MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mremre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mremre 17548
Description: The Moore collections of subsets of a space, viewed as a kind of subset of the power set, form a Moore collection in their own right on the power set. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
mremre (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (Mooreβ€˜π‘‹) ∈ (Mooreβ€˜π’« 𝑋))

Proof of Theorem mremre
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mresspw 17536 . . . . 5 (π‘Ž ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) β†’ π‘Ž βŠ† 𝒫 𝑋)
2 velpw 4608 . . . . 5 (π‘Ž ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ↔ π‘Ž βŠ† 𝒫 𝑋)
31, 2sylibr 233 . . . 4 (π‘Ž ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) β†’ π‘Ž ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
43ssriv 3987 . . 3 (Mooreβ€˜π‘‹) βŠ† 𝒫 𝒫 𝑋
54a1i 11 . 2 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (Mooreβ€˜π‘‹) βŠ† 𝒫 𝒫 𝑋)
6 ssidd 4006 . . 3 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ 𝒫 𝑋 βŠ† 𝒫 𝑋)
7 pwidg 4623 . . 3 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ 𝑋 ∈ 𝒫 𝑋)
8 intssuni2 4978 . . . . . 6 ((π‘Ž βŠ† 𝒫 𝑋 ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) β†’ ∩ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝒫 𝑋)
983adant1 1131 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž βŠ† 𝒫 𝑋 ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) β†’ ∩ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝒫 𝑋)
10 unipw 5451 . . . . 5 βˆͺ 𝒫 𝑋 = 𝑋
119, 10sseqtrdi 4033 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž βŠ† 𝒫 𝑋 ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) β†’ ∩ π‘Ž βŠ† 𝑋)
12 elpw2g 5345 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (∩ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ↔ ∩ π‘Ž βŠ† 𝑋))
13123ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž βŠ† 𝒫 𝑋 ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) β†’ (∩ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ↔ ∩ π‘Ž βŠ† 𝑋))
1411, 13mpbird 257 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž βŠ† 𝒫 𝑋 ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) β†’ ∩ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋)
156, 7, 14ismred 17546 . 2 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ 𝒫 𝑋 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
16 n0 4347 . . . . 5 (π‘Ž β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘ 𝑏 ∈ π‘Ž)
17 intss1 4968 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ π‘Ž β†’ ∩ π‘Ž βŠ† 𝑏)
1817adantl 483 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž βŠ† (Mooreβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑏 ∈ π‘Ž) β†’ ∩ π‘Ž βŠ† 𝑏)
19 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž βŠ† (Mooreβ€˜π‘‹)) β†’ π‘Ž βŠ† (Mooreβ€˜π‘‹))
2019sselda 3983 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž βŠ† (Mooreβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑏 ∈ π‘Ž) β†’ 𝑏 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
21 mresspw 17536 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) β†’ 𝑏 βŠ† 𝒫 𝑋)
2220, 21syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž βŠ† (Mooreβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑏 ∈ π‘Ž) β†’ 𝑏 βŠ† 𝒫 𝑋)
2318, 22sstrd 3993 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž βŠ† (Mooreβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑏 ∈ π‘Ž) β†’ ∩ π‘Ž βŠ† 𝒫 𝑋)
2423ex 414 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž βŠ† (Mooreβ€˜π‘‹)) β†’ (𝑏 ∈ π‘Ž β†’ ∩ π‘Ž βŠ† 𝒫 𝑋))
2524exlimdv 1937 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž βŠ† (Mooreβ€˜π‘‹)) β†’ (βˆƒπ‘ 𝑏 ∈ π‘Ž β†’ ∩ π‘Ž βŠ† 𝒫 𝑋))
2616, 25biimtrid 241 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž βŠ† (Mooreβ€˜π‘‹)) β†’ (π‘Ž β‰  βˆ… β†’ ∩ π‘Ž βŠ† 𝒫 𝑋))
27263impia 1118 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž βŠ† (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) β†’ ∩ π‘Ž βŠ† 𝒫 𝑋)
28 simp2 1138 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž βŠ† (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) β†’ π‘Ž βŠ† (Mooreβ€˜π‘‹))
2928sselda 3983 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž βŠ† (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) ∧ 𝑏 ∈ π‘Ž) β†’ 𝑏 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
30 mre1cl 17538 . . . . . 6 (𝑏 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ 𝑏)
3129, 30syl 17 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž βŠ† (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) ∧ 𝑏 ∈ π‘Ž) β†’ 𝑋 ∈ 𝑏)
3231ralrimiva 3147 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž βŠ† (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) β†’ βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑋 ∈ 𝑏)
33 elintg 4959 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (𝑋 ∈ ∩ π‘Ž ↔ βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑋 ∈ 𝑏))
34333ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž βŠ† (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) β†’ (𝑋 ∈ ∩ π‘Ž ↔ βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑋 ∈ 𝑏))
3532, 34mpbird 257 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž βŠ† (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) β†’ 𝑋 ∈ ∩ π‘Ž)
36 simp12 1205 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž βŠ† (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) ∧ 𝑏 βŠ† ∩ π‘Ž ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) β†’ π‘Ž βŠ† (Mooreβ€˜π‘‹))
3736sselda 3983 . . . . . 6 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž βŠ† (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) ∧ 𝑏 βŠ† ∩ π‘Ž ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) ∧ 𝑐 ∈ π‘Ž) β†’ 𝑐 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
38 simpl2 1193 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž βŠ† (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) ∧ 𝑏 βŠ† ∩ π‘Ž ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) ∧ 𝑐 ∈ π‘Ž) β†’ 𝑏 βŠ† ∩ π‘Ž)
39 intss1 4968 . . . . . . . 8 (𝑐 ∈ π‘Ž β†’ ∩ π‘Ž βŠ† 𝑐)
4039adantl 483 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž βŠ† (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) ∧ 𝑏 βŠ† ∩ π‘Ž ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) ∧ 𝑐 ∈ π‘Ž) β†’ ∩ π‘Ž βŠ† 𝑐)
4138, 40sstrd 3993 . . . . . 6 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž βŠ† (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) ∧ 𝑏 βŠ† ∩ π‘Ž ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) ∧ 𝑐 ∈ π‘Ž) β†’ 𝑏 βŠ† 𝑐)
42 simpl3 1194 . . . . . 6 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž βŠ† (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) ∧ 𝑏 βŠ† ∩ π‘Ž ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) ∧ 𝑐 ∈ π‘Ž) β†’ 𝑏 β‰  βˆ…)
43 mreintcl 17539 . . . . . 6 ((𝑐 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 βŠ† 𝑐 ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝑏 ∈ 𝑐)
4437, 41, 42, 43syl3anc 1372 . . . . 5 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž βŠ† (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) ∧ 𝑏 βŠ† ∩ π‘Ž ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) ∧ 𝑐 ∈ π‘Ž) β†’ ∩ 𝑏 ∈ 𝑐)
4544ralrimiva 3147 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž βŠ† (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) ∧ 𝑏 βŠ† ∩ π‘Ž ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) β†’ βˆ€π‘ ∈ π‘Ž ∩ 𝑏 ∈ 𝑐)
46 intex 5338 . . . . . 6 (𝑏 β‰  βˆ… ↔ ∩ 𝑏 ∈ V)
47 elintg 4959 . . . . . 6 (∩ 𝑏 ∈ V β†’ (∩ 𝑏 ∈ ∩ π‘Ž ↔ βˆ€π‘ ∈ π‘Ž ∩ 𝑏 ∈ 𝑐))
4846, 47sylbi 216 . . . . 5 (𝑏 β‰  βˆ… β†’ (∩ 𝑏 ∈ ∩ π‘Ž ↔ βˆ€π‘ ∈ π‘Ž ∩ 𝑏 ∈ 𝑐))
49483ad2ant3 1136 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž βŠ† (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) ∧ 𝑏 βŠ† ∩ π‘Ž ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) β†’ (∩ 𝑏 ∈ ∩ π‘Ž ↔ βˆ€π‘ ∈ π‘Ž ∩ 𝑏 ∈ 𝑐))
5045, 49mpbird 257 . . 3 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž βŠ† (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) ∧ 𝑏 βŠ† ∩ π‘Ž ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝑏 ∈ ∩ π‘Ž)
5127, 35, 50ismred 17546 . 2 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž βŠ† (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) β†’ ∩ π‘Ž ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
525, 15, 51ismred 17546 1 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (Mooreβ€˜π‘‹) ∈ (Mooreβ€˜π’« 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603  βˆͺ cuni 4909  βˆ© cint 4951  β€˜cfv 6544  Moorecmre 17526
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-mre 17530
This theorem is referenced by:  mreacs  17602  mreclatdemoBAD  22600
  Copyright terms: Public domain W3C validator