MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismred Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismred 17645
Description: Properties that determine a Moore collection. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ismred.ss (𝜑𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
ismred.ba (𝜑𝑋𝐶)
ismred.in ((𝜑𝑠𝐶𝑠 ≠ ∅) → 𝑠𝐶)
Assertion
Ref Expression
ismred (𝜑𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑠   𝐶,𝑠   𝑋,𝑠

Proof of Theorem ismred
StepHypRef Expression
1 ismred.ss . 2 (𝜑𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
2 ismred.ba . 2 (𝜑𝑋𝐶)
3 velpw 4605 . . . 4 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐶𝑠𝐶)
4 ismred.in . . . . 5 ((𝜑𝑠𝐶𝑠 ≠ ∅) → 𝑠𝐶)
543expia 1122 . . . 4 ((𝜑𝑠𝐶) → (𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶))
63, 5sylan2b 594 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) → (𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶))
76ralrimiva 3146 . 2 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶))
8 ismre 17633 . 2 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶)))
91, 2, 7, 8syl3anbrc 1344 1 (𝜑𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1087  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wss 3951  c0 4333  𝒫 cpw 4600   cint 4946  cfv 6561  Moorecmre 17625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-mre 17629
This theorem is referenced by:  ismred2  17646  mremre  17647  submre  17648  subrngmre  20562  subrgmre  20597  lssmre  20964  cssmre  21711  cldmre  23086  toponmre  23101  zartopn  33874  ismrcd1  42709
  Copyright terms: Public domain W3C validator