MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismred2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismred2 17543
Description: Properties that determine a Moore collection, using restricted intersection. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ismred2.ss (𝜑𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
ismred2.in ((𝜑𝑠𝐶) → (𝑋 𝑠) ∈ 𝐶)
Assertion
Ref Expression
ismred2 (𝜑𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑠   𝐶,𝑠   𝑋,𝑠

Proof of Theorem ismred2
StepHypRef Expression
1 ismred2.ss . 2 (𝜑𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
2 eqid 2733 . . . 4 ∅ = ∅
3 rint0 4993 . . . 4 (∅ = ∅ → (𝑋 ∅) = 𝑋)
42, 3ax-mp 5 . . 3 (𝑋 ∅) = 𝑋
5 0ss 4395 . . . 4 ∅ ⊆ 𝐶
6 0ex 5306 . . . . 5 ∅ ∈ V
7 sseq1 4006 . . . . . . 7 (𝑠 = ∅ → (𝑠𝐶 ↔ ∅ ⊆ 𝐶))
87anbi2d 630 . . . . . 6 (𝑠 = ∅ → ((𝜑𝑠𝐶) ↔ (𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐶)))
9 inteq 4952 . . . . . . . 8 (𝑠 = ∅ → 𝑠 = ∅)
109ineq2d 4211 . . . . . . 7 (𝑠 = ∅ → (𝑋 𝑠) = (𝑋 ∅))
1110eleq1d 2819 . . . . . 6 (𝑠 = ∅ → ((𝑋 𝑠) ∈ 𝐶 ↔ (𝑋 ∅) ∈ 𝐶))
128, 11imbi12d 345 . . . . 5 (𝑠 = ∅ → (((𝜑𝑠𝐶) → (𝑋 𝑠) ∈ 𝐶) ↔ ((𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐶) → (𝑋 ∅) ∈ 𝐶)))
13 ismred2.in . . . . 5 ((𝜑𝑠𝐶) → (𝑋 𝑠) ∈ 𝐶)
146, 12, 13vtocl 3549 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐶) → (𝑋 ∅) ∈ 𝐶)
155, 14mpan2 690 . . 3 (𝜑 → (𝑋 ∅) ∈ 𝐶)
164, 15eqeltrrid 2839 . 2 (𝜑𝑋𝐶)
17 simp2 1138 . . . . 5 ((𝜑𝑠𝐶𝑠 ≠ ∅) → 𝑠𝐶)
1813ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝜑𝑠𝐶𝑠 ≠ ∅) → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
1917, 18sstrd 3991 . . . 4 ((𝜑𝑠𝐶𝑠 ≠ ∅) → 𝑠 ⊆ 𝒫 𝑋)
20 simp3 1139 . . . 4 ((𝜑𝑠𝐶𝑠 ≠ ∅) → 𝑠 ≠ ∅)
21 rintn0 5111 . . . 4 ((𝑠 ⊆ 𝒫 𝑋𝑠 ≠ ∅) → (𝑋 𝑠) = 𝑠)
2219, 20, 21syl2anc 585 . . 3 ((𝜑𝑠𝐶𝑠 ≠ ∅) → (𝑋 𝑠) = 𝑠)
23133adant3 1133 . . 3 ((𝜑𝑠𝐶𝑠 ≠ ∅) → (𝑋 𝑠) ∈ 𝐶)
2422, 23eqeltrrd 2835 . 2 ((𝜑𝑠𝐶𝑠 ≠ ∅) → 𝑠𝐶)
251, 16, 24ismred 17542 1 (𝜑𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  cin 3946  wss 3947  c0 4321  𝒫 cpw 4601   cint 4949  cfv 6540  Moorecmre 17522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fv 6548  df-mre 17526
This theorem is referenced by:  isacs1i  17597  mreacs  17598
  Copyright terms: Public domain W3C validator