Theorem ismred 17307

Description: Properties that determine a Moore collection. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismred.ss	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
ismred.ba	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐶)
ismred.in	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑠 ≠ ∅) → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
ismred	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑠   𝐶,𝑠   𝑋,𝑠

Proof of Theorem ismred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismred.ss	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
2		ismred.ba	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐶)
3		velpw 4544	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐶 ↔ 𝑠 ⊆ 𝐶)
4		ismred.in	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑠 ≠ ∅) → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)
5	4	3expia 1120	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶) → (𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶))
6	3, 5	sylan2b 594	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) → (𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶))
7	6	ralrimiva 3110	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶))
8		ismre 17295	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)))
9	1, 2, 7, 8	syl3anbrc 1342	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2945  ∀wral 3066   ⊆ wss 3892  ∅c0 4262  𝒫 cpw 4539  ∩ cint 4885  ‘cfv 6431  Moorecmre 17287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-ral 3071  df-rex 3072  df-rab 3075  df-v 3433  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fv 6439  df-mre 17291

This theorem is referenced by:  ismred2  17308  mremre  17309  submre  17310  subrgmre  20044  lssmre  20224  cssmre  20894  cldmre  22225  toponmre  22240  zartopn  31819  ismrcd1  40515