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Theorem isacs1i 17600
Description: A closure system determined by a function is a closure system and algebraic. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
isacs1i ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋) β†’ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠} ∈ (ACSβ€˜π‘‹))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑠   𝑋,𝑠
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑠)
Proof of Theorem isacs1i
Dummy variables π‘Ž 𝑑 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 4069 . . . 4 {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠} βŠ† 𝒫 𝑋
21a1i 11 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋) β†’ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠} βŠ† 𝒫 𝑋)
3 pweq 4608 . . . . . . . 8 (𝑠 = (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) β†’ 𝒫 𝑠 = 𝒫 (𝑋 ∩ ∩ 𝑑))
43ineq1d 4203 . . . . . . 7 (𝑠 = (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) β†’ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) = (𝒫 (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) ∩ Fin))
54imaeq2d 6049 . . . . . 6 (𝑠 = (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) β†’ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = (𝐹 β€œ (𝒫 (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) ∩ Fin)))
65unieqd 4912 . . . . 5 (𝑠 = (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) β†’ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) ∩ Fin)))
7 id 22 . . . . 5 (𝑠 = (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) β†’ 𝑠 = (𝑋 ∩ ∩ 𝑑))
86, 7sseq12d 4007 . . . 4 (𝑠 = (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) β†’ (βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠 ↔ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) ∩ Fin)) βŠ† (𝑋 ∩ ∩ 𝑑)))
9 inss1 4220 . . . . . 6 (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) βŠ† 𝑋
10 elpw2g 5334 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ ((𝑋 ∩ ∩ 𝑑) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) βŠ† 𝑋))
119, 10mpbiri 258 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) ∈ 𝒫 𝑋)
1211ad2antrr 723 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋) ∧ 𝑑 βŠ† {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠}) β†’ (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) ∈ 𝒫 𝑋)
13 imassrn 6060 . . . . . . . . 9 (𝐹 β€œ (𝒫 (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) ∩ Fin)) βŠ† ran 𝐹
14 frn 6714 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 β†’ ran 𝐹 βŠ† 𝒫 𝑋)
1514adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋) β†’ ran 𝐹 βŠ† 𝒫 𝑋)
1613, 15sstrid 3985 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋) β†’ (𝐹 β€œ (𝒫 (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) ∩ Fin)) βŠ† 𝒫 𝑋)
1716unissd 4909 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋) β†’ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) ∩ Fin)) βŠ† βˆͺ 𝒫 𝑋)
18 unipw 5440 . . . . . . 7 βˆͺ 𝒫 𝑋 = 𝑋
1917, 18sseqtrdi 4024 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋) β†’ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) ∩ Fin)) βŠ† 𝑋)
2019adantr 480 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋) ∧ 𝑑 βŠ† {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠}) β†’ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) ∩ Fin)) βŠ† 𝑋)
21 inss2 4221 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) βŠ† ∩ 𝑑
22 intss1 4957 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž ∈ 𝑑 β†’ ∩ 𝑑 βŠ† π‘Ž)
2321, 22sstrid 3985 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž ∈ 𝑑 β†’ (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) βŠ† π‘Ž)
2423adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋) ∧ 𝑑 βŠ† {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠}) ∧ π‘Ž ∈ 𝑑) β†’ (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) βŠ† π‘Ž)
2524sspwd 4607 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋) ∧ 𝑑 βŠ† {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠}) ∧ π‘Ž ∈ 𝑑) β†’ 𝒫 (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) βŠ† 𝒫 π‘Ž)
2625ssrind 4227 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋) ∧ 𝑑 βŠ† {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠}) ∧ π‘Ž ∈ 𝑑) β†’ (𝒫 (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) ∩ Fin) βŠ† (𝒫 π‘Ž ∩ Fin))
27 imass2 6091 . . . . . . . . . 10 ((𝒫 (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) ∩ Fin) βŠ† (𝒫 π‘Ž ∩ Fin) β†’ (𝐹 β€œ (𝒫 (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) ∩ Fin)) βŠ† (𝐹 β€œ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋) ∧ 𝑑 βŠ† {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠}) ∧ π‘Ž ∈ 𝑑) β†’ (𝐹 β€œ (𝒫 (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) ∩ Fin)) βŠ† (𝐹 β€œ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)))
2928unissd 4909 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋) ∧ 𝑑 βŠ† {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠}) ∧ π‘Ž ∈ 𝑑) β†’ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) ∩ Fin)) βŠ† βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)))
30 ssel2 3969 . . . . . . . . . 10 ((𝑑 βŠ† {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠} ∧ π‘Ž ∈ 𝑑) β†’ π‘Ž ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠})
31 pweq 4608 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = π‘Ž β†’ 𝒫 𝑠 = 𝒫 π‘Ž)
3231ineq1d 4203 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = π‘Ž β†’ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) = (𝒫 π‘Ž ∩ Fin))
3332imaeq2d 6049 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = π‘Ž β†’ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = (𝐹 β€œ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)))
3433unieqd 4912 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = π‘Ž β†’ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)))
35 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = π‘Ž β†’ 𝑠 = π‘Ž)
3634, 35sseq12d 4007 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = π‘Ž β†’ (βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠 ↔ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)) βŠ† π‘Ž))
3736elrab 3675 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠} ↔ (π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∧ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)) βŠ† π‘Ž))
3837simprbi 496 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠} β†’ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)) βŠ† π‘Ž)
3930, 38syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑑 βŠ† {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠} ∧ π‘Ž ∈ 𝑑) β†’ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)) βŠ† π‘Ž)
4039adantll 711 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋) ∧ 𝑑 βŠ† {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠}) ∧ π‘Ž ∈ 𝑑) β†’ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)) βŠ† π‘Ž)
4129, 40sstrd 3984 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋) ∧ 𝑑 βŠ† {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠}) ∧ π‘Ž ∈ 𝑑) β†’ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) ∩ Fin)) βŠ† π‘Ž)
4241ralrimiva 3138 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋) ∧ 𝑑 βŠ† {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠}) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑑 βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) ∩ Fin)) βŠ† π‘Ž)
43 ssint 4958 . . . . . 6 (βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) ∩ Fin)) βŠ† ∩ 𝑑 ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑑 βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) ∩ Fin)) βŠ† π‘Ž)
4442, 43sylibr 233 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋) ∧ 𝑑 βŠ† {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠}) β†’ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) ∩ Fin)) βŠ† ∩ 𝑑)
4520, 44ssind 4224 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋) ∧ 𝑑 βŠ† {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠}) β†’ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) ∩ Fin)) βŠ† (𝑋 ∩ ∩ 𝑑))
468, 12, 45elrabd 3677 . . 3 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋) ∧ 𝑑 βŠ† {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠}) β†’ (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠})
472, 46ismred2 17546 . 2 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋) β†’ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠} ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
48 fssxp 6735 . . . 4 (𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 β†’ 𝐹 βŠ† (𝒫 𝑋 Γ— 𝒫 𝑋))
49 pwexg 5366 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ 𝒫 𝑋 ∈ V)
5049, 49xpexd 7731 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (𝒫 𝑋 Γ— 𝒫 𝑋) ∈ V)
51 ssexg 5313 . . . 4 ((𝐹 βŠ† (𝒫 𝑋 Γ— 𝒫 𝑋) ∧ (𝒫 𝑋 Γ— 𝒫 𝑋) ∈ V) β†’ 𝐹 ∈ V)
5248, 50, 51syl2anr 596 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋) β†’ 𝐹 ∈ V)
53 simpr 484 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋) β†’ 𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋)
54 pweq 4608 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑑 β†’ 𝒫 𝑠 = 𝒫 𝑑)
5554ineq1d 4203 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑑 β†’ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) = (𝒫 𝑑 ∩ Fin))
5655imaeq2d 6049 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑑 β†’ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = (𝐹 β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)))
5756unieqd 4912 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑑 β†’ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)))
58 id 22 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑑 β†’ 𝑠 = 𝑑)
5957, 58sseq12d 4007 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑑 β†’ (βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠 ↔ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) βŠ† 𝑑))
6059elrab3 3676 . . . . 5 (𝑑 ∈ 𝒫 𝑋 β†’ (𝑑 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠} ↔ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) βŠ† 𝑑))
6160rgen 3055 . . . 4 βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠} ↔ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) βŠ† 𝑑)
6253, 61jctir 520 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋) β†’ (𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠} ↔ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) βŠ† 𝑑)))
63 feq1 6688 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 β†’ (𝑓:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 ↔ 𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋))
64 imaeq1 6044 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 β†’ (𝑓 β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) = (𝐹 β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)))
6564unieqd 4912 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 β†’ βˆͺ (𝑓 β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) = βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)))
6665sseq1d 4005 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 β†’ (βˆͺ (𝑓 β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) βŠ† 𝑑 ↔ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) βŠ† 𝑑))
6766bibi2d 342 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 β†’ ((𝑑 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠} ↔ βˆͺ (𝑓 β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) βŠ† 𝑑) ↔ (𝑑 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠} ↔ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) βŠ† 𝑑)))
6867ralbidv 3169 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠} ↔ βˆͺ (𝑓 β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) βŠ† 𝑑) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠} ↔ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) βŠ† 𝑑)))
6963, 68anbi12d 630 . . 3 (𝑓 = 𝐹 β†’ ((𝑓:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠} ↔ βˆͺ (𝑓 β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) βŠ† 𝑑)) ↔ (𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠} ↔ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) βŠ† 𝑑))))
7052, 62, 69spcedv 3580 . 2 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠} ↔ βˆͺ (𝑓 β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) βŠ† 𝑑)))
71 isacs 17594 . 2 ({𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠} ∈ (ACSβ€˜π‘‹) ↔ ({𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠} ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆƒπ‘“(𝑓:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠} ↔ βˆͺ (𝑓 β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) βŠ† 𝑑))))
7247, 70, 71sylanbrc 582 1 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋) β†’ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠} ∈ (ACSβ€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053  {crab 3424  Vcvv 3466   ∩ cin 3939   βŠ† wss 3940  π’« cpw 4594  βˆͺ cuni 4899  βˆ© cint 4940   Γ— cxp 5664  ran crn 5667   β€œ cima 5669  βŸΆwf 6529  β€˜cfv 6533  Fincfn 8935  Moorecmre 17525  ACScacs 17528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-mre 17529  df-acs 17532
This theorem is referenced by:  acsfn  17602
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