MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mremre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mremre 17544
Description: The Moore collections of subsets of a space, viewed as a kind of subset of the power set, form a Moore collection in their own right on the power set. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
mremre (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (Mooreβ€˜π‘‹) ∈ (Mooreβ€˜π’« 𝑋))

Proof of Theorem mremre
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mresspw 17532 . . . . 5 (π‘Ž ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) β†’ π‘Ž βŠ† 𝒫 𝑋)
2 velpw 4606 . . . . 5 (π‘Ž ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ↔ π‘Ž βŠ† 𝒫 𝑋)
31, 2sylibr 233 . . . 4 (π‘Ž ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) β†’ π‘Ž ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
43ssriv 3985 . . 3 (Mooreβ€˜π‘‹) βŠ† 𝒫 𝒫 𝑋
54a1i 11 . 2 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (Mooreβ€˜π‘‹) βŠ† 𝒫 𝒫 𝑋)
6 ssidd 4004 . . 3 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ 𝒫 𝑋 βŠ† 𝒫 𝑋)
7 pwidg 4621 . . 3 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ 𝑋 ∈ 𝒫 𝑋)
8 intssuni2 4976 . . . . . 6 ((π‘Ž βŠ† 𝒫 𝑋 ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) β†’ ∩ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝒫 𝑋)
983adant1 1130 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž βŠ† 𝒫 𝑋 ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) β†’ ∩ π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝒫 𝑋)
10 unipw 5449 . . . . 5 βˆͺ 𝒫 𝑋 = 𝑋
119, 10sseqtrdi 4031 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž βŠ† 𝒫 𝑋 ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) β†’ ∩ π‘Ž βŠ† 𝑋)
12 elpw2g 5343 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (∩ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ↔ ∩ π‘Ž βŠ† 𝑋))
13123ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž βŠ† 𝒫 𝑋 ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) β†’ (∩ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ↔ ∩ π‘Ž βŠ† 𝑋))
1411, 13mpbird 256 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž βŠ† 𝒫 𝑋 ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) β†’ ∩ π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋)
156, 7, 14ismred 17542 . 2 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ 𝒫 𝑋 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
16 n0 4345 . . . . 5 (π‘Ž β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘ 𝑏 ∈ π‘Ž)
17 intss1 4966 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ π‘Ž β†’ ∩ π‘Ž βŠ† 𝑏)
1817adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž βŠ† (Mooreβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑏 ∈ π‘Ž) β†’ ∩ π‘Ž βŠ† 𝑏)
19 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž βŠ† (Mooreβ€˜π‘‹)) β†’ π‘Ž βŠ† (Mooreβ€˜π‘‹))
2019sselda 3981 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž βŠ† (Mooreβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑏 ∈ π‘Ž) β†’ 𝑏 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
21 mresspw 17532 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) β†’ 𝑏 βŠ† 𝒫 𝑋)
2220, 21syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž βŠ† (Mooreβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑏 ∈ π‘Ž) β†’ 𝑏 βŠ† 𝒫 𝑋)
2318, 22sstrd 3991 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž βŠ† (Mooreβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑏 ∈ π‘Ž) β†’ ∩ π‘Ž βŠ† 𝒫 𝑋)
2423ex 413 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž βŠ† (Mooreβ€˜π‘‹)) β†’ (𝑏 ∈ π‘Ž β†’ ∩ π‘Ž βŠ† 𝒫 𝑋))
2524exlimdv 1936 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž βŠ† (Mooreβ€˜π‘‹)) β†’ (βˆƒπ‘ 𝑏 ∈ π‘Ž β†’ ∩ π‘Ž βŠ† 𝒫 𝑋))
2616, 25biimtrid 241 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž βŠ† (Mooreβ€˜π‘‹)) β†’ (π‘Ž β‰  βˆ… β†’ ∩ π‘Ž βŠ† 𝒫 𝑋))
27263impia 1117 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž βŠ† (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) β†’ ∩ π‘Ž βŠ† 𝒫 𝑋)
28 simp2 1137 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž βŠ† (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) β†’ π‘Ž βŠ† (Mooreβ€˜π‘‹))
2928sselda 3981 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž βŠ† (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) ∧ 𝑏 ∈ π‘Ž) β†’ 𝑏 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
30 mre1cl 17534 . . . . . 6 (𝑏 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ 𝑏)
3129, 30syl 17 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž βŠ† (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) ∧ 𝑏 ∈ π‘Ž) β†’ 𝑋 ∈ 𝑏)
3231ralrimiva 3146 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž βŠ† (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) β†’ βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑋 ∈ 𝑏)
33 elintg 4957 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (𝑋 ∈ ∩ π‘Ž ↔ βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑋 ∈ 𝑏))
34333ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž βŠ† (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) β†’ (𝑋 ∈ ∩ π‘Ž ↔ βˆ€π‘ ∈ π‘Ž 𝑋 ∈ 𝑏))
3532, 34mpbird 256 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž βŠ† (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) β†’ 𝑋 ∈ ∩ π‘Ž)
36 simp12 1204 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž βŠ† (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) ∧ 𝑏 βŠ† ∩ π‘Ž ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) β†’ π‘Ž βŠ† (Mooreβ€˜π‘‹))
3736sselda 3981 . . . . . 6 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž βŠ† (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) ∧ 𝑏 βŠ† ∩ π‘Ž ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) ∧ 𝑐 ∈ π‘Ž) β†’ 𝑐 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
38 simpl2 1192 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž βŠ† (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) ∧ 𝑏 βŠ† ∩ π‘Ž ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) ∧ 𝑐 ∈ π‘Ž) β†’ 𝑏 βŠ† ∩ π‘Ž)
39 intss1 4966 . . . . . . . 8 (𝑐 ∈ π‘Ž β†’ ∩ π‘Ž βŠ† 𝑐)
4039adantl 482 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž βŠ† (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) ∧ 𝑏 βŠ† ∩ π‘Ž ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) ∧ 𝑐 ∈ π‘Ž) β†’ ∩ π‘Ž βŠ† 𝑐)
4138, 40sstrd 3991 . . . . . 6 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž βŠ† (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) ∧ 𝑏 βŠ† ∩ π‘Ž ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) ∧ 𝑐 ∈ π‘Ž) β†’ 𝑏 βŠ† 𝑐)
42 simpl3 1193 . . . . . 6 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž βŠ† (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) ∧ 𝑏 βŠ† ∩ π‘Ž ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) ∧ 𝑐 ∈ π‘Ž) β†’ 𝑏 β‰  βˆ…)
43 mreintcl 17535 . . . . . 6 ((𝑐 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 βŠ† 𝑐 ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝑏 ∈ 𝑐)
4437, 41, 42, 43syl3anc 1371 . . . . 5 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž βŠ† (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) ∧ 𝑏 βŠ† ∩ π‘Ž ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) ∧ 𝑐 ∈ π‘Ž) β†’ ∩ 𝑏 ∈ 𝑐)
4544ralrimiva 3146 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž βŠ† (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) ∧ 𝑏 βŠ† ∩ π‘Ž ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) β†’ βˆ€π‘ ∈ π‘Ž ∩ 𝑏 ∈ 𝑐)
46 intex 5336 . . . . . 6 (𝑏 β‰  βˆ… ↔ ∩ 𝑏 ∈ V)
47 elintg 4957 . . . . . 6 (∩ 𝑏 ∈ V β†’ (∩ 𝑏 ∈ ∩ π‘Ž ↔ βˆ€π‘ ∈ π‘Ž ∩ 𝑏 ∈ 𝑐))
4846, 47sylbi 216 . . . . 5 (𝑏 β‰  βˆ… β†’ (∩ 𝑏 ∈ ∩ π‘Ž ↔ βˆ€π‘ ∈ π‘Ž ∩ 𝑏 ∈ 𝑐))
49483ad2ant3 1135 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž βŠ† (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) ∧ 𝑏 βŠ† ∩ π‘Ž ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) β†’ (∩ 𝑏 ∈ ∩ π‘Ž ↔ βˆ€π‘ ∈ π‘Ž ∩ 𝑏 ∈ 𝑐))
5045, 49mpbird 256 . . 3 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž βŠ† (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) ∧ 𝑏 βŠ† ∩ π‘Ž ∧ 𝑏 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝑏 ∈ ∩ π‘Ž)
5127, 35, 50ismred 17542 . 2 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ž βŠ† (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘Ž β‰  βˆ…) β†’ ∩ π‘Ž ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
525, 15, 51ismred 17542 1 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (Mooreβ€˜π‘‹) ∈ (Mooreβ€˜π’« 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  π’« cpw 4601  βˆͺ cuni 4907  βˆ© cint 4949  β€˜cfv 6540  Moorecmre 17522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fv 6548  df-mre 17526
This theorem is referenced by:  mreacs  17598  mreclatdemoBAD  22591
  Copyright terms: Public domain W3C validator