MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismred Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismred 17417
Description: Properties that determine a Moore collection. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ismred.ss (πœ‘ β†’ 𝐢 βŠ† 𝒫 𝑋)
ismred.ba (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐢)
ismred.in ((πœ‘ ∧ 𝑠 βŠ† 𝐢 ∧ 𝑠 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝑠 ∈ 𝐢)
Assertion
Ref Expression
ismred (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
Distinct variable groups:   πœ‘,𝑠   𝐢,𝑠   𝑋,𝑠

Proof of Theorem ismred
StepHypRef Expression
1 ismred.ss . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 βŠ† 𝒫 𝑋)
2 ismred.ba . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐢)
3 velpw 4564 . . . 4 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐢 ↔ 𝑠 βŠ† 𝐢)
4 ismred.in . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 βŠ† 𝐢 ∧ 𝑠 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝑠 ∈ 𝐢)
543expia 1122 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 βŠ† 𝐢) β†’ (𝑠 β‰  βˆ… β†’ ∩ 𝑠 ∈ 𝐢))
63, 5sylan2b 595 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐢) β†’ (𝑠 β‰  βˆ… β†’ ∩ 𝑠 ∈ 𝐢))
76ralrimiva 3142 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢(𝑠 β‰  βˆ… β†’ ∩ 𝑠 ∈ 𝐢))
8 ismre 17405 . 2 (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ↔ (𝐢 βŠ† 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐢 ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐢(𝑠 β‰  βˆ… β†’ ∩ 𝑠 ∈ 𝐢)))
91, 2, 7, 8syl3anbrc 1344 1 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1088   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2942  βˆ€wral 3063   βŠ† wss 3909  βˆ…c0 4281  π’« cpw 4559  βˆ© cint 4906  β€˜cfv 6492  Moorecmre 17397
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fv 6500  df-mre 17401
This theorem is referenced by:  ismred2  17418  mremre  17419  submre  17420  subrgmre  20170  lssmre  20351  cssmre  21021  cldmre  22352  toponmre  22367  zartopn  32230  ismrcd1  40887
  Copyright terms: Public domain W3C validator