Theorem ismred 17621

Description: Properties that determine a Moore collection. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismred.ss	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
ismred.ba	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐶)
ismred.in	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑠 ≠ ∅) → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
ismred	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑠   𝐶,𝑠   𝑋,𝑠

Proof of Theorem ismred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismred.ss	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
2		ismred.ba	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐶)
3		velpw 4557	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐶 ↔ 𝑠 ⊆ 𝐶)
4		ismred.in	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑠 ≠ ∅) → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)
5	4	3expia 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶) → (𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶))
6	3, 5	sylan2b 603	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) → (𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶))
7	6	ralrimiva 3153	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶))
8		ismre 17609	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)))
9	1, 2, 7, 8	syl3anbrc 1356	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1097   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3075   ⊆ wss 3902  ∅c0 4283  𝒫 cpw 4552  ∩ cint 4902  ‘cfv 6516  Moorecmre 17601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fv 6524  df-mre 17605

This theorem is referenced by:  ismred2  17622  mremre  17623  submre  17624  subrngmre  20599  subrgmre  20634  lssmre  21021  cssmre  21733  cldmre  23126  toponmre  23141  zartopn  34133  ismrcd1  43240