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ ∩ ∅) ∈ 𝐶)
16	4, 15	eqeltrrid 2842	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐶)
17		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑠 ≠ ∅) → 𝑠 ⊆ 𝐶)
18	1	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑠 ≠ ∅) → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
19	17, 18	sstrd 3936	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑠 ≠ ∅) → 𝑠 ⊆ 𝒫 𝑋)
20		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑠 ≠ ∅) → 𝑠 ≠ ∅)
21		rintn0 5045	. . . 4 ⊢ ((𝑠 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑠 ≠ ∅) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑠) = ∩ 𝑠)
22	19, 20, 21	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑠 ≠ ∅) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑠) = ∩ 𝑠)
23	13	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑠 ≠ ∅) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑠) ∈ 𝐶)
24	22, 23	eqeltrrd 2838	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑠 ≠ ∅) → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)
25	1, 16, 24	ismred 17360	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2941   ∩ cin 3891   ⊆ wss 3892  ∅c0 4262  𝒫 cpw 4539  ∩ cint 4886  ‘cfv 6458  Moorecmre 17340

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3306  df-v 3439  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fv 6466  df-mre 17344

This theorem is referenced by:  isacs1i  17415  mreacs  17416