Theorem ismred 17647

Description: Properties that determine a Moore collection. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismred.ss	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
ismred.ba	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐶)
ismred.in	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑠 ≠ ∅) → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
ismred	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑠   𝐶,𝑠   𝑋,𝑠

Proof of Theorem ismred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismred.ss	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
2		ismred.ba	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐶)
3		velpw 4610	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐶 ↔ 𝑠 ⊆ 𝐶)
4		ismred.in	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑠 ≠ ∅) → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)
5	4	3expia 1120	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ⊆ 𝐶) → (𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶))
6	3, 5	sylan2b 594	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐶) → (𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶))
7	6	ralrimiva 3144	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶))
8		ismre 17635	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)))
9	1, 2, 7, 8	syl3anbrc 1342	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∀wral 3059   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339  𝒫 cpw 4605  ∩ cint 4951  ‘cfv 6563  Moorecmre 17627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-mre 17631

This theorem is referenced by:  ismred2  17648  mremre  17649  submre  17650  subrngmre  20579  subrgmre  20614  lssmre  20982  cssmre  21729  cldmre  23102  toponmre  23117  zartopn  33836  ismrcd1  42686