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Theorem isacs1i 17601
Description: A closure system determined by a function is a closure system and algebraic. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
isacs1i ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋) β†’ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠} ∈ (ACSβ€˜π‘‹))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑠   𝑋,𝑠
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑠)
Proof of Theorem isacs1i
Dummy variables π‘Ž 𝑑 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 4078 . . . 4 {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠} βŠ† 𝒫 𝑋
21a1i 11 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋) β†’ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠} βŠ† 𝒫 𝑋)
3 pweq 4617 . . . . . . . 8 (𝑠 = (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) β†’ 𝒫 𝑠 = 𝒫 (𝑋 ∩ ∩ 𝑑))
43ineq1d 4212 . . . . . . 7 (𝑠 = (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) β†’ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) = (𝒫 (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) ∩ Fin))
54imaeq2d 6060 . . . . . 6 (𝑠 = (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) β†’ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = (𝐹 β€œ (𝒫 (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) ∩ Fin)))
65unieqd 4923 . . . . 5 (𝑠 = (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) β†’ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) ∩ Fin)))
7 id 22 . . . . 5 (𝑠 = (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) β†’ 𝑠 = (𝑋 ∩ ∩ 𝑑))
86, 7sseq12d 4016 . . . 4 (𝑠 = (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) β†’ (βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠 ↔ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) ∩ Fin)) βŠ† (𝑋 ∩ ∩ 𝑑)))
9 inss1 4229 . . . . . 6 (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) βŠ† 𝑋
10 elpw2g 5345 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ ((𝑋 ∩ ∩ 𝑑) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) βŠ† 𝑋))
119, 10mpbiri 258 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) ∈ 𝒫 𝑋)
1211ad2antrr 725 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋) ∧ 𝑑 βŠ† {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠}) β†’ (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) ∈ 𝒫 𝑋)
13 imassrn 6071 . . . . . . . . 9 (𝐹 β€œ (𝒫 (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) ∩ Fin)) βŠ† ran 𝐹
14 frn 6725 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 β†’ ran 𝐹 βŠ† 𝒫 𝑋)
1514adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋) β†’ ran 𝐹 βŠ† 𝒫 𝑋)
1613, 15sstrid 3994 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋) β†’ (𝐹 β€œ (𝒫 (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) ∩ Fin)) βŠ† 𝒫 𝑋)
1716unissd 4919 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋) β†’ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) ∩ Fin)) βŠ† βˆͺ 𝒫 𝑋)
18 unipw 5451 . . . . . . 7 βˆͺ 𝒫 𝑋 = 𝑋
1917, 18sseqtrdi 4033 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋) β†’ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) ∩ Fin)) βŠ† 𝑋)
2019adantr 482 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋) ∧ 𝑑 βŠ† {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠}) β†’ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) ∩ Fin)) βŠ† 𝑋)
21 inss2 4230 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) βŠ† ∩ 𝑑
22 intss1 4968 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž ∈ 𝑑 β†’ ∩ 𝑑 βŠ† π‘Ž)
2321, 22sstrid 3994 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž ∈ 𝑑 β†’ (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) βŠ† π‘Ž)
2423adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋) ∧ 𝑑 βŠ† {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠}) ∧ π‘Ž ∈ 𝑑) β†’ (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) βŠ† π‘Ž)
2524sspwd 4616 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋) ∧ 𝑑 βŠ† {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠}) ∧ π‘Ž ∈ 𝑑) β†’ 𝒫 (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) βŠ† 𝒫 π‘Ž)
2625ssrind 4236 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋) ∧ 𝑑 βŠ† {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠}) ∧ π‘Ž ∈ 𝑑) β†’ (𝒫 (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) ∩ Fin) βŠ† (𝒫 π‘Ž ∩ Fin))
27 imass2 6102 . . . . . . . . . 10 ((𝒫 (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) ∩ Fin) βŠ† (𝒫 π‘Ž ∩ Fin) β†’ (𝐹 β€œ (𝒫 (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) ∩ Fin)) βŠ† (𝐹 β€œ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋) ∧ 𝑑 βŠ† {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠}) ∧ π‘Ž ∈ 𝑑) β†’ (𝐹 β€œ (𝒫 (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) ∩ Fin)) βŠ† (𝐹 β€œ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)))
2928unissd 4919 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋) ∧ 𝑑 βŠ† {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠}) ∧ π‘Ž ∈ 𝑑) β†’ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) ∩ Fin)) βŠ† βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)))
30 ssel2 3978 . . . . . . . . . 10 ((𝑑 βŠ† {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠} ∧ π‘Ž ∈ 𝑑) β†’ π‘Ž ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠})
31 pweq 4617 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = π‘Ž β†’ 𝒫 𝑠 = 𝒫 π‘Ž)
3231ineq1d 4212 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = π‘Ž β†’ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) = (𝒫 π‘Ž ∩ Fin))
3332imaeq2d 6060 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = π‘Ž β†’ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = (𝐹 β€œ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)))
3433unieqd 4923 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = π‘Ž β†’ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)))
35 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = π‘Ž β†’ 𝑠 = π‘Ž)
3634, 35sseq12d 4016 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = π‘Ž β†’ (βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠 ↔ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)) βŠ† π‘Ž))
3736elrab 3684 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠} ↔ (π‘Ž ∈ 𝒫 𝑋 ∧ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)) βŠ† π‘Ž))
3837simprbi 498 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠} β†’ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)) βŠ† π‘Ž)
3930, 38syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑑 βŠ† {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠} ∧ π‘Ž ∈ 𝑑) β†’ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)) βŠ† π‘Ž)
4039adantll 713 . . . . . . . 8 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋) ∧ 𝑑 βŠ† {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠}) ∧ π‘Ž ∈ 𝑑) β†’ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 π‘Ž ∩ Fin)) βŠ† π‘Ž)
4129, 40sstrd 3993 . . . . . . 7 ((((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋) ∧ 𝑑 βŠ† {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠}) ∧ π‘Ž ∈ 𝑑) β†’ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) ∩ Fin)) βŠ† π‘Ž)
4241ralrimiva 3147 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋) ∧ 𝑑 βŠ† {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠}) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑑 βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) ∩ Fin)) βŠ† π‘Ž)
43 ssint 4969 . . . . . 6 (βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) ∩ Fin)) βŠ† ∩ 𝑑 ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑑 βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) ∩ Fin)) βŠ† π‘Ž)
4442, 43sylibr 233 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋) ∧ 𝑑 βŠ† {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠}) β†’ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) ∩ Fin)) βŠ† ∩ 𝑑)
4520, 44ssind 4233 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋) ∧ 𝑑 βŠ† {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠}) β†’ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) ∩ Fin)) βŠ† (𝑋 ∩ ∩ 𝑑))
468, 12, 45elrabd 3686 . . 3 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋) ∧ 𝑑 βŠ† {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠}) β†’ (𝑋 ∩ ∩ 𝑑) ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠})
472, 46ismred2 17547 . 2 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋) β†’ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠} ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
48 fssxp 6746 . . . 4 (𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 β†’ 𝐹 βŠ† (𝒫 𝑋 Γ— 𝒫 𝑋))
49 pwexg 5377 . . . . 5 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ 𝒫 𝑋 ∈ V)
5049, 49xpexd 7738 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (𝒫 𝑋 Γ— 𝒫 𝑋) ∈ V)
51 ssexg 5324 . . . 4 ((𝐹 βŠ† (𝒫 𝑋 Γ— 𝒫 𝑋) ∧ (𝒫 𝑋 Γ— 𝒫 𝑋) ∈ V) β†’ 𝐹 ∈ V)
5248, 50, 51syl2anr 598 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋) β†’ 𝐹 ∈ V)
53 simpr 486 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋) β†’ 𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋)
54 pweq 4617 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑑 β†’ 𝒫 𝑠 = 𝒫 𝑑)
5554ineq1d 4212 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑑 β†’ (𝒫 𝑠 ∩ Fin) = (𝒫 𝑑 ∩ Fin))
5655imaeq2d 6060 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑑 β†’ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = (𝐹 β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)))
5756unieqd 4923 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑑 β†’ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) = βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)))
58 id 22 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑑 β†’ 𝑠 = 𝑑)
5957, 58sseq12d 4016 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑑 β†’ (βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠 ↔ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) βŠ† 𝑑))
6059elrab3 3685 . . . . 5 (𝑑 ∈ 𝒫 𝑋 β†’ (𝑑 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠} ↔ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) βŠ† 𝑑))
6160rgen 3064 . . . 4 βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠} ↔ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) βŠ† 𝑑)
6253, 61jctir 522 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋) β†’ (𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠} ↔ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) βŠ† 𝑑)))
63 feq1 6699 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 β†’ (𝑓:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 ↔ 𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋))
64 imaeq1 6055 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 β†’ (𝑓 β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) = (𝐹 β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)))
6564unieqd 4923 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 β†’ βˆͺ (𝑓 β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) = βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)))
6665sseq1d 4014 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 β†’ (βˆͺ (𝑓 β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) βŠ† 𝑑 ↔ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) βŠ† 𝑑))
6766bibi2d 343 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 β†’ ((𝑑 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠} ↔ βˆͺ (𝑓 β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) βŠ† 𝑑) ↔ (𝑑 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠} ↔ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) βŠ† 𝑑)))
6867ralbidv 3178 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠} ↔ βˆͺ (𝑓 β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) βŠ† 𝑑) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠} ↔ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) βŠ† 𝑑)))
6963, 68anbi12d 632 . . 3 (𝑓 = 𝐹 β†’ ((𝑓:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠} ↔ βˆͺ (𝑓 β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) βŠ† 𝑑)) ↔ (𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠} ↔ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) βŠ† 𝑑))))
7052, 62, 69spcedv 3589 . 2 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠} ↔ βˆͺ (𝑓 β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) βŠ† 𝑑)))
71 isacs 17595 . 2 ({𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠} ∈ (ACSβ€˜π‘‹) ↔ ({𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠} ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆƒπ‘“(𝑓:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝑋(𝑑 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠} ↔ βˆͺ (𝑓 β€œ (𝒫 𝑑 ∩ Fin)) βŠ† 𝑑))))
7247, 70, 71sylanbrc 584 1 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋) β†’ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ βˆͺ (𝐹 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠} ∈ (ACSβ€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  {crab 3433  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603  βˆͺ cuni 4909  βˆ© cint 4951   Γ— cxp 5675  ran crn 5678   β€œ cima 5680  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  Fincfn 8939  Moorecmre 17526  ACScacs 17529
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-mre 17530  df-acs 17533
This theorem is referenced by:  acsfn  17603
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