Theorem ismred2 17620

Description: Properties that determine a Moore collection, using restricted intersection. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismred2.ss	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
ismred2.in	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑠) ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
ismred2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑠   𝐶,𝑠   𝑋,𝑠

Proof of Theorem ismred2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismred2.ss	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
2		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ∅ = ∅
3		rint0 4969	. . . 4 ⊢ (∅ = ∅ → (𝑋 ∩ ∩ ∅) = 𝑋)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑋 ∩ ∩ ∅) = 𝑋
5		0ss 4380	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ 𝐶
6		0ex 5282	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
7		sseq1 3989	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = ∅ → (𝑠 ⊆ 𝐶 ↔ ∅ ⊆ 𝐶))
8	7	anbi2d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = ∅ → ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶) ↔ (𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐶)))
9		inteq 4930	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = ∅ → ∩ 𝑠 = ∩ ∅)
10	9	ineq2d 4200	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = ∅ → (𝑋 ∩ ∩ 𝑠) = (𝑋 ∩ ∩ ∅))
11	10	eleq1d 2820	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = ∅ → ((𝑋 ∩ ∩ 𝑠) ∈ 𝐶 ↔ (𝑋 ∩ ∩ ∅) ∈ 𝐶))
12	8, 11	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = ∅ → (((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑠) ∈ 𝐶) ↔ ((𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐶) → (𝑋 ∩ ∩ ∅) ∈ 𝐶)))
13		ismred2.in	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑠) ∈ 𝐶)
14	6, 12, 13	vtocl 3542	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∅ ⊆ 𝐶) → (𝑋 ∩ ∩ ∅) ∈ 𝐶)
15	5, 14	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ ∩ ∅) ∈ 𝐶)
16	4, 15	eqeltrrid 2840	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐶)
17		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑠 ≠ ∅) → 𝑠 ⊆ 𝐶)
18	1	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑠 ≠ ∅) → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
19	17, 18	sstrd 3974	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑠 ≠ ∅) → 𝑠 ⊆ 𝒫 𝑋)
20		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑠 ≠ ∅) → 𝑠 ≠ ∅)
21		rintn0 5090	. . . 4 ⊢ ((𝑠 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑠 ≠ ∅) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑠) = ∩ 𝑠)
22	19, 20, 21	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑠 ≠ ∅) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑠) = ∩ 𝑠)
23	13	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑠 ≠ ∅) → (𝑋 ∩ ∩ 𝑠) ∈ 𝐶)
24	22, 23	eqeltrrd 2836	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑠 ≠ ∅) → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)
25	1, 16, 24	ismred 17619	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933   ∩ cin 3930   ⊆ wss 3931  ∅c0 4313  𝒫 cpw 4580  ∩ cint 4927  ‘cfv 6536  Moorecmre 17599

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fv 6544  df-mre 17603

This theorem is referenced by:  isacs1i  17674  mreacs  17675