Theorem ismred 17570

Description: Properties that determine a Moore collection. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismred.ss	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
ismred.ba	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐶)
ismred.in	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑠 ≠ ∅) → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
ismred	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑠   𝐶,𝑠   𝑋,𝑠

Proof of Theorem ismred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismred.ss	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
2		ismred.ba	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐶)
3		velpw 4571	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐶 ↔ 𝑠 ⊆ 𝐶)
4		ismred.in	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑠 ≠ ∅) → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)
5	4	3expia 1121	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶) → (𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶))
6	3, 5	sylan2b 594	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) → (𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶))
7	6	ralrimiva 3126	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶))
8		ismre 17558	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)))
9	1, 2, 7, 8	syl3anbrc 1344	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299  𝒫 cpw 4566  ∩ cint 4913  ‘cfv 6514  Moorecmre 17550

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fv 6522  df-mre 17554

This theorem is referenced by:  ismred2  17571  mremre  17572  submre  17573  subrngmre  20478  subrgmre  20513  lssmre  20879  cssmre  21609  cldmre  22972  toponmre  22987  zartopn  33872  ismrcd1  42693